中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件

中考數(shù)學(xué)

§3.4二次函數(shù)中考數(shù)學(xué)

§3.4二次函數(shù)考點(diǎn)一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.(2018山西,9,3分)用配方法將二次函數(shù)y=x2-8x-9化為y=a(x-h)2+k的形式為()A.y=(x-4)2+7

B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7

D.y=(x+4)2-25答案

B

y=x2-8x-9=x2-8x+16-16-9=(x-4)2-25,故選B.考點(diǎn)一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.(2018山西,9,3分)用22.(2019甘肅蘭州,11,4分)已知點(diǎn)A(1,y1),B(2,y2)在拋物線y=-(x+1)2+2上,則下列結(jié)論正確的是?()A.2>y1>y2

B.2>y2>y1C.y1>y2>2

D.y2>y1>2答案

A由y=-(x+1)2+2知,拋物線開(kāi)口向下,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1,y的最大值為2,在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè),y隨x的增

大而減小,又∵1<2,∴2>y1>y2,故選A.2.(2019甘肅蘭州,11,4分)已知點(diǎn)A(1,y1),B33.(2020四川成都,10,3分)關(guān)于二次函數(shù)y=x2+2x-8,下列說(shuō)法正確的是?()A.圖象的對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)B.圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,8)C.圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0)和(4,0)D.y的最小值為-9答案

D圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-

=-1,在y軸的左側(cè),故A錯(cuò);∵當(dāng)x=0時(shí),y=-8,∴圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-8),故B錯(cuò);∵y=x2+2x-8=(x+4)(x-2),∴圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0)和(2,0),故C錯(cuò);∵y=x2+2x-8=(x+1)2-9,(x+1)2≥0,∴(x+1)2-9≥-9,∴y的最小值為-9,故D正確.中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件3.(2020四川成都,10,3分)關(guān)于二次函數(shù)y=x2+244.(2020陜西,10,3分)在平面直角坐標(biāo)系中,將拋物線y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y軸向下平移3個(gè)單位,則平移

后得到的拋物線的頂點(diǎn)一定在?()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

D解法一:將拋物線y=x2-(m-1)x+m沿y軸向下平移3個(gè)單位后,得拋物線y=x2-(m-1)x+m-3=

+

,∴平移后得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

.∵m>1,∴

>0,-m2+6m-13=-(m-3)2-4<0,即

<0.∴頂點(diǎn)在第四象限,故選D.解法二:將拋物線y=x2-(m-1)x+m沿y軸向下平移3個(gè)單位后,得拋物線y=x2-(m-1)x+m-3.∵m>1,∴Δ=b2-4ac=[-(m-1)]2-4(m-3)=(m-3)2+4>0.∵m>1,∴

>0,∴對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè),又知拋物線開(kāi)口向上,∴頂點(diǎn)在第四象限.故選D.中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件4.(2020陜西,10,3分)在平面直角坐標(biāo)系中,將拋物線55.(2019陜西,10,3分)在同一平面直角坐標(biāo)系中,若拋物線y=x2+(2m-1)x+2m-4與y=x2-(3m+n)x+n關(guān)于y軸對(duì)

稱(chēng),則符合條件的m、n的值分別為()A.

,-

B.5,-6

C.-1,6

D.1,-2答案

D若兩條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則兩條拋物線的對(duì)稱(chēng)軸關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),兩條拋物線與y軸交于同一

點(diǎn),由

解得

故選D.中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件5.(2019陜西,10,3分)在同一平面直角坐標(biāo)系中,若拋66.(2020四川南充,9,4分)如圖,正方形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)依次為(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若拋物線y=ax2與正方

形有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是?()

A.

≤a≤3

B.

≤a≤1C.

≤a≤3

D.

