《線(xiàn)性代數(shù)》練習(xí)題(附答案)-w

PAGEPAGE20《線(xiàn)性代數(shù)與解析幾何》練習(xí)題《線(xiàn)性代數(shù)與解析幾何》練習(xí)題行列式部分一．填空題：1．若排列1274i56k9偶排列，則i 8 ,k 3 a1i

a a25 3

a a415k

（ij)則i 2 ,j 4 ,k 3 ABnA5ATA)3

56

,2 2n5 ，B1AkB B1AkB 5k（k為常數(shù)）4．已知312D231014用A 表示D的元素a 的代數(shù)余子式，則2A 3A Aijij2122232A31

3A A32

0 ，行列式A A11 12A A21 22A A31 32

A13A D2372 23A335．設(shè)有四階矩陣A, ) ,B(, ) ，其中,, 均2, 3, 4 2, 3, 4 2, 3, 4為4維列向量，且已知行列式A4,B1，則行列式ABA||B|)40x123x1233x1223x1123xf(x)則f(4) 160 設(shè)1 1

1 1 1

1 1 1 1 11 1

3 2 1

5 1 2

8 01 1 41 x x

15 1 1 4x3 1 x x

15 0 2 5 12x3 1 x x2 x3上述方程的解x 1,2,38．設(shè)A是n階方陣，且A的行列式A a0，而A*是A的伴隨矩陣，則A* an1 x x 01231239．若齊次線(xiàn)性方程組x

x

只有零解，則

應(yīng)滿(mǎn)足

1

條件。1 2 3xx x 01 2 3二．計(jì)算題：1．已知5階行列式123452221131245 271112243150求A A41

A A43

A A45

是元素aij

的代數(shù)余子式。A A A 2(A

A)27解：41 42 43

44 452(A A A)A A 041 42 43 44 45A A

941 42 43A A44

1811112211111122112031371911111111111041302510251009104412001414A是nAAT

IA0，求AI。

1 1 10 2 50 0 90 0 0

111 2801409解：AI A

A(IAT) A (AI)T

A AIA0 AI0設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，A22A0，若r(A)k (0kn)，求A3I。解：A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，A相似于對(duì)角陣，由A22A0A的特征值為0和2．而r(A)=k, 所以2是k重的特征值對(duì)于矩陣A+3I,有一個(gè)k重的特征值1，以及一個(gè)nk重的特征值3，A3I3nkx a a a1 2 3 na x a a1 2 3 n計(jì)算Da a x a1 2 3 n

(xai

,i1,2,,n) a a a1 2 x a1 2

xna3

anax1 1

xa2

0 0解：D ax1 1ax1 1

0 xa3 3 0 0

0 xan nx(a

x)n a akx ak

a ak2 k0kk2 k0k xa2 20000xa3 30000xan n a nx(ax) k

(xa) 1

1 xk2

a k k k2矩陣部分一．填空題： 1 0 0設(shè)三階方陣A，B 滿(mǎn)足A1BA6ABA，且A

3 0 1 4

，則B 6(A1I)1

3 0 00 2 0 。

0

1 7 ab ab ab11 12 1n

Aab

ab ab22 2n

，其中

a 0,b0(i

，則矩陣A的21 i i21ab ab abn1 n

n n秩1 .

1 0 2設(shè)A43的矩陣，且A的秩為2B

0 2 0，則r(AB) 2 （B100,Br(A)r()2）

1 0 31 1

1 2 34．已知a=[1,2,3],b=[1,

1,1

],A=aTbAn

3n12 1 22 3 3 33 12baTAnaTbaT)baTb3n1aTb）設(shè)矩陣3 0 0 1 0 0 A1 4 0 ,I 0 0 31 0 0

0 0 1則逆矩陣A2I)1

1 1 0 2 2 0 0 11 2 2設(shè)A4 t 3，B為三階非零矩陣，且AB=O，則t3 3 1 1AB0 r(r(B)3;r(B)1 r(2 t設(shè)四階方陣A的秩為2，則其伴隨矩陣A*的秩0 。

