人口增長模型課件

實驗目的：1.介紹數(shù)學建模的基本概念；2.學習數(shù)學建模的一般過程；3.了解數(shù)學建模競賽特點和形式。實驗目的：1.介紹數(shù)學建模的基本概念；2.學習數(shù)學建1有關數(shù)學建模競賽的介紹全國數(shù)學建模競賽（CUMCM）：１．每年的9月份左右舉行;2.我們學校每年20個隊左右;3.每個隊3名同學組成;4.參賽費用，每個隊伍200元；5.參賽范圍，主要為中國大陸地區(qū)。有關數(shù)學建模競賽的介紹全國數(shù)學建模競賽（CUMCM）：2美國數(shù)學建模競賽（MCM）：1.每年的2月份左右舉行,4天=96小時;2.我們學校選拔不超過7個隊;3.每個隊3名同學組成;4.參賽費用，每個隊伍45美圓；5.參賽范圍，全球，主要為美國、中國、印度、英國等國家。有關數(shù)學建模競賽的介紹美國數(shù)學建模競賽（MCM）：有關數(shù)學建模競賽的介紹3全國大學生電工數(shù)學建模競賽每年11月份舉行;競賽題目一般來源于電工、近代數(shù)學及經(jīng)濟管理等方面，經(jīng)過適當?shù)暮喕⒓庸さ膶嶋H問題，主要包括：1．電工領域中的信息、控制與決策的相關問題；

2．近代數(shù)學、辨識與仿真及其應用的相關問題；

3．經(jīng)濟管理與運籌問題；4．場論及應用問題。全國大學生電工數(shù)學建模競賽每年11月份舉行;4掌握數(shù)學建模知識的參考書姜啟源，謝金星編,數(shù)學模型,

高等教育出版社,2003年第三版.

通過這本書的學習,可以掌握最基本的數(shù)學建模知識和能力!掌握數(shù)學建模知識的參考書姜啟源，謝金星編,數(shù)學模型,5其他數(shù)學建模的書數(shù)學建模與數(shù)學實驗（第二版）/趙靜雷功炎

編著,數(shù)學模型講義,

北京大學

譚永基、俞文(魚此)編著,數(shù)學模型,復旦大學出版社,1997第一版.

這些書都是一些基本的數(shù)學建模資料書籍,有興趣的同學可以借來好好看看.其他數(shù)學建模的書數(shù)學建模與數(shù)學實驗（第二版）/趙靜6李大潛主編,中國大學生數(shù)學建模競賽,高等教育出版社,1998第一版,2001第二版.葉其孝主編,大學生數(shù)學建模競賽輔導教材(一、二、三、四),湖南教育出版社,1993-2001.全國大學生數(shù)學建模競賽優(yōu)秀論文匯編(1992-2000),中國物價出版社,2002.工程數(shù)學學報(專輯)(2002年后的每年第一期為上一年度的優(yōu)秀論文)李大潛主編,中國大學生數(shù)學建模競賽,高等教育出版社,197有關網(wǎng)站1.本網(wǎng)站是國防科技大學所辦的一個數(shù)學建模網(wǎng)站,上面有許多的參賽過程以及參賽經(jīng)驗之談;2.本網(wǎng)站也提供一些優(yōu)秀論文的下載,BBS交流等信息;3.本網(wǎng)站同時也提供一些有用的數(shù)學建模所用的軟件下載服務等;有關網(wǎng)站8CUMCM主頁本網(wǎng)站提供一些CUMCM的消息,往年試題以及有關獲獎名單等;有關全國數(shù)學建模競賽的一些規(guī)章制度;有關數(shù)學建模競賽的資料,一些其它網(wǎng)站的介紹等;CUMCM主頁9美國數(shù)學建模競賽主頁/undergraduate/contests/mcm提供有關數(shù)學建模競賽的信息;往年的競賽試題與評獎結果;有關資料;競賽結果分析等美國數(shù)學建模競賽主頁10電工數(shù)學建模競賽的主頁/提供有關數(shù)學建模競賽的信息;往年的競賽試題與評獎結果;有關資料;電工數(shù)學建模競賽的主頁/提供11數(shù)學模型（MathematicalModel）是用數(shù)學符號、數(shù)學式子、程序、圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。

數(shù)學建模（MathematicalModeling）

應用知識從實際課題中抽象、提煉出數(shù)學模型的過程?；靖拍睿簲?shù)學模型與數(shù)學建模數(shù)學模型（MathematicalModel）基本概念：12

