建筑力學(xué)電子教案-靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

第十四章靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

14．1概述一、結(jié)構(gòu)位移的定義結(jié)構(gòu)在荷載或其它因素作用下，會(huì)發(fā)生變形。由于變形，結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的位置將會(huì)移動(dòng)，桿件的橫截面會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這些移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)稱為結(jié)構(gòu)的位移。

二、位移的分類位移線位移：截面形心的直線移動(dòng)距離角位移：截面的轉(zhuǎn)角位移絕對(duì)位移相對(duì)位移廣義位移三、剛架的位移舉例A點(diǎn)的線位移水平線位移豎向線位移截面A的角位移C、D兩點(diǎn)的水平相對(duì)線位移

(D)H

=

C+D

A、B兩個(gè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角AB=A+B

四、引起位移的原因一般有：荷載（如前兩剛架）、溫度改變（如圖a）、支座移動(dòng)（如圖b）材料收縮、制造誤差等五、計(jì)算位移的目的

有以下三個(gè)方面：1、驗(yàn)算結(jié)構(gòu)剛度。即驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的位移是否超過允許的位移限制值2、為超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算打基礎(chǔ)。在計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力時(shí)，除利用靜力平衡條件外，還需要考慮變形協(xié)調(diào)條件，因此需計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。3、在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護(hù)過程中，有時(shí)需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取一定的施工措施，因而也需要進(jìn)行位移計(jì)算。14.2虛功原理和單位荷載法一、變形體的虛功原理功：

力對(duì)物體在一段路程上累積效應(yīng)的量度，也是傳遞和轉(zhuǎn)換能量的量度實(shí)功：力在自身引起的位移上所作的功當(dāng)靜力加載時(shí)，即：FP1由0增加至FP1

14由0增加至14力Fp1在位移14上作的實(shí)功W14=FP11414虛功：

力在其他因素引起的位移上作的功其特點(diǎn)是位移與作功的力無關(guān)，在作功的過程中，力的大小保持不變梁彎曲后，再在點(diǎn)2處加靜力荷載FP2，梁產(chǎn)生新的彎曲。位移12為力FP2引起的FP1的作用點(diǎn)沿FP1方向的位移。力FP1在位移12上作了功，為虛功，大小為W12=FP112在小變形條件下，12由圖示的原始形狀、尺寸計(jì)算，并稱此狀態(tài)為虛功計(jì)算的位移狀態(tài)。與之相應(yīng)，F(xiàn)P1單獨(dú)作用的狀態(tài)為虛功計(jì)算的力狀態(tài)。當(dāng)力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上作外力虛功時(shí)，力狀態(tài)的內(nèi)力也在位移狀態(tài)各微段的變形上作內(nèi)力虛功。根據(jù)功和能的原理可得變形體的虛功原理：任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作虛功的總和，等于變形體的內(nèi)力在虛位移的相應(yīng)變形上所作虛功的總和。

虛功原理也可以簡述為：“外力的虛功等于內(nèi)力的虛變形功”。二、單單位荷載載法1、定義義：應(yīng)用用虛功原原理，通通過加單單位荷載載求實(shí)際際位移的的方法。。2、計(jì)算算結(jié)構(gòu)位位移的一一般公式式K=K+RiCi=d+N+Q式中，=1則d+N+Q—RiCi經(jīng)進(jìn)一步步推導(dǎo)，，可得式中：E

