大三啦-數(shù)學(xué)物理方程第一章

數(shù)學(xué)物理方程中國地質(zhì)大學(xué)（北京）

趙俊芳主講教師：趙俊芳Tel：82321774(教3-304)

參考書目梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法（第三版）.

高等教育出版社,1998。王元明.數(shù)學(xué)物理方程與特色函數(shù).東南大學(xué)數(shù)學(xué)系,2004。姜禮尚等.數(shù)學(xué)物理方程講義.高等教育出版社,2007。楊華軍.數(shù)學(xué)物理方法與計(jì)算機(jī)仿真，電子工業(yè)出版社，2005。第一章典型方程和

定解條件的推導(dǎo)1.0預(yù)備知識－基本概念課程內(nèi)容：研究數(shù)學(xué)物理方程的建立、求解方法、解的物理意義的分析及其他理論

1.0預(yù)備知識－基本概念微分方程:含有自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程常微分方程：未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程.偏微分方程:未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程03:591.0預(yù)備知識－基本概念例如都是偏微分方程,偏微分方程:未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程1.0預(yù)備知識－基本概念偏微分方程的階:方程中未知函數(shù)的偏導(dǎo)的最高階數(shù)是二階偏微分方程是三階偏微分方程.例:1.0預(yù)備知識－基本概念線性偏微分方程:對于未知函數(shù)及其所有偏導(dǎo)數(shù)來說都是線性的，且方程中的系數(shù)都僅依賴于自變量（或者為常數(shù)）非線性偏微分方程:不是線性的偏微分方程例是二階線性偏微分方程是非線性偏微分方程1.0預(yù)備知識－基本概念n個自變量的二階線性偏微分方程,一般形式為這里和都是關(guān)于自變量的函數(shù)。如果，則稱方程為齊次的；否則稱為非齊次的。本課程的主要研究對象：1.0預(yù)備知識－基本概念根據(jù)系統(tǒng)邊界所處的物理?xiàng)l件和初始狀態(tài)列出定解條件；主要內(nèi)容從不同的物理模型出發(fā)，建立三類典型方程；提出相應(yīng)的定解問題1.0預(yù)備知識－基本概念1.1基本方程的建立導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程的一般方法：

確定所研究的物理量；建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；劃出研究單元，根據(jù)物理定律和實(shí)驗(yàn)資料寫出該單元與鄰近單元的相互作用，分析這種相互作用在一個短時間內(nèi)對所研究物理量的影響，表達(dá)為數(shù)學(xué)式；簡化整理，得到方程。1.1基本方程的建立例1.弦的微小橫振動設(shè)有一條長為l的均勻細(xì)弦，拉緊之后讓它離開平衡位置，在垂直于弦線的外力作用下作微小橫振動，求在不同時刻弦線的形狀（平衡位置與x軸的正半軸重合，且一端與原點(diǎn)重合）假設(shè)與結(jié)論：（1）橫振動坐標(biāo)系oxu，位移u(x,t)

x1x2T(x1)

T(x2)ux

（2）微小振動1.1基本方程的建立（3）弦柔軟、均勻.張力沿切線方向,密度為常數(shù)；建立方程：取微元

，研究在水平方向和鉛垂方向在不受外力的情況下的運(yùn)動情況。uxT(x)

Mxx+dx1.1基本方程的建立牛頓運(yùn)動定律：F=m·a作用在弧段上的水平方向的力為

傾角很小，即

近似得

垂直方向的力為（1）于是等式（1）變成由微積分知識可知，在時刻t有（2）等式（2）可以寫成uxT(x)

MM’xx+dx由于令，取極限得略去重力，可得方程其中(3)弦振動方程（3）中只含有兩個自變量和，其中表示時間，表示位置。由于它們描述的是弦的振動或波動現(xiàn)象，因而又稱為一維波動方程。1.1基本方程的建立注1：如果弦上還受到一個與振動方向相同的外力，且外力密度為F(x,t)，外力可以是壓力、重力、阻力，則弦的強(qiáng)迫振動方程為1.1基本方程的建立例2.桿的縱振動有一均勻桿，只要桿中任一小段有縱向位移或速度，必導(dǎo)致鄰段的壓縮或伸長，這種伸縮傳開去，就有縱波沿著桿傳播。試推導(dǎo)桿的縱振動方程。假設(shè)與結(jié)論：（1）縱振動坐標(biāo)系oxu，位移u(x,t)