例（人口增長模型）

人口問題是當今世界上人們最關心的問題。因為資源的原因，應當有效的正確的人口措施－－人口模型。而建立人口發(fā)展的模型不外乎預測和控制，Logistic模型是其中比較精細的人口模型。例（人口增長模型）人口問題是當今世界上人們最13基本假設:（1）人口的增長只考慮單位時間內人口增長與人口的關系；參數(shù)：簡單推導如下：（2）有某一具體時刻的人口資料作為參照；N（t）：t時刻的人口數(shù)；r：增長率比例常數(shù)；基本假設:（1）人口的增長只考慮單位時間內人口增長與人口的14基于以上的假設有簡單模型為：解此方程可以得到指數(shù)增長的模型為：基于以上的假設有簡單模型為：解此方程可以得到指數(shù)增長的模型為15此解的圖形為此解的圖形為16程序為clearN0=10;r=0.002;t=[1:1000];N=N0.*exp(r*t);plot(t,N)程序為clear17上述模型的特點：只要知道了初始時的人口和人口的增長率，就可以通過上述模型估計未來幾年的人口數(shù)；問題---怎樣來找到初始人口和人口的增長率？？在已知數(shù)據(jù)的基礎上，通過數(shù)據(jù)擬合或者參數(shù)估計來估計人口的增長率。上述模型的特點：只要知道了初始時的人口和人口的增長率，就可以18有關數(shù)據(jù)，請估計人口的增長率r：有關數(shù)據(jù)，請估計人口的增長率r：19因為令用線性隨小二乘法估計參數(shù)r，因為令用線性隨小二乘法估計參數(shù)r，20世界人口增長率最小二乘法估計cleart=[1625,1830,1930,1960,1974,1987,1999];y=[5,10,20,30,40,50,60];yy=log(y-4.9);R=[t'];r=R\yy';plot(t,exp(r*t+log(4.9)));holdonplot(t,y,'b.');世界人口增長率最小二乘法估計clear21請大家練習中國人口增長率的估計問題，求出其增長率r=?

請大家練習中國人口增長率的估計問題，求出其增長率r=?

22中國人口增長程序cleart=[1908,1933,1953,1964,1982,1990,1995,2000];y=[3.0,4.7,6.0,7.2,10.3,11.3,12.0,13.0];yy=log(y-2.9);R=[t'];r=R\yy';plot(t,exp(r*t+log(2.9)));holdonplot(t,y,'b.');中國人口增長程序clear23模型的分析上述模型不能很好的與實際數(shù)據(jù)符合！請大家考慮原因是什么？人口增長到一定程度后，增長率要下降；同時，人口的增長要受到資源、環(huán)境等各個方面的限制。模型的分析上述模型不能很好的與實際數(shù)據(jù)符合！24

1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎上，通過對資料的分析計算，找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設。

3.在所作假設的基礎上，利用適當?shù)臄?shù)學工具去刻劃各變量之間的關系，建立相應的數(shù)學結構——即建立數(shù)學模型。4.模型求解。5.模型的分析與檢驗。

在難以得出解析解時，也應當借助計算機求出數(shù)值解。

數(shù)學建模的一般步驟實體信息(數(shù)據(jù))假設建模求解驗證應用1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資25數(shù)學模型的分類分類標準具體類別對某個實際問題了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中變量的特征連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機型模型等建模中所用的數(shù)學方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等研究課題的實際范疇人口模型、生態(tài)系統(tǒng)模型、交通流模型、經(jīng)濟模型、基因模型等數(shù)學模型的分類分類標準具體類別對某個實際問題了解的深入程度白26常見模型常見模型27①數(shù)學建模實踐的每一步中都蘊含著能力上的鍛煉，在調查研究階段，需要用到觀察能力、分析能力和數(shù)據(jù)處理能力等。在提出假設時，又需要用到想象力和歸納簡化能力。②在真正開始自己的研究之前，還應當盡可能先了解一下前人或別人的工作，使自己的工作成為別人研究工作的繼續(xù)而不是別人工作的重復，你可以把某些已知的研究結果用作你的假設，去探索新的奧秘。因此我們還應當學會在盡可能短的時間內查到并學會我想應用的知識的本領。③還需要你多少要有點創(chuàng)新的能力。這種能力不是生來就有的，建模實踐就為你提供了一個培養(yǎng)創(chuàng)新能力的機會。數(shù)學建模與能力的培養(yǎng)①數(shù)學建模實踐的每一步中都蘊含著能力上的鍛煉，在調查研28例1某人平時下班總是按預定時間到達某處，然然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時提早了三十分鐘到達該處，于是此人就沿著妻子來接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時間？一些簡單實例

似乎條件不夠哦。。

換一種想法，問題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開往會合地點，那么這一天他就不會提前回家了。提前的十分鐘時間從何而來？

顯然是由于節(jié)省了從相遇點到會合點，又從會合點返回相遇點這一段路的緣故，故由相遇點到會合點需開5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達會合點，故相遇時他已步行了二十五分鐘。