A0設(shè)均為n階矩陣，A 2, B ，則2A*B

22n1 3 設(shè)A是三階方陣，A*是A的伴隨矩陣，AA（3A15A12)3 1 16）。A

，則(A)110A*16 1 2 31 0 ACAC分別為r階和s階的可逆矩陣，則分塊矩陣XC

的逆矩陣BBX

C1BA1 C1 A1 01n階方陣A滿(mǎn)足方程A23A2I0A的逆矩陣A1（A3I)2I ） 1 0

(A3I)2A(A2

0 2 0 2AAn

，而n2為正整數(shù)，則An2An1 0 2An1)設(shè)A，B是n階矩陣，且AB=A+B，則AI)1

BI （ABABIIA(BI)(BI)I(BI)(AI)I ）二．選擇題：設(shè)n階矩陣A，B，CABC=E，其中E是n階單位矩陣，則必有（D）（A）ACB=E （B）CBA=E （C）BAC=E （D）BCA=E設(shè)An階方陣(nA*是Akk0,1，則必有*=（B）*=（B）(kA*(B)kn1A*(C)knA*(D)k1A*設(shè)AnA*A（A）(A)設(shè)

n1 (B) A* A (C) A* An (D)A* A1a a a a a a Aa11 a12 a13 ,B a21 a22 a23 ,21 22 23 11 12

13 a a a 31 32 33

a a31

a a32

a a 33 130 1 0 P 10 0 1

1 0 0 ,P 21 0 1則必有（C）(A)APPB (B)APPB (C)PPAB (D)PPAB1 2 21 1 2 21設(shè)A，Bn階方陣，則必有（D）ABABABBA（C）(AB)1A1B1 ABBA1 1n維向量(2

,0,,0

),矩陣AIT, BIT,其中I為n階2單位矩陣,則AB(C)(A)0 (B)–I (C)I (D)ITAn階可逆矩陣(n2A*是A的伴隨矩陣,則(C)(A)((C)( A

n1A An1An2A (D)( An2A1aa1aaaa8.設(shè)n(nAaa1a,若矩陣An1,則a必為(B)aaa11 1(A)1 (B)1 n

(C)–1 (D)n19BABA1B1均為n階可逆矩陣,則(A1B1)1等于(C)(A)A1

B1 (B)AB (C)B(AB)1A (D)(AB)1三．計(jì)算題：1 1 0 1．已知A0 1 1，求An 0 0 1

（n是自然數(shù)）n n(n1)2 2 解：由歸納法，An1 n 已知AP=PB1 0 0 1 0 0B0 0 0 ，P2 1 0 0 0 2 1 1求：A及A5。1 0 0 1 0 0 解：P12 1 0 APBP12 0 04 1 1 6 1 1 A5(PBP1)5PB5P1PBP1A已知n階方陣

2 2 2 20 1 1

1A0 0 1 1 0 0 0 1求A中所有元素的代數(shù)余子式之和。解：A2 A可逆12

1 0 00 1 1 0 0 0 0 10 0 0 1A*2A1 Aiji,j1

222

(n1)(n1)14 2 3 3．已知矩陣B滿(mǎn)足：ABA2B，其中A1 11 2

0，求矩陣B。333 8 6 解：AB2BA B(A2I)1A B2 9 6 2 12 9 設(shè)矩陣A,B，滿(mǎn)足A*BA2BA8I, 其中1 2 2A0 2 4 A*AB解：

0 0 1AA11A*BA (2BA8I)A1BA4IBA(A1I)BA4IAA12 4 6 B4A(A1I)

14(IA)1

0 4 8 0 0 2 1 1 1已知A0 1 1 ，且A2ABI，其中I為三階單位矩陣，求矩陣B。 0 0 111111120201101100BA

0 0 0 1 0 0 設(shè)nAaa11a(na(na11aa(n11

a 1 1 11 a 1 11 1 a 1，求rA。 1 1 1 a1 a1 1 1 0a1000a1000a10001 1 0 1A

0 a

a1a1r)1a1n時(shí)，r(A)=n-1;a≠1a≠1-nr(A)=n四．證明題：設(shè)A是n階非零方陣，A*是A的伴隨矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，當(dāng)AT時(shí)，證明A 0。證明： ATA* aij

A AaAij ij

a20ij另證（反證法）：若0r(n1ATA*r(r(A*)1 r(A*)0ATA*0與題設(shè)矛盾。A是n階方陣，若A0，證明：A*0（A*A）證明：設(shè)Aaij

)44

，Aaij

Aij

aij

(i,j,a11

0 ，求證：A1證明：A*(Aji

)(aij

)ATATAAI(1)4A2

A4

A0或A1A

a A1j 1

a 20 11jjj用矩陣秩和向量組秩的關(guān)系證明rAB)min{rAr(B)}證明：設(shè)AM ，BMm,k k,nb b ... b 11 12 1nAB(A

A ... A b b21 222122

... 2n(k Ab

k Ab

...