≤a≤1答案

A當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3)時(shí),a=3;當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,1)時(shí),a=

,由圖象可知

≤a≤3,故選A.中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件6.(2020四川南充,9,4分)如圖,正方形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)77.(2020江西,22,9分)已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如下

表:x…-2-1012…y…m0-3n-3…(1)根據(jù)以上信息,可知拋物線開(kāi)口向

,對(duì)稱(chēng)軸為

;(2)求拋物線的表達(dá)式及m,n的值;(3)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出所求的拋物線.設(shè)點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),OP的中點(diǎn)為P',描出相應(yīng)的點(diǎn)P',再把相應(yīng)的點(diǎn)

P'用平滑的曲線連接起來(lái),猜想該曲線是哪種曲線;(4)設(shè)直線y=m(m>-2)與拋物線及(3)中的點(diǎn)P'所在曲線都有兩個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)從左到右依次為A1,A2,A3,A4,請(qǐng)

根據(jù)圖象直接寫(xiě)出線段A1A2,A3A4之間的數(shù)量關(guān)系:

.中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件7.(2020江西,22,9分)已知拋物線y=ax2+bx+8解析(1)上;直線x=1.詳解:由x=-1,y=0;x=0,y=-3;x=2,y=-3,可知拋物線開(kāi)口向上.由題表可知:x=0,y=-3;x=2,y=-3,根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

=1.(2)由題表可知拋物線過(guò)點(diǎn)(0,-3).∴y=ax2+bx-3.將(-1,0),(2,-3)代入,得

解得

∴y=x2-2x-3.當(dāng)x=-2時(shí),m=(-2)2-2×(-2)-3=5;當(dāng)x=1時(shí),n=12-2×1-3=-4.(3)如圖1所示,點(diǎn)P'所在曲線是拋物線.詳解:設(shè)P(x',y'),P'(x,y),∵P'是OP的中點(diǎn),∴x'=2x,y'=2y,代入點(diǎn)P所在圖象的表達(dá)式可得2y=(2x)2-2×2x-3,即中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件解析(1)上;直線x=1.中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件中考復(fù)9y=2x2-2x-

,為點(diǎn)P'所在曲線的表達(dá)式,∴點(diǎn)P'所在曲線是拋物線.(4)A3A4-A1A2=1.詳解:如圖2.設(shè)點(diǎn)A1,A2,A3,A4對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,x4,∴A1A2=x2-x1,A3A4=x4-x3,∴A3A4-A1A2=x4-x3-(x2-x1)

=x4+x1-(x3+x2),令y=x2-2x-3=m,可得x2-2x-3-m=0,它對(duì)應(yīng)的兩個(gè)根應(yīng)為x1,x4,∴x1+x4=2,令y=2x2-2x-

=m,可得2x2-2x-

-m=0,它對(duì)應(yīng)的兩個(gè)根應(yīng)為x2,x3,∴x2+x3=1,∴A3A4-A1A2=2-1=1.中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件y=2x2-2x-?,為點(diǎn)P'所在曲線的表達(dá)式,∴點(diǎn)P'所在108.(2019云南,21,8分)已知k是常數(shù),拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k的對(duì)稱(chēng)軸是y軸,并且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).(1)求k的值;(2)若點(diǎn)P在拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y(tǒng)軸的距離是2,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解析(1)∵拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k的對(duì)稱(chēng)軸是y軸,∴-

=0,即k2+k-6=0,解得k=-3或k=2.?(2分)當(dāng)k=2時(shí),二次函數(shù)解析式為y=x2+6,它的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn),不滿(mǎn)足題意,舍去.當(dāng)k=-3時(shí),二次函數(shù)解析式為y=x2-9,它的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),滿(mǎn)足題意.∴k=-3.?(4分)(2)∵點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2,∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-2或2.又點(diǎn)P在拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且由(1)知k=-3,∴當(dāng)x=2時(shí),y=-5;當(dāng)x=-2時(shí),y=-5.?(6分)∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-5)或(-2,-5).?(8分)中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件中考復(fù)習(xí)§二次函數(shù)教學(xué)課件8.(2019云南,21,8分)已知k是常數(shù),拋物線y=x211易錯(cuò)警示(1)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-

.(2)點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離為|y|,到y(tǒng)軸的距離為|x|,二者容易混淆,從而導(dǎo)致失分.易錯(cuò)警示(1)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸12考點(diǎn)二系數(shù)a、b、c的作用1.(2020云南昆明,13,4分)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,與y軸交于點(diǎn)B(0,-2),點(diǎn)A(-1,

m)在拋物線上,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是?()