請思考一下，本題解答中隱含了哪些假設？例1某人平時下班總是按預定時間到達某處，然一些簡單實例29例2某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。問：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時間到達該地。分析

本題多少有點象數(shù)學中解的存在性條件及證明，當然，這里的情況要簡單得多。

假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同一天由B去A，問題就化為在什么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結論就很容易得出了：只要任何一人的到達時間晚于另一人的出發(fā)時間，兩人必會在途中相遇。（請自己據(jù)此給出嚴格證明）

例2某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回30例3交通燈在綠燈轉換成紅燈時，有一個過渡狀態(tài)——亮一段時間的黃燈。請分析黃燈應當亮多久。設想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉紅燈了，假如你能停住，請立即停車。停車是需要時間的，在這段時間內，車輛仍將向前行駛一段距離L。這就是說，在離街口距離為L處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見圖1-4。對于那些黃燈亮時已過線的車輛，則應當保證它們仍能穿過馬路。

馬路的寬度D是容易測得的，問題的關鍵在于L的確定。為確定L，還應當將L劃分為兩段：L1和L2，其中L1是司機在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應當剎車的反應時間內駛過的路程，L2為剎車制動后車輛駛過的路程。L1較容易計算，交通部門對司機的平均反應時間t1早有測算，反應時間過長將考不出駕照），而此街道的行駛速度v也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而L1=v*t1。剎車距離L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計算出來（留作習題）。黃燈究竟應當亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計算出L應多大才能使看見黃燈的司機停得住車。第二步，黃燈亮的時間應當讓已過線的車順利穿過馬路，即T至少應當達到（L+D）/v。

DL例3交通燈在綠燈轉換成紅燈時，有一個過渡狀態(tài)——亮一段時間31例4

餐館每天都要洗大量的盤子，為了方便，某餐館是這樣清洗盤子的：先用冷水粗粗洗一下，再放進熱水池洗滌，水溫不能太高，否則會燙手，但也不能太低，否則不干凈。由于想節(jié)省開支，餐館老板想了解一池熱水到底可以洗多少盤子，請你幫他建模分析一下這一問題。盤子有大小嗎?是什么樣的盤子？盤子是怎樣洗的?………不妨假設我們了解到：盤子大小相同，均為瓷質菜盤，洗滌時先將一疊盤子浸泡在熱水中，然后一清洗。

不難看出，是水的溫度在決定洗盤子的數(shù)量

。盤子是先用冷水洗過的，其后可能還會再用清水沖洗，更換熱水并非因為水太臟了，而是因為水不夠熱了。

那么熱水為什么會變冷呢？假如你想建一個較精細的模型，你當然應當把水池、空氣等吸熱的因素都考慮進去，但餐館老板的原意只是想了解一下一池熱水平均大約可以洗多少盤子，殺雞焉用牛刀？

不妨可以提出以下簡化假設：（1）水池、空氣吸熱不計，只考慮盤子吸熱，盤子的大小、材料相同（2）盤子初始溫度與氣溫相同，洗完后的溫度與水溫相同（3）水池中的水量為常數(shù)，開始溫度為T1，最終換水時的溫度為T2（4）每個盤子的洗滌時間△T是一個常數(shù)。（這一假設甚至可以去掉不要）根據(jù)上述簡化假設，利用熱量守衡定律，餐館老板的問題就很容易回答了，當然，你還應當調查一下一池水的質量是多少，查一下瓷盤的吸熱系數(shù)和質量等。

可見，假設條件的提出不僅和你研的問題有關，還和你準備利用哪些知識、準備建立什么樣的模型以及你準備研究的深入程度有關，即在你提出假設時，你建模的框架已經(jīng)基本搭好了。例4餐館每天都要洗大量的盤子，為了方便，某餐館是這樣清洗32例4飛機失事時，黑匣子會自動打開，發(fā)射出某種射線。為了搞清失事原因，人們必須盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必須確定其所在的方向和距離，試設計一些尋找黑匣子的方法。由于要確定兩個參數(shù)，至少要用儀器檢測兩次，除非你事先知道黑匣子發(fā)射射線的強度。例4飛機失事時，黑匣子會自動打開，發(fā)射出某種射線。為了搞清33方法一點光源發(fā)出的射線在各點處的照度與其到點光源的距離的平方成反比，即黑匣子所在方向很容易確定，關鍵在于確定距離。設在同一方向不同位置檢測了兩次，測得的照度分別為I1和I2，兩測量點間的距離為a，則有方法一點光源發(fā)出的射線在各點處的照度與其到點光源的距離的34實例編程練習：1、設在同一方向不同位置檢測了兩次，測得照度分別為3和6，兩測量點間的距離為60。請編程實現(xiàn)距離的求解。Functionjuli(a,i1,i2)D=a/(sqrt(i2/i1)-1)在matlab里面輸入juli(60,3,6),可以得到D=144.852米實例編程練習：1、設在同一方向不同位置檢測了兩次，測得Fun35方法二在方法一中，兩檢測點與黑匣子位于一直線上，這一點比較容易做到，主要缺點是結果對照度測量的精度要求較高，很少的誤差會造成結果的很大變化，即敏感性很強，現(xiàn)提出另一方法，在A點測得黑匣子方向后，到B點再測方向，AB

