生活中的軸對(duì)稱(chēng)

第五章生活中的軸對(duì)稱(chēng)第1、2節(jié)軸對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象和研究軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)聚焦軸對(duì)稱(chēng)圖形：假如一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊后，直線(xiàn)兩旁的部分能夠相互重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做該圖形的對(duì)稱(chēng)軸.注：（1）軸對(duì)稱(chēng)圖形是一個(gè)圖形，且這個(gè)圖形被對(duì)稱(chēng)軸分紅的兩部分，對(duì)折后能夠重合.（2）對(duì)稱(chēng)軸是一條直線(xiàn)，不是線(xiàn)段，也不是射線(xiàn).（3）一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸能夠有1條，也能夠有多條.（但起碼有1條）（4）常有的軸對(duì)稱(chēng)圖形：線(xiàn)段、角、等腰三角形、菱形、長(zhǎng)方形、圓等。成軸對(duì)稱(chēng)：對(duì)于兩個(gè)圖形，假如沿一條直線(xiàn)對(duì)折后，它們能夠完好重合，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，這條直線(xiàn)就是這兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸.注：（1）兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形之間的形狀和地點(diǎn)關(guān)系.（2）全等的兩個(gè)圖形不必定成軸對(duì)稱(chēng)，成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形必定全等.軸對(duì)稱(chēng)圖形與成軸對(duì)稱(chēng)的差別、聯(lián)系與應(yīng)用1）差別：①軸對(duì)稱(chēng)圖形是一個(gè)圖形，成軸對(duì)稱(chēng)波及兩個(gè)圖形；②軸對(duì)稱(chēng)圖形是說(shuō)一個(gè)擁有特別形狀的圖形，成軸對(duì)稱(chēng)是說(shuō)兩個(gè)圖形的地點(diǎn)關(guān)系；③軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一個(gè)圖形上，成軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，分別在兩個(gè)圖形上；④軸對(duì)稱(chēng)圖形不必定只有一條對(duì)稱(chēng)軸，成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形只有一條對(duì)稱(chēng)軸.2）聯(lián)系：①都是沿某直線(xiàn)翻折后能夠相互重合；②假如把成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，反之，假如把軸對(duì)稱(chēng)圖形沿著對(duì)稱(chēng)軸分紅兩部分，那么這兩部分就是對(duì)于這條對(duì)稱(chēng)軸成軸對(duì)稱(chēng).3）應(yīng)用：在數(shù)學(xué)里利用軸對(duì)稱(chēng)主假如求最短距離，證明線(xiàn)段相等，角度相等，圖形全等。其余方面如桌球路線(xiàn)、光芒入射反射等狀況。軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)1）對(duì)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形.2）假如兩個(gè)圖形對(duì)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直均分.3）假如兩個(gè)圖形對(duì)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)應(yīng)線(xiàn)段（對(duì)應(yīng)的中線(xiàn)、高線(xiàn)、角均分線(xiàn)等）相等，對(duì)應(yīng)角相等.4）對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)相互平行（或在同向來(lái)線(xiàn)上）.注：（1）如何判斷軸對(duì)稱(chēng)圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)線(xiàn)段.判斷兩個(gè)點(diǎn)能否是對(duì)應(yīng)點(diǎn)：判斷的標(biāo)準(zhǔn)是連結(jié)兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直均分.若找到了對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)線(xiàn)段自然就找到了.2）軸對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用利用軸對(duì)稱(chēng)能夠解決線(xiàn)段之和最小的問(wèn)題.①將軍飲馬②建橋問(wèn)題(要求橋垂直兩岸)方法：作A點(diǎn)對(duì)于直線(xiàn)l1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，方法：作BCl2，使BCd，連結(jié)連結(jié)AB交l1于點(diǎn)P,點(diǎn)P即AC交l1于點(diǎn)D，作DEl1交所找的地點(diǎn).l2于點(diǎn)E，DE即為建橋地點(diǎn).