A.ab<0B.一元二次方程ax2+bx+c=0的正實(shí)數(shù)根在2和3之間C.a=

D.點(diǎn)P1(t,y1),P2(t+1,y2)在拋物線上,當(dāng)實(shí)數(shù)t>

時(shí),y1<y2

考點(diǎn)二系數(shù)a、b、c的作用1.(2020云南昆明,13,413答案

D∵拋物線的開(kāi)口向上,∴a>0,根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)可知-

>0,∴b<0,所以ab<0,A選項(xiàng)結(jié)論正確;根據(jù)題圖可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的負(fù)實(shí)數(shù)根在-1和0之間,根據(jù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知,一元二次

方程ax2+bx+c=0的正實(shí)數(shù)根在2和3之間,B選項(xiàng)結(jié)論正確;易知x=-

=1,所以b=-2a,又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-2),故函數(shù)解析式為y=ax2-2ax-2,把點(diǎn)(-1,m)代入得,a+2a-2=m,即a=

,C選項(xiàng)結(jié)論正確;易證當(dāng)t=

時(shí),y1=y2;當(dāng)t<

時(shí),點(diǎn)P1距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn),y1>y2,當(dāng)t>

時(shí),點(diǎn)P2距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn),y1<y2,D選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.故選D.答案

D∵拋物線的開(kāi)口向上,∴a>0,根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸在y142.(2020新疆,8,5分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=

在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是?()

2.(2020新疆,8,5分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的15答案

D由拋物線開(kāi)口向上可得a>0.∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=-

在y軸右側(cè),∴-

>0,而a>0,∴b<0.由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸上可得c>0.當(dāng)a>0,b<0時(shí),一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限;當(dāng)c>0時(shí),反比例函數(shù)y=

的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限,故選D.答案

D由拋物線開(kāi)口向上可得a>0.163.(2019天津,12,3分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如下表:x…-2-1012…y=ax2+bx+c…tm-2-2n…且當(dāng)x=-

時(shí),與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y>0.有下列結(jié)論:①abc>0;②-2和3是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=t的兩個(gè)根;③0<m+n<

.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是?()A.0

B.1

C.2

D.33.(2019天津,12,3分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c17答案

C由題表可知,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,-2),(1,-2),∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

=

,c=-2,由題意可知,a>0,b<0,c<0,∴abc>0,∴①正確.根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知(-2,t)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(3,t),即-2和3是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=t(a≠0)的兩個(gè)根,∴②正確.∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

,∴-

=

,∴b=-a,∵當(dāng)x=-

時(shí),y>0,∴

a-

b-2>0,即

a+

a-2>0,∴a>

.∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,m),(2,n),∴m=n,又當(dāng)x=-1時(shí),m=a-b+c=a+a-2=2a-2,∴m+n=4a-4,∵a>

,∴4a-4>

,∴③錯(cuò)誤.故選C.答案

C由題表可知,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a18考點(diǎn)三二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系1.(2020內(nèi)蒙古呼和浩特,6,3分)已知二次函數(shù)y=(a-2)x2-(a+2)x+1,當(dāng)x取互為相反數(shù)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)值時(shí),

對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總相等,則關(guān)于x的一元二次方程(a-2)x2-(a+2)x+1=0的兩根之積為?()A.0

B.-1

C.-

D.-

答案

D依題意得,該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為y軸.∴-(a+2)=0,解得a=-2.∴方程可化為-4x2+1=0,設(shè)方程兩根分別為x1,x2,∴x1·x2=-

,故選D.解題關(guān)鍵明確該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為y軸是解題關(guān)鍵.考點(diǎn)三二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系1.(2020內(nèi)蒙古192.(2020貴州貴陽(yáng),10,3分)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)(-3,0)與(1,0)兩點(diǎn),關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m

=0(m>0)有兩個(gè)根,其中一個(gè)根是3,則關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n=0(0<n<m)有兩個(gè)整數(shù)根,這兩個(gè)整數(shù)根是

?()A.-2或0

B.-4或2

C.-5或3

D.-6或42.(2020貴州貴陽(yáng),10,3分)已知二次函數(shù)y=ax2+20答案

B∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)(-3,0)與(1,0)兩點(diǎn),∴由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知,函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-1,又∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有兩個(gè)根,其中一個(gè)根是3,∴當(dāng)y=-m時(shí),關(guān)于x的方程ax2+bx+c=-m(m>0)有兩個(gè)根,其中一個(gè)根是3.則函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開(kāi)口向下,設(shè)直線y=-m(m>0)與函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是3,由對(duì)稱(chēng)性得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-5,如圖所示.

