人教A版高中數(shù)學(xué)選修21《32立體幾何中的向量方法(二)》課件

§3.2立體幾何中的向量方法(二)

空間向量與垂直關(guān)系§3.2立體幾何中的向量方法(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用向量法判斷一些簡單線線、線面、面面垂直關(guān)系.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.3.能用向量方法證明空間線面垂直關(guān)系的有關(guān)定理.學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)問題導(dǎo)學(xué)知識點一向量法判斷線線垂直思考

若直線l1的方向向量為μ1＝(1，3，2)，直線l2的方向向量為μ2＝(1，－1，1)，那么兩直線是否垂直？用向量法判斷兩條直線垂直的一般方法是什么？答案知識點一向量法判斷線線垂直思考若直線l1的方向向量為μ1l1與l2垂直，因為μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是兩直線的方向向量，所以l1與l2垂直.(2)判斷兩直線的方向向量的數(shù)量積是否為零，若數(shù)量積為零，則兩直線垂直，否則不垂直.l1與l2垂直，因為μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ梳理設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?

?

.a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a·b＝0梳理設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方知識點二向量法判斷線面垂直思考

答案知識點二向量法判斷線面垂直思考答案垂直，因為μ1＝

μ2，所以μ1∥μ2，即直線的方向向量與平面的法向量平行，所以直線l與平面α垂直.判斷直線與平面的位置關(guān)系的方法：(1)直線l的方向向量與平面α的法向量共線?l⊥α.(2)直線的方向向量與平面的法向量垂直?直線與平面平行或直線在平面內(nèi).(3)直線l的方向向量與平面α內(nèi)的兩相交直線的方向向量垂直?l⊥α.垂直，因為μ1＝μ2，所以μ1∥μ2，即直線的方向向量與梳理設(shè)直線l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?a∥μ?

.a＝kμ(k∈R)梳理設(shè)直線l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向知識點三向量法判斷面面垂直思考

平面α，β的法向量分別為μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐標(biāo)法表示兩平面α，β垂直的關(guān)系式是什么？x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.答案知識點三向量法判斷面面垂直思考平面α，β的法向量分別為μ梳理若平面α的法向量為μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為ν＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?μ⊥ν?μ·ν＝0?

.a1a2＋b1b2＋c1c2＝0梳理若平面α的法向量為μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向題型探究題型探究類型一證明線線垂直例1

已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側(cè)棱CC1上的點，且CN＝

CC1.求證：AB1⊥MN.證明類型一證明線線垂直例1已知正三棱柱ABC－A1B1C1的設(shè)AB中點為O，作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB為x軸，OC為y軸，OO1為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB中點為O，作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB為x軸證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直.反思與感悟證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點的坐標(biāo)→∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C兩兩垂直.如圖，以C為坐標(biāo)原點，CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，跟蹤訓(xùn)練1如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求證：AC⊥BC1.證明∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長AC＝3，BC＝4，類型二證明線面垂直例2

如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點.求證：AB1⊥平面A1BD.證明類型二證明線面垂直例2如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1如圖所示，取BC的中點O，連接AO.因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC.因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.如圖所示，取BC的中點O，連接AO.又因為BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.人教A版高中數(shù)學(xué)選修21《32立體幾何中的向量方法(二)》課件反思與感悟用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟方法一：(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.(3)找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量.(4)分別計算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0.方法二：(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.(3)求出平面的法向量.(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.反思與感悟用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟跟蹤訓(xùn)練2如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，點P為DD1的中點.求證：直線PB1⊥平面PAC.證明跟蹤訓(xùn)練2如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB又PA∩PC＝P，所以PB1⊥平面PAC.人教A版高中數(shù)學(xué)選修21《32立體幾何中的向量方法(二)》課件類型三證明面面垂直例3在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E為BB1的中點，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C.證明類型三證明面面垂直例3在三棱柱ABC－A1B1C1中，A設(shè)平面AA1C1C的法向量為n1＝(x，y，z)，令x＝1，得y＝1，故n1＝(1，1，0).人教A版高中數(shù)學(xué)選修21《32立體幾何中的向量方法(二)》課件設(shè)平面AEC1的法向量為n2＝(a，b，c)，令c＝4，得a＝1，b＝－1，故n2＝(1，－1，4).因為n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n1⊥n2.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.設(shè)平面AEC1的法向量為n2＝(a，b，c)，反思與感悟證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明.(2)向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直.反思與感悟證明面面垂直的兩種方法跟蹤訓(xùn)練3在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分別是AC、AD的中點，求證：平面BEF⊥平面ABC.證明跟蹤訓(xùn)練3在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD設(shè)平面ABC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，∴n1＝(1，－1，0)為平面ABC的一個法向量.人教A版高中數(shù)學(xué)選修21《32立體幾何中的向量方法(二)》課件設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面BEF的一個法向量，同理可得n2＝(1，1，－