利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)作圖（1）求作對(duì)稱(chēng)軸（2）求作與已知圖形成軸對(duì)稱(chēng)的圖形方法：先確立圖形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再作方法：①確立代表已知圖形的重點(diǎn)點(diǎn)；典型例題以這兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直②分別作出這些重點(diǎn)點(diǎn)對(duì)于對(duì)例1.數(shù)的運(yùn)算中會(huì)有一些風(fēng)趣的對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象，比方“1的金字塔”，你能發(fā)現(xiàn)此中的規(guī)律嗎？按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律把下邊的式子增補(bǔ)完好.112121；111212321；111112；1111112.剖析：察看可知11112123n321n個(gè)1例2.以下圖是由小正方形構(gòu)成的“L”圖案，請(qǐng)你在圖中添一個(gè)小正方形，使它變?yōu)檩S對(duì)稱(chēng)圖形，要求用三種方法.剖析：要想增添圖形使原圖變?yōu)檩S對(duì)稱(chēng)圖形，第一要確立對(duì)稱(chēng)軸.①②③例3.以以下圖所示，需要在高速公路旁邊修筑一個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，使飛機(jī)場(chǎng)到A,B兩個(gè)城市的距離之和最小，請(qǐng)作出機(jī)場(chǎng)的地點(diǎn).剖析：利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)可作A對(duì)于公路的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連結(jié)AB，與公路的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的地點(diǎn).解：如圖②，點(diǎn)P就是飛機(jī)場(chǎng)所在的地點(diǎn).例4.公路公路圖①圖②以以下圖所示，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8，將其沿EF折疊，則圖中①②③④四個(gè)三角形的周長(zhǎng)之和為多少？①剖析：折疊前后的兩個(gè)圖形對(duì)于折痕成軸對(duì)稱(chēng)，②所以BEBE，BCBC，CFCF，于是圖中③④①②③④四個(gè)三角形的周長(zhǎng)之和正方形的周長(zhǎng).正方形的周長(zhǎng)為8432.例5.以以下圖所示，在RtABC中，ABC90，A30，將BC向BA方向折疊，使點(diǎn)C落在BA上的C處，折痕為BE，請(qǐng)你研究AC與EC有什么樣的關(guān)系？并說(shuō)明原因.剖析：折疊后BCE和BCE是以BE為對(duì)稱(chēng)軸的兩個(gè)三角形，以此為打破口獲得BCEBCE，再由A30，能夠獲得ACEC，則ACEC.解：ACEC，原因以下：因?yàn)镃E與CE對(duì)于BE對(duì)稱(chēng)，所以ECEC，CECB.在RtABC中，A30，所以C90A903060.所以ECB60.所以AECECBA603030.所以AAEC.所以ACEC.例6.以以下圖①所示，已知AOB內(nèi)必定點(diǎn)P，試在OA,OB上各找一點(diǎn)M，N,使得PMN的周長(zhǎng)最短.剖析：利用“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”的原理，經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱(chēng)找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，就能夠找出知足最小值的點(diǎn).圖①圖②解：如圖②所示，作點(diǎn)p對(duì)于OA,OB的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1,P2,連結(jié)12，分別交OA,OB于點(diǎn)M,N.利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得1PPPMPM,P2NPN,所以PMN的周長(zhǎng)為12.因?yàn)镻1,P2是定點(diǎn)，兩點(diǎn)PMPNMNPMMNPN之間，線(xiàn)段最短，所以P1MMNP2N最小，即圖②中的點(diǎn)M,N即為所求的點(diǎn).例7.已知MON小于60，A,D分別是OM,ON上的點(diǎn)，因?yàn)閷?shí)質(zhì)設(shè)計(jì)的需要，需在OM和ON上分別找出點(diǎn)C,B，使ABBCCD最短，應(yīng)如何找？剖析：解“兩線(xiàn)+兩點(diǎn)”型最短路線(xiàn)問(wèn)題需要經(jīng)過(guò)兩次軸對(duì)稱(chēng)變換，獲得所需的點(diǎn)與最短路線(xiàn).解：如右圖所示，作點(diǎn)A對(duì)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A,點(diǎn)D對(duì)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連結(jié)AD,分別交OM,ON于點(diǎn)C,B，則點(diǎn)B,C就是所求的點(diǎn)，此時(shí)ABBCCD最短.例8.以以下圖，EFG與ABC對(duì)于某直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)，請(qǐng)用不一樣的方法確立對(duì)稱(chēng)軸.