習題第03章(剛體力學基礎)

第三章剛體力學基礎思考題A離轉軸的距離是質點BA和質點B1（23）（）（））小。以下說法是否正確？并加以分析：一個確定的剛體有確定的轉動慣量。定軸轉動的剛體，當角速度大時，作用的力矩也大。使一根均勻的鐵棍保持水平，如握住棍子的中點要比握住它的一端容易。力矩也一定為零；當這兩個力對軸的合力矩為零時，它們的合力也一定為零。指出下列表達式哪些是正確的，哪些是錯誤的，并說明理由。1E Mv2 , E Mgh, JMr2, LrMv ,K 2 c p c

c c cE、EK

J、LP為剛體的質量，v為質心速度，h為質心距零勢能面的高度，r為質心到轉軸的距離。c c c已知銀河系中有一天體是均勻球體，現在半徑為R，繞對稱軸自轉的周期為T引力凝聚，它的體積不斷收縮。假定一萬年后它的半徑縮小為r，試問一萬年后此天體繞對稱軸自轉的周期比現在大還是??？它的動能是增加還是減少？一圓形平臺，可繞中心軸無摩擦地轉動，有一輛玩具汽車相對臺面由靜止啟動，繞軸系統的機械能、動量和角動量是否守恒？習題解答一汽車發(fā)動機曲軸的車速在12s1200轉均勻地增加到每分鐘27001））在此時間內，曲軸轉了多少轉？解：

2700120060 60

25 0 13.1rads-2t 12 62700 12000220

( )2( 60 60

780rad2 2

256N

780

390(轉)atbt2ct3t時刻的角速度和角加速度。解：d ddtdt(atbt2ct3)a2d d (a2bt2)6ctdt dt在邊長為a的正六邊形的頂點上，分別固定六個質點，mXOY求：OXOYOZ軸的轉動慣量；對通過中心COYOZCY’CZ’慣量。解1) JOXJ

m[a2( a)2]43ma211 211 m( a)22m(a a)22m(2a)29ma2

題3-3圖OY 2 23 9J ma22m(2a)22m( a2 a2)12ma2OZ 4 4（2）根據平行軸定理J J MdCY OY

9ma26ma2

3ma2J J MdCZ OZ

12ma26ma2

6ma2如本題圖所示，有一實驗用擺，勻質細桿的長l=0.92m，質量m=0.5kgr=0.08mM=2.50kg且垂直擺面的軸的轉動慣量。解：J1

1ml231圓盤的轉動慣量為J21

J MdC1

Mr2M(lr)22J代入數據得：

ml2 Mr2M(lr)23 2

題3-4圖1 J 0.50.922 2.50.0822.5(0.920.08)22.65kgm21 3 2Ma、bOOXYZ如圖所示。OXOY軸的轉動慣量分另1 1為：JOX

Mb2，J12

Ma2。12OZ軸的轉動慣量。證明：

題3-5圖在長方形薄板上取一平行于X軸的橫條形質元，它到轉軸OX的距離為y，長度為a，高度，該質元的質量為dmM

ady

Mdyab b2J y2dm2

y2M

dy

1mb2OX m

b b 122YOY的距離為b，寬度為dx，該質元的質量為dm

Mdxa2J x2dm2

x2M

dx

1ma2OY m

a a 122

1 JOZ

J JOX

Ma2b212在如圖所示的裝置中，物體的質量m1m2M1、M2R1、R2都已知，且m1>m2m2的加速度和繩的T1、T2T3。解：m1和m2的加速度數值相等，方向相反。分別對m1和m2應用牛頓第二定律，有：mgT1

ma1T m2

gma21兩滑輪的轉動慣量分別為J11

2M

R2 和1 1aJ22Ma

R2，其角速度分別為 和2 2 1 R1

題3-6圖 。對兩滑輪分別應用轉動定律，有：2 R2T1 3

J1

112M1aR1T3 2

J2

12M

vaR22 2聯立以上四式，解得：2gmma1

1 2mMM2 1 2mMMmT m

g4m2

M M 1 21 2mm1

M M1 2mT m

g4m1

M M 1 22 2mm1

M M1 2m mM mM2T 1 2 1 2 2 123 mm M M1 2 1 2如圖所示，已知定滑輪半徑為RJkmh體靜止且彈簧無伸長。解：取彈簧，重物，滑輪及地球為一系統，彈簧右端受力及滑輪軸的力均不作功，故系統機械能守恒。取各物開始位置為對應勢能零點。有：1 1 1

題3-7圖0mgh2mv22J22kh2又v:R2mgh2mghkh2mJR2m 質量為 和 的兩物體分別懸掛在如本題圖所示的組合輪兩m 1 22RrJ1J輪與繩間無滑動，軸承間的摩擦略去不計，繩的質量也略去不計。2試求兩物體的加速度和繩的張力。解：m , m 1 2取m1向下運動方向為坐標正向。mgT1

ma11

(1)T m2

gma2

(2)1 TRTrJ 1 又： 題3-8圖1a a21R rJJ J1 2

(4)(5)共有5式，求解5個變量。(4)(1)(2)T1

mgm1

R ，T m2

gmr2代入(3)式，得：mgRmR2mgr

r2(JJ)1 1 2 2 1 2 (mRmr)g1212 JJ mR2mr21 2 1 2然后求得：R

rRg

R

rrga 11 JJ

2mR2mr

, a 2

1 2J mR2mr21 2 1 2 1 2 1 2JJ mr2mrR

JJ mR2mrRT 1 2 2

2 mg

T 1 2 1

1 mg1 J

mR2mr2 1

2 J

mR2mr2 21 2 1 2 1 2 1 2如本題圖所示，飛輪的質量為60kg，直徑為0.50m，轉速為每分鐘10005s解：受力分析：制動力F理，閘瓦作用于飛輪上的力為F

