科研方法第1章誤差分析

試驗設計與數據處理

（第二版）ExperimentDesignandDataProcessing科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第1頁!引言科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第2頁!0.1試驗設計與數據處理的發(fā)展概況20世紀20年代，英國生物統計學家及數學家費歇（R．A．Fisher）提出了方差分析

20世紀50年代，日本統計學家田口玄一將試驗設計中應用最廣的正交設計表格化數學家華羅庚教授也在國內積極倡導和普及的“優(yōu)選法”我國數學家王元和方開泰于1978年首先提出了均勻設計

科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第3頁!0.2試驗設計與數據處理的意義0.2.1試驗設計的目的:合理地安排試驗,力求用較少的試驗次數獲得較好結果

例：某試驗研究了3個影響因素：

A：A1，A2，A3B：B1，B2，B3C：C1，C2，C3

全面試驗：27次正交試驗：9次科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第4頁!第1章試驗數據的誤差分析科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第5頁!1.1真值與平均值1.1.1真值（truevalue）真值：在某一時刻和某一狀態(tài)下，某量的客觀值或實際值

真值一般是未知的相對的意義上來說，真值又是已知的平面三角形三內角之和恒為180°國家標準樣品的標稱值國際上公認的計量值

高精度儀器所測之值多次試驗值的平均值科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第6頁!（2）加權平均值(weightedmean)適合不同試驗值的精度或可靠性不一致時wi——權重加權和科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第7頁!（4）幾何平均值（geometricmean）當一組試驗值取對數后所得數據的分布曲線更加對稱時，宜采用幾何平均值。幾何平均值≤算術平均值設有n個正試驗值：x1，x2，…，xn，則科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第8頁!1.2誤差的基本概念1.2.1絕對誤差（absoluteerror）（1）定義

絕對誤差＝試驗值－真值或（2）說明真值未知，絕對誤差也未知

可以估計出絕對誤差的范圍：絕對誤差限或絕對誤差上界或科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第9頁!1.2.2相對誤差（relativeerror）（1）定義：或

或（2）說明：真值未知，常將Δx與試驗值或平均值之比作為相對誤差：或科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第10頁!1.2.3算術平均誤差(averagediscrepancy)定義式：可以反映一組試驗數據的誤差大小試驗值與算術平均值之間的偏差——科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第11頁!

（1）定義：以不可預知的規(guī)律變化著的誤差，絕對誤差時正時負，時大時小（2）產生的原因：偶然因素（3）特點：具有統計規(guī)律小誤差比大誤差出現機會多正、負誤差出現的次數近似相等當試驗次數足夠多時，誤差的平均值趨向于零可以通過增加試驗次數減小隨機誤差隨機誤差不可完全避免的

1.3.1隨機誤差（randomerror）1.3試驗數據誤差的來源及分類科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第12頁!1.3.3過失誤差（mistake）（1）定義：

一種顯然與事實不符的誤差（2）產生的原因：

實驗人員粗心大意造成

（3）特點：可以完全避免沒有一定的規(guī)律

科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第13頁!（3）精密度判斷①極差（range）②標準差（standarderror）R↓，精密度↑標準差↓，精密度↑科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第14頁!1.4.2正確度（correctness）

（1）含義：反映系統誤差的大?。?）正確度與精密度的關系：

精密度不好，但當試驗次數相當多時，有時也會得到好的正確度

精密度高并不意味著正確度也高

（a）（b）（c）科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第15頁!有系統誤差的試驗精密度：A＇＞B＇＞C＇準確度：A＇＞B＇＞C＇，A＇＞B，C科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第16頁!②查臨界值

服從自由度為的分布顯著性水平——一般取0.01或0.05，表示有顯著差異的概率雙側（尾）檢驗(two-sided/tailedtest)：③檢驗若則判斷兩方差無顯著差異，否則有顯著差異科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第17頁!1.5.1.2F檢驗(F-test)

