數(shù)學分析3部分習題解析曲面積分

數(shù)學分析3數(shù)學分析3習曲面積分部關注的要點1（單變量的奇偶性的簡算技巧；利用曲面的輪換對稱性的簡算技巧；記住第一型曲面積分的常用性（積分的計算和中經常用；熟記第一型曲面積分通過向坐標平面進行投影轉化為二重積分的計算公式（即投影公式，注意此公式對曲面方程的表示的要求，并能熟練利用此公式計算第一型曲面積分。2（標平面的垂直關系；記住第二型曲面積分的線性性和曲面可加性（這兩個性質在第二型曲面積分的計算和中經常用；熟記第一、二型曲面積分的轉化關系（即利用曲面正向的法向量來轉化的關系；熟記第二型曲面積分的沿正向積分與負向積分的關系；熟記第二型曲面積分通過向面方程為zz(x,y時，正向是指上側；曲面方程為xxyz)時，正向是指前側；曲面方y(tǒng)y(x,z)時，正向是指右側，并能熟練利用此公式計算第二型曲面積3（（即外側第二型曲線積分之間關系的斯托克斯公式（注意公式中曲面正向和曲線正向符合右手法則，并能P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,的原函數(shù)的方法（有兩種常用方法：一是觀察法 的方法；二是通過計算第二型曲線積(x,y,zu(x,y,z)(x,y,z)P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,00來求的方法，其中從起點到終點的積分路徑可選擇方1節(jié)部分習1（1）（2）(xyz)dSSx2y2z2a2z0(x2y2)dSSx2y2z1節(jié)部分習1（1）（2）(xyz)dSSx2y2z2a2z0(x2y2)dSSx2y2z11dSSx2y2R2z0zHx2（4）xyzdSSxyz1【做題之前，請回顧：1、第一型曲面積分借助曲面方程的表示以及曲面向適當坐標平面影區(qū)域化為二重積分計算的公式2、曲面積分的線性性和曲面可3、第一型曲面積分的簡算方法（利用曲面方程簡化被積函數(shù)；利用曲面關于坐標平面對稱利用曲面的輪換對稱；利用曲面積分的幾何意義，即曲面的面積【解法提示（1）Syzxz平面都對稱xySxdS0SydS0，從而S(xyz)dSSzdS（）Sza2x2y2xyDxy:xya zzxya ,y，1xy。 ax 2ax 2 ax 2(xyz)dSSa2x2y2 a2x2（2）2111（S（圓錐體的表面）底面和錐面的并（如圖示注：具體計算之間應養(yǎng)成觀察、簡化意識，這往往能使你的具體計算過程大大簡 二元函數(shù)的形式確定曲面在適當坐標平面用公式前做兩件事：一、將曲面方程表示成二元函先用曲面可加性，然后再用化二重積分的計算公式計算計算見教學講稿第21章第11（3）Sx2y2R2z0zH先用曲面可加性，然后再用化二重積分的計算公式計算計算見教學講稿第21章第11（3）Sx2y2R2z0zHx2y2111HR2dS S Rx2y2（4）Sz1xyxyDxy(xy)x0,10y1xzz且1xy 3 xyzdS xy(1x 133dxdy61 002x2y2z2a2,x0y0z0：由題設，記曲面為S，其的密度為【解法提示：先回物理中的質心（重心）上述“？”請大家計算給。11又因為S是球面位于第一卦限的部分，所以S 2282xdSSydSSzdS下面計算SzdS。因為S的方程為z axy，它在xy平面上的投影 Dxy:x。11又因為S是球面位于第一卦限的部分，所以S 2282xdSSydSSzdS下面計算SzdS。因為S的方程為z axy，它在xy平面上的投影 Dxy:xya,x0,y0 zza且1xy ax a1 dxdy aaxy 34ay aa故質心為 2223、求密度為x2y2z2a2,(z0)z【解法提示：先回顧物理中曲面對z軸的轉動慣量。