距離為a

，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得出d=asinα/sin(α+β)。需要指出的是，當黑匣子位于較遠處而α又較小時，α+β可能非常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又恰好位于分母上，因而對結果的精確性影響也會很大，為了使結果較好，應使a也相對較大。BACaαβ方法二在方法一中，兩檢測點與黑匣子36

圓周率是人類獲得的最古老的數(shù)學概念之一，早在大約3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已經(jīng)在用256/81（約3.1605）作為π的近似值了。幾千年來，人們一直沒有停止過求π的努力。π的計算圓周率是人類獲得的最古老的數(shù)學概念之一，早在大約370037

古典方法

分析方法

其它方法概率方法數(shù)值積分方法古典方法概率方法38古典方法用什么方法來計算π的近似值呢？顯然，不可能僅根據(jù)圓周率的定義，用圓的周長去除以直徑。起先，人們采用的都是用圓內接正多邊形和圓外切正多邊形來逼近的古典方法。6邊形12邊形24邊形圓古典方法用什么方法來計算π的近似值呢？顯然，不可能僅根據(jù)39阿基米德曾用圓內接96邊形和圓外切96邊形夾逼的方法證明了由和導出公元5世紀，祖沖之指出比西方得到同樣結果幾乎早了1000年阿基米德曾用圓內接96邊形和圓外切96邊形夾逼的方法證40十五世紀中葉，阿爾·卡西給出π的16位小數(shù)，打破了祖沖之的紀錄1579年,韋達證明1630年,最后一位用古典方法求π的人格林伯格也只求到了π的第39位小數(shù)十五世紀中葉，阿爾·卡西給出π的16位小數(shù)，打破了祖沖之41分析方法從十七世紀中葉起，人們開始用更先進的分析方法來求π的近似值，其中應用的主要工具是收斂的無窮乘積和無窮級數(shù)，在本節(jié)中我們將介紹一些用此類方法求π近似值的實例。分析方法從十七世紀中葉起，人們開始用更先進的分析方法來求π421656年，沃里斯(Wallis)證明請編程序實現(xiàn)上述求法1656年，沃里斯(Wallis)證明請編程序實現(xiàn)上述求43取取functionp(k)p=1;fori=1:kp=p*((2*i/(2*i-1))*(2*i/(2*i+1)));endp=2*p取取functionp(k)44在微積分中我們學過泰勒級數(shù)，其中有當在微積分中我們學過泰勒級數(shù)，其中有當45functionp(k)p=0;fori=0:kp=p+((-1)^i)*(1/(2*i+1));endp=4*p程序functionp(k)程序46取取取取47在中學數(shù)學中證明過下面的等式左邊三個正方形組成的矩形中，由和可得

和的展開式的收斂速度都比快得多ACBD在中學數(shù)學中證明過下面的等式左邊三個正方形組成的矩形中，48麥琴(Machin)給出(Machin公式)記，，得此式求得了π的第100位小數(shù)且全部正確麥琴(Machin)給出(Machin公式)記49其它方法除用古典方法與分析方法求π的近似值以外，還有人用其他方法來求π的近似值。這里我們將介紹兩種方法：

概率方法

數(shù)值積分方法其它方法除用古典方法與分析方法求π的近似值以外，還有人用其50概率方法取一個二維數(shù)組（x,y），取一個充分大的正整數(shù)n，重復n次，每次獨立地從（0，1）中隨機地取一對數(shù)x和y，分別檢驗x2+y2≤1是否成立。設n次試驗中等式成立的共有m次，令π≈4m/n。但這種方法很難得到π的較好的近似值。概率方法取一個二維數(shù)組（x,y），取一個充分大的正整數(shù)51數(shù)值積分方法還可用其它數(shù)值積分公式來求，但用此類方法效果也很難做得比用冪級數(shù)展開更好數(shù)值積分方法還可用其它數(shù)值積分公式來求，但用此類方法效果也52數(shù)學建模實驗作業(yè)1、三人一組共同完成；2、上交作業(yè)以數(shù)學建模論文的方式上交：論文：其基本內容和格式大致分三大部分：A）標題、摘要部分題目——寫出較確切的題目（不能只寫A題、B題）。摘要——200-300字，包括模型的主要特點、建模方法和主要結果。數(shù)學建模實驗作業(yè)1、三人一組共同完成；53B）論文中心部分1）問題提出，問題分析。2）模型建立：①補充假設條件，明確概念，引進參數(shù)；②模型形式（可有多個形式的模型）；③模型求解；④模型性質；3）計算方法設計和計算機實現(xiàn)。4）結果分析與檢驗。5）討論——模型的優(yōu)缺點，改進方向，推廣新思想。6）參考文獻——注意格式。B）論文中心部分54C）附錄部分計算程序，框圖。各種求解演算過程，計算中間結果。各種圖形、表格。3、作業(yè)完成時間：從上第一次數(shù)學建模實驗開始計算時間，用兩周的時間做完，選做一題。4.作業(yè)上交：提交電子版本到服務器，并上交一份打印版本到上課老師處。C）附錄部分55A題：人口模型請在人口增長的簡單模型的基礎上。（1）找到現(xiàn)有的描述人口增長，與控制人口增長的模型；（2）深入分析現(xiàn)有的數(shù)學模型，并通過計算機進行仿真驗證；（3）選擇一個你們認為較好的數(shù)學模型，并應用該模型對未來20年的某一地區(qū)或國家的人口作出有關預測；（4）就人口增長模型給報刊寫一篇文章，對控制人口的策略進行論述。A題：人口模型請在人口增長的簡單模型的基礎上。56