Ab ))1 2 k

...

...

... ...

i1

ii1

i1

ii2

i1

iinb bk1 k2

... bkn即AB的列皆由A的列線(xiàn)性表示，故r(AB)r(A),類(lèi)似可證AB的行皆由B的行線(xiàn)行表示，所以r(AB)r(B)。A為mnB為nkAB0，證明rAr(B)n證明：ABA(B1

B ... B2

)(AB1

AB ... AB2

)(0 0 ... 0)所以AB1

0 AB2

0 ... ABk

0BB1 2

,...,Bk

為齊次線(xiàn)性方程組Ax0的解，因此可由Ax0r(BB1 2

,...,Bk

)nr，即r(A)r(B)n。設(shè)AnA*An R(n秩(1 R(n10 R(n1證明：(1) R(A)nA可逆，而A*A|A1,從A*可逆R(A*)n（2）R(A)n1A|0，AA*A|I0R(R(A*)nR(A*)1又A至少有一個(gè)n-1RA*)1RA*)1（3）R)n1An-1A*0RA*)0?？臻g向量與線(xiàn)性方程組部分一．填空題：1.設(shè)(ab)c2,則[(ab)(bc)](ca)2(ab)c412.點(diǎn)2,4)在平面2x3yz40上的投影點(diǎn)是 ( 1

2,24)x1

7 7 7 4 ）（設(shè)y2將其代入2x3yz40可得t7zz4過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)6,,2且與平面4xy2z0垂直的平面方程是2x2y3z0xoz平面上的直線(xiàn)z3x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為 z2y23xx2

y

z

r2

3x3

y

r2曲線(xiàn)x2

y

(zr)2

r

在xoy平面上的投影曲線(xiàn)為 4 z07．已知向量組12342(2343(3,456),4(4567)，則該向量組的秩 2 .設(shè)n階矩陣A的各行元素之和均為零，且A的秩為n1，則線(xiàn)性方程組AX0的解為Xk(1,1, ,1)T (kR)8．已知向量組2,1,1), (2,0,t,0), (0,4,5,2)的秩為2，則1 2 3t 3 .若線(xiàn)性方程組

xx a1 2 1x x a 2 3xx a3 4 3x xa4 1 4有解，則常數(shù)a,a1 2

,a,a3

應(yīng)、滿(mǎn)足條件aa1 2

a a3

0。1 1 0 0 a 1 1 0 0 a 1 1 ~

1 1 0

0

1 0 a （A0

20 1 1

0 0

2 ）1 1 a a 3 3 1 0 0 1 a4

0

0 0 aa1 2

aa3 4若向量組（）可由向量組（）線(xiàn)性表示，則秩（） 秩（）。二．選擇題x3y2z10L

，平面4x2yz20，則（B）2xy10z30（A）L與平行 （B）L與垂直 （C）L在上 （D）L與斜交,是非齊次線(xiàn)性方程AXb是對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方1 2 1 2AX0kkAXb的通解必是（B）1 2)k1 1

k2

) 1 22 2

k1 1

k2

) 1 22 2k1 1

k(2

) 1 22 2

k1 1

k(2

) 1 22 21 0使

0 ，

1

AX0A為（A）1 2

2 (A)2 1 (B)

2 0

(C)

1 0 2

0 1 1(D)4 2 20 1 1 0 1 1 0

1已知向量組,,,線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則向量組（C）線(xiàn)性無(wú)關(guān)1 2 3 4(A), ,, (B), ,, 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1(C), ,, (D), ,, 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1A是mnAX0AXb則下列結(jié)論正確的是（D）AAX0AXb有唯一解(B)AX0AXb(C)AXbAX0僅有零解(DAXbAX0有非零解6．設(shè)有向量組 ,4， ,3,1,2， ,7,2,0，1 2 3 4 則該向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組是（B）5(A),,1 2 3

