數(shù)學(xué)物理方法：第八章 分離變數(shù)法

第八章分離變數(shù)法分離變數(shù)法是解定解問題的一種常用方法，適合各種常見有界區(qū)域上的邊值問題基本方法：通過變數(shù)分離，把偏微分方程分解成幾個常微分方程，將定解問題轉(zhuǎn)化為常微分方程的本征值問題。理論基礎(chǔ)：迭加原理線性定解問題滿足迭加原理泛定方程和定解條件都是線性的定解問題稱為線性定解問題?！?·1齊次方程的分離變數(shù)法齊次方程[例1]兩端固定弦的自由振動第一步：分離變量設(shè)代入泛定方程和邊界條件：分離變量第二步：解本征值問題？滿足邊界條件的常微分方程有非零解（1）應(yīng)排除通解：（2）也應(yīng)排除設(shè)通解：解得：（3）設(shè)通解：解得：X（x）要有非零解故只有當(dāng)才有非零解：稱為本征值稱為本征函數(shù)第三步：解另一個（時間變量）常微分方程得到定解問題的分離變量形式特解通解：稱為本征振動每一個n，對應(yīng)一種駐波；n=1為基波。第四步：將所有特解{un（x，t）}迭加第五步：由初始條件確定迭加系數(shù)An、Bn將和展為傅里葉級數(shù)比較系數(shù)[例2]兩端自由桿的自由縱振動設(shè)[解]代入泛定方程和邊界條件：分離變量解本征值問題：？滿足邊界條件的常微分方程有非零解（1）通解：（2）應(yīng)排除設(shè)通解：解得：（3）設(shè)通解：X（x）要有非零解本征值：本征函數(shù)：通解：將和展為傅里葉級數(shù)比較系數(shù)[例3]桿的導(dǎo)熱。設(shè)初始桿的一端溫度為零，另一端為u0。桿上溫度梯度均勻，一端保持零度不變，另一端與外界絕熱。求桿溫度設(shè)[解]代入泛定方程和邊界條件：分離變量解本征值問題：？滿足邊界條件的常微分方程有非零解（1）通解：應(yīng)排除（2）應(yīng)排除設(shè)通解：解得：（3）設(shè)通解：X（x）要有非零解本征值：本征函數(shù)：通解：將右邊展為傅里葉級數(shù)比較系數(shù)：[例4]穩(wěn)定溫度場的分布橫截面為矩形的散熱片，一邊（y=b）處于高溫?zé)嵩矗囟萓）；其它三邊處于冷卻介質(zhì)（溫度u0）。求截面上溫度分布。令定解問題變?yōu)椋篬解]：設(shè)代入泛定方程和邊界條件：（1）通解：應(yīng)排除解本征值問題：（2）應(yīng)排除設(shè)通解：解得：（3）設(shè)通解：X（x）要有非零解本征值：本征函數(shù)：通解：將邊界條件代入將右邊展為傅里葉正弦級數(shù)比較系數(shù)：[例5]均勻靜電場中放入圓柱形導(dǎo)體。求空間的電場。+++++++++++++++++[解]設(shè)電場沿x方向電勢u（x，y）泛定方程：邊界條件：自然周期性邊界條件：用平面極坐標(biāo)設(shè)解本征值問題：（1）（2）通解：通解：設(shè)顯然對任何m，自然周期性邊界條件均不滿足：應(yīng)排除（3）設(shè)通解：自然周期性邊界條件要求：必須取：本征值：本征函數(shù)：（代入）（歐拉型常微分方程）作變量代換由邊界條件確定系數(shù)§8·2非齊次波動方程和輸運方程一、傅里葉級數(shù)法用分離變數(shù)法解波動方程、輸運方程時所得到的解通常是傅里葉級數(shù)形式，這就提示我們求解時可直接將解寫成傅里葉級數(shù)形式：傅里葉級數(shù)的基本函數(shù)族由齊次邊界條件確定：可以應(yīng)用傅里葉級數(shù)法解非齊次方程[例1]兩端固定弦的受迫振動。設(shè)單位長度受橫向力F（x，t），力密度設(shè)將非齊次項展為傅里葉正弦級數(shù)：代入泛定方程：比較系數(shù)得：由初始條件可以應(yīng)用拉普拉斯變換解以上常微分方程········[解二]應(yīng)用迭加原理設(shè)將非齊次項展為傅里葉正弦級數(shù)：代入泛定方程：比較系數(shù)得：由初始條件應(yīng)用拉普拉斯變換解常微分方程··········[例2]桿的受迫縱向振動設(shè)力密度設(shè)右邊已是傅里葉余弦級數(shù)，比較系數(shù)：代入泛定方程：由初始條件解常微分方程應(yīng)用拉普拉斯變換解以上常微分方程········應(yīng)用拉普拉斯變換······若用迭加法二、沖量定理法（齊次化原理）1、齊次化原理設(shè)

