線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的研究解析

魚陂科扶學(xué)院學(xué)生實(shí)驗(yàn)報(bào)告（理工類）課程名稱:自動(dòng)控制原理 專業(yè)班級(jí):14課程名稱:自動(dòng)控制原理 專業(yè)班級(jí):14電氣（2學(xué)生學(xué)號(hào)： 學(xué)生姓名： 所屬院部： 機(jī)電工程學(xué)院指導(dǎo)教師: 吳洪兵20152015 ——2016學(xué)年第二學(xué)期金陵科技學(xué)院教務(wù)處制22實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名稱：線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的研究實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí):同組學(xué)生姓名： 實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)：PAC電氣控制實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)日期：2016年6月2日實(shí)驗(yàn)成績(jī)： 批改教師： 吳洪兵 批改時(shí)間: 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵?熟悉線性系統(tǒng)；2熟悉線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差原因。二、實(shí)驗(yàn)儀器和設(shè)備計(jì)算機(jī)一臺(tái)三、實(shí)驗(yàn)過程在穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，不僅要求系統(tǒng)具有較快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，還應(yīng)具有令人滿意的穩(wěn)態(tài)控制精度。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度的度量，它體現(xiàn)了系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，實(shí)際輸出與希望輸出之間的偏差。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差既與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，又受到外輸入信號(hào)作用的影響，同時(shí)，系統(tǒng)靜特性不穩(wěn)定和參數(shù)變化等因素也會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生一定的穩(wěn)態(tài)誤差。定義在輸入端的誤差：E(s)二R(s)-B(s)二Rs)-H(s)C(s)定義在輸出端的誤差：E(s)二G(s)-C(s)E(s)=Cr(s)-C(s)H(s)Rs)H^s)=H(s)E(s)對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，即H[s)=1，有E'(s)=E(s)，所以E(s)可以反映E'(s)，且便于測(cè)量。3.2誤差時(shí)域表達(dá)式為e(t)=r(t)—b(t)，令t 時(shí)，得穩(wěn)態(tài)誤差ess=lime(t)tT30或 -limsE(s)StO穩(wěn)態(tài)誤差ess可以用求st0時(shí)sE(s)的極限替代，通常E(s)的解析表達(dá)式比e(t)的解析表達(dá)式更容易得到。誤差的拉普拉斯變換為E(sE(s)dpN(s)其中，G(s)=G(s)G(s)H[s)系統(tǒng)誤差不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，還決定于輸入信號(hào)的形式及作用點(diǎn)。在參考輸入和擾動(dòng)輸入共同作用下，系統(tǒng)的誤差包括參考輸入引起的誤差和擾動(dòng)輸入引起的誤差＜(1)參考輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差%)G(s) Jk ■■ ■恥)■%)G(s) Jk ■■ ■恥)■E(s)二Wr(s)Rs)二11 Gk(s)N(s)=0時(shí),Rs)essr如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則sE(s)=|im^_011 Gk(s)R(s)所以，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和輸入信號(hào)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般可以表示為鈿=絆峠丄(翠1)=和s)s(TaS 1)(Tbs 1) (TnS 1)S系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般可以表示為G(s) K(TiS 1)(T2S 1) (T靑 1)KG(s)G(s)二r匚 - - nG(s)s(TaS+1)(TbS+1)」(TnS+1)S式中，N為開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)，K為開環(huán)增益。系統(tǒng)常按其開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)量分類：Thenumberofintegrationsiscalledtypenumberofsystem當(dāng)N=0時(shí)，稱為0型系統(tǒng)Type0system，或有差系統(tǒng)；當(dāng)N=1時(shí)，稱為I型系統(tǒng)Typelsystem，或一階無差系統(tǒng)型；當(dāng)N=2時(shí)，稱為U型系統(tǒng)TypeHsystem，或二階無差系統(tǒng)型；增加型號(hào)數(shù)可使精度提高，但對(duì)穩(wěn)定性不利，一般 N<2。典型輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差1)階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差r(t)=A.1(t)(A為階躍函數(shù)的幅值)sAA Aes=lim"1Gk(s)s1Gk(0) 1Kp靜態(tài)位置誤差系數(shù) Kp=limQ(s)=Gk(0)對(duì)于0型系統(tǒng)，心如囂島糅“(開環(huán)增益)SS對(duì)于1型及1型以上系統(tǒng),Kp=limSr0K(T1s 1)(T2s 1)sN(TaS 1)(TbS 1)ess2)斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差輸入為斜坡函數(shù)r(t)=B.t時(shí)，sB Bess=lim 2=lim—Kvs>01 Gk(s) s2s>0sq(sKv對(duì)于對(duì)于u型以上系統(tǒng)，Ka ess=0靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=li叫sGk(s)sj00型系統(tǒng) KvlimsSr0K(T1s 1)(棗1)(TaS 1)(TbS1)essI型系統(tǒng)so