（1）目的：

對兩組具有正態(tài)分布的試驗數據之間的精密度進行比較

（2）檢驗步驟①計算統計量設有兩組試驗數據：都服從正態(tài)分布，樣本方差分別為和和，則自由度為第二自由度為服從F分布，科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第18頁!單側（尾）檢驗(one-sided/tailedtest)：左側（尾）檢驗：則判斷該判斷方差1比方差2無顯著減小，否則有顯著減小

右側（尾）檢驗則判斷該方差1比方差2無顯著增大，否則有顯著增大

若若（3）Excel在F檢驗中的應用

科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第19頁!雙側檢驗：若則可判斷該平均值與給定值無顯著差異，否則就有顯著差異單側檢驗左側檢驗若且則判斷該平均值與給定值無顯著減小，否則有顯著減小右側檢驗若且則判斷該平均值與給定值無顯著增大，否則有顯著增大科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第20頁!兩組數據的精密度或方差有顯著差異時服從t分布，其自由度為：②t檢驗科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第21頁!（3）成對數據的比較目的：試驗數據是成對出現，判斷兩種方法、兩種儀器或兩分析人員的測定結果之間是否存在系統誤差①計算統計量：

——成對測定值之差的算術平均值：——零或其他指定值——n對試驗值之差值的樣本標準差：服從自由度為的t分布科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第22頁!1.5.2.2秩和檢驗法（ranksumtest）（1）目的：兩組數據或兩種試驗方法之間是否存在系統誤差、兩種方法是否等效等，不要求數據具有正態(tài)分布（2）內容：設有兩組試驗數據，相互獨立，n1，n2分別是兩組數據的個數，總假定n1≤n2；將這個試驗數據混在一起，按從小到大的次序排列每個試驗值在序列中的次序叫作該值的秩（rank）將屬于第1組數據的秩相加，其和記為R1

R1——第1組數據的秩和（ranksum）如果兩組數據之間無顯著差異，則R1就不應該太大或太小科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第23頁!（3）例：

設甲、乙兩組測定值為：

甲：8.6，10.0，9.9，8.8，9.1，9.1

乙：8.7，8.4，9.2，8.9，7.4，8.0，7.3，8.1，6.8

已知甲組數據無系統誤差，試用秩和檢驗法檢驗乙組測定值是否有系統誤差。（＝0.05）解:（1）排序：秩1234567891011.511.5131415甲8.68.89.19.19.910.0乙6.87.37.48.08.18.48.78.99.2科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第24頁!1.5.3異常值的檢驗

可疑數據、離群值、異常值

一般處理原則為：在試驗過程中，若發(fā)現異常數據，應停止試驗，分析原因，及時糾正錯誤試驗結束后，在分析試驗結果時，如發(fā)現異常數據，則應先找出產生差異的原因，再對其進行取舍在分析試驗結果時，如不清楚產生異常值的確切原因，則應對數據進行統計處理；若數據較少，則可重做一組數據對于舍去的數據，在試驗報告中應注明舍去的原因或所選用的統計方法科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第25頁!可疑數據應逐一檢驗，不能同時檢驗多個數據

首先檢驗偏差最大的數

剔除一個數后，如果還要檢驗下一個數，應重新計算平均值及標準偏差方法簡單，無須查表該檢驗法適用于試驗次數較多或要求不高時3s為界時，要求n＞102s為界時，要求n＞5科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第26頁!（2）格拉布斯（Grubbs）檢驗法

①內容：可疑數據xp

，若

則應將該值剔除。——Grubbs檢驗臨界值科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第27頁!②說明：計算平均值及標準偏差s時，應包括可疑值在內可疑數據應逐一檢驗，不能同時檢驗多個數據首先檢驗偏差最大的數

剔除一個數后，如果還要檢驗下一個數，應重新計算平均值及標準偏差能適用于試驗數據較少時格拉布斯準則也可以用于檢驗兩個數據偏小，或兩個數據偏大的情況③例：例1-13科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第28頁!②雙側情形計算D和D′查雙側臨界值檢驗當，判斷為異常值當，判斷為異常值科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第29頁!1.6.1有效數字（significancefigure）