(B),,1 2 4

(C),,1 2 5

(D),1

,,4 57．AXb中未知量個(gè)數(shù)為n，方程個(gè)數(shù)為mA的秩為r則（A）(A)rm時(shí)，方程組AXb有解 (B)rn時(shí)，方程組AXb有唯一解(C)mn時(shí)，方程組AXb有唯一解(D)rn時(shí)，方程組AXb有無(wú)窮多解8．若向量組,,線(xiàn)性無(wú)關(guān)；,,線(xiàn)性相關(guān)，則（C ）(A)必可由,,線(xiàn)性表示 (B)必不可由,,線(xiàn)性表示(C)必可由,,線(xiàn)性表示 (D)必不可由,,線(xiàn)性表示9．設(shè)向量可由向量組1,2,,m線(xiàn)性表示，但不能由向量組()：1,2,,m1線(xiàn)性表示，記向量組：1,2,,m1，則（B）m不能由(線(xiàn)性表示，也不能由線(xiàn)性表示mm

不能由(線(xiàn)性表示，但可由可由(線(xiàn)性表示，也可由線(xiàn)性表示m

可由(線(xiàn)性表示，但不能由線(xiàn)性表示三．計(jì)算題1．求點(diǎn)23,1x1

y1

z所作的垂線(xiàn)方程。

x2

2y3

1 1z1l m n 1 2 12 1 1 0由

x2 y3 z1求出l,m,n，得出 l m nllmn0

4 3 5x6t9x5 y5 z1 求異面直線(xiàn)3

2

與y2t 的距離。zt21 2 12,v1 2 12,v,PP1 2x2x x 2x 01已知方程組

2 3x cx2

4cx4

0 2，求方程組的通解。x cx x 01 2 41 2 1 2 1 0 1

22c 解：A0 1 c c0 1 c c 1 c 0 1 0 0 (1 r(A)2 (c1)20 c11 0

(1c)2x x

1 3

通解為Xk 1

1 2 x x 2

11 20014 01 A

1 1 2 2 3 3 6

23BAB0。1 2 1 2 0AX0的基礎(chǔ)解系為

10

B

1 0 00 1 0 1 0 1 0 1 AXbA2，且它的三個(gè)解向量1,

,滿(mǎn)2 3足1

(3,1,1)T

,1

202)T,AXb的通解。解：

)

)(1,1,1)T *2

(1,0,1)T1 1 X*k0k11 1 取何值時(shí)，線(xiàn)性方程組123xx x123

3x3 x xx3 1 2

2xx x 21 2 3有唯一解，無(wú)解或有無(wú)窮多解？當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)求其通解。解： 1 1 3

1 2 ~1 1

0 1 1 0 1 1

2

0 (2)(3(1) 當(dāng)1且2時(shí)，方程組有唯一解2時(shí)，方程組無(wú)解

2 1 1 當(dāng)1時(shí)，方程組有無(wú)窮多解X0

1k

00 10 21 7．已知1(1,0,2,3),2(1,1,3,5),3(1,1,a2,1),4(1,2,4,a8)及(1,1,b3,5)，問(wèn)：a,b不能由1,2,3,4線(xiàn)性表示。a,b有1,2,3,4的唯一線(xiàn)性表示？并寫(xiě)出該表示式。解：

10

1 1 1 1 1 1 1 2 1 0

1 1 1 11 1 2 11 2 3 4

2 3 a2 4 b3 5 1 a8 5

0 0 a1 0 b0 0 0 a1 0a1b0時(shí)，不能線(xiàn)性表示

當(dāng)a1時(shí)四．證明題

2ba1 1

ab1a1 2

b a1 3已知abbcca0，證明：向量ab,c共面。c,得到(abc0abc共面。xcybz,yazcx,zbxay經(jīng)過(guò)同一條直線(xiàn)的充要條件是a2b2c22abc1。