m>

khs一一&于1)于1)=kess=Ks(T；s1)(TbS1) KK(T1s 1)(Ts1)^■0ssN(T.s 1)(Tbs 1)ess以上系統(tǒng)3)拋物線函數(shù)(等加速度函數(shù))輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差輸入為拋物線函數(shù)r(t)=1/2C?t2時(shí),ess二lim_01Gk(s)limpCs>0sGk(s) Ka加速度誤差系數(shù)Ka=lims2Gk(s)Sr。對(duì)于0型系統(tǒng),lims>0(Tas1)(Tbs1)1110,Kalims2s>0K(T1sT)6s1)川s(Tas1)(Tbs1)11!0,對(duì)于u型系統(tǒng),Ka|ims2K(T1S1)(T2s1川|s>0s2(TaS1)CT；s1川「K,ess(2)主擾動(dòng)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差在擾動(dòng)信號(hào)的作用下系統(tǒng)產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差：R(s)=0時(shí),G2(s)(2)主擾動(dòng)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差在擾動(dòng)信號(hào)的作用下系統(tǒng)產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差：R(s)=0時(shí),G2(s)H(s)K12 N(s)i q(s)'丿系統(tǒng)誤差表達(dá)式為E(s)二VWn(s)N(s)lime(t)tr:limsE(s)Sr0limSr0ys)H(s)N(s)1Gk(s)單位階躍函數(shù)n(t)=1(t)輸入時(shí), G(0)H(0)1"Gi(o)在擾動(dòng)作用點(diǎn)以前的系統(tǒng)前向通道G(s)的靜態(tài)放大系數(shù)愈大，則由擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差就愈小對(duì)于無差系統(tǒng)，差為零。1 G(0)G(0)H(0)二N>1,Gi(0)=于擾動(dòng)不影響穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，由此產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤系統(tǒng)型別靜態(tài)誤差系數(shù)階躍輸入r(tH斜坡輸入r(tAW加速度輸入「(離vKpKzKae_Dess1+KpeV)qs—Ke 03es——Ka0K00r01KQOQO1oOK00V?KoO2oOoOK00aK3oOoOoO000階躍輸入作用下的位置誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差Kp二limQ(s)二lim—K1K2P St°s>°Kp二limQ(s)二lim—K1K2P St°s>°s(Ts 1)essr1 Kp擾動(dòng)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差essn-lims巳(s)=limsWL(s)N(s)Sr° Sr°-K2limss>0s(Ts1)K[K2sKi綜上：n(t)作用與r(t)作用相比，誤差規(guī)律不同。令擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)為 G(s)K,(s1)擾動(dòng)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差 essn=lim°sst°s(T 1) &G(s)s二limSr°—二lsm°K“s+1)=°G(s)為了降低或消除主擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差,可以采用增大擾動(dòng)作用點(diǎn)之前前向?yàn)榱私档突蛳鲾_動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差,可以采用增大擾動(dòng)作用點(diǎn)之前前向通道的放大系數(shù)或在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前引入積分環(huán)節(jié)的辦法來實(shí)現(xiàn)。(3)系統(tǒng)靜特性變化引起的誤差由于環(huán)境條件改變，元件發(fā)熱、摩損、老化、特性漂移等各種原因引起的系統(tǒng)參數(shù)或靜特性的變化，都將導(dǎo)致輸出變化，從而產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。這些系統(tǒng)內(nèi)部的變化(系統(tǒng)的內(nèi)部擾動(dòng))所引起的穩(wěn)態(tài)誤差，有時(shí)很嚴(yán)重，尤其是在要求的較

高場(chǎng)合，必須考慮這種誤差假定參考輸入一定，那么圖示的非單位反饋系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)有CssCssqo)1GO)H(O)G(0)和H(0)G(0)和H(0)變化時(shí)，有丄Cssgo)—G2(0)：H(0)r2 「[1+G0)H(0)]q 1 q0) G(0)H(0)]H0"CST一1G(0)H(0)"G^r一1G[0)H(0)H(0)當(dāng)G0)H(0) 1時(shí)，有Css 1 G(0)H(0)Css 1G(0)H(0)G(0) H(0)所以：1)反饋系數(shù)變化或不準(zhǔn)確，將使系統(tǒng)輸出發(fā)生同樣大小(相對(duì)值)的變化或誤差，所以為使系統(tǒng)具有一定的精度，檢測(cè)元件或反饋通道環(huán)節(jié)應(yīng)該準(zhǔn)確恒定；2)前向通道環(huán)節(jié)發(fā)生變化而引起的誤差，差不多是與 G[0)H(0)成反比的，由于qo)H(0)較大，故qo)變化對(duì)系統(tǒng)輸出影響不大，對(duì)它的準(zhǔn)確度和恒定性的要求可以大大降低，這正是負(fù)反饋系統(tǒng)的特點(diǎn)。3.3降低穩(wěn)態(tài)誤差的主要措施降低穩(wěn)態(tài)誤差的措施有：保證元件有一定的精度和性能穩(wěn)定性，尤其是反饋通道元件。有時(shí)還應(yīng)考慮實(shí)際的環(huán)境條件，采取必要的誤差補(bǔ)償?shù)却胧Ｔ跐M足系統(tǒng)穩(wěn)定性要求的前提下，增大系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)或增加前向通