近幾年來，我國各大中城市的房價出現(xiàn)了普遍持續(xù)上漲情況。一方面，房價的上漲使生活成本大幅增加，導致許多中低收入人群買房難；另一方面，部分投機者通過各種融資渠道買入房屋囤積，期望獲得高額利潤，導致房價居高不下。因此，如何有效抑制房地產(chǎn)價格上揚，抑制房地產(chǎn)投機，是一個備受關注的社會問題。國家為此出臺了提高房地產(chǎn)貸款利率和二手房轉貸限制等各項政策，現(xiàn)在請你就以下幾個方面的問題進行討論：1、建立一個城市房價的數(shù)學模型，通過這個模型對房價的形成、演化機理和房地產(chǎn)投機進行深入細致的分析，并應用仿真驗證；2、分析國家提高房地產(chǎn)貸款利率和二手房轉貸限制對房地產(chǎn)投機者的影響；3、給出抑制房地產(chǎn)投機的政策建議。B題：抑制房地產(chǎn)投機問題B題：抑制房地產(chǎn)投機問題57實驗目的：1.介紹數(shù)學建模的基本概念；2.學習數(shù)學建模的一般過程；3.了解數(shù)學建模競賽特點和形式。實驗目的：1.介紹數(shù)學建模的基本概念；2.學習數(shù)學建58有關數(shù)學建模競賽的介紹全國數(shù)學建模競賽（CUMCM）：１．每年的9月份左右舉行;2.我們學校每年20個隊左右;3.每個隊3名同學組成;4.參賽費用，每個隊伍200元；5.參賽范圍，主要為中國大陸地區(qū)。有關數(shù)學建模競賽的介紹全國數(shù)學建模競賽（CUMCM）：59美國數(shù)學建模競賽（MCM）：1.每年的2月份左右舉行,4天=96小時;2.我們學校選拔不超過7個隊;3.每個隊3名同學組成;4.參賽費用，每個隊伍45美圓；5.參賽范圍，全球，主要為美國、中國、印度、英國等國家。有關數(shù)學建模競賽的介紹美國數(shù)學建模競賽（MCM）：有關數(shù)學建模競賽的介紹60全國大學生電工數(shù)學建模競賽每年11月份舉行;競賽題目一般來源于電工、近代數(shù)學及經(jīng)濟管理等方面，經(jīng)過適當?shù)暮喕?、加工的實際問題，主要包括：1．電工領域中的信息、控制與決策的相關問題；

2．近代數(shù)學、辨識與仿真及其應用的相關問題；

3．經(jīng)濟管理與運籌問題；4．場論及應用問題。全國大學生電工數(shù)學建模競賽每年11月份舉行;61掌握數(shù)學建模知識的參考書姜啟源，謝金星編,數(shù)學模型,

高等教育出版社,2003年第三版.

通過這本書的學習,可以掌握最基本的數(shù)學建模知識和能力!掌握數(shù)學建模知識的參考書姜啟源，謝金星編,數(shù)學模型,62其他數(shù)學建模的書數(shù)學建模與數(shù)學實驗（第二版）/趙靜雷功炎

編著,數(shù)學模型講義,

北京大學

譚永基、俞文(魚此)編著,數(shù)學模型,復旦大學出版社,1997第一版.