設(shè)直線y=-n(0<n<m)與函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交于C、D,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x1,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x2,∵a<0,∴-5<x1<-3,1<x2<3,∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c=-n(0<n<m)有兩個(gè)整數(shù)根,∴這兩個(gè)整數(shù)根是-4或2,故選B.答案

B∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)(-213.(2019貴州貴陽(yáng),10,3分)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B(1,1)都在直線y=

x+

上,若拋物線y=ax2-x+1(a≠0)與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則a的取值范圍是?()A.a≤-2

B.a<

C.1≤a<

或a≤-2

D.-2≤a<

3.(2019貴州貴陽(yáng),10,3分)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知22答案

C令ax2-x+1=

x+

,即ax2-

x+

=0,若直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則有

-4×

a>0,解得a<

.若拋物線與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則①當(dāng)a<0時(shí),

解得a≤-2,∴a≤-2;②當(dāng)a>0時(shí),

解得a≥1,∴1≤a<

.綜上所述,1≤a<

或a≤-2,故選C.答案

C令ax2-x+1=?x+?,即ax2-?x+234.(2019遼寧大連,10,3分)如圖,拋物線y=-

x2+

x+2與x軸相交于A,B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D在拋物線上,且CD∥AB.AD與y軸相交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E的直線PQ平行于x軸,與拋物線交于P,Q兩點(diǎn),則線段PQ的長(zhǎng)為

?()

A.3

B.1+

C.4

D.2

4.(2019遼寧大連,10,3分)如圖,拋物線y=-?x224答案

D在y=-

x2+

x+2中,令x=0,則y=2,∴C(0,2);令y=0,則-

x2+

x+2=0,解得x=-2或4,∴A(-2,0).∵CD∥AB,∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同,為2,令y=2,則-

x2+

x+2=2,解得x=0或2,∴D(2,2).設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b(k≠0),將(-2,0),(2,2)代入y=kx+b中,得

解得

∴直線AD的解析式為y=

x+1,令y=

x+1中的x=0,則y=1,∴E(0,1).令-

x2+

x+2=1,即x2-2x-4=0,解得x=1±

,所以PQ=(1+

)-(1-

)=2

,故選D.思路分析根據(jù)拋物線的解析式求出拋物線與x軸的交點(diǎn)A,與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo),因?yàn)镃D∥AB,所以點(diǎn)

D的縱坐標(biāo)和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同,將點(diǎn)D的縱坐標(biāo)代入拋物線解析式中,從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo).利用待定系

數(shù)法求直線AD的解析式,并進(jìn)一步求出點(diǎn)E的坐標(biāo),將點(diǎn)E的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,求出點(diǎn)P、Q

的橫坐標(biāo),進(jìn)而可求出PQ的長(zhǎng).答案

D在y=-?x2+?x+2中,令x=0,則y=255.(2018天津,12,3分)已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),(0,3),其對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè).有

下列結(jié)論:①拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0);②方程ax2+bx+c=2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;③-3<a+b<3.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為?()A.0

B.1

C.2

D.3答案

C∵拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),其對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè),∴拋物線不能經(jīng)過(guò)

點(diǎn)(1,0),∴①錯(cuò)誤.∵拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),(0,3),其對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè),∴拋物

線開(kāi)口向下,與直線y=2有兩個(gè)交點(diǎn),∴方程ax2+bx+c=2(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故②正確.∵拋物線

