實二次型及其標準形課件

一、二次型及其矩陣

稱為n元二次型.一、二次型及其矩陣稱為n元二次型.1

若aij為實數(shù)，則稱為實二次型.

若aij為復數(shù)，則稱為復二次型.

則f(x1,…,xn)=XTAX.

A:

二次型f(x1,…,xn)的矩陣.若aij為實數(shù)，則稱為實二次型.若aij為復數(shù)，2

例1

f(x1,x2,x3)=2x12–3x22+4x32-2x1x2+3x2

x3A:

f(x1,x2,x3)的矩陣

若令

則有

f(x1,x2,x3)=XTBX

但

BT≠B,故

B不是f(x1,x2,x3)的矩陣例1f(x1,x2,x3)=2x123二次型也記為f(X)=XTAX.(AT=A)二次型f(X)的秩：A的秩.在例1中，f(x1,x2,x3)的矩陣R(A)=3,故f(x1,x2,x3)的秩為3.二次型也記為f(X)=XTAX.4實二次型及其標準形課件5解：解：6例2：求對稱矩陣所對應的二次型。解：例3：已知二次型的秩為2，求參數(shù)c。解：例2：求對稱矩陣所對應的二次型。解：例3：已知二7可逆線性替換定義8-2：設是兩組變量，我們將下列關系式稱為從變量組到的一個線性替換（變換）。(2)可逆線性替換定義8-2：設8系數(shù)矩陣則線性變換（2）可記作：若C可逆，則稱(2)為非退化（可逆），（滿秩）線性變換。若C正交，則稱(2)為正交線性變換。系數(shù)則線性變換（2）可記作：若C可逆，則稱(2)為非退化（可9非退化線性替換的性質(zhì)：（1）非退化線性替換的逆還是非退化線性替換證：（2）連續(xù)施行線性替換的結(jié)果還是一個線性替換證：（3）連續(xù)施行非退化線性替換的結(jié)果還是一個非退化線性替換；連續(xù)施行正交替換的結(jié)果還是正交替換。非退化線性替換的性質(zhì)：（1）非退化線性替換的逆還是非退化線性10矩陣的合同經(jīng)過非退化線性變換可化為則矩陣的合同經(jīng)過非退化線性變換可化為則11矩陣的合同：所以，通過非退化線性變換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的.矩陣合同的性質(zhì)：(1)反身性：矩陣A與自身合同；(2)對稱性：若A與B合同，則B與A合同；(3)傳遞性：若A與B合同，且B與C合同,則A與C合同.矩陣的合同：所以，通過非退化線性變換，矩陣合同的性質(zhì)：12

A與B等價：PAQ=B,P,Q可逆；

A與B相似：P-1AP=B,P可逆；請思考：矩陣合同與等價、相似有何關系？A與B等價：PAQ=B,P,Q可逆；13三、用配方法化二次型為標準形

只含平方項的二次型

d1y12+d2y22+…+dr

yr2(di

≠0)

稱為標準形.

形如

z12+

…+

zp2–zp+12-…-

zr2

的二次型稱為規(guī)范形.

p:正慣性指數(shù)；

r-p:負正慣性指數(shù)；|r-2p|:符號差.三、用配方法化二次型為標準形只含平方項的二次型

14例

用配方法化二次型為標準形

f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+6x2

x3+2x1x3=(x12+2x1x2+2x1

x3+x22+x32+2x2

x3)+x22+2x32+4x2x3=(x1+x2+x3)2+(x22+4x2

x3+4x32)-2x32=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2-2x32則f(x1,x2,x3)=y12+y22–2y32

（法1）

例用配方法化二次型為標準形f(x1,x2,x15

f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+6x2

x3+2x1x3=(x12+2x1x2+2x1

x3)+2x22+3x32+6x2

x3=(x1+x2+x3)2+(x22+4x2

x3)+2x32=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2-2x32則f(x1,x2,x3)=y12+y22–2y32

（法2）

f(x1,x2,x3)=x12+2x2216即(1):從x1,x2,x3到y(tǒng)1,

y2,y3的線性變換.(2):從y1,

y2,y3到x1,x2,x3

的線性變換.(1)與(2)所表達的x1,x2,x3與

y1,

y2,y3

的關系是相同的.

