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2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.己知集合,,則()A. B. C. D.2.下列說(shuō)法正確的是()A.命題“,”的否定形式是“,”B.若平面,,,滿足,則C.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布(),若,則D.設(shè)是實(shí)數(shù),“”是“”的充分不必要條件3.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.把滿足條件(1),,(2),,使得的函數(shù)稱為“D函數(shù)”,下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個(gè)數(shù)為()①②③④⑤A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)5.為計(jì)算,設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖,則空白框中應(yīng)填入()A. B. C. D.6.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.7.已知雙曲線的離心率為,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,若,則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.8.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則9.設(shè)a,b,c為正數(shù),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不修要條件10.已知直線y=k(x﹣1)與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點(diǎn),直線y=2k(x﹣2)與拋物線D:y2=8x交于M,N兩點(diǎn),設(shè)λ=|AB|﹣2|MN|,則()A.λ<﹣16 B.λ=﹣16 C.﹣12<λ<0 D.λ=﹣1211.已知雙曲線:(,)的右焦點(diǎn)與圓:的圓心重合,且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.312.?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合,也可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物,曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結(jié)論:①曲線C經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn));②曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過(guò)2;③曲線C圍成區(qū)域的面積大于;④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某同學(xué)周末通過(guò)拋硬幣的方式?jīng)Q定出去看電影還是在家學(xué)習(xí),拋一枚硬幣兩次,若兩次都是正面朝上,就在家學(xué)習(xí),否則出去看電影,則該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為_(kāi)___________.14.在四面體中,與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且平面平面,則該四面體外接球的體積為_(kāi)______.15.西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例:勾三,股四,弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù),則這3個(gè)數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為_(kāi)_________.16.設(shè),分別是橢圓C:()的左、右焦點(diǎn),直線l過(guò)交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于E點(diǎn),若滿足,且,則橢圓C的離心率為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某早餐店對(duì)一款新口味的酸奶進(jìn)行了一段時(shí)間試銷,定價(jià)為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應(yīng),每天的銷售數(shù)據(jù)按照,,,分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計(jì)概率.從試銷售期間任選三天,求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率;試銷結(jié)束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱瓶,批發(fā)成本元;小箱每箱瓶,批發(fā)成本元.由于酸奶保質(zhì)期短,當(dāng)天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計(jì)算時(shí)每個(gè)分組取中間值作為代表,比如銷量為時(shí)看作銷量為瓶).①設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量,批發(fā)一小箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量,求和的分布列和數(shù)學(xué)期望;②以利潤(rùn)作為決策依據(jù),該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱?注:銷售額=銷量×定價(jià);利潤(rùn)=銷售額-批發(fā)成本.18.(12分)在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,且.(1)求角的大?。唬?)若,的面積為,求及的值.19.(12分)某網(wǎng)絡(luò)商城在年月日開(kāi)展“慶元旦”活動(dòng),當(dāng)天各店鋪銷售額破十億,為了提高各店鋪銷售的積極性,采用搖號(hào)抽獎(jiǎng)的方式,抽取了家店鋪進(jìn)行紅包獎(jiǎng)勵(lì).如圖是抽取的家店鋪元旦當(dāng)天的銷售額(單位:千元)的頻率分布直方圖.(1)求抽取的這家店鋪,元旦當(dāng)天銷售額的平均值;(2)估計(jì)抽取的家店鋪中元旦當(dāng)天銷售額不低于元的有多少家;(3)為了了解抽取的各店鋪的銷售方案,銷售額在和的店鋪中共抽取兩家店鋪進(jìn)行銷售研究,求抽取的店鋪銷售額在中的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.20.(12分)已知如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D為AC中點(diǎn),AEBD于E,延長(zhǎng)AE交BC于F,將△ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如圖2所示。(Ⅰ)求證:AE平面BCD;(Ⅱ)求二面角A-DC-B的余弦值;(Ⅲ)求三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比(只需寫出結(jié)果,不要求過(guò)程).21.(12分)將棱長(zhǎng)為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的正弦值.22.(10分)某保險(xiǎn)公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn),現(xiàn)從名參保人員中隨機(jī)抽取名作為樣本進(jìn)行分析,按年齡段分成了五組,其頻率分布直方圖如下圖所示;參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示.據(jù)統(tǒng)計(jì),該公司每年為這一萬(wàn)名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬(wàn)元.年齡(單位:歲)保費(fèi)(單位:元)(1)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,為使公司不虧本,求精確到整數(shù)時(shí)的最小值;(2)經(jīng)調(diào)查,年齡在之間的老人每人中有人患該項(xiàng)疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費(fèi)為元,如果參保,保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)元.某老人年齡歲,若購(gòu)買該項(xiàng)保險(xiǎn)(取中的).針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元;若沒(méi)有購(gòu)買該項(xiàng)保險(xiǎn),針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元.試比較和的期望值大小,并判斷該老人購(gòu)買此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算?