剖析：確立對(duì)稱(chēng)軸的重點(diǎn)是利用對(duì)稱(chēng)軸垂直均分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)和對(duì)應(yīng)邊或其延伸線(xiàn)的交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上.解：以以下圖①②③④.方法一：如圖①，連結(jié)對(duì)應(yīng)C，F(xiàn)和對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，D，再取C，F(xiàn)和方法二：如圖②，連結(jié)對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)，連結(jié)，C，F(xiàn)，再作C，F(xiàn)的垂直均分線(xiàn)，直線(xiàn)就是所求作的方法三：如圖③，連結(jié)對(duì)應(yīng)方法四：如圖④，延伸線(xiàn)段BC和C，F(xiàn)，再延伸線(xiàn)段BC和EF交EF交于點(diǎn)M，再②延伸線(xiàn)段BA①于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，和交于點(diǎn)，連結(jié)，直A類(lèi)變式練習(xí)：1.以下交通標(biāo)記中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是()④③2.以下圖形中,對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)最少的圖形是()A．圓B．正六邊形C．正方形D．等邊三角形3.在以下圖的幾何圖形中，必定是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有（）A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)直線(xiàn)l是一條河,P、Q兩地相距8km，P、Q兩地到l的距離分別為2km、5km，欲在l上的某點(diǎn)M處修筑一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水．現(xiàn)有以下四種鋪設(shè)方案,圖中實(shí)線(xiàn)表示鋪設(shè)的管道,則鋪設(shè)的管道最短的是()數(shù)的運(yùn)算中會(huì)有一些風(fēng)趣的對(duì)稱(chēng)形式，模仿等式①的形式填空，并查驗(yàn)等式能否建立。①1223113221；②12462______③18891______④24231______如圖是對(duì)于直線(xiàn)MN的對(duì)稱(chēng)圖形,你能把圖形補(bǔ)全嗎?B類(lèi)如圖，在△ABC中，DE是AC的中垂線(xiàn)，AE＝3cm，△ABD的周長(zhǎng)為13cm，則△ABC的周長(zhǎng)是_______cm．將一個(gè)正方形紙片挨次按圖a,b的方式對(duì)折，而后沿圖c中的虛線(xiàn)裁剪成圖d款式，將紙睜開(kāi)攤平，所獲得的圖形是圖中的（）9.如圖，在ABC中，ABAC，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E、F是AD的三均分點(diǎn)，若ABCA的面積為12cm2，則圖中暗影部分的面積為cm2E10.已知等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為2和5，則它的周長(zhǎng)為（）．FA．9B．12C．9或12D．5

BDC以下三角形：①有兩個(gè)角等于60°；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外角（每個(gè)極點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形；④一腰上的中線(xiàn)也是這條腰上的高的等腰三角形．此中是等邊三角形的有（）．A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④12.如圖：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF，則∠DEF（）．A、90°B、75°C、70°D、60°13.如圖,AD是ABC的中線(xiàn),ADC60,BC6,把ABC沿直線(xiàn)AD折疊,點(diǎn)C落在C處,連結(jié)BC,試求BC的長(zhǎng)度.如圖,AD是△ABC的角均分線(xiàn),DE和DF分別是△ABD和△ADC的高.AD垂直均分EF嗎?試說(shuō)明原因.類(lèi)15.如圖10-25，△ABC中，ABACBD，那么1與2之間的關(guān)系知足（）A、122B、2121800C、1321800D、312180016.以以下圖①所示，已知AOB的大小為，P是AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且OP2，點(diǎn)E,F分別是OA,OB上的動(dòng)點(diǎn)，若PEF周長(zhǎng)的最小值為2，求的值.以下圖，a、b為一條河流的兩岸，E、F為兩燈塔，若一條小船從E塔出發(fā)，先到a岸取燃料，而后再到b岸取圖①照明燈，最后回到F塔，問(wèn)小船應(yīng)走哪條路線(xiàn)才能使整個(gè)航程最短？請(qǐng)你畫(huà)出前進(jìn)路線(xiàn)。已知∠MON=40°，P為∠MON內(nèi)一點(diǎn)，A為OM上的點(diǎn)，B為ON上的點(diǎn)，問(wèn)當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，∠APB等于多少度？19.以以下圖所示，在△ABC中，ABBC,BDAC于D,F是BC邊上隨意一點(diǎn)，延伸AB到E使得BEBF，連結(jié)EF。試判斷直線(xiàn)EF與BD的地點(diǎn)關(guān)系，并說(shuō)明原因。