（2）應(yīng)力1.1基本方程的建立

應(yīng)力與應(yīng)變成正比，其比例系數(shù)是楊氏模量。

時刻，點(diǎn)處的位移為，點(diǎn)的位移為因此，小段伸長近似為，則，點(diǎn)處應(yīng)變?yōu)椋?/p>

點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)?.1基本方程的建立所以小段所受的應(yīng)力為其中

表示楊氏模量。

利用牛頓第二定律得其中是桿的橫截面積，上式兩端除以得1.1基本方程的建立如果記則上述方程變?yōu)樯鲜奖砻鳎?/p>

桿的縱振動方程和弦的橫振動方程是一樣的

1.1基本方程的建立—Laplace方程—Poisson方程1.1基本方程的建立

設(shè)有一密度，熱傳導(dǎo)系數(shù)和截面都均勻的桿，側(cè)面絕熱，無熱源作用，試導(dǎo)出一維桿的熱傳導(dǎo)方程。注意假設(shè)：假定物體內(nèi)部沒有熱源，物體的熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)，即是各向同性的，也就是說物體的密度以及比熱是常數(shù)。

例3.一維熱傳導(dǎo)方程1.1基本方程的建立1.1基本方程的建立在桿上任取一微元在到內(nèi)，流入的熱量為自通過底面2流出的熱量為：其中是桿的橫截面積，則熱量的凈流入量為由傅里葉熱傳導(dǎo)定律：1.1基本方程的建立其中為熱傳導(dǎo)系數(shù)，則另一方面，在時間內(nèi)，微元的熱量改變?yōu)?.1基本方程的建立其中為比熱，為密度，由能量守恒定律得1.1基本方程的建立兩端同時除以，再令得記，則得一維熱傳導(dǎo)方程

如果空間某物體內(nèi)各點(diǎn)處的溫度不同，則熱量就從溫度較高點(diǎn)處到溫度較低點(diǎn)處流動，這種現(xiàn)象叫熱傳導(dǎo)。

考慮物體G

內(nèi)的熱傳導(dǎo)問題。函數(shù)u(x,y,z,t)

表示物體G

在位置M(x,y,z)以及時刻t的溫度。通過對任意一個小的體積元V內(nèi)的熱平衡問題的研究，建立方程。假設(shè)：假定物體內(nèi)部沒有熱源，物體的熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)，即是各向同性的，物體的密度以及比熱是常數(shù)。熱場

例4.熱傳導(dǎo)方程1.1基本方程的建立熱場傅立葉實(shí)驗(yàn)定律:物體在無窮小時段dt內(nèi)沿法線方向n流過一個無窮小面積dS的熱量dQ與時間dt,面積dS,物體溫度沿曲面dS法線方向的方向?qū)?shù)成正比.從時刻到時刻經(jīng)過曲面S流入?yún)^(qū)域V

的熱量為高斯公式1.1基本方程的建立

高斯公式，散度定理流入熱量使物體內(nèi)溫度變化，在時間間隔中物體溫度從變化到所需吸收熱量為比熱密度由于所考察的物體內(nèi)部沒有熱源,根據(jù)能量守恒定律可得第一章典型方程和定解條件的推導(dǎo)由于時間,和區(qū)域V

都是任意選取的,并且被積函數(shù)連續(xù),于是得(非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程)對于均勻的各向同性物體，k為常數(shù)，記則得齊次熱傳導(dǎo)方程:三維熱傳導(dǎo)方程03:591.1基本方程的建立若物體內(nèi)部有熱源F(x,y,z,t),則熱傳導(dǎo)方程為其中1.1基本方程的建立二維熱傳導(dǎo)方程―維熱傳導(dǎo)方程三維熱傳導(dǎo)方程1.1基本方程的建立在上述熱傳導(dǎo)方程中,描述空間坐標(biāo)的獨(dú)立變量為,所以它們又稱為三維熱傳導(dǎo)方程.當(dāng)考察的物體是均勻細(xì)桿時,如果它的側(cè)面絕熱且在同一截面上的溫度分布相同,則可以得到一維熱傳導(dǎo)方程