下面計算此曲面積分。記曲面為S，注意到S的方程為z a2x2y2，它在xy平面上Dxy:xya zza且1xy ax SxydSxy S S S Sx S S y dS S S Sz S S x2xydSSxydS2222Dax xryr33 dr?aa2x2xydSSxydS2222Dax xryr33 dr?aa2a20adr可用“湊元”計算，事其a 0rtr212ta0aadrdr220a2r0a2ra2 ta2d12222aaa2tdt20a204、計算SzdSS2xr0tS:yrsin，D0，zr2【說明：本題的意圖是讓大家熟悉第一型曲面積分利用曲面的參數(shù)方程化為二重積分的計算式。此內容不在本學期的教學范圍內的同學可參 曲面積分這一章給出的公式計算過程請大家自x2y2za的邊界曲實際上本題曲面S的參數(shù)方程還原成的曲面是圓錐面（如下圖示因此，請大家按照第一型曲面積分化二重積分的投影法再計算此積分（過程與本節(jié)第一大2小題類似最后兩個積分計算2節(jié)部分習【說明：本節(jié)習題中設計的有關第二型曲面積分計算的題，原本意圖主要是讓大家熟悉曲面積分借助曲面2節(jié)部分習【說明：本節(jié)習題中設計的有關第二型曲面積分計算的題，原本意圖主要是讓大家熟悉曲面積分借助曲面方程的表示以及曲面向適當坐標平面的投影區(qū)域化為二重積分計算的公式（用式前做三件事：一、將曲面方程表示成二元函數(shù)；二、根據(jù)二元函數(shù)的形式確定曲面在適當坐面上的投影；三、搞清楚曲面的方向是否公式要求的正向。這種方法僅是第二型曲面積分基本方法，但并非最簡單的方法，實際上，本節(jié)涉及的積分除第3大題外，其余大題涉及的積于都滿足下一節(jié)高斯公式的條件，因此利用高斯公式化為三重積分計算更簡單。因此1（1）Sy(xz)dydzxdzdxyxz)dxdySxyz0xyza （2）S(xy)dydzyz)dzdxzx)dxdyS是以原點為中心，邊長為2（3）SxydydzyzdzdxzxdxdySxyz0xyz1SyzdzdxSxyz1 SxdydzydzdxzdxdyS是球面(xa)yb)zc)R 【做題之前，請回1、下一節(jié)中的高斯公式（注意高斯公式對曲面的要求和對函數(shù)的要求2、第二型曲面積分的兩種常用的簡化方法（一是利用曲面與坐標面的垂直關系簡化的方法二是利用曲面的方程簡化的方法0a0a0a【解法提示（1）S為邊界的有界閉區(qū)域為y(xz)dydzx2dzdx(y2xz)dxdy(yx)dxdydzV其中三重積Vyx)dxdydzVydxdydzVxdxdydz?的計算比較簡單，請大家。3大題外，都用本節(jié)習題1,11,11,1（2）S為邊界的有界閉區(qū)域為(xy)dydz(yz)dzdx(zx1,11,11,1（2）S為邊界的有界閉區(qū)域為(xy)dydz(yz)dzdx(zx(111)dxdydz3V24（3）S為邊界的四面體區(qū)域為V（如下圖示xydydzyzdzdxzxdxdyV(yzx)dxdydz。（4（補充有向曲面再用高斯公式）補xy平面上的圓S0xy1，方向取下側 S外S0Vx2y2z21z0（上半球體yzdzdx (yz)dxdydzS外S0VVxryrzr1 2d00024又注意到S0xz平面（或S0:z0所以 yzdzdx0，從0yzdzdx yzdzdxyzdzdx4SS外S0S0（5）S為邊界的球體為Vxa)2yb)2zc)2R2x2dydzy2dzdxz2dxdy2(xyz)dxdydzVxax2dydzy2dzdxz2dxdy2(xyz)dxdydzVxar其中三重積分(xyz)dxdydz可用廣義球坐標ybrsinsin（即以(abzcr的對應區(qū)域為020,0,R2為球心的球坐標變換，其中，事2(abc)r2 2、設某流體的流速為vk,y0x2y2z24【注：第二型曲面積分的物理意義之一：若向量函數(shù)P,Q,R表示流體的流PdydzQdzdx表示流體從曲面S的負側出發(fā)流過曲面的流量本題直接由上述物理意義化為第二型曲面積分計算。