以下圖，已知這兩個(gè)三角形，思慮如何把每個(gè)三角形紙片只剪一刀將它分紅兩個(gè)等腰三角形？試一試，在圖中畫(huà)出剪的印跡，并標(biāo)出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。第3、4節(jié)簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱(chēng)圖形及利用軸對(duì)稱(chēng)進(jìn)行設(shè)計(jì)知識(shí)點(diǎn)聚焦線(xiàn)段的軸對(duì)稱(chēng)性1）線(xiàn)段是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸有兩條，一條是這條線(xiàn)段的垂直均分線(xiàn)，另一條是線(xiàn)段所在的直線(xiàn).2）線(xiàn)段的垂直均分線(xiàn)：垂直于一條線(xiàn)段，而且均分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直均分線(xiàn)（簡(jiǎn)稱(chēng)中垂線(xiàn)）.（3）線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)的性質(zhì)：線(xiàn)段的垂直均分線(xiàn)上的點(diǎn)（隨意一點(diǎn)）到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.（4）線(xiàn)段垂直均分線(xiàn)的判斷：到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直均分線(xiàn)上.角的軸對(duì)稱(chēng)性1）角是軸對(duì)稱(chēng)圖形：角的均分線(xiàn)所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸.2）角均分線(xiàn)的性質(zhì)：角均分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.3）角均分線(xiàn)的判斷：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的均分線(xiàn)上.注：①角的對(duì)稱(chēng)軸是角均分線(xiàn)所在的直線(xiàn)，而不是角均分線(xiàn).②在運(yùn)用角均分線(xiàn)的性質(zhì)時(shí)，必定要注意“角均分線(xiàn)上的點(diǎn)”和“與角兩邊垂直”這兩個(gè)條件.等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性1）定義：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底的夾角叫作底角.2）性質(zhì)：①等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是它的頂角均分線(xiàn)所在的直線(xiàn)；②等腰三角形的頂角均分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高重合（三線(xiàn)合一）；③等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊平等角”）.注：等腰三角形的頂角均分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高不是它的對(duì)稱(chēng)軸，而是這三條線(xiàn)段所在的直線(xiàn)才是等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸.等邊三角形的軸對(duì)稱(chēng)性1）定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形，也叫正三角形.2）性質(zhì)：①等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有三條對(duì)稱(chēng)軸；②等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，而且每個(gè)內(nèi)角都等于60.3）判斷:①三邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都是60的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形.鑲邊與剪紙的原理及方法（1）原理：軸對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)圖形性質(zhì).（2）鑲邊與剪紙中的對(duì)稱(chēng)軸：紙上折痕所在的直線(xiàn)就是相鄰兩個(gè)圖案的對(duì)稱(chēng)軸.照鏡子與水中的倒影“照鏡子”時(shí)，鏡子改變了物體的左、右方向；“水中的倒影”與本來(lái)的物體是上、下相反.例1.以以下圖，是在一面鏡子里看到的圖像，請(qǐng)寫(xiě)出第①個(gè)圖表示的實(shí)質(zhì)數(shù)字和第②個(gè)圖表示的實(shí)質(zhì)時(shí)間.剖析：鏡面對(duì)稱(chēng)的特色是上下不變，左右相反.解：第①個(gè)圖表示的實(shí)質(zhì)數(shù)字是810076，第②個(gè)圖表示的實(shí)質(zhì)時(shí)間是8:30.例2.以以下圖，是汽車(chē)牌照在水中的倒影，試判斷該車(chē)的實(shí)質(zhì)牌照.剖析：水中的倒影與本來(lái)的物體是上下相反，解決時(shí)可將紙張沿著車(chē)輪所在水平線(xiàn)對(duì)折，從紙張的另一面看到的牌照就是車(chē)牌上的牌照.解：該車(chē)的實(shí)質(zhì)牌照是“云F21678”.例3.