直角坐標系的分離變量法

作業(yè)P22011.1.311.1.611.1.711.1.8直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!u(x,t)的偏微分方程（齊次）u(x,t)的邊條件（齊次）u(x,t)的初條件令T(t)滿足的方程X(x)滿足的常微分方程X(x)滿足的邊條件第二章直角坐標系中的分離變量法§1分離變量法簡介一、基本思想和解題思路直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!◆通過分別解X(x)和T(t),求出滿足齊次方程齊次邊條件的分離變量的形式解：◆把這些形式解迭加起來令其滿足非齊次的定解條件，求出Cn，即為所求的解。直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!【例】直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!§2齊次方程、齊次邊條件的

初值—邊值問題特點：直接用分離變量法就可獲得成功一、兩端固定弦的自由橫振動1.求解過程：（1）列出定解問題①直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!x、t是兩個獨立變量，所以為了使0<x<l,t>0上式能處處成立，只能有一種情況：左＝右＝常量由（*）式得到：將形式解代入邊條件：直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!討論：1）分離變量法的個目的已經(jīng)達到分離為X(x)的常微分方程的邊值條件T(t)的常微分方程思考：若方程或邊條件之一為非齊次的，是否能直接成功地分離變量？2）②和③的解相乘構(gòu)成的特解一定滿足偏微分方程定解問題①中的齊次方程和齊次邊條件。偏微分方程的定解問題直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!邊值問題的突出特點是：其解與的取值密切相關(guān)，本征值問題：含有待定參量的邊值問題本征值：對應(yīng)邊值問題有非零解的參數(shù)n的取值本征函數(shù)：邊值問題的非零解Xn

(x)所謂求解本征值問題就是將全部的本征值及相應(yīng)的全體線性無關(guān)的本征函數(shù)求出來直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!ⅰ.<0特征方程：通解：代入邊條件上式可視為關(guān)于A、B的二元一次方程組，由方程理論知，二元一次齊次方程組有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式為零直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!代入邊條件：∴X(x)=0，即＝0不是本征值ⅲ.>0特征方程：通解：直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!∴②的解為：④注：Ⅰ.n=0,＝0，X(x)＝0，所以n=0不能要Ⅱ.n<0，與n>0是線性相關(guān)的直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!(4)求解相應(yīng)的方程③的解（將本征值代入）特征方程：直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!（6）通解1）通解u(x,t)一定滿足齊次方程，齊次邊條件。2）令通解滿足非齊次初條件，從而求解迭加系數(shù)直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!將算出的Cn，Dn代入通解所得的解就是滿足①中方程、邊條件和初條件的解。2.有關(guān)問題討論（1）解的斂散性∵①的解為無窮級數(shù)形式直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!（2）求解的主要步驟齊次泛定方程分離變量u=XTT(t)的常微分方程X(x)的常微分方程應(yīng)的Tn求出相求出n、Xn(x)解本征值問題齊次邊條件分離變量u=XTX(x)的邊條件迭加特解得通解初條件代入通解求出迭加系數(shù)P213直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!iii)iv)v)只能用圖解法解出直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!（4）解的物理意義i)特解un(x,t)代表弦上的本征駐波相位因子振幅因子直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!b)弦上各點振動的位相相同各點的位相沒有超前和落后之分，即弦上各點同時離開平衡位置，同時取振幅的最大值又同時回到平衡位置，各點的振動是同步的。只與弦的性質(zhì)有關(guān)，與初始條件無關(guān)c)振動的頻率∴n—本征頻率以本征頻率振動的駐波，稱為本征駐波直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!二、求解兩端自由的均勻細桿的縱振動，各點初始位移為cos(3πx/l)，初速度為零。定解問題：①解：設(shè)形式解u(x,t)=X(x)T(t)代入①中方程及邊條件得：②和③直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!迭加特解得通解：代入初條件：(a)(b)注：∵所給初條件中的(x)、(x)滿足使級數(shù)絕對收斂的條件∴ut(x,0)右側(cè)級數(shù)中先逐次求導(dǎo)，再代入t=0直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!物理意義：均勻細桿上發(fā)生的是具有與初始時刻相同振幅分布的振動t>0時，兩端自由，沒有外力使振幅加強或衰弱直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!二、理論依據(jù)—線性迭加原理設(shè)：L、Mk

(k=1,2……m)為線性算子

u

i(i=1,2……n)為線性齊次定解問題的解則一定是線性齊次定解問題的解，其中Ci為任意常數(shù)即：直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!三、處理的主要問題1.一維空間齊次方程，齊次邊條件的定解問題2.一維空間非齊次方程，齊次邊條件的定解問題3.一維空間非齊次邊條件的定解問題4.多維空間的定解問題直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!(2)分離變量設(shè)形式解:代入①中的方程兩邊同時除以(*)分析：右側(cè)只是t的函數(shù)與x無關(guān)左側(cè)只是x的函數(shù)與t無關(guān)直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!∵T(t)≠0整理得：②③其中：為待定常數(shù)直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!（3）求解常微分方程的邊值問題——本征值問題初值問題與邊值問題的區(qū)別對自變量t同一點(t=0)給出的不同初條件初值問題邊值問題對自變量中兩個不同的端點提出的條件直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!下面求解本征值問題②：②因為是厄米算子，本征值一定是實數(shù)特征方程：直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!∴A、B只有零解→X(x)=0∴<0不是②的本征值（因為<0時所有情況都不能得到X(x)的非零解）ⅱ.＝0解得：直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!代入邊條件：兩分子乘積為零只有是：因為B=0不可取（X(x)不為零），所以只有直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!例：與∴只取n>0Ⅲ.與線性相關(guān)∴?、苁郊礊棰诘慕鉂M足邊值問題的解不止是④所表達的這些，但線性無關(guān)的就是這些直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!(5)構(gòu)成特解一個本征值n一個特解un(x,t)一個n特解滿足：齊次方程：齊次邊條件：但一般不滿足初條件：直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!級數(shù)的收斂性，主要由初條件所給的兩個函數(shù)(x)和(x)定，要求：(x)是有連續(xù)的一、二階導(dǎo)數(shù)，分段連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)(x)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)保證u(x,t)是絕對且一致收斂，可逐項求導(dǎo)兩次，得到的級數(shù)仍然是絕對且一致收斂直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!(3)關(guān)于常微分方程的本征值問題(*)i)ii)直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!本征值問題(*)的共同特點：a)本征值n為實數(shù)b)本征函數(shù){X

n(x)}是[a,b]上的正交完備系(*)直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!a)對應(yīng)某一確定的時刻t，空間各點的振幅不同對于的點，振幅最大()稱作波腹對于的點，振幅最小(=0)，稱作波節(jié)可以算出波節(jié)的位置：共有n+1個節(jié)點直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!ii)u(x,t)代表弦上實際發(fā)生的振動u(x,t)是各次本征駐波迭加的結(jié)果，而各次本征駐波在實際振動中所占的比重由初始條件而定。思考：解的形式直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!解本征值問題②將n代入③解Tn(t)n≠0時：n=0時：直角坐標系的分離變量法共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!分析：(a)(b)兩式的兩側(cè)都是按同一正交完備系展