0.50.750.5 F2.5F。閘瓦與飛輪之間的動摩擦力fF使飛輪停止轉

題3-9圖F

f。2.5取飛輪順時鐘轉動方向為正。摩擦力的力矩為MfRfRJJmR2。 2.5FRmR2 F314N

mR02.5 2.5t0

600.251000602.50.45直接用M=F*R=J*β就可以求出，不必用動能定理。2009-03-26下面待處理AMfR［見教材p85］1A21

J20 fR 2 0J2 f2R

02

mR2飛輪視作細圓環(huán)，JmR 。

f 02f mR2 F

2.52.502用運動學方程求解：10

t220

00t t代入數據得： 10000 60 30

3 3

20

t 5 32503代入數據，得：mR2

600.51002 2 3 0 F 02.5

3.14102N2 2.50.42 3質量為0.50kg，長為0.40m棒放在水平位置，然后任其落下，求1）在開始轉動時的角加速度（）下落到鉛直位置3）下落到鉛直位置時的角速度和角加速度。解：J

1ml2，合外力矩Mmgl3 2M 3g 39.8 36.8rad/s2J 20.4

l， E

mgl

0.509.80.40

0.98J。2 K 2 2mglJmglJEK

J22

角速度

8.57rad/s此時外力矩為M0，角加速度M0Jr=0.2mF=98N拉繩的端，使飛輪由靜止開始(a)所示。已知飛輪的轉動慣量飛輪的角加速度；5m時飛輪獲得的動能；P=98Nm(b)5m時飛輪獲得的動能。解：MFrJ，得：Fr 980.2 39.2rad/s2J 9.5Ek

985490JamgTma對滑輪應用轉動定律，TRJ 且ar，得：21.8rad/s2對滑輪，由轉動動能定理得： 題3-11圖1 J2Th J2 h 5m2 mghTh1 1 490

1mv2，且vr2 E k

J2 0.5 272.22 2 0.45l=0.4mO轉動。開始時，棒自然地懸垂?，F有m=8g的速A點射入棒中（見圖AO3l，4）棒開始轉動時的角速度）棒的最大偏轉角。解：把子彈和桿作為一個系統,碰撞中分兩個階段：子彈射入棒內，子彈和棒一起轉動。子彈入射瞬間，沒有使棒擺動（無重力矩零,角動量守恒

題3-12圖LL1 2Lmv1 413lv'13lv'1Ml2m棒子彈3434421

L

2

Ml2 m Ml2 3 161

9l2 mv Ml2 m4 3 163lmv 1 4 9

mv4 3

8.88rad/s結果計算不正確！答案是8.88rad/sMl23

ml16

M9

ml4 ，取豎直棒最低為零勢能點，則有：11

32

3 123

Ml2m l4 4

2

mg1cos lMg(1cos) l4 2代入數值解得：9412需要代入數據進行計算！一質量為1.12kg、長為1.0m現在100N的力沿水平方向打擊它的下端點，打擊時間為1/501）棒所獲得的角（2）棒的最大偏轉角。解：MtL1MFlLFlt1001.050

2.0kgm2s1［方法一］以棒為研究對象。在轉動過程中，只有重力力矩做功。根據剛體定軸轉動的0

mg sind0 J2l 12 2l 1又LJlmgcos20

12 13

L2ml2

mgcml2cos1

1

3L2

0.0238 需代入數據驗算！8838

mglJ m2gl31 1 J2mg (1cos)2 2cos11

J2mglL而J

ml2，3 Jcos1

1

3L2

0.02388838

mglJ m2gl3，它對此軸的轉動慣量為

。現在其上有一轉動方向相同，并以角速度

1轉動的圓盤，這圓盤對此軸的轉動慣量為J

1，兩圓盤的平面平2 2行，圓心同在一鉛直線上，上盤的底面有銷釘，如使上盤落下，銷釘嵌入下盤，使兩盤合成一體。；上圓盤落下后，兩盤的總動能改變了多少？解：（1）以兩個盤作為研究系統。則在此過程中系統不受外力矩的作用，故角動量守恒。JJ(J

J)1 1 2 2 J

1 2J 1 1 2 2J J1 2（2）

1 1 1E (J J2J2J2K 2J

1 2J12

2 1 22

2 2 22J J1 2（3）兩盤之間摩擦力做負功，總動能減少。質量為200kg50kg1.24rads-1臺中心時，平臺的角速度為多少？解：以平臺和人為研究系統。在此過程中系統合外力矩為零，系統的角動量守恒。LL LJ ，其中J ＝m R2臺 人 臺 人 人 人L＝J '臺 人 臺LL'1 m＋m R2

m臺 '2 臺臺1

人 1 m

人1

200250200

1.241.86rad/s2mR2 臺2臺R的均勻圓盤，通過其中心且與盤面m的小塊度？破裂后圓盤的角動量為多大？解：①碎片瞬時的線速度是它上升的初速度