2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案(含詳細(xì)解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【答案解析】
先化簡(jiǎn),再求.【題目詳解】因?yàn)椋忠驗(yàn)?,所以,故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2.D【答案解析】
由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項(xiàng)A;可能相交,可判斷B選項(xiàng);利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C;或,利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.【題目詳解】命題“,”的否定形式是“,”,故A錯(cuò)誤;,,則可能相交,故B錯(cuò)誤;若,則,所以,故,所以C錯(cuò)誤;由,得或,故“”是“”的充分不必要條件,D正確.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷,涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等,是一道容易題.3.D【答案解析】
通過(guò)列舉法可求解,如兩角分別為時(shí)【題目詳解】當(dāng)時(shí),,但,故充分條件推不出;當(dāng)時(shí),,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題4.B【答案解析】
滿足(1)(2)的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,分別對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.【題目詳解】滿足(1)(2)的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,①不滿足(2);②不滿足(1);③不滿足(2);④⑤均滿足(1)(2).故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)的問(wèn)題,涉及到函數(shù)的性質(zhì),考查學(xué)生邏輯推理與分析能力,是一道容易題.5.A【答案解析】
根據(jù)程序框圖輸出的S的值即可得到空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容.【題目詳解】由程序框圖的運(yùn)行,可得:S=0,i=0滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=1,S=1,i=1滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=2×(﹣2),S=1+2×(﹣2),i=2滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=3×(﹣2)2,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2,i=3…觀察規(guī)律可知:滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=99×(﹣2)99,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2+…+1×(﹣2)99,i=1,此時(shí),應(yīng)該不滿足判斷框內(nèi)的條件,退出循環(huán),輸出S的值,所以判斷框中的條件應(yīng)是i<1.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu),當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行,滿足條件執(zhí)行循環(huán),不滿足條件時(shí)算法結(jié)束,屬于基礎(chǔ)題.6.B【答案解析】
根據(jù)題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,將代入計(jì)算即可求出值.【題目詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【答案點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.7.A【答案解析】
求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),得到雙曲線的離心率,然后求解a,b關(guān)系,即可得到雙曲線的漸近線方程.【題目詳解】拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則p=2,又e=p,所以e2,可得c2=4a2=a2+b2,可得:ba,所以雙曲線的漸近線方程為:y=±.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法,涉及拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用.8.C【答案解析】
在A中,與相交或平行;在B中,或;在C中,由線面垂直的判定定理得;在D中,與平行或.【題目詳解】設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則:在A中,若,,則與相交或平行,故A錯(cuò)誤;在B中,若,,則或,故B錯(cuò)誤;在C中,若,,則由線面垂直的判定定理得,故C正確;在D中,若,,則與平行或,故D錯(cuò)誤.故選C.【答案點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),是中檔題.9.B【答案解析】
根據(jù)不等式的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】解:,,為正數(shù),當(dāng),,時(shí),滿足,但不成立,即充分性不成立,若,則,即,即,即,成立,即必要性成立,則“”是“”的必要不充分條件,故選:.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.10.D【答案解析】
分別聯(lián)立直線與拋物線的方程,利用韋達(dá)定理,可得,,然后計(jì)算,可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè),聯(lián)立則,因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn),所以.同理可得,所以故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題考查的是直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題,運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦求參數(shù),屬基礎(chǔ)題。11.A【答案解析】
由已知,圓心M到漸近線的距離為,可得,又,解方程即可.【題目詳解】由已知,,漸近線方程為,因?yàn)閳A被雙曲線的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為,所以圓心M到漸近線的距離為,故,所以離心率為.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的問(wèn)題,涉及到直線與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道容易題.12.B【答案解析】
利用基本不等式得,可判斷②;和聯(lián)立解得可判斷①③;由圖可判斷④.【題目詳解】,解得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),則②正確;將和聯(lián)立,解得,即圓與曲線C相切于點(diǎn),,,,則①和③都錯(cuò)誤;由,得④正確.故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程的應(yīng)用,根據(jù)方程,判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論,考查學(xué)生邏輯推理能力,是一道有一定難度的題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【答案解析】