彈性模量；G

剪切模量；A

橫截面積；I

截面慣性矩；k截面形狀系數(shù)。如：對(duì)矩形截面k=6/5;圓形截面k=10/9。14.3靜靜定結(jié)構(gòu)構(gòu)在荷載載作用下下的位移移計(jì)算一、靜定定結(jié)構(gòu)在在荷載作作用下的的位移公公式如果結(jié)構(gòu)構(gòu)只有荷荷載作用用，因支支座移動(dòng)動(dòng)引起的的剛體位位移＝＝0，位位移公式式則為Ci對(duì)于曲桿桿（曲率率半徑r），荷荷載作用用下的位位移公式式為＋彎矩的影影響軸力的影影響剪力的影影響曲率的影影響圖a所所示矩形形截面圓圓弧形鋼鋼桿，軸軸線的半半徑與截截面高度度之比r/h=10,彈性模模量之比比E/G=2.5，曲曲桿B端端形心在在豎向荷荷載FP作用下的的豎向線線位移由由對(duì)應(yīng)于于彎矩、、軸力、、剪力、、曲率的的四部分分組成：：Q:N:r=1200:1:3:2設(shè)虛擬狀狀態(tài)（圖圖b）計(jì)計(jì)算虛內(nèi)內(nèi)力，用用截面法法計(jì)算實(shí)實(shí)際狀態(tài)態(tài)的內(nèi)力力，代人人位移公公式運(yùn)算算，并注注意矩形形截面的的不均勻勻系數(shù)=1.2，，計(jì)算結(jié)結(jié)果為中彎矩、、軸力、、剪力、、曲率對(duì)對(duì)應(yīng)的四四部分之之比M:=二、各類類桿件結(jié)結(jié)構(gòu)在荷荷載作用用下的位位移公式式（1）梁梁和剛架架梁式桿的的位移中中彎矩的的影響是是主要的的，位位移計(jì)算算公式中中取第一一項(xiàng)便具具有足夠夠的工程程精度（2）桁桁架各桿為鏈鏈桿，而而且是同同材料的的等直桿桿。桿內(nèi)內(nèi)只有軸軸力，且且處處相相等。因因而只取取公式中中的第二二項(xiàng)并簡簡化為實(shí)實(shí)用的形形式（3）組組合結(jié)構(gòu)構(gòu)既有梁式式桿，又又有鏈桿桿，取用用公式中中的前兩兩項(xiàng)（4）拱拱一般計(jì)軸軸力、彎彎矩的影影響，剪剪切變形形的影響響忽略不不計(jì)三、虛擬擬狀態(tài)的的選取欲求結(jié)構(gòu)構(gòu)在荷載載作用下下的指定定位移，，須取相相應(yīng)的虛虛擬狀態(tài)態(tài)。即取取同一結(jié)結(jié)構(gòu)，在在要求位位移的地地方，沿沿著要求求位移的的方位虛虛加單位位荷載：：1）欲求求一點(diǎn)的的線位移移，加一一個(gè)單位位集中力力2）欲求求一處的的角位移移，加一一個(gè)單位位集中力力偶3）欲求求兩點(diǎn)的的相對(duì)線線位移，，在兩點(diǎn)點(diǎn)的連線線上加一一對(duì)指向向相反的的單位集集中力4）欲求求兩處的的相對(duì)角角位移，，加一對(duì)對(duì)指向相相反的單單位集中中力偶5）欲求求桁架某某桿的角位移在桿的兩兩端加一一對(duì)平行行、反向向的集中中力，兩兩力形成成單位力偶偶。力偶臂臂為d，，每一一力的大大小為1/d力和力偶偶統(tǒng)稱為為廣義力力，單位廣義義力用=1表示示線位移和和角位移移統(tǒng)稱廣廣義位移移，用⊿⊿表示單位廣義義力有截截然相反反的兩種種設(shè)向，，計(jì)算出出的廣義義位移則則有正負(fù)負(fù)之分：：正值表示示廣義位位移的方方向與廣廣義力所所設(shè)的指指向相同同負(fù)值表示示廣義位位移的方方向與廣廣義力所所設(shè)的指指向相反反（2）計(jì)計(jì)算,FNP;四、靜靜定桁桁架的位位移計(jì)算算計(jì)算步驟驟為（1）設(shè)設(shè)虛擬狀狀態(tài)；（3）用用桁架的的位移計(jì)計(jì)算公式式計(jì)算位位移。