能夠代表一定物理量的數字有效數字的位數可反映試驗或試驗儀表的精度數據中小數點的位置不影響有效數字的位數例如：50㎜，0.050m，5.0×104μm個非0數前的數字都不是有效數字，而個非0數后的數字都是有效數字例如：29㎜和29.00㎜位數字等于或大于8，則可以多計一位例如：9.99

1.6有效數字和試驗結果的表示科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第30頁!（5）在4個以上數的平均值計算中，平均值的有效數字可增加一位（6）所有取自手冊上的數據，其有效數字位數按實際需要取，但原始數據如有限制，則應服從原始數據。（7）一些常數的有效數字的位數可以認為是無限制的

例如，圓周率π、重力加速度g、、1/3等（8）一般在工程計算中，取2～3位有效數字科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第31頁!1.7誤差的傳遞誤差的傳遞：根據直接測量值的誤差來計算間接測量值的誤差1.7.1誤差傳遞基本公式間接測量值y與直接測量值xi之間函數關系：全微分科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第32頁!函數標準誤差傳遞公式：1.7.2常用函數的誤差傳遞公式表1-4科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第33頁!科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第34頁!秩和臨界值表科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第35頁!0.2.2數據處理的目的通過誤差分析，評判試驗數據的可靠性；確定影響試驗結果的因素主次，抓住主要矛盾，提高試驗效率；確定試驗因素與試驗結果之間存在的近似函數關系，并能對試驗結果進行預測和優(yōu)化；試驗因素對試驗結果的影響規(guī)律，為控制試驗提供思路；確定最優(yōu)試驗方案或配方?？蒲蟹椒ǖ?章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第36頁!誤差分析（erroranalysis）：對原始數據的可靠性進行客觀的評定誤差（error）：試驗中獲得的試驗值與它的客觀真實值在數值上的不一致試驗結果都具有誤差，誤差自始至終存在于一切科學實驗過程中客觀真實值——真值科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第37頁!1.1.2平均值（mean）（1）算術平均值（arithmeticmean）

等精度試驗值適合：

試驗值服從正態(tài)分布科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第38頁!（3）對數平均值（logarithmicmean）說明：若數據的分布具有對數特性，則宜使用對數平均值對數平均值≤算術平均值如果1/2≤x1/x2≤2時，可用算術平均值代替設兩個數：x1＞0，x2

＞0，則科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第39頁!（5）調和平均值（harmonicmean）常用在涉及到與一些量的倒數有關的場合調和平均值≤幾何平均值≤算術平均值設有n個正試驗值：x1，x2，…，xn，則：科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第40頁!絕對誤差估算方法：最小刻度的一半為絕對誤差；最小刻度為最大絕對誤差；根據儀表精度等級計算：絕對誤差=量程×精度等級%科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第41頁!可以估計出相對誤差的大小范圍：相對誤差限或相對誤差上界相對誤差常常表示為百分數（%）或千分數（‰）∴科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第42頁!1.2.4標準誤差(standarderror)當試驗次數n無窮大時，總體標準差：

試驗次數為有限次時，樣本標準差：表示試驗值的精密度，標準差↓，試驗數據精密度↑科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第43頁!1.3.2系統誤差（systematicerror）

（1）定義：一定試驗條件下，由某個或某些因素按照某一確定的規(guī)律起作用而形成的誤差（2）產生的原因：多方面（3）特點：系統誤差大小及其符號在同一試驗中是恒定的它不能通過多次試驗被發(fā)現，也不能通過取多次試驗值的平均值而減小只要對系統誤差產生的原因有了充分的認識，才能對它進行校正，或設法消除。

科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第44頁!1.4.1精密度（precision）（1）含義：反映了隨機誤差大小的程度在一定的試驗條件下，多次試驗值的彼此符合程度

例：甲：11.45，11.46，11.45，11.44

乙：11.39，11.45，11.48，11.50（2）說明：可以通過增加試驗次數而達到提高數據精密度的目的試驗數據的精密度是建立在數據用途基礎之上的試驗過程足夠精密，則只需少量幾次試驗就能滿足要求1.4試驗數據的精準度