這些書都是一些基本的數(shù)學建模資料書籍,有興趣的同學可以借來好好看看.其他數(shù)學建模的書數(shù)學建模與數(shù)學實驗（第二版）/趙靜63李大潛主編,中國大學生數(shù)學建模競賽,高等教育出版社,1998第一版,2001第二版.葉其孝主編,大學生數(shù)學建模競賽輔導教材(一、二、三、四),湖南教育出版社,1993-2001.全國大學生數(shù)學建模競賽優(yōu)秀論文匯編(1992-2000),中國物價出版社,2002.工程數(shù)學學報(專輯)(2002年后的每年第一期為上一年度的優(yōu)秀論文)李大潛主編,中國大學生數(shù)學建模競賽,高等教育出版社,1964有關網(wǎng)站1.本網(wǎng)站是國防科技大學所辦的一個數(shù)學建模網(wǎng)站,上面有許多的參賽過程以及參賽經(jīng)驗之談;2.本網(wǎng)站也提供一些優(yōu)秀論文的下載,BBS交流等信息;3.本網(wǎng)站同時也提供一些有用的數(shù)學建模所用的軟件下載服務等;有關網(wǎng)站65CUMCM主頁本網(wǎng)站提供一些CUMCM的消息,往年試題以及有關獲獎名單等;有關全國數(shù)學建模競賽的一些規(guī)章制度;有關數(shù)學建模競賽的資料,一些其它網(wǎng)站的介紹等;CUMCM主頁66美國數(shù)學建模競賽主頁/undergraduate/contests/mcm提供有關數(shù)學建模競賽的信息;往年的競賽試題與評獎結果;有關資料;競賽結果分析等美國數(shù)學建模競賽主頁67電工數(shù)學建模競賽的主頁/提供有關數(shù)學建模競賽的信息;往年的競賽試題與評獎結果;有關資料;電工數(shù)學建模競賽的主頁/提供68數(shù)學模型（MathematicalModel）是用數(shù)學符號、數(shù)學式子、程序、圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。

數(shù)學建模（MathematicalModeling）

應用知識從實際課題中抽象、提煉出數(shù)學模型的過程?；靖拍睿簲?shù)學模型與數(shù)學建模數(shù)學模型（MathematicalModel）基本概念：69

例（人口增長模型）

人口問題是當今世界上人們最關心的問題。因為資源的原因，應當有效的正確的人口措施－－人口模型。而建立人口發(fā)展的模型不外乎預測和控制，Logistic模型是其中比較精細的人口模型。例（人口增長模型）人口問題是當今世界上人們最70基本假設:（1）人口的增長只考慮單位時間內人口增長與人口的關系；參數(shù)：簡單推導如下：（2）有某一具體時刻的人口資料作為參照；N（t）：t時刻的人口數(shù)；r：增長率比例常數(shù)；基本假設:（1）人口的增長只考慮單位時間內人口增長與人口的71基于以上的假設有簡單模型為：解此方程可以得到指數(shù)增長的模型為：基于以上的假設有簡單模型為：解此方程可以得到指數(shù)增長的模型為72此解的圖形為此解的圖形為73程序為clearN0=10;r=0.002;t=[1:1000];N=N0.*exp(r*t);plot(t,N)程序為clear74上述模型的特點：只要知道了初始時的人口和人口的增長率，就可以通過上述模型估計未來幾年的人口數(shù)；問題---怎樣來找到初始人口和人口的增長率？？在已知數(shù)據(jù)的基礎上，通過數(shù)據(jù)擬合或者參數(shù)估計來估計人口的增長率。上述模型的特點：只要知道了初始時的人口和人口的增長率，就可以75有關數(shù)據(jù)，請估計人口的增長率r：有關數(shù)據(jù)，請估計人口的增長率r：76因為令用線性隨小二乘法估計參數(shù)r，因為令用線性隨小二乘法估計參數(shù)r，77世界人口增長率最小二乘法估計cleart=[1625,1830,1930,1960,1974,1987,1999];y=[5,10,20,30,40,50,60];yy=log(y-4.9);R=[t'];r=R\yy';plot(t,exp(r*t+log(4.9)));holdonplot(t,y,'b.');世界人口增長率最小二乘法估計clear78請大家練習中國人口增長率的估計問題，求出其增長率r=?

請大家練習中國人口增長率的估計問題，求出其增長率r=?

79中國人口增長程序cleart=[1908,1933,1953,1964,1982,1990,1995,2000];y=[3.0,4.7,6.0,7.2,10.3,11.3,12.0,13.0];yy=log(y-2.9);R=[t'];r=R\yy';plot(t,exp(r*t+log(2.9)));holdonplot(t,y,'b.');中國人口增長程序clear80模型的分析上述模型不能很好的與實際數(shù)據(jù)符合！請大家考慮原因是什么？人口增長到一定程度后，增長率要下降；同時，人口的增長要受到資源、環(huán)境等各個方面的限制。模型的分析上述模型不能很好的與實際數(shù)據(jù)符合！81

1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎上，通過對資料的分析計算，找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設。