記球面為Skdydzydzdx0dxdySkdydz下面直接用高斯公式不難計算上述積分S為邊界的球體為Vx2y2z24，由高斯4kdydzydzdx0dxdySkdydzydzdxVdxdydzV32333ISf(x)dydzgy)dzdxh(z)dxdyS0xa,0yb,0z的表面并取外側為正向，f(x),gyh(z)S最后三個積分的計算請大家自xr計算（想想為什么不直接用球坐標變換yrzr【不能用高斯公式，而采用第二型曲面積分的基本計算方法——計算之前，請回顧：1、第二型曲面積分的曲面可加2、第二型曲面積分的兩種常用的簡化方法（一是利用曲面與坐標面的垂直關系簡化的方法【不能用高斯公式，而采用第二型曲面積分的基本計算方法——計算之前，請回顧：1、第二型曲面積分的曲面可加2、第二型曲面積分的兩種常用的簡化方法（一是利用曲面與坐標面的垂直關系簡化的方法二是利用曲面的方程簡化的方法3、第二型曲面積分借助曲面方程的表示以及曲面向適當坐標平面的投影區(qū)域化為二重積分S2zcDxy0a0,bS1下S2xz平面S1下S2yzxy平面S1后S2xzISf(x)dydzg(y)dzdxf(x)dydzS fS12Sh(z)dxdyS g(y)dzdxg(y)dzdxSS122f(x)dydzS f(x)dydzf(a)f(0)bcS12g(y)dzdxg(b)g(0)ach(z)dxdyh(ch(0)abg(y)dzdxS12h(z)dxdySS2不能提供函數(shù)滿足連續(xù)可微的要求，而這是高斯公式對函數(shù)的基本If(af(0)bcg(bg(0)ach(ch(0)4、求磁場強度E(xyzx2y2z2，求從球內出x2If(af(0)bcg(bg(0)ach(ch(0)4、求磁場強度E(xyzx2y2z2，求從球內出x2y2z2a2z0【注：第二型曲面積分的物理意義之二：若向量函數(shù)P,Q,R表示磁場的強PdydzQdzdx表示磁場從曲面S的負側出發(fā)穿過曲面的磁通量本題直接由上述物理意義化為第二型曲面積分計算。記上球面為S，方向為外側，則所求磁量x2dydzy2dzdx下不難計算上述積分（xy平面上的圓片S0:xya，方向取下側事實上，記封閉曲面 為邊界的有界 0區(qū)域為Vx2y2z2a2z0（即上半球體，由高斯公式V關于yzx2dydzy2dzdxz2dxdy2(xy S外S0VV關于xz平面對 xryrzr a r3dr 200 0,20,0, 2S0xzS0yzS0z0S0yzS0xz x2dydz z2dxdy0x2dydzy2dzdxS0S0S0S0從x2dydzy2dzdxz2dxdy x2dydzy2dzdxS外S00x2dydzy2dzdxz2dxdya43節(jié)部分習1（1）SyzdydzzxdzdxxydxdySx2y2z21SxdydzydzdxzdxdyS是立方體0xyza ）SxdySxdydzydzdxzdxdyS是立方體0xyza ）SxdydzydzdxzdxdyS是錐面xyz與平面zh所圍空間區(qū) （0zh）的表面，方向（4）SxdydzydzdxzdxdyS x2y2z21的外（5）Sxdydzydzdxzdxdy，其中S是上半球面z axy的外側 【做題之前，請回顧：1、高斯公式（注意：高斯公式對曲面的要求和對函數(shù)的要求2、用高斯公式計算曲面積分的方法（思考：對封閉曲面如何用？