3.4 函數(shù)地單調(diào)性與凹凸性

a0,

a0

f(x0),

=a1,

a1=

f

(x0),

2!a2,

,f(x0)Pn(x0)f

(x0)=Pn(x0)f

(x0)Pn(x0)f

(n)(x0)Pn(n)(x0)

n!an.

,復(fù)習(xí)泰勒公式Pn(x)

f(x0)f

(x0)(xx0)(xx0)2

(xx0)

n

于是所求多項式為1泰勒中值定理

如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個開區(qū)間(a

b)內(nèi)具有直到(n1)的階導(dǎo)數(shù)則對任一x(a,b)

有

展開式稱為f(x)按(xx0)的冪展開的n階泰勒公式

而Rn(x)的表達式稱為拉格朗日型余項

其中(x介于x0與x之間)2在不需要精確表達余項時

n階泰勒公式也可寫成泰勒中值定理

如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個開區(qū)間(a

b)內(nèi)具有直到(n1)的階導(dǎo)數(shù)則對任一x(a,b)

有3解：4解：

,

,5根據(jù)泰勒公式6

當(dāng)x00時

泰勒公式稱為麥克勞林公式

近似公式二、麥克勞林公式麥克勞林公式7

例1

寫出函數(shù)f(x)ex的n階麥克勞林公式

解

因為

f(x)f

(x)f

(x)

f

(n)(x)ex

所以

f(0)f

(0)f

(0)

f

(n)(0)1

于是8

例2

求f(x)sin

x的n階麥克勞林公式

解

因為

f

(x)

cos

x

f

(x)sin

x

f

(x)cos

x

f(0)0

f

(0)1

f

(0)0

f

(0)1

f

(4)(0)0

9

當(dāng)m1、2、3、4時函數(shù)曲線的比較

sinxx，10第三章微分中值定理與第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（三）11

函數(shù)y=f(x)的圖象有時上升,有時下降.如何判斷函數(shù)的圖象在什么范圍內(nèi)是上升的,在什么范圍內(nèi)是下降的呢？觀察結(jié)果

函數(shù)單調(diào)增加時導(dǎo)數(shù)大于零

函數(shù)單調(diào)減少時導(dǎo)數(shù)小于零

觀察與思考

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有什么關(guān)系？一、函數(shù)單調(diào)性的判定法12定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)

設(shè)函數(shù)f(x)在[a

b]上連續(xù)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)>0則f(x)在[a

b]上單調(diào)增加

(2)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)<0則f(x)在[a

b]上單調(diào)減少

由拉格朗日中值公式有

f(x2)f(x1)=f

(x)(x2x1)(x1<x<x2)

因為f

(x)>0

x2x1>0所以

f(x2)f(x1)f

(x)(x2x1)>0

即f(x1)<f(x2)這就證明了函數(shù)f(x)在[a

b]內(nèi)單調(diào)增加

證明

只證(1)

在[a

b]內(nèi)任取兩點x1

x2(x1<x2)

13定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)

設(shè)函數(shù)f(x)在[a

b]上連續(xù)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)>0則f(x)在[a

b]上單調(diào)增加

(2)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)<0則f(x)在[a

b]上單調(diào)減少

因為在(0)內(nèi)y<0所以函數(shù)yexx1在(0]上單調(diào)減少

因為在(0

)內(nèi)y>0所以函數(shù)yexx1在[0

)上單調(diào)增加

解

函數(shù)yexx1的定義域為(+)

yex1

例1

討論函數(shù)yex

x1的單調(diào)性

14

因為當(dāng)x>1時

f

(x)>0所以f(x)在[1

)上單調(diào)增加

例2

證明

因此當(dāng)x>1時

f(x)>f(1)=0即15

解

函數(shù)的定義域為(

)

所以函數(shù)在[0

)上單調(diào)增加

因為x>0時

y>0

所以函數(shù)在(0]上單調(diào)減少

因為x<0時

y<0

由該題我們得知：在不可導(dǎo)點兩側(cè)，函數(shù)的單調(diào)性也可能發(fā)生改變.

例3

討論函數(shù)的單調(diào)性.

函數(shù)在處不可導(dǎo)。16

1

設(shè)函數(shù)yf(x)在[a

b]上連續(xù)在(a

b)內(nèi)可導(dǎo)

x1

x2是

f

(x)的兩個相鄰的零點問f(x)在[x1

x2]上是否單調(diào)？

2

如何把區(qū)間[a

b]劃分成一些小區(qū)間使函數(shù)

f(x)在每個小區(qū)間上都是單調(diào)的？討論

(1)確定函數(shù)的定義域

(2)求出導(dǎo)數(shù)f

(x)

(3)求出f

(x)全部零點和不可導(dǎo)點

(4)判斷或列表判斷

(5)綜合結(jié)論

確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟17解定義域為(-∞,+∞)例4

討論的單調(diào)性.列表故函數(shù)在(-∞,0)

和(2/5,+∞)遞增，(0,2/5)遞減。x(-∞,0)0(0,2/5)2/5(2/5,+∞)f(x)不0令解得當(dāng)時不可導(dǎo)。18

例5

討論函數(shù)yx3的單調(diào)性

解

函數(shù)的定義域為(

)

y3x2顯然當(dāng)x0時

y0;

當(dāng)x0時

y>0

因此函數(shù)yx3在區(qū)間(0]及[0,)內(nèi)都是單調(diào)增加的從而函數(shù)在整個定義域(

)內(nèi)是單調(diào)增加的

由該題我們得知：

在導(dǎo)數(shù)為零的點兩側(cè)，函數(shù)的單調(diào)性不一定發(fā)生改變.19

函數(shù)曲線除了有升有降之外,還有不同的彎曲方向,如何根據(jù)函數(shù)本身判斷函數(shù)曲線的彎曲方向呢？二、曲線的凹凸性與拐點20曲線的凹凸性定義

設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)如果對I上任意兩點x1

x2

恒有

那么稱f(x)在I上的圖形是凹的

那么稱f(x)在I上的圖形是凸的

如果恒有21曲線的凹凸性定義觀察與思考

觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關(guān)系.結(jié)果凹函數(shù)斜率遞增；凸函數(shù)斜率遞減.22定理2(曲線凹凸性的判定法)

設(shè)f(x)在[a

b]上連續(xù)在(a

b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù).

若在(ab)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[ab]上的圖形是凹的

若在(ab)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)在[ab]上的圖形是凸的

例6

判斷曲線yx3的凹凸性

解

y3x2

y6x

由y0

得x0.

因為當(dāng)x<0時

y<0

所以曲線在(0]內(nèi)是凸的

因為當(dāng)x>0時

y>0

所以曲線在[0

)內(nèi)是凹的

23拐點

連續(xù)曲線yf(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為該曲線的拐點

拐點討論

如何確定曲線yf(x)的拐點？如果(x0,

f(x0))是拐點且f

(x0)存在,問f

(x0)=？如何找可能的拐點？24提示

如果在x0的左右兩側(cè)f

(x)異號,則(x0,

f(x0))是拐點.

在拐點(x0,

f(x0))處f

(x0)=0或f

(x0)不存在.

只有f

(x0)等于零或不存在,(x0,

f(x0))才可能是拐點.拐點

連續(xù)曲線yf(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為該曲線的拐點

討論

如何確定曲線yf