3.在所作假設的基礎上，利用適當?shù)臄?shù)學工具去刻劃各變量之間的關系，建立相應的數(shù)學結構——即建立數(shù)學模型。4.模型求解。5.模型的分析與檢驗。

在難以得出解析解時，也應當借助計算機求出數(shù)值解。

數(shù)學建模的一般步驟實體信息(數(shù)據(jù))假設建模求解驗證應用1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資82數(shù)學模型的分類分類標準具體類別對某個實際問題了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中變量的特征連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機型模型等建模中所用的數(shù)學方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等研究課題的實際范疇人口模型、生態(tài)系統(tǒng)模型、交通流模型、經(jīng)濟模型、基因模型等數(shù)學模型的分類分類標準具體類別對某個實際問題了解的深入程度白83常見模型常見模型84①數(shù)學建模實踐的每一步中都蘊含著能力上的鍛煉，在調查研究階段，需要用到觀察能力、分析能力和數(shù)據(jù)處理能力等。在提出假設時，又需要用到想象力和歸納簡化能力。②在真正開始自己的研究之前，還應當盡可能先了解一下前人或別人的工作，使自己的工作成為別人研究工作的繼續(xù)而不是別人工作的重復，你可以把某些已知的研究結果用作你的假設，去探索新的奧秘。因此我們還應當學會在盡可能短的時間內查到并學會我想應用的知識的本領。③還需要你多少要有點創(chuàng)新的能力。這種能力不是生來就有的，建模實踐就為你提供了一個培養(yǎng)創(chuàng)新能力的機會。數(shù)學建模與能力的培養(yǎng)①數(shù)學建模實踐的每一步中都蘊含著能力上的鍛煉，在調查研85例1某人平時下班總是按預定時間到達某處，然然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時提早了三十分鐘到達該處，于是此人就沿著妻子來接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時間？一些簡單實例

似乎條件不夠哦。。

換一種想法，問題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開往會合地點，那么這一天他就不會提前回家了。提前的十分鐘時間從何而來？

顯然是由于節(jié)省了從相遇點到會合點，又從會合點返回相遇點這一段路的緣故，故由相遇點到會合點需開5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達會合點，故相遇時他已步行了二十五分鐘。

請思考一下，本題解答中隱含了哪些假設？例1某人平時下班總是按預定時間到達某處，然一些簡單實例86例2某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。問：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時間到達該地。分析

本題多少有點象數(shù)學中解的存在性條件及證明，當然，這里的情況要簡單得多。

假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同一天由B去A，問題就化為在什么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結論就很容易得出了：只要任何一人的到達時間晚于另一人的出發(fā)時間，兩人必會在途中相遇。（請自己據(jù)此給出嚴格證明）

例2某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回87例3交通燈在綠燈轉換成紅燈時，有一個過渡狀態(tài)——亮一段時間的黃燈。請分析黃燈應當亮多久。設想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉紅燈了，假如你能停住，請立即停車。停車是需要時間的，在這段時間內，車輛仍將向前行駛一段距離L。這就是說，在離街口距離為L處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見圖1-4。對于那些黃燈亮時已過線的車輛，則應當保證它們仍能穿過馬路。

馬路的寬度D是容易測得的，問題的關鍵在于L的確定。為確定L，還應當將L劃分為兩段：L1和L2，其中L1是司機在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應當剎車的反應時間內駛過的路程，L2為剎車制動后車輛駛過的路程。L1較容易計算，交通部門對司機的平均反應時間t1早有測算，反應時間過長將考不出駕照），而此街道的行駛速度v也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而L1=v*t1。剎車距離L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計算出來（留作習題）。黃燈究竟應當亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計算出L應多大才能使看見黃燈的司機停得住車。第二步，黃燈亮的時間應當讓已過線的車順利穿過馬路，即T至少應當達到（L+D）/v。

DL例3交通燈在綠燈轉換成紅燈時，有一個過渡狀態(tài)——亮一段時間88例4

餐館每天都要洗大量的盤子，為了方便，某餐館是這樣清洗盤子的：先用冷水粗粗洗一下，再放進熱水池洗滌，水溫不能太高，否則會燙手，但也不能太低，否則不干凈。由于想節(jié)省開支，餐館老板想了解一池熱水到底可以洗多少盤子，請你幫他建模分析一下這一問題。盤子有大小嗎?是什么樣的盤子？盤子是怎樣洗的?………不妨假設我們了解到：盤子大小相同，均為瓷質菜盤，洗滌時先將一疊盤子浸泡在熱水中，然后一清洗。

不難看出，是水的溫度在決定洗盤子的數(shù)量

。盤子是先用冷水洗過的，其后可能還會再用清水沖洗，更換熱水并非因為水太臟了，而是因為水不夠熱了。

那么熱水為什么會變冷呢？假如你想建一個較精細的模型，你當然應當把水池、空氣等吸熱的因素都考慮進去，但餐館老板的原意只是想了解一下一池熱水平均大約可以洗多少盤子，殺雞焉用牛刀？

