2019屆二輪(理科數學) 知識拓展 柯西不等式 專題卷(全國通用)

知識拓展:柯西不等式課時訓練■一、選擇題已知3x+y=10,則X2+y2的最小值為(C)(A)￡(B)l(C)10(D)100解析:(x2+y2)(9+l)上(3x+y)2=100,當且僅當x=3y,即x=3,y=l時等號成立，所以X2+y2的最小值為10.設實數x,y滿足3x2+2y2W6,則2x+y的最大值為(A)(A)?(B)4(C)2護(D)E解析：由柯西不等式知(2x+y)2W(:+])(3x2+2y2)W?X6=11,所以2x+y^^T.a,b,c,d三R,不等式(a2+b2)(c2+d2)上(ac+bd)2取等號的條件是(C)(A)ab+dc=0(B)ad+bc=0(C)ad-bc=0(D)ac-bd=0解析:V』或c=d=0,即ad-bc=0時等號成立.cd若四個實數a,a,^,^滿足口(i十心心;十。心丄1,則(a+a)-(a+a)的最大值為(B)3412(A)1(B)冊(C)2(D)*=@2-aD+2(a3-a2)+@4~a3)!2三二〕(心—匚廣+(心—?)'](1+4+1)=6,1當且僅當=時等號成立,1當且僅當=時等號成立,所以(a+a)-(a+a)的最大值為".3412已知a,b,c,d^R,且滿足a+b+c+d=625,則少+與+壬+菊的最大值是+(B)(A)25(B)50(C)千(D)625解析：f卜廠"；；W(a+b+c+d)(l+l+l+l)=2500,所以&+?+&：+"的最大值為50,當且僅當a二b=c=d二弓時取等號.已知0〈a,b,c〈l,且a+b+c=2,則a2+b2+c2的取值范圍是(C)(A)[l,+-)(B)[、2](C)[、2)(D)(、2)解析:4=(a+b+c)2W(a2+b2+c2)(l+l+l),所以a2+b2+c2$；,又0〈a,b,c〈1,所以a2〈a,b2〈b,C2〈c,a2+b2+c2〈a+b+c=2,；Wa2+b2+c2〈2.故選C.二、填空題x,yW(0,1),則—77—門的最大值是.解析：[—貳+^—]2W(x+1-x)(1-y+y)=1,所以心〔1W+”X：最大值為1,當且僅當二一丄時等號成立.答案：18?設x,yWR,那么(x+y)(】+l)的最小值是+xy

解析：(x+y)(】+1)上(1+2)2=9,xy當且僅當y=2x時取等號，所以(x+y)儀)的最小值為9.答案:9,此時設2x+3y+4z=22(x,y,z〉0),貝匸+二+』的最小值是,此時xyzx=,y=,z=x=,y=,z=解析：C+J+?)(2x+3y+4z)上(2+3+6)2,xyz所以3+J+?上目=:,xyz222當且僅當x2=y2=i-z2時取等號，則3x=3y=2z,可得x=2,y=2,z=3.答案:：223已知a,b,cWR,a+2b+3c=6,則a2+4b2+9c2的最小值為+解析：(a2+4b2+9c2)(l+l+l)上(a+2b+3c)2=36,當且僅當a=2b=3c時取等號所以a2+4b2+9c2的最小值為12.答案：12已知實數a,b,c,d滿足a+b+c+d=3,a2+4b2+2c2+4d2=5,則a的最小值與最大值之差為.解析：由柯西不等式，得(4b2+2c2+4d2)(]+]+f)上(b+c+d)2,即4b2+2c2+4d2$(b+c+d)2.2ba/2c2d當且僅當[二工=1時等號成立,2J22由條件,可得5-a2上(3-a)2,解得1WaW2,

故最小值與最大值之差為-1答案:-1對于c〉0,當非零實數a,b滿足4a2-2ab+4b2-c=0,且使|2a+b|最大時,；-：+；的最小值為.abc解析:2c=-(2a+b)2+3(4a2+3b2),(4a2+3b2)(l+[)上(2a+b)24a2+3b2^(2a+b)2,即(2a+b)2,當且僅當4a2=9b2,即2a=3b=6入(同號時),34,5_11_1一一一+一一■―一一一abc8久$A34,5_11_1一一一+一一■―一一一abc8久$A82-22-2,當且僅當a=]b=；,c=「等號成立,所以二-：+；的最小值為-2.abc答案：-2三、解答題已知關于x的不等式|x+a|〈b(b〉0)的解集為｛x|2〈x〈4｝.求實數a,b的值;求0丨1；?+麗的最大值.解：⑴由|x+a|〈b,得-b-a〈x〈b-a,則｛J(書]解得a=-3,b=1.(2)J-+12+/一弟J4-t+y/i2f「廠寸丨腫-2^^71-4,當且僅當-*,即t=1時等號成立,故Qy?+/)=4.max已知aj\—+b—=1,求證：a2+b2=l.證明:由柯西