例14-1圖示桁架架各桿的的EA相相等，求求C結(jié)結(jié)點(diǎn)的豎豎向位移移vc解:（1）設(shè)設(shè)虛擬狀狀態(tài)（如如上圖b所示））（2）計(jì)計(jì)算N和FNP（標(biāo)標(biāo)于于上上圖圖b.a）（3））代代公公式式求求C點(diǎn)點(diǎn)的的豎豎向向位位移移例14-2圖示示鋼鋼桁桁架架，，圖圖中中括括號(hào)號(hào)內(nèi)內(nèi)數(shù)數(shù)值值為為桿桿件件橫橫截截面面面面積積（（單單位位cm2）。。許許可可撓撓度度與與跨跨長長的的比比值值，試試校校核核桁桁架架的的剛剛度度。。解對(duì)稱稱簡簡支支桁桁架架在在對(duì)對(duì)稱稱荷荷載載作作用用下下，，最最大大撓撓度度發(fā)發(fā)生生在在桁桁架架的的對(duì)對(duì)稱稱面面處處。。須計(jì)計(jì)算算結(jié)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)3的的豎豎向向位位移移，，然然后后進(jìn)進(jìn)行行剛剛度度校校核核。。1））建建立立虛虛擬擬狀狀態(tài)態(tài)（（如如圖圖b所所示示））2））計(jì)計(jì)算算N和FNP，并并標(biāo)標(biāo)于于圖圖b、、a上上3））求求3點(diǎn)點(diǎn)的的豎豎向向位位移移，，進(jìn)進(jìn)行行剛剛度度校校核核N/(1/mm)/mm計(jì)算算半半個(gè)個(gè)桁桁架架的的，列列表表如如下下:1420000003-7豎桿桿002-6豎桿桿312500+0.62525000025000100003-6斜桿桿500000-0.625-10000000.812500100001-6斜桿桿270000+0.375+6000001.210000120001-3下弦弦337500-0.75-7500000.61000060006-7上弦弦FNP/NA/mm2編號(hào)號(hào)桿件件根據(jù)據(jù)上上表表，，得得<所以以，，桁桁架架滿滿足足剛剛度度條條件件五、、梁梁的的位位移移及及剛剛度度校校核核1、、梁梁的的位位移移撓度度：：橫截截面面形形心心在在垂垂直直于于軸軸線線方方向向的的線線位位移移用w表示示，，規(guī)定定w向下下為為正正。。轉(zhuǎn)角角：：橫截截面面的的角角位位移移，規(guī)規(guī)定定順順時(shí)時(shí)針針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)為為正正在工工程程設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)手手冊(cè)冊(cè)中中列列有有常常見見梁梁的的位位移移的的計(jì)計(jì)算算結(jié)結(jié)果果（（如如表表14.1所所示示）），，可可供供計(jì)計(jì)算算時(shí)時(shí)查查用用。。表14.1梁梁的的撓撓度度與與轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角公公式式2.懸懸臂臂梁梁彎彎曲曲力力偶偶作作用用在在自自由由端端1.懸懸臂臂梁梁集集中中荷荷載載作作用用在在自自由由端端最大大撓撓度度轉(zhuǎn)角角荷載載類類型型續(xù)表表時(shí)4.簡簡支支梁梁集集中中荷荷載載作作用用跨跨中中位位置置上上3.懸懸臂臂梁梁均均勻勻分分布布荷荷載載作作用用在在梁梁上上－時(shí)6簡簡支支梁梁彎彎曲曲力力偶偶作作用用在在梁梁的的一一端端5簡簡支支梁梁均均勻勻分分布布荷荷載載作作用用在在梁梁上上-（在處）續(xù)表-2．