不妨可以提出以下簡化假設：（1）水池、空氣吸熱不計，只考慮盤子吸熱，盤子的大小、材料相同（2）盤子初始溫度與氣溫相同，洗完后的溫度與水溫相同（3）水池中的水量為常數(shù)，開始溫度為T1，最終換水時的溫度為T2（4）每個盤子的洗滌時間△T是一個常數(shù)。（這一假設甚至可以去掉不要）根據(jù)上述簡化假設，利用熱量守衡定律，餐館老板的問題就很容易回答了，當然，你還應當調查一下一池水的質量是多少，查一下瓷盤的吸熱系數(shù)和質量等。

可見，假設條件的提出不僅和你研的問題有關，還和你準備利用哪些知識、準備建立什么樣的模型以及你準備研究的深入程度有關，即在你提出假設時，你建模的框架已經(jīng)基本搭好了。例4餐館每天都要洗大量的盤子，為了方便，某餐館是這樣清洗89例4飛機失事時，黑匣子會自動打開，發(fā)射出某種射線。為了搞清失事原因，人們必須盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必須確定其所在的方向和距離，試設計一些尋找黑匣子的方法。由于要確定兩個參數(shù)，至少要用儀器檢測兩次，除非你事先知道黑匣子發(fā)射射線的強度。例4飛機失事時，黑匣子會自動打開，發(fā)射出某種射線。為了搞清90方法一點光源發(fā)出的射線在各點處的照度與其到點光源的距離的平方成反比，即黑匣子所在方向很容易確定，關鍵在于確定距離。設在同一方向不同位置檢測了兩次，測得的照度分別為I1和I2，兩測量點間的距離為a，則有方法一點光源發(fā)出的射線在各點處的照度與其到點光源的距離的91實例編程練習：1、設在同一方向不同位置檢測了兩次，測得照度分別為3和6，兩測量點間的距離為60。請編程實現(xiàn)距離的求解。Functionjuli(a,i1,i2)D=a/(sqrt(i2/i1)-1)在matlab里面輸入juli(60,3,6),可以得到D=144.852米實例編程練習：1、設在同一方向不同位置檢測了兩次，測得Fun92方法二在方法一中，兩檢測點與黑匣子位于一直線上，這一點比較容易做到，主要缺點是結果對照度測量的精度要求較高，很少的誤差會造成結果的很大變化，即敏感性很強，現(xiàn)提出另一方法，在A點測得黑匣子方向后，到B點再測方向，AB

距離為a

，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得出d=asinα/sin(α+β)。需要指出的是，當黑匣子位于較遠處而α又較小時，α+β可能非常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又恰好位于分母上，因而對結果的精確性影響也會很大，為了使結果較好，應使a也相對較大。BACaαβ方法二在方法一中，兩檢測點與黑匣子93

圓周率是人類獲得的最古老的數(shù)學概念之一，早在大約3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已經(jīng)在用256/81（約3.1605）作為π的近似值了。幾千年來，人們一直沒有停止過求π的努力。π的計算圓周率是人類獲得的最古老的數(shù)學概念之一，早在大約370094

古典方法

分析方法

其它方法概率方法數(shù)值積分方法古典方法概率方法95古典方法用什么方法來計算π的近似值呢？顯然，不可能僅根據(jù)圓周率的定義，用圓的周長去除以直徑。起先，人們采用的都是用圓內接正多邊形和圓外切正多邊形來逼近的古典方法。6邊形12邊形24邊形圓古典方法用什么方法來計算π的近似值呢？顯然，不可能僅根據(jù)96阿基米德曾用圓內接96邊形和圓外切96邊形夾逼的方法證明了由和導出公元5世紀，祖沖之指出比西方得到同樣結果幾乎早了1000年阿基米德曾用圓內接96邊形和圓外切96邊形夾逼的方法證97十五世紀中葉，阿爾·卡西給出π的16位小數(shù)，打破了祖沖之的紀錄1579年,韋達證明1630年,最后一位用古典方法求π的人格林伯格也只求到了π的第39位小數(shù)十五世紀中葉，阿爾·卡西給出π的16位小數(shù)，打破了祖沖之98分析方法從十七世紀中葉起，人們開始用更先進的分析方法來求π的近似值，其中應用的主要工具是收斂的無窮乘積和無窮級數(shù)，在本節(jié)中我們將介紹一些用此類方法求π近似值的實例。分析方法從十七世紀中葉起，人們開始用更先進的分析方法來求π991656年，沃里斯(Wallis)證明請編程序實現(xiàn)上述求法1656年，沃里斯(Wallis)證明請編程序實現(xiàn)上述求