).∵n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－

)＝0，∴平面BEF⊥平面ABC.設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面BEF的一個法向量，當(dāng)堂訓(xùn)練當(dāng)堂訓(xùn)練1.下列命題中，正確命題的個數(shù)為①若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2?α∥β；②若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β

?

n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a與平面α平行，則n·a＝0；④若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面不垂直.A.1B.2C.3D.4①中平面α，β可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，易知②③④正確.答案解析√234511.下列命題中，正確命題的個數(shù)為①中平面α，β可能平行，也可2.已知兩直線的方向向量為a，b，則下列選項中能使兩直線垂直的為A.a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)B.a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)因為a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故選B.√23451答案解析2.已知兩直線的方向向量為a，b，則下列選項中能使兩直線垂直234513.若直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的法向量為μ＝(－2，0，－4)，則A.l∥α

B.l⊥α

C.l?α

D.l與α斜交∵a∥μ，∴l(xiāng)⊥α.√答案解析234513.若直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，平面α234514.平面α的一個法向量為m＝(1，2，0)，平面β的一個法向量為n＝(2，－1，0)，則平面α與平面β的位置關(guān)系是A.平行

B.相交但不垂直

C.垂直

D.不能確定∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，∴兩法向量垂直，從而兩平面垂直.√答案解析234514.平面α的一個法向量為m＝(1，2，0)，平面β234515.已知平面α與平面β垂直，若平面α與平面β的法向量分別為μ＝(－1，0，5)，ν＝(t，5，1)，則t的值為____.5∵平面α與平面β垂直，∴平面α的法向量μ與平面β的法向量ν垂直，∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.答案解析234515.已知平面α與平面β垂直，若平面α與平面β的法向規(guī)律與方法空間垂直關(guān)系的解決策略

幾何法向量法線線垂直(1)證明兩直線所成的角為90°.(2)若直線與平面垂直，則此直線與平面內(nèi)所有直線垂直兩直線的方向向量互相垂直線面垂直對于直線l，m，n和平面α(1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m與n相交，則l⊥α.(2)若l∥m，m⊥α，則l⊥α(1)證明直線的方向向量分別與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量垂直.(2)證明直線的方向向量與平面的法向量是平行向量規(guī)律與方法空間垂直關(guān)系的解決策略

幾何法向量法線線(1)證明面面垂直對于直線l，m和平面α，β(1)若l⊥α，l?β，則α⊥β.(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，則α⊥β.(3)若平面α與β相交所成的二面角為直角，則α⊥β證明兩個平面的法向量互相垂直面面對于直線l，m和平面α，β證明兩個平§3.2立體幾何中的向量方法(二)

空間向量與垂直關(guān)系§3.2立體幾何中的向量方法(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用向量法判斷一些簡單線線、線面、面面垂直關(guān)系.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.3.能用向量方法證明空間線面垂直關(guān)系的有關(guān)定理.學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)問題導(dǎo)學(xué)知識點一向量法判斷線線垂直思考

若直線l1的方向向量為μ1＝(1，3，2)，直線l2的方向向量為μ2＝(1，－1，1)，那么兩直線是否垂直？用向量法判斷兩條直線垂直的一般方法是什么？答案知識點一向量法判斷線線垂直思考若直線l1的方向向量為μ1l1與l2垂直，因為μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是兩直線的方向向量，所以l1與l2垂直.(2)判斷兩直線的方向向量的數(shù)量積是否為零，若數(shù)量積為零，則兩直線垂直，否則不垂直.l1與l2垂直，因為μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ梳理設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?

?