已知以以下圖①所示，在兩條公路OA，OB的鄰近有C，D兩個(gè)商場(chǎng)，現(xiàn)準(zhǔn)備在兩條公路的交錯(cuò)路口鄰近安裝一個(gè)監(jiān)控?cái)z像頭，要求攝像頭的P的地點(diǎn)離兩個(gè)商場(chǎng)的距離相等，且到兩條公路的距離也相等，請(qǐng)你畫(huà)出攝像頭P的地點(diǎn).剖析：攝像頭P到公路的距離相等，則P的地點(diǎn)應(yīng)在AOB的角均分線(xiàn)上，到C，D兩個(gè)商場(chǎng)的距離相等，則P應(yīng)在C，D連線(xiàn)的垂直均分線(xiàn)上.二者的交點(diǎn)就是攝像頭P的地點(diǎn).圖②解：如圖②，（圖①1）作AOB的角均分線(xiàn)OE；（2）連結(jié)CD，作線(xiàn)段CD的垂直均分線(xiàn)交射線(xiàn)OE于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所要安裝的攝像頭的地點(diǎn).例4.以以下圖①，ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,三條角均分線(xiàn)的交點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作PD垂直BC，垂足為D，且PD長(zhǎng)為h,求ABC的面積.剖析：有角均分線(xiàn)的性質(zhì)可知，點(diǎn)P到三角形三邊的距離相等.解：如圖②，連結(jié)PA,PB,PC，過(guò)點(diǎn)P分別作此外兩邊的垂線(xiàn)段PE和PF.由角均分圖①圖②線(xiàn)的性質(zhì)可知，這三條線(xiàn)段的長(zhǎng)相等，均為h.所以SABCSABPSACPSBCP1ah1bh1ch=1h(abc).2222例5.已知：如圖，ABC中，ABAC，直線(xiàn)DE交AB，BC于D、F，交AC延伸線(xiàn)于E.若DFEF.求證：BDCE.剖析：欲證明線(xiàn)段相等，要么將兩條線(xiàn)段變換到一個(gè)三角形中，證明兩邊對(duì)應(yīng)的角相等，或結(jié)構(gòu)兩條線(xiàn)段所在的兩個(gè)三角形全等.解：過(guò)點(diǎn)D作DM∥AC交BC于F，則DMBACB，MDFE.BDDM.在DFM和EFC中，例6.以下圖：P、Q是ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，且PBPQQCPAAQ,求BAC的度數(shù).剖析：依據(jù)題意得PAQ為等邊三角形，進(jìn)而得出APQ、AQP、PAQ的度數(shù)，在由三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)求得PAB、QAC的度數(shù)，進(jìn)而使得問(wèn)題得以解決.解：過(guò)程略，BAC120例7.已知如圖，在ABC中，BAC90，ABAC,BE均分ABC，CEBE，求證：CE1BD.2剖析：因?yàn)榻鞘禽S對(duì)稱(chēng)圖形，角均分線(xiàn)是對(duì)稱(chēng)軸，利用全等變換--沿BE翻折BEC至BEF，不難發(fā)現(xiàn)1CF即可.CECF，再證BD2解：過(guò)程略.注：此題是采納結(jié)構(gòu)法解題，但在結(jié)構(gòu)的過(guò)程中會(huì)有一些困難，但結(jié)構(gòu)的過(guò)程卻能提高思想能力，一般利用條件結(jié)構(gòu)等腰三角形解答幾何問(wèn)題有以下三種門(mén)路：①利用“角均分線(xiàn)”結(jié)構(gòu)等腰三角形；(如圖①)②利用“垂直均分線(xiàn)”結(jié)構(gòu)等腰三角形；（如圖②）③利用外角性質(zhì)結(jié)構(gòu)等腰三角形.（如圖③）例8.已知：以以下圖所示，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，在AB的同旁作等邊ADC和等邊BCE，如圖②連結(jié)AE、BD交DC、CE于M、N，連結(jié)M、N.如圖③如圖①（1）求證：AEBD；（2）求證：CMN為等邊三角形；（3）假如把BEC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)隨意角度，上述結(jié)論中哪些仍建立？試說(shuō)明原因.剖析：求證線(xiàn)段相等，一般在圖形中找三角形全等，或許轉(zhuǎn)變到同一個(gè)三角形中求證兩邊對(duì)應(yīng)的角相等，此題中易找到ACEDCB，證明三角形為等邊三角形常用到有一個(gè)角為60的三角形為等邊三角形這條定理判斷.答案：（1）證明：ADC和BCE均為等邊三角形，ACDC，CECB，ACDBCE60，ACEDCB,ACEDCB(SAS).AEBD.（2）證明：ACDBCE60，DCE60,ACMDCN.又ACDC，且由（1）的結(jié)論可知CAMDCN，ACMDCN(SAS).CMCN,而MCN60，CMN為等邊三角形.（3）結(jié)論（1）仍建立，結(jié)論（2）不建立.同理證：當(dāng)BEC旋轉(zhuǎn)隨意角度后，ACEDCB老是建立的，故（1）建立；但DCE不必定為60，故CMN不必定為等邊三角形.例9.以下圖，AD是ABC的角均分線(xiàn)，且ABACDC.求證：C2B.剖析：已知條件“ABACDC”，如安在條件中轉(zhuǎn)變這一條件呢？想到作協(xié)助線(xiàn)，最常見(jiàn)的作法是“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”.又由BADCAD，想到利用這兩個(gè)角之間的相等關(guān)系結(jié)構(gòu)兩個(gè)全等三角形.證明：在AB上截取AEAC，連結(jié)DE（即把ACD沿AD翻折得AED），在AED和ACD中，AEAC，EADCAD，ADAD,AEDACD(SAS)DEDC,AEDC，又ABACDCAEDEAEBE,DEBE,BEDB，CAEDBEDB2B.變式練習(xí)：1.已知：如圖，已知ABC，C（1）分別畫(huà)出與ABC對(duì)于x軸、ABy軸對(duì)稱(chēng)的圖形