采用列舉法計(jì)算古典概型的概率.【題目詳解】拋擲一枚硬幣兩次共有4種情況,即(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),在家學(xué)習(xí)只有1種情況,即(正,正),故該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為.故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.14.【答案解析】
先確定球心的位置,結(jié)合勾股定理可求球的半徑,進(jìn)而可得球的面積.【題目詳解】取的外心為,設(shè)為球心,連接,則平面,取的中點(diǎn),連接,,過(guò)做于點(diǎn),易知四邊形為矩形,連接,,設(shè),.連接,則,,三點(diǎn)共線,易知,所以,.在和中,,,即,,所以,,得.所以.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的外接球問(wèn)題,外接球的半徑的求解一般有兩個(gè)思路:一是確定球心位置,利用勾股定理求解半徑;二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長(zhǎng)方體外接球半徑是其對(duì)角線的一半.15.【答案解析】
由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【題目詳解】從11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)有種不同的方法,其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種,所以,所求概率為.故答案為【答案點(diǎn)睛】本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化,考查組合問(wèn)題,數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).16.【答案解析】
采用數(shù)形結(jié)合,計(jì)算以及,然后根據(jù)橢圓的定義可得,并使用余弦定理以及,可得結(jié)果.【題目詳解】如圖由,所以由,所以又,則所以所以化簡(jiǎn)可得:則故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義以及余弦定理的使用,關(guān)鍵在于根據(jù)角度求出線段的長(zhǎng)度,考查分析能力以及計(jì)算能力,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.;①詳見(jiàn)解析;②應(yīng)該批發(fā)一大箱.【答案解析】
酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為,設(shè)“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.利用對(duì)立事件概率公式求解即可.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況,分別求出相應(yīng)概率,列出分布列,求出的數(shù)學(xué)期望,若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,兩種情況,分別求出相應(yīng)概率,由此求出的分布列和數(shù)學(xué)期望;②根據(jù)①中的計(jì)算結(jié)果,,從而早餐應(yīng)該批發(fā)一大箱.【題目詳解】解:根據(jù)圖中數(shù)據(jù),酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為.設(shè)“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.所以.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況.當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤(rùn)為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤(rùn)為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤(rùn)為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤(rùn)為元.隨機(jī)變量的分布列為所以(元)若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,兩種情況.當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤(rùn)為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤(rùn)為元.隨機(jī)變量的分布列為所以(元).②根據(jù)①中的計(jì)算結(jié)果,,所以早餐店應(yīng)該批發(fā)一大箱.【答案點(diǎn)睛】本題考查概率,離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法,考查古典概型、對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí),屬于中檔題.18.(1)(2);【答案解析】
(1)由代入中計(jì)算即可;(2)由余弦定理可得,所以,由,變形即可得到答案.【題目詳解】(1)因?yàn)椋傻茫?,∴,或(舍),∵,?(2)由余弦定理,得所以,故,又,所以,所以.【答案點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.19.(1)元;(2)32家;(3)分布列見(jiàn)解析;【答案解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出各組頻率,再由平均數(shù)公式,即可求解;(2)求出的頻率即可;(3)中的個(gè)數(shù)的所有可能取值為,,,求出可能值的概率,得到分布列,由期望公式即可求解.【題目詳解】(1)頻率分布直方圖銷售額的平均值為千元,所以銷售額的平均值為元;(2)不低于元的有家(3)銷售額在的店鋪有家,銷售額在的店鋪有家.選取兩家,設(shè)銷售額在的有家.則的所有可能取值為,,.,,所以的分布列為數(shù)學(xué)期望【答案點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用頻率分布直方圖求平均數(shù)和頻數(shù),考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,屬于基礎(chǔ)題.20.(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ);(Ⅲ)1:5【答案解析】
(Ⅰ)由平面ABD⊥平面BCD,交線為BD,AE⊥BD于E,能證明AE⊥平面BCD;(Ⅱ)以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EF、ED、EA所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;(Ⅲ)利用體積公式分別求出三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積,再作比寫出答案即可.【題目詳解】(Ⅰ)證明:∵平面ABD⊥平面BCD,交線為BD,又在△ABD中,AE⊥BD于E,AE?平面ABD,∴AE⊥平面BCD.(Ⅱ)由(1)知AE⊥平面BCD,∴AE⊥EF,由題意知EF⊥BD,又AE⊥BD,如圖,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EF、ED、EA所在直線為x軸,y軸,z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,設(shè)AB=BD=DC=AD=2,
則BE=ED=1,∴AE=,BC=2,BF=,則E(0,0,0),D(0,1,0),B(0,-1,0),A(0,0,),
F(,0,0),C(,2,0),,,由AE⊥平面BCD知平面BCD的一個(gè)法向量為,設(shè)平面ADC的一個(gè)法向量,則
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