.a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a·b＝0梳理設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方知識點二向量法判斷線面垂直思考

答案知識點二向量法判斷線面垂直思考答案垂直，因為μ1＝

μ2，所以μ1∥μ2，即直線的方向向量與平面的法向量平行，所以直線l與平面α垂直.判斷直線與平面的位置關(guān)系的方法：(1)直線l的方向向量與平面α的法向量共線?l⊥α.(2)直線的方向向量與平面的法向量垂直?直線與平面平行或直線在平面內(nèi).(3)直線l的方向向量與平面α內(nèi)的兩相交直線的方向向量垂直?l⊥α.垂直，因為μ1＝μ2，所以μ1∥μ2，即直線的方向向量與梳理設(shè)直線l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?a∥μ?

.a＝kμ(k∈R)梳理設(shè)直線l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向知識點三向量法判斷面面垂直思考

平面α，β的法向量分別為μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐標(biāo)法表示兩平面α，β垂直的關(guān)系式是什么？x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.答案知識點三向量法判斷面面垂直思考平面α，β的法向量分別為μ梳理若平面α的法向量為μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為ν＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?μ⊥ν?μ·ν＝0?

.a1a2＋b1b2＋c1c2＝0梳理若平面α的法向量為μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向題型探究題型探究類型一證明線線垂直例1

已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側(cè)棱CC1上的點，且CN＝

CC1.求證：AB1⊥MN.證明類型一證明線線垂直例1已知正三棱柱ABC－A1B1C1的設(shè)AB中點為O，作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB為x軸，OC為y軸，OO1為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB中點為O，作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB為x軸證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直.反思與感悟證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點的坐標(biāo)→∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C兩兩垂直.如圖，以C為坐標(biāo)原點，CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，跟蹤訓(xùn)練1如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求證：AC⊥BC1.證明∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長AC＝3，BC＝4，類型二證明線面垂直例2

如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點.求證：AB1⊥平面A1BD.證明類型二證明線面垂直例2如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1如圖所示，取BC的中點O，連接AO.因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC.因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.如圖所示，取BC的中點O，連接AO.又因為BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.人教A版高中數(shù)學(xué)選修21《32立體幾何中的向量方法(二)》課件反思與感悟用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟方法一：(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.(3)找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量.(4)分別計算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0.方法二：(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.(3)求出平面的法向量.(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.反思與感悟用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟跟蹤訓(xùn)練2如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，點P為DD1的中點.求證：直線PB1⊥平面PAC.證明跟蹤訓(xùn)練2如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB又PA∩PC＝P，所以PB1⊥平面PAC.人教A版高中數(shù)學(xué)選修21《32立體幾何中的向量方法(二)》課件類型三證明面面垂直例3在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E為BB1的中點，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C.證明類型三證明面面垂直例3在三棱柱ABC－A1B1C1中，A設(shè)平面AA1C1C的法向量為n1＝(x，y，z)，令x＝1，得y＝1，故n1＝(1，1，0).人教A版高中數(shù)學(xué)選修21《32立體幾何中的向量方法(二)》課件設(shè)平面AEC1的法向量為n2＝(a，b，c)，令c＝4，得a＝1，b＝－1，故n2＝(1，－1，4).因為n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n1⊥n2.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.設(shè)平面AEC1的法向量為n2＝(a，b，c)，反思與感悟證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明.(2)向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直.反思與感悟證明面面垂直的兩種方法跟蹤訓(xùn)練3在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分別是AC、AD的中點，求證：平面BEF⊥平面ABC.證明跟蹤訓(xùn)練3在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD設(shè)平面ABC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，∴n1＝(1，－1，0)為平面ABC的一個法向量.人教A版高中數(shù)學(xué)選修21《32立體幾何中的向量方法(二)》課件設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面BEF的一個法向量，同理可得n2＝(1，1，－

).∵n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－

)＝0，∴平面BEF⊥平面ABC.設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面BEF的一個法向量，當(dāng)堂訓(xùn)練當(dāng)堂訓(xùn)練1.下列命題中，正確命題的個數(shù)為①若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2?α∥β；②若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β

?

n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a與平面α平行，則n·a＝0；④若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面不垂直.A.1B.2C.3D.4①中平面α，β可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，易知②③④正確.答案解析√234511.下列命題中，正確命題的個數(shù)為①中平面α，β可能平行，也可2.已知兩直線的方向向量為a，b，則下列選項中能使兩直線垂直的為A.a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)B.a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)因為a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故選B.√23451答案解析2.已知兩直線的方向向量為a，b，則下列