利用配方法與歸納法可以證明：

定理1任一實二次型f(X)=XTAX都可用配方法化為標準形.即(1):從x1,x2,x3到y(tǒng)1,y2,y17例

f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2

x3令則,f(x1,x2,x3)=2y12–2y22–4y1y3+8y2

y3=2(y12–2y1y3+y32)-2y22-2y32+8y2

y3=2(y1

–y3)2–2(y22-4y2

y3

+4y32

)+6y32=2(y1

–y3)2–2(y2-2y3)2+6y32=2z12–2z22+6z32（法1）

例f(x1,x2,x3)=2x1x218上式最后一步使用的變換是則

f=2z12–2z22+6z32=t12+t22-t32

上式最后一步使用的變換是則

19

f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2

x3令則,f(x1,x2,x3)=2y12–2y22–4y1y3+8y2

y3（法2）

=2(y12–2y1y3)-2y22

+8y2

y3=2(y1

–y3)2-2(y22

-4y2

y3)-2y32

=2(y1

–y3)2-2(y2-2y3)2+6y32

=2z12–2z22+6z32f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x20上式最后一步使用的變換是則,

f=2z12–2z22+6z32=t12+

t22-t32

上式最后一步使用的變換是則,

21特點:二次型中至少有一個平方項系數(shù)不為零特點:二次型中至少有一個平方項系數(shù)不為零22實二次型及其標準形課件23特點:二次型中平方項系數(shù)全為零.(即無平方項)特點:二次型中平方項系數(shù)全為零.(即無平方項)24實二次型及其標準形課件25定理2任何一個實二次型的規(guī)范形都是惟一的.證

將實二次型f(X)=XTAX經(jīng)合同變換化為標準形后，將正項集中在前，負項集中在后：

d1y12+…+dpyp2-dp+1yp+12-…-

dryr2

得f(X)=XTAX的規(guī)范形為

z12+

…+

zp2–zp+12-…-

zr2

由于合同變換不改變二次型的秩，所以r是惟一確定的.進一步還可證明正慣性指數(shù)p是惟一的，因此，負慣性指數(shù)r–p與符號差

|r–2p|

也是惟一的.定理2任何一個實二次型的規(guī)范形都是惟一的.證26四、用正交變換化二次型為標準形

定理3

任一n元實二次型f(X)=XTAX都可用正交變換X=CY化為標準形1y12+

2

y22+…+n

yn2其中1，2

，…，n是A的特征值.

證因A為n階實對稱矩陣，所以存在正交矩陣C,使CTAC=C-1AC=diag(1，2

，…，n)令X=CY,則f(X)=YTCTACY=1y12+

2

y22+…+n

yn2四、用正交變換化二次型為標準形定理3任一n元27例4

用正交變換化二次型為標準形

f(x1,x2,x3)=x12-2x22-2x32-4x1x2+4x1x3+8x2

x3解

f(x1,x2,x3)的矩陣特征值：1=2（二重特征值），2

=-7，例4用正交變換化二次型為標準形f(x1,x2,28求1=2的特征向量：

x1

+2x2-2x3=0特征向量：1=(-2,1,0)T,2=(2,0,1)T將1,2

正交化：

1=1=(-2,1,0)T,求1=2的特征向量：x1+2x2-2x3=29求1=-7的特征向量：

3=(1,2,2)T,將1,2,3

單位化：求1=-7的特征向量：3=(1,2,2)30

X=(x1

,x2,x3)T,Y=(y1,y2,y3)T

則X=CY為正交變換，且f=2

y12+2

y22-7

y32X=(x1,x2,x3)T,Y=(31實二次型及其標準形課件32實二次型及其標準形課件33一、二次型及其矩陣

稱為n元二次型.一、二次型及其矩陣稱為n元二次型.34

若aij為實數(shù)，則稱為實二次型.

若aij為復數(shù)，則稱為復二次型.

則f(x1,…,xn)=XTAX.

A:

二次型f(x1,…,xn)的矩陣.若aij為實數(shù)，則稱為實二次型.若aij為復數(shù)，35

例1

f(x1,x2,x3)=2x12–3x22+4x32-2x1x2+3x2

x3A:

f(x1,x2,x3)的矩陣

若令

則有

f(x1,x2,x3)=XTBX

但

BT≠B,故

B不是f(x1,x2,x3)的矩陣例1f(x1,x2,x3)=2x1236二次型也記為f(X)=XTAX.(AT=A)二次型f(X)的秩：A的秩.在例1中，f(x1,x2,x3)的矩陣R(A)=3,故f(x1,x2,x3)的秩為3.二次型也記為f(X)=XTAX.37實二次型及其標準形課件38解：解：39例2：求對稱矩陣所對應的二次型。解：例3：已知二次型的秩為2，求參數(shù)c。解：例2：求對稱矩陣所對應的二次型。解：例3：已知二40可逆線性替換定義8-2：設是兩組變量，我們將下列關系式稱為從變量組到的一個線性替換（變換）。(2)可逆線性替換定義8-2：設41系數(shù)矩陣則線性變換（2）可記作：若C可逆，則稱(2)為非退化（可逆），（滿秩）線性變換。若C正交，則稱(2)為正交線性變換。系數(shù)則線性變換（2）可記作：若C可逆，則稱(2)為非退化（可42非退化線性替換的性質(zhì)：（1）非退化線性替換的逆還是非退化線性替換證：（2）連續(xù)施行線性替換的結(jié)果還是一個線性替換證：（3）連續(xù)施行非退化線性替換的結(jié)果還是一個非退化線性替換；連續(xù)施行正交替換的結(jié)果還是正交替換。非退化線性替換的性質(zhì)：（1）非退化線性替換的逆還是非退化線性43矩陣的合同經(jīng)過非退化線性變換可化為則矩陣的合同經(jīng)過非退化線性變換可化為則44矩陣的合同：所以，通過非退化線性變換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的.矩陣合同的性質(zhì)：(1)反身性：矩陣A與自身合同；(2)對稱性：若A與B合同，則B與A合同；(3)傳遞性：若A與B合同，且B與C合同,則A與C合同.矩陣的合同：所以，通過非退化線性變換，矩陣合同的性質(zhì)：45

A與B等價：PAQ=B,P,Q可逆；

A與B相似：P-1AP=B,P可逆；請思考：矩陣合同與等價、相似有何關系？A與B等價：PAQ=B,P,Q可逆；46三、用配方法化二次型為標準形

只含平方項的二次型

d1y12+d2y22+…+dr

yr2(di

≠0)

稱為標準形.

形如

z12+

…+

zp2–zp+12-…-

zr2

的二次型稱為規(guī)范形.

p:正慣性指數(shù)；

r-p:負正慣性指數(shù)；|r-2p|:符號差.三、用配方法化二次型為標準形只含平方項的二次型

47例

用配方法化二次型為標準形

f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+6x2

x3+2x1x3=(x12+2x1x2+2x1

x3+x22+x32+2x2

x3)+x22+2x32+4x2x3=(x1+x2+x3)2+(x22+4x2

x3+4x32)-2x32=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2-2x32則f(x1,x2,x3)=y12+y22–2y32

（法1）

例用配方法化二次型為標準形f(x1,x2,x48

f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+6x2

x3+2x1x3=(x12+2x1x2+2x1

x3)+2x22+3x32+6x2

x3=(x1+x2+x3)2+(x22+4x2

x3)+2x32=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2-2x32則f(x1,x2,x3)=y12+y22–2y32

（法2）

f(x1,x2,x3)=x12+2x2249即(1):從x1,x2,x3到y(tǒng)1,

y2,y3的線性變換.(2):從y1,

y2,y3到x1,x2,x3

的線性變換.(1)與(2)所表達的x1,x2,x3與

y1,

y2,y3

的關系是相同的.

利用配方法與歸納法可以證明：

定理1任一實二次型f(X)=XTAX都可用配方法化為標準形.即(1):從x1,x2,x3到y(tǒng)1,y2,y50例

f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2

x3令則,f(x1,x2,x3)=2y12–2y22–4y1y3+8y2

y3=2(y12–2y1y3+y32)-2y22-2y32+8y2

y3=2(y1

–y3)2–2(y22-4y2

y3

+4y32

)+6y32=2(y1

–y3)2–2(y2-2y3)2+6y32=2z12–2z22+6z32（法1）

例f(x1,x2,x3)=2x1x251上式最后一步使用的變換是則

f=2z12–2z22+6z32=t12+t22-t32

上式最后一步使用的變換是則

52

f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2

x3令則,f(x1,x2,x3)=2y12–2y22–4y1y3+8y2

y3（法2）

=2(y12–2y1y3)-2y22

+8y2

y3=2(y1

–y3)2-2(y22

-4y2

y3)-2y32

=2(y1

–y3)2-2(y2-2y3)2+6y32

=2z12–2z22+6z32f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x53上式最后一步使用的變換是則,

f=2z12–2z22+6z32=t12+

t22-t32

上式最后一步使用的變換是則,

54特點:二次型中至少有一個平方項系數(shù)不為零特點:二次型中至少有一個平方項系數(shù)不為零55實二次型及其標準形課件56特點:二次型中平方項系數(shù)全為零.(即無平方項)特點:二次型中平方項系數(shù)全為零.(即無平方項)57實二次型及其標準形課件58定理2任何一個實二次型的規(guī)范形都是惟一的.證

將實二次型f(X)=XTAX經(jīng)合同變換化為標準形后，將正項集中在前，負項集中在后：

d1y12+…+dpyp2-dp+1yp+12-…-

dryr2

得f(X)=XTAX的規(guī)范形為

z12+

…+

zp2–zp+12-…-

zr2

由于合同變換不改變二次型的秩，所以r是惟一確定的.進一步還可證明正慣性指數(shù)p是惟一的，因此，負慣性指數(shù)r–p