梁梁的剛剛度校校核梁的位位移過過大，，則不不能正正常工工作對(duì)于梁梁的撓撓度，，其許許可值值以許許可的的撓度度與梁梁跨長長之比比為標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)在工程程上，，吊車車梁的的＝＝1/600鐵路鋼鋼桁梁梁的＝＝1/900梁的剛剛度條條件為為:例14-3圖示簡簡支梁梁由工工字鋼鋼制成成，跨跨度度中點(diǎn)點(diǎn)處承承受集集中載載荷Fp。已知知Fp=40KN，跨跨度=3m，，許用應(yīng)應(yīng)力=160MPa，許用撓撓度[w]=/500，，彈性模模量E=2×105MPa，，試選選擇工工字鋼鋼的型型號(hào)。。解（1））按強(qiáng)強(qiáng)度條條件選選擇工工字鋼鋼型號(hào)號(hào)梁的最最大彎彎矩為為：＝按彎曲曲正應(yīng)應(yīng)力強(qiáng)強(qiáng)度條條件選選截面面查型鋼鋼表選選用20a工字字鋼,其彎彎曲截截面系系數(shù)為為237cm3，慣慣性矩矩I=2370cm4（2））校核核梁的的剛度度=4.75mm<[]=梁的剛剛度足足夠所以，，選用用20a工工字鋼鋼3、提提高梁梁抗彎彎剛度度的措措施梁的撓撓度和和轉(zhuǎn)角角與梁梁的抗抗彎剛剛度EI、、梁梁的跨跨度L、、荷載載作用用情況況有關(guān)關(guān)，那那么，，要提提高梁梁的抗抗彎剛剛度可可以采采取以以下措措施：：增大梁梁的抗抗彎剛剛度EI增大梁梁的EI值值主要要是設(shè)設(shè)法增增大梁梁截面面的慣慣性矩矩I值值，，一般般不采采用增增大E值值的方方法。。在截面面面積積不變變的情情況下下，采采用合合理的的截面面形狀狀，可可提高高慣性性矩I。。（2））減小小梁的的跨度度L梁的變變形與與其跨跨度的的n次次冪成成正比比。設(shè)設(shè)法減減小梁梁的跨跨度L，，將有有效地地減小小梁的的變形形，從從而提提高其其剛度度。在在結(jié)構(gòu)構(gòu)構(gòu)造造允許許的情情況下下，可可采用用兩種種辦法法減小小L值值：：①增加加中間間支座座而②兩端端支座座內(nèi)移移如圖所所示，，將簡簡支梁梁的支支座向向中間間移動(dòng)動(dòng)而變變成外伸伸梁，，一方方面減減小了了梁的的跨度度，從從而減減小梁跨跨中的的最大大撓度度；另另一方方面在在梁外外伸部部分的荷荷載作作用下下，使使梁跨跨中產(chǎn)產(chǎn)生向向上的的撓度度（圖c），，從而而使梁梁中段段在荷荷載作作用下下產(chǎn)生生的向下下的撓撓度被被抵消消一部部分，，減小小了梁梁跨中中的最大大撓度度值。。(3)改改善荷荷載的的作用用情況況在結(jié)構(gòu)構(gòu)允許許的情情況下下，合合理地地調(diào)整整荷載載的位位置及及分布布情況況，以以降低低彎矩矩，從從而減減小梁梁的變變形，，提高高其剛剛度。。如圖圖所示示，將將集中中力分分散作作用，，甚至至改改為分分布荷荷載，，則彎彎矩降降低，，從而而梁的的變形形減小小，剛剛度提提高。。14.4圖圖乘乘法一、圖圖乘法法原理理1、圖圖乘法法的適適用條條件：：（1））桿段段的軸軸線為為直線線（2））桿段段的彎彎曲剛剛度EI為為常數(shù)數(shù)直梁和和剛架架的位位移公公式則則為（3））MP圖和圖中至至少有有一個(gè)個(gè)直線線圖形形２．圖圖乘法法原理理圖乘法法求位位移的的一般般表達(dá)達(dá)式為為注意：：[1].應(yīng)應(yīng)取取自直直線圖圖中[2].若若與與在在桿件件的同同側(cè),取取正值值;反反之,取負(fù)負(fù)值[3].如如圖圖形較較復(fù)雜雜，可可分解解為簡簡單圖圖形.3.