類似,如果考慮一個薄片的熱傳導(dǎo),并且薄片的側(cè)面絕熱,可以得到二維熱傳導(dǎo)方程1.1基本方程的建立

當(dāng)我們考察氣體的擴(kuò)散,液體的滲透,半導(dǎo)體材料中的雜質(zhì)擴(kuò)散等物理過程時,若用表示所擴(kuò)散物質(zhì)的濃度,則濃度所滿足的方程形式和熱傳導(dǎo)方程完全相同.所以熱傳導(dǎo)方程也叫擴(kuò)散方程.1.1基本方程的建立波動方程—聲波、電磁波、桿的振動；熱傳導(dǎo)方程—物質(zhì)擴(kuò)散時的濃度變化規(guī)律,

長海峽中潮汐波的運(yùn)動，土壤力學(xué)中的滲透方程;Laplace方程—穩(wěn)定的濃度分布,靜電場的電位,流體的勢.總結(jié)：1.1基本方程的建立一維齊次波方程：一維齊次熱方程：二維Laplace方程：1.1基本方程的建立2.2初始條件與邊界條件

一.初始條件及Cauchy問題

描述某系統(tǒng)或某過程初始狀況的條件稱為初始條件，初值條件與對應(yīng)方程加在一起構(gòu)成初值問題(或稱Cauchy問題）。?%?;?á'?;#&á*2.2初始條件與邊界條件初始位移、初始速度分別為,稱波動方程的初值條件.

弦振動問題

熱傳導(dǎo)方程稱為熱傳導(dǎo)方程的初值條件.2.2初始條件與邊界條件

不同類型的方程，相應(yīng)初值條件的個數(shù)不同。初始條件給出的應(yīng)是整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而非系統(tǒng)中個別點(diǎn)的初始狀態(tài)。2.2初始條件與邊界條件

例.長為l兩端固定的弦，初始時刻將弦的中點(diǎn)拉起h()()xu0lh正確寫法2.2初始條件與邊界條件（I）第一類邊界條件03:59（II）第二類邊界條件（III）第三類邊界條件二.邊界條件描述某系統(tǒng)或過程邊界狀況的約束條件稱為邊界條件.2.2初始條件與邊界條件例1.長為l的弦，一端固定，一端以sint規(guī)律運(yùn)動

第一類邊界條件例2.長為l的桿，一端溫度為0，一端溫度為ξ

(t)2.2初始條件與邊界條件弦振動問題：弦的一端（如x=l）可以在垂直x軸的直線上自由的上下滑動，且不受垂直方向的外力，我們稱這種端點(diǎn)為“自由端”。第二類邊界條件在這一端點(diǎn)，邊界上的張力沿垂直于x軸的方向的分量為0，因此在方程的推導(dǎo)中知,即2.2初始條件與邊界條件當(dāng)該點(diǎn)處的張力沿垂直x軸的方向的分量是t

的已知函數(shù)時，有03:592.2初始條件與邊界條件熱傳導(dǎo)問題：如果物體和周圍介質(zhì)處于絕熱狀態(tài)，即在表面上熱量的流速始終為0，則由方程推導(dǎo)過程可知，有邊界條件當(dāng)物體與外界接觸的表面S

上各單位面積在單位時間內(nèi)流過的熱量已知時，由傅立葉定律，在S

上有，這表明溫度沿外法線方向的方向?qū)?shù)是已知的，故邊界條件可以表示為03:592.2初始條件與邊界條件第三類邊界條件

例(1)弦的振動（彈性支撐端）彈性力張力2.2初始條件與邊界條件(2)熱傳導(dǎo)問題（端點(diǎn)自由冷卻）散失的熱量內(nèi)部流到邊界的熱量即2.2初始條件與邊界條件2.3定解問題弦振動的Cauchy問題只包含初值條件的定解問題稱為初值問題（Cauchy問題）2.3定解問題包含初值條件和邊界條件的定解問題稱為混合問題