對非封閉曲面又如何用？；3、第二型曲面積分的兩種常用的簡化方法（一是利用曲面與坐標面的垂直關系簡化的方法二是利用曲面的方程簡化的方法【解法提示（1）S為邊界的有界閉區(qū)域為Vx2y2z21yzdydzzxdzdxxydxdyV(000)dxdydz00a0a0a（2）S為邊界的有界閉區(qū)域為x2dydzy2dzdxz2dxdy2(xyz)dxdydzV。（3）記以S為邊界的錐體為V x2y2zh。由高斯公式x2dydzy2dzdxz2dxdy2(xyz)dxdydzV其中三重V(xyz)dxdydz的計算，可按下面的方法易得，事實上，注意計算xdxdydz0ydxdydz0yzxz(xyz)dxdydzV。4用關于zhh D(zdxdy zdz 340V(x,y,z)z0,h,(x,y)D(z):xy22（4）S為邊界的有界閉區(qū)域為Vx2y2z21x3dydzy3dzdxz3dxdy3(x2y2z2)dxdydzV。V(xyz)dxdydz的計算，請大家用球坐標變換自 V(xyz)dxdydz的計算，請大封閉曲面（x2y2z2a2z0的表面）封閉曲面（x2y2z2a2z0的表面）2、應用高斯公式計算三重積分V(xyyzzx)dxdydz，其中Vx0y00z1x2y2所確定的空間區(qū)域（如圖示【斯公式常用意圖是用三重積分計算曲面積分，而本題是告訴大家利用高斯公反過來用第二型曲面積分計算三重積分，但這樣的方法意義不大。實際上，本題中的三重積分直接用三重積分的基本計算法即化累次積分的方法很容易計算全沒有必要用【解法提示：記VS，并取外側為正向，考Sxyzdydzxyzdzdxxyzdxdy(xyyzzx)dxdydzSxyzdydzxyzdzdxxyzdxdy因此計算Sxyzdydzxyzdzdxxyzdxdy即可求出三重積分。關于此第二型曲面積分的具(xyyz。此題意義和價值不大，可實際上此第二型曲面積分的計算比直接計知道有這種方大家不必關注本具體計算請大xyS0xya 3（1）Lyz)dxzx)d3（1）Lyz)dxzx)dyxy)dzLxyz1與三個坐標面的交線 它（2）LxydxdyzdzLyz1xy2 （3）Lyz)dxxz)dyyx)dzLA(a00),B(0a0),C(00a)為頂點ABCA的方向（a0?！咀鲱}之前，請回顧：1、斯托克斯公式，在掌握公式時，應注意（1） 可借助行列式，即LPdxQdyRdz；（3）第二型曲線積分的積分曲線且公式中涉及的函數(shù)在此曲面上連續(xù)可微2、斯托克斯公式提供了利用第二型曲面積分計算沿空間封閉曲線的第二型曲線積分的一種法3、第二型曲面積分化二重積分（1）S在實施此算法時，應注意選擇以封閉曲線為邊界且便于第二型曲面積分計算的積分曲面y2z2z2x2y2z2z2x2x2y2(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dzLS2S(yz)dydz(zx)dzdx(x下面用投影法計算Syz)dydzzx)dzdxxy)dxdySSSz1xyD0x10y1xz1z上S(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdyD(x2y112xyxLyz)dxzx)dyxy)dz0 （2）xySxyyzDyzyz1 0dxdy0Sx2y31x2y3dxdyzdz3x2y2dxdyLSS注意到Sxy平面，所以Sxydxdy0，故 xydxdyzdz02 2L（3）如圖示xyzaSzaxySyxy(yz)dx(xz)dy(yx)dz2yxy(yz)dx(xz)dy(yx)dz2LSSSSSzaxyD0xa0yax1上zdxdydxdy 1a2dydz x2Lyz)dxxz)dyyx)dz2Sdydza24（1）yzdxzxdyxydz（2）(x22yz)dxy22zx)dyz22xy)dz【做題之間，請回顧：1、曲線積分與路徑無關的條件（因為被積表達式存在原函數(shù)可通分與路徑的條件來驗證2、被積表達式的原函數(shù)的兩種求法（一是：觀察法；二是：利用第二型曲線積分的求法。