科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第45頁!③方差（variance）

標準差的平方：樣本方差（s2

）總體方差（σ2

）方差↓，精密度↑科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第46頁!1.4.3準確度（accuracy）（1）含義：反映了系統誤差和隨機誤差的綜合表示了試驗結果與真值的一致程度（2）三者關系無系統誤差的試驗精密度：A＞B＞C正確度：A＝B＝C準確度：A＞B＞C科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第47頁!1.5.1隨機誤差的檢驗

1.5試驗數據誤差的統計假設檢驗

1.5.1.1檢驗（

-test）

（1）目的：對試驗數據的隨機誤差或精密度進行檢驗。在試驗數據的總體方差已知的情況下，（2）檢驗步驟：若試驗數據服從正態(tài)分布，則①計算統計量科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第48頁!單側（尾）檢驗(one-sided/tailedtest)：左側（尾）檢驗：則判斷該方差與原總體方差無顯著減小，否則有顯著減小右側（尾）檢驗則判斷該方差與原總體方差無顯著增大，否則有顯著增大若若（3）Excel在檢驗中的應用

科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第49頁!②查臨界值給定的顯著水平α查F分布表臨界值雙側（尾）檢驗(two-sided/tailedtest)：③檢驗若則判斷兩方差無顯著差異，否則有顯著差異科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第50頁!1.5.2系統誤差的檢驗1.5.2.1t檢驗法（1）平均值與給定值比較①目的：檢驗服從正態(tài)分布數據的算術平均值是否與給定值有顯著差異②檢驗步驟：計算統計量：服從自由度的t分布(t-distribution)——給定值（可以是真值、期望值或標準值）科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第51頁!（2）兩個平均值的比較目的：判斷兩組服從正態(tài)分布數據的算術平均值有無顯著差異①計算統計量：兩組數據的方差無顯著差異時服從自由度的t分布s——合并標準差：科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第52頁!雙側檢驗：若則可判斷兩平均值無顯著差異，否則就有顯著差異單側檢驗左側檢驗若且則判斷該平均值1較平均值2無顯著減小，否則有顯著減小右側檢驗若且則判斷該平均值1較平均值2無顯著增大，否則有顯著增大科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第53頁!②t檢驗若否則兩組數據之間存在顯著的系統誤差，則成對數據之間不存在顯著的系統誤差，（4）Excel在t檢驗中的應用

科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第54頁!查秩和臨界值表：根據顯著性水平和n1，n2，可查得R1的上下限T2和T1

檢驗：如果R1＞T2

或R1

＜T1，則認為兩組數據有顯著差異，另一組數據有系統誤差如果T1＜R1＜T2，則兩組數據無顯著差異，另一組數據也無系統誤差

科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第55頁!（2）求秩和R1

R1=7＋9＋11.5＋11.5＋14＋15＝68（3）查秩和臨界值表對于＝0.05，n1=6，n2=9得T1=33，T2＝63，∴R1＞T2

故：兩組數據有顯著差異，乙組測定值有系統誤差

科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第56頁!1.5.3.1拉依達（）檢驗法①內容：可疑數據xp

，若則應將該試驗值剔除。②說明：計算平均值及標準偏差s時，應包括可疑值在內3s相當于顯著水平＝0.01，2s相當于顯著水平＝0.05科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第57頁!

有一組分析測試數據：0.128，0.129，0.131，0.133，0.135，0.138，0.141，0.142，0.145，0.148，0.167，問其中偏差較大的0.167這一數據是否應被舍去?（＝0.01）解：（1）計算③例：（2）計算偏差（3）比較3s＝3×0.01116＝0.0335＞0.027故按拉依達準則，當＝0.01時，0.167這一可疑值不應舍去科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第58頁!格拉布斯（Grubbs）檢驗臨界值G(,n)表科研方法第1章誤差分析共67頁，您現在瀏覽的是第59頁!（3）狄克遜（Dixon）檢驗法

①單側情形將n個試驗數據按從小到大的順序排列：

x1≤x2≤…≤xn-1≤xn

如果有異常值存在，必然出現在兩端，即x1

或xn計算出統計量D