圖圖乘法法的步步驟:(1).設(shè)設(shè)虛擬擬狀態(tài)態(tài)；(2).畫畫圖、圖；(3).圖圖乘求求位移移下面介介紹幾幾個(gè)規(guī)規(guī)則圖圖形的的面積積和形形心位位置當(dāng)圖形形的面面積和和形心心不便便確定定時(shí)，，可以以將其其分解解成幾幾個(gè)簡簡單的的圖形形，分別與與另一一圖形形相應(yīng)的縱縱坐標(biāo)標(biāo)相乘乘。4.圖圖形的的分解解梯-梯梯同側(cè)側(cè)組合合：同側(cè)組組合：：異側(cè)組組合由區(qū)段段疊加加法作作的彎彎矩圖圖，，其彎彎矩圖圖可以以看成成一個(gè)個(gè)梯形形和一一個(gè)規(guī)規(guī)則拋拋物線線圖形形的疊疊加。。曲-折折組合合階梯形形截面面桿二、圖圖乘乘法計(jì)計(jì)算直直梁和和剛架架的位位移下面舉舉例應(yīng)應(yīng)用圖圖乘法法求直直梁和和剛架架的位位移例14.4試試求求圖a所示示外伸伸梁C點(diǎn)的的豎向向位移移CV。梁的的EI=常常數(shù)解MP、圖分別別如圖圖(b).(c)所示示。BC段段的的MP圖是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)二二次拋拋物線線；AB段段的MP圖較復(fù)復(fù)雜，，但可將將其分分解為為一個(gè)個(gè)三角角形和和一個(gè)個(gè)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)二次次拋物物線圖圖形。。由圖乘乘法得得代入以以上數(shù)數(shù)據(jù),于是是例14.5試求圖圖a所所示伸伸臂梁梁C點(diǎn)點(diǎn)的豎豎向位位移cv。。設(shè)EI=解:荷載彎彎矩圖圖和單單位彎彎矩圖圖如圖圖bc所示示。在AB段,MP和圖均是是三角角形；；在BC段，，MP圖可看作作是由由B.C兩兩端端的彎彎矩豎豎標(biāo)所所連成成的三三角形形與相相應(yīng)簡簡支梁梁在均均布荷荷載作作用下下的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)拋拋物線線圖[即圖圖b中中虛線線與曲曲線之之間包包含的的面積積]疊疊加而而成。。將上述述各部部分分分別圖圖乘再再疊加加，即即得例14.6試求圖圖(a)所示示剛架架結(jié)點(diǎn)點(diǎn)B的的水平平BH。位移設(shè)各桿桿為矩矩形截截面，，截面面尺寸寸為bxh，，慣性性矩l=,E為常常數(shù)，，只考慮彎彎矩變變形的的影響響。解:先作出出MP圖和圖,分別如如圖(b)(c)所所示。。應(yīng)用圖圖乘法法求得得結(jié)點(diǎn)點(diǎn)B的的水平平位移移為：14.5靜靜定結(jié)結(jié)構(gòu)由由于支支座位位移所所引起起的位位移靜定結(jié)結(jié)構(gòu)由由于支支座移移動(dòng)并并不產(chǎn)產(chǎn)生內(nèi)內(nèi)力也也無變變形，，只發(fā)發(fā)生剛剛體位位移。。如圖a所所示靜靜定結(jié)結(jié)構(gòu),其支支座發(fā)生水水平位位移C1、豎向向位移移C2和轉(zhuǎn)角角C3，現(xiàn)要求求由此此引起起的任任一點(diǎn)點(diǎn)沿任任一方方向的的位移移，例例如求求k點(diǎn)點(diǎn)豎向向位移移K。因?yàn)閺膹膶?shí)際際狀態(tài)態(tài)中取取出的的微段段ds的變變形為為d這種位位移仍仍用虛虛功原原理來來計(jì)算算。由由位移移計(jì)算算的一一般公公式=du=于是上上式可可簡化化為K=-Ci－這就是靜定定結(jié)構(gòu)在支支座位移時(shí)時(shí)的位移計(jì)算公公式。