xcybz0

1 c b證明三平面經(jīng)過(guò)同一條直線(xiàn)cxyaz0有非零解 c

1 a 0bxayz0 b a 11abcabcb2a2c20，即a2b2c22abc1已知1

(a,a1

,a)T,3

(b,b1

,b)T,3

(c,c1

c)T，其中a3 i

bi

0，Li

axbi

yci

0

i1,2,3，證明三條直線(xiàn)相交與一點(diǎn)的充要條件為,線(xiàn)性無(wú)關(guān)，, ,線(xiàn)性相關(guān)。1 2 1 2 3axbyc 1 1 1 ~證明：三條直線(xiàn)交于一點(diǎn)

axb2

yc2

有唯一解r(A)r(A)2axbyc1 3 3A其中A,), ~,,)A1 2 1 2 3,1

線(xiàn)性無(wú)關(guān), ,1 2

線(xiàn)性相關(guān)。3已知向量組（Ⅰ）1

,,2

；（Ⅱ）1

,,2

,；（Ⅲ）4

,,2

,如果各5R（Ⅰ）R（Ⅱ）3R（Ⅲ）4證明：向量組1,2,3,54的秩為4。r(I)r(II)3，所以

4 11 2 2 3 3k1

k2

k3

k4

)0代入 得：4 4(kk1 14

(k2

k2 4

(k3

k3 4

k 04 4由于,1

,,3

線(xiàn)性無(wú)關(guān)，得kk 01 14kk 02 24 k

k

0，r(III)4k3k4

k 0340

1 2 3 44．設(shè)向量組,, ,是齊次線(xiàn)性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，向量不是方程1 2 t組AX0的解，即A0。試證明：向量組,,, ,線(xiàn)性無(wú)1 2 t關(guān)。證明：設(shè)kk1

(1

) kt

(t

)0兩邊左乘A，利用0(ktii1

k)A0i

0 kti1

k0i從而有t ki ii1

0, ,1 2

, ,t

線(xiàn)性無(wú)關(guān) kk1 2

kt

0 k0相似矩陣及二次型部分一．填空題1）A為3階矩陣，若A有特征值1,1,2，則A 12An階矩陣，A0A*AEn階單位陣，若A有特征值A(chǔ) 2A，則(A*)2E必有特征值

1；A22AE的特征值 21 。 nA1A的n個(gè)特征值是n,0,0……，0。

f(x,x1

,x)2x3 1

x2

x3

2xx1

txx2

是正定的，則t的取值范圍是22t 。225）n階矩陣A具有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量是A與對(duì)角陣相似的充要條件。6）n階矩陣A具有n個(gè)不同的特征值是A與對(duì)角陣相似的充分條件。7）A為3IA3IAI3AA一定相似于矩陣 1 3 3。 13 3 2 0 0 2 8）A

0 0 1,B y 相似，則x 0 ,y 1 。 0 1 x AB

22

x0A~BtrA

trB

2x1y

y1二．選擇題1設(shè)2A的一個(gè)特征值，則矩陣(A2有一特征值等于（B）3（A）4 （B）3 （C）1 （D）13 4 2 4若是矩陣A的對(duì)應(yīng)的特征向量，則矩陣P1AP對(duì)應(yīng)的特征向量（A ）0 0（A）P（B）(P1（C）P （D）BmnX(xx1 2

,xn

)TBX0BTB正定矩陣的（C ）條件。（A）充分 （B）必要 （C）充要 （D）既非充分也非必要三．計(jì)算題2 1 1已知,k,1是A1的特征向量，其中A1 2 1，求k及所對(duì)應(yīng)的特 征值。解:A1

A1

1 1 22 1 11 1 1 1 2 1k1 1 21

k，解出k=1或k=-21 k1,1,1,1

,14k2,1,2,1

,1An2，4，62nAnIn階單位陣，求A3I。解:APdiag(2,4,6,,2n)P1A3IPdiag(2,4,6,,2n)P

3PP(2n3)(2n5)31A的三個(gè)特征值為1，1，-22的特征向量，求矩陣A。解:設(shè)特征值

1X(x

x)T，由(,X0，得1 2 1 2 3xx

0，解此線(xiàn)性方程組，求出基礎(chǔ)解系

,,0T,

(1,1,1)T1 2 31 1 12 6 3

1 2 2 2取P 1 1 1 2 6 30 2 16 31 0 1 1 則AP 1 PT