的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè),∴-

>0.∵a<0,∴b>0.把(-1,0),(0,3)分別代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,∴b=a+3,a=b-3.∴-3<a<0,0<b<3.∴-3<a+b<3.故③正確.故選C.5.(2018天津,12,3分)已知拋物線y=ax2+bx+266.(2020內(nèi)蒙古包頭,19,3分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(-1,m)和B(5,m)是拋物線y=x2+bx+1上的兩點(diǎn),將拋

物線y=x2+bx+1向上平移n(n是正整數(shù))個(gè)單位,使平移后的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn),則n的最小值為

.答案4解析∵拋物線過(guò)點(diǎn)A(-1,m),B(5,m),∴(-1)2-b+1=52+5b+1,解得b=-4,∴y=x2-4x+1=(x-2)2-3,∴拋物線的頂

點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3).將拋物線y=(x-2)2-3向上平移n(n是正整數(shù))個(gè)單位,使平移后的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn),則n>3.

∴n的最小值為4.6.(2020內(nèi)蒙古包頭,19,3分)在平面直角坐標(biāo)系中,已277.(2020寧夏,10,3分)若二次函數(shù)y=-x2+2x+k的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),則k的取值范圍是

.答案

k>-1解析若二次函數(shù)y=-x2+2x+k的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),則Δ=4+4k>0,解得k>-1.7.(2020寧夏,10,3分)若二次函數(shù)y=-x2+2x+288.(2019湖北武漢,15,3分)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-3,0),B(4,0)兩點(diǎn),則關(guān)于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-

bx的解是

.答案

x1=-2,x2=5解析解法一:將方程整理可得a(x-1)2+b(x-1)+c=0,它的解是函數(shù)y=a(x-1)2+b(x-1)+c的圖象與x軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo),而y=a(x-1)2+b(x-1)+c的圖象可以看作由函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到,所以

將函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)也向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度,為(-2,0)和(5,0).所以方程的解為x1=-2,x2

=5.解法二:依題意,得

解得

所以關(guān)于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx可化為a(x-1)2-12a=-a+ax,即(x-1)2-12=-1+x,化簡(jiǎn)得x2-3x-10=0,解得x1=-2,x2=5.8.(2019湖北武漢,15,3分)拋物線y=ax2+bx+29考點(diǎn)一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)教師專(zhuān)用題組1.(2019浙江溫州,9,4分)已知二次函數(shù)y=x2-4x+2,關(guān)于該函數(shù)在-1≤x≤3的取值范圍內(nèi),下列說(shuō)法正確的

是()A.有最大值-1,有最小值-2B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1D.有最大值7,有最小值-2答案

D

y=x2-4x+2=(x-2)2-2(-1≤x≤3).由圖象可知當(dāng)x=2時(shí),y取得最小值-2,當(dāng)x=-1時(shí),y取得最大值7.故選D.

考點(diǎn)一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)教師專(zhuān)用題組1.(2019浙江溫302.(2018陜西,10,3分)對(duì)于拋物線y=ax2+(2a-1)x+a-3,當(dāng)x=1時(shí),y>0,則這條拋物線的頂點(diǎn)一定在?()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

C當(dāng)x=1時(shí),y=a+2a-1+a-3>0,解得a>1,又根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得-

=-

<0,

=

=

<0,所以這條拋物線的頂點(diǎn)一定在第三象限,故選C.2.(2018陜西,10,3分)對(duì)于拋物線y=ax2+(2a313.(2018湖北黃岡,6,3分)當(dāng)a≤x≤a+1時(shí),函數(shù)y=x2-2x+1的最小值為1,則a的值為?()A.-1

B.2

C.0或2

D.-1或2答案

D

y=x2-2x+1=(x-1)2,當(dāng)a≥1時(shí),在a≤x≤a+1時(shí),y隨x的增大而增大,函數(shù)的最小值為a2-2a+1,則a2-2

a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);當(dāng)a+1≤1,即a≤0時(shí),在a≤x≤a+1時(shí),y隨x的增大而減小,函數(shù)的最小值為(a+

1)2-2(a+1)+1=a2,則a2=1,解得a=-1或a=1(舍去);當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=x2-2x+1在x=1處取得最小值,最小值為0,