式中為虛擬狀態(tài)態(tài)圖b的支支座反力，Ci為實(shí)際際狀態(tài)的支支座位移，，Ci為反力虛功功。當(dāng)與實(shí)際支座座位移Ci的方向一致致時(shí)其乘積積取正，相相反時(shí)取負(fù)負(fù)。此外，上式式右邊前面面還有一個(gè)個(gè)負(fù)號(hào)，不可漏掉掉。cH、豎向位移移例14.7圖(a)所示靜定定剛架，若若支架A發(fā)發(fā)生圖示的的位移:a=1.0cm,b=1.5cm.Cv。試求C點(diǎn)的的水平位移移解在C點(diǎn)處處分別加一一水平和豎豎向的單位位力，求出出其支座反反力如圖(b)(c)所所示。由公式－K=-Ci得：cH=-(1××1.0-1×1.5)=0.5cmcv=-1.5×1=-1.5cm14.6互互等定定理一、功的互互等定理圖示結(jié)構(gòu)的的兩種狀態(tài)態(tài)，分別作作用FP1和FP2，稱之為第一一狀態(tài)和第第二狀態(tài)。。虛功W12為虛功W21為比較，得功功的互等定定理:W12=W21即:功的互等定定理一般形形式為:因此得到功功的互等定理：第一狀態(tài)的的外力在第第二狀態(tài)的的相應(yīng)位移上所作的的外力虛功功，等于第第二狀態(tài)的外力在第第一狀態(tài)的的相應(yīng)位移移上所作的外力虛功功。二、位移互互等定理?xiàng)l件：在結(jié)結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)中中都只作用一個(gè)荷荷載，且且為單位位荷載。單位荷載所所引起的位移稱為為位移系數(shù)，用表示（圖a.b）根據(jù)功的互等定理1??即這就是位移互等定定理：第二個(gè)單位位力所引起起的第一個(gè)個(gè)單位力作作用點(diǎn)沿其方向的的位移，等等于第一個(gè)個(gè)單位力所所引起的第二個(gè)單單位力作用用點(diǎn)沿其方方向的位移移。上述定理中中，單位力力可以是廣廣義單位力力，相應(yīng)的的位移系數(shù)數(shù)亦為廣義義位移。21與12可能含即義不同，但但二者數(shù)值相等。。三、反力互互等定理反力互等定定理也是功功的互等定定理的一種種應(yīng)用，它它反映在超超靜定結(jié)構(gòu)構(gòu)中如果兩兩個(gè)支座分分別發(fā)生單單位位移時(shí)時(shí)，兩個(gè)狀狀態(tài)中相應(yīng)應(yīng)支座反力力的互等關(guān)關(guān)系。單位位位移引起起的支座反反力稱為反反力系數(shù)，，用rij表示根據(jù)功的互等定定理，有即這就是反力互等定定理，它表明支支座1發(fā)生生單位位移移所引起的的支座2的的反力，等等于支座2發(fā)生與上上述反力相相應(yīng)的單位位位移所引引起的支座座1的反力力。r21×1=r12×1r21=r12應(yīng)注意支座座的位移與與該支座的的反力在作作功關(guān)系上上的對(duì)應(yīng)關(guān)關(guān)系，即線線位移與集集中力相對(duì)對(duì)應(yīng)，角位位移與集中中力偶相對(duì)對(duì)應(yīng)?？赡躵12與r21一個(gè)是反力力偶，一個(gè)個(gè)是反力，，但二者的的數(shù)值相等等。小結(jié)本章主要討討論應(yīng)用虛虛功原理計(jì)計(jì)算靜定結(jié)結(jié)構(gòu)的位移移。位移計(jì)計(jì)算的目的的是為了驗(yàn)驗(yàn)算結(jié)構(gòu)剛剛度，又是是分析超靜靜定結(jié)構(gòu)