道中積分環(huán)節(jié)數(shù)目，保證對(duì)參考輸入的跟隨能力；增大擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通

道放大系數(shù)或增加擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通道的積分環(huán)節(jié)數(shù)， 以降低擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差。增加前向通道中積分環(huán)節(jié)數(shù)改變了閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能。所以必須同時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。如果作用于系統(tǒng)的主要干擾可以測(cè)量時(shí)，可以采用復(fù)合控制來降低系統(tǒng)誤差，或消除擾動(dòng)影響。下圖表示了一個(gè)按輸入反饋一一按擾動(dòng)順饋的復(fù)合控制系統(tǒng)。 qs)為被控對(duì)象傳遞函數(shù)，GC(s)為控制器傳遞函數(shù)，G(s)為干擾通道的傳遞函數(shù)，以s)為順饋控制器的傳遞函數(shù)。如果擾動(dòng)量可以測(cè)量，且 G(s)是已知的，則可通過適當(dāng)選擇G(s)，消除擾動(dòng)所引起的誤差。qs)C(s)對(duì)Ns)的傳遞函數(shù)為c(s)二Gn(s)—G(s)GN(s)N(s)VG(s)Gc(s)H(s)i)令G(s)+Gs)Gm(s)二0，所以選擇G(s)=-sqs)由于順饋控制是開環(huán)控制，精度受限，且對(duì)參考輸入引起的響應(yīng)沒有作用。所以為了滿足系統(tǒng)對(duì)參考輸入響應(yīng)的要求，以及為了消除或降低其它擾動(dòng)的影響，在復(fù)合控制系統(tǒng)中還需借助反饋和適當(dāng)選取Gc(s)來滿足要求。為了提高系統(tǒng)對(duì)參考輸入的跟綜能力，也可按參考輸入順饋來消除或降低誤

E(s)二1-GdE(s)二1-Gd(s)G(s)H(s)1GJs)G(s)H(s)(s令1-Gd(s)Gs)H(s)1二0，所以選擇Qs）二菇麗。四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析可以用MATLAB勺求極限函數(shù)limit求誤差系數(shù)，若求靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka,其調(diào)用格式分別為Kp=limit(G,s,O,'right');Kv=limit(s*G,s,O,'right');Ka=limit(sA2*G,s,0, 'right');其中，G為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G（s）的表達(dá)式的符號(hào)變量，使用前通過syms命令進(jìn)行符號(hào)變量定義。例3-16為保持飛機(jī)的航向和飛行高度，設(shè)計(jì)了如圖所示的自動(dòng)駕駛儀。預(yù)期的

航向角辿）飛機(jī)自動(dòng)駕駛儀結(jié)構(gòu)圖預(yù)期的

航向角辿）飛機(jī)自動(dòng)駕駛儀結(jié)構(gòu)圖（1）假設(shè)采用比例（P）控制器Gc（s）=2,輸出為預(yù)期的航向角％（t）=at.a=0.5/s。試用函數(shù)lism計(jì)算并繪制系統(tǒng)實(shí)際的輸出姿態(tài)角，求 10s后的航向角偏差。（2）為減小穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差，采用比例積分（PI）控制器，即GC(s)二Ki K2=2 —s s試重復(fù)（1）中的仿真計(jì)算，并比較兩種情況下的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差。解（1）采用比例（P）控制器Gc（s）=2，自駕儀系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)qs) = ______s(s+5)(s2+3.5s+6)s4+13.5s3+41s2+60s

閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為20s+100s4 13.5s3 41s2 80s 100(2)米用比例積分(PI)控制器GJs)=0?K?/s=2?1/s時(shí)，自駕儀系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為1Q2S1Q2S1)(s5)

s2(s 10)(s2 3.5s 6)20s2+110s+50

s513.5s4 41s360s2閉環(huán)傳遞函數(shù)為20s2+110s十50s5 13.5s4 41s3 80s2 100s 50求解程序如下:%斜坡響應(yīng)%應(yīng)用函數(shù)lism求斜坡響應(yīng)%輸入函數(shù)r(t)=tnum仁[20100];%采用比例(P)控制器Gc(s)=2den仁[113.54180100];num2=[2011050];%采用比例積分(PI)控制器Gc(s)=K1+K2/s=2+1/sden2=[113.5418011050];t=0:0.1:12;r=0.5*t;c1=lsim(num1,den1,r,t);c2=lsim(num2,den2,r,t);subplot(1,2,1),plot(t,r,t,c1);gridon;title('控制器Gc(s)=2時(shí)的斜坡輸入跟蹤響應(yīng)')xlabel('t 秒')ylabel('斜坡輸入與跟蹤響應(yīng)')subplot(1,2,2),plot(t,r,t,c2);gridon;title('控制器Gc(s)=K1+K2/s=2+1/s時(shí)的斜坡輸入跟蹤響應(yīng)')xlabel('t 秒')

ylabe1('斜坡輸入與跟蹤響應(yīng)')程序運(yùn)行分別得到采用比例(P)控制器Gc(s)=2和比例微分(PI)控制器Gc(s)=21/s