滿足齊次方程的定解問題則非齊次方程的定解問題的解為：[證明]先證明u滿足齊次初始條件再證明u滿足非齊次方程2、物理思想（沖量定理法）將方程右邊持續(xù)作用的非齊次項看作是許多相繼發(fā)生的瞬時作用的迭加該瞬時作用力引起的振動為后瞬時作用力為零單位質(zhì)量上的瞬時作用力在時間內(nèi)：滿足定解問題：令滿足定解問題：u（x，t）的定解問題就等于一系列瞬時作用產(chǎn)生的的迭加。3、應(yīng)用范圍和條件（1）可應(yīng)用于求解非齊次波動方程和非齊次輸運方程。（2）對邊界條件沒有特別限制，可以是第一、二、三類邊界條件。（3）初始條件必須是齊次（零值）如果初始條件是非齊次（非零值），可應(yīng)用迭加原理將u（x，t）分為兩項：分離變數(shù)法沖量定理法[例1]求解[解]先求解設(shè)比較系數(shù)：代入泛定方程：常微分方程的解為：由初始條件：比較系數(shù)：[例2]求解[解]先求解設(shè)比較系數(shù)：代入泛定方程：常微分方程的解為：由初始條件：將右邊展為傅里葉正弦級數(shù)，Cn即展開系數(shù)§8·3非齊次邊界條件的處理原則：利用迭加原理令：先找v使它滿足非齊次邊界條件，再求w滿足齊次邊界條件的定解問題。關(guān)鍵：如何確定合適的

v

？一、一般方法：1、第一類非齊次邊界條件（1）設(shè)：代入邊界條件得：解得：令：（2）（3）將（2）、（3）代入（1），可以得到w（x，t）的定解問題：2、第二類非齊次邊界條件（1）令：（2）設(shè)：代入邊界條件得：解得：（3）將（2）、（3）代入（1），可以得到w（x，t）的定解問題：[例]弦的一端(x=0)固定,另一端(x=l)受迫作諧振動,弦的初始位移和初始速度均為零。求弦的振動。[解]定解問題為令：w（x，t）滿足定解問題：能否有更好的方法？關(guān)鍵怎樣選v（x，t）？取v（x，t）為滿足原泛定方程和邊界條件的一個特解，則能使w（x，t）既滿足原泛定方程又滿足齊次邊界條件。二、特殊處理方法設(shè)代入泛定方程：代入邊界條件：解常微分方程：將代入原定解問題得到w（x，t）的定解問題用分離變數(shù)法求解可得：由初始條件：§8·4泊松方程S是V的邊界與時間無關(guān)，不適合用沖量定理法方法：（特解法）考慮空間區(qū)域V內(nèi)，泊松方程第一類邊值問題1、先求出方程的一個特解（不管邊界條件）：得到拉普拉斯方程第一類邊值問題：3、解出w（x，y，z）2、應(yīng)用迭加原理，令代入原方程和邊界條件：[例1]在圓域上求解泊松方程[解]為求特解設(shè)比較系數(shù)：應(yīng)用極坐標(biāo)令：得w的定解問題：在極坐標(biāo)中用分離變數(shù)法求得一般解為：w在圓域內(nèi)處處有限，而在