議能觀察的盡可能用觀察，這樣計算過程比較簡單；實在觀察不出來，再用求第二型曲線積分法【解法提示：本題只給出用觀察法得出的結果（1）d(xyzyzdxzxdyxydzyzdxzxdyxydzxyzxyzC（2）易見，d1x3y3z32xyzx22yz)dxy22zx)dyz22xy)dz(x22yz)dxy22zx)dyz22xy)dz的原函數(shù)1(x3y3z32xyz，從而所有原函31為(x3y3z32xyzC35xdxy2dyz3dzxdxydy(x2,y2,z2(x1y1z1和(x2y2z2xyza (x,y,zxy 11完成（注意求積分時，注意選擇從起點到終點且平行于坐標軸的折線作為積分路用第二種方法來求原函數(shù)的過程，請大家自【做題之間，請回顧：1、曲線積分與路2、當曲線積分與路徑無關時，曲線積分的計算有兩種；。由于本題兩個小題中的被積表達式的原函數(shù)都容易觀察出來，因此，本題計算都是用牛頓—布尼茨公式【解法提示（1）Px,Qy2Rz3R3QR00x;x0yz;【做題之間，請回顧：1、曲線積分與路2、當曲線積分與路徑無關時，曲線積分的計算有兩種；。由于本題兩個小題中的被積表達式的原函數(shù)都容易觀察出來，因此，本題計算都是用牛頓—布尼茨公式【解法提示（1）Px,Qy2Rz3R3QR00x;x0yz;所以此積分與路徑無關。xdxy2dyz3dz的原函數(shù)為u(xyz)1x21y31z4 xdxy2dyz3dzu(x,y,z)(2,3,4)?以。xyz（2）P,Q,Rx2y2x2y2x2y2R3\(0,0,QRx;z;，3(x2y2z2)3(x2y2z2)3(x2y2z2)xdxydyx2y2u(x,y,z) x2y2z2222xdxydy(x,y,zu(x,y,z)(x2,y2,z2x2y2x2y2z222x2y2z2 x2y2z2 a2 0 x2y2z211V的體積V6S1(xcosycosz3S“？”請大家自行填如能容易找到被積表達式的原函數(shù)，可用第二型曲線積分的牛頓—萊布尼茨公式選擇從起點到終點的特殊便于計算的積分其中coscoscosS【做題之間，請回顧：1、高斯公式（注意高斯公式的條件；2、第一、二型曲面積分注：涉及曲面積分的等式的證明問題的思路非常簡單，不管要證的等式多么復雜總是從要證的等式中涉及的曲面積分出發(fā)，分兩種情況：若曲面積其中coscoscosS【做題之間，請回顧：1、高斯公式（注意高斯公式的條件；2、第一、二型曲面積分注：涉及曲面積分的等式的證明問題的思路非常簡單，不管要證的等式多么復雜總是從要證的等式中涉及的曲面積分出發(fā)，分兩種情況：若曲面積分是第二的，則直接用高斯公式；若曲面積分是第一型的，則先用第一、二型曲面積分的關系將第一型曲積分轉化為第二型曲面積分，再用高斯公式。本題和下面的第7、8題都是此類題Sncos(n,x),cos(n,y),cos(n,z)(xcosycoszcos)dSSxdydzydzdxzdxdy外(xcosycoszcos)dSV(111)dxdydz3V1即3S7SlScos(nl)dS0nS向【做題之間，請回顧：1、高斯公式（注意高斯公式的條件；2、第一、二型曲面積分3、兩個向量夾角余弦的計算公Sncos(nxcos(nycos(nz)la,bcacos(n,bcos(n,ccos(n,z)nncos(n,l