不合題意.綜上,a的值為-1或2,故選D.3.(2018湖北黃岡,6,3分)當(dāng)a≤x≤a+1時(shí),函數(shù)y324.(2017甘肅蘭州,9,4分)將拋物線y=3x2-3向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,得到新拋物線的表達(dá)式為?()A.y=3(x-3)2-3

B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3

D.y=3x2-6答案

A直接根據(jù)二次函數(shù)圖象“左加右減,上加下減”的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可.選A.4.(2017甘肅蘭州,9,4分)將拋物線y=3x2-3向右335.(2020四川南充,10,4分)關(guān)于二次函數(shù)y=ax2-4ax-5(a≠0)的三個(gè)結(jié)論:①對(duì)任意實(shí)數(shù)m,都有x1=2+m與x2=2

-m對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等;②若3≤x≤4,對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè),則-

<a≤-1或1≤a<

;③若拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn)A,B,且AB≤6,則a<-

或a≥1.其中正確的結(jié)論是

()A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③5.(2020四川南充,10,4分)關(guān)于二次函數(shù)y=ax2-34答案

D∵拋物線y=ax2-4ax-5(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-

=2,且x1=2+m與x2=2-m關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng),∴對(duì)任意實(shí)數(shù)m,都有x1=2+m與x2=2-m對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等.故①正確.當(dāng)x=3時(shí),y=-3a-5,當(dāng)x=4時(shí),y=-5.若a>0,當(dāng)3≤x≤4時(shí),-3a-5≤y≤-5,∵當(dāng)3≤x≤4時(shí),對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè),∴-9<-3a-5≤-8,∴1≤a<

.若a<0,當(dāng)3≤x≤4時(shí),-5≤y≤-3a-5,∵當(dāng)3≤x≤4時(shí),對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè),∴-2≤-3a-5<-1,∴-

<a≤-1.故②正確.答案

D∵拋物線y=ax2-4ax-5(a≠0)的對(duì)35若a>0,由拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn)A,B,得Δ=16a2+20a>0,即a(4a+5)>0,可得a>0.∵AB≤6,拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,∴當(dāng)x=5時(shí),y=25a-20a-5=5a-5≥0,∴a≥1.若a<0,由拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn)A,B,得Δ=16a2+20a>0,即a(4a+5)>0,可得a<-

.∵AB≤6,拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,∴當(dāng)x=5時(shí),y=25a-20a-5=5a-5≤0,解得a≤1.∴a<-

.綜上所述,當(dāng)a<-

或a≥1時(shí),拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn)A,B,且AB≤6.故③正確.故選D.若a>0,由拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn)A,B,36思路分析由題意可得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-

=2,由對(duì)稱(chēng)性可判斷①正確;分a>0和a<0兩種拋物線開(kāi)口方向討論②③,當(dāng)x=3時(shí),y=-3a-5,當(dāng)x=4時(shí),y=-5.根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)可得-3a-5≤y≤-5或-5≤y≤-3

a-5.當(dāng)3≤x≤4時(shí),對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè),可以得出-3a-5的取值范圍,進(jìn)而得出a的取值范圍,判斷出②正

確;拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn),說(shuō)明Δ=16a2+20a>0.然后根據(jù)AB≤6,可得當(dāng)x=5時(shí)函數(shù)值y滿(mǎn)足的條件,得

出a的取值范圍,進(jìn)而可知③正確.思路分析由題意可得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-?=2,由對(duì)稱(chēng)376.(2020內(nèi)蒙古呼和浩特,7,3分)關(guān)于二次函數(shù)y=

x2-6x+a+27,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是

()A.若將圖象向上平移10個(gè)單位,再向左平移2個(gè)單位后過(guò)點(diǎn)(4,5),則a=-5B.當(dāng)x=12時(shí),y有最小值a-9C.x=2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值比最小值大7D.當(dāng)a<0時(shí),圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)6.(2020內(nèi)蒙古呼和浩特,7,3分)關(guān)于二次函數(shù)y=?x38答案

C

y=

x2-6x+a+27=

(x-12)2+a-9,將圖象向上平移10個(gè)單位,再向左平移2個(gè)單位后,所得圖象對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式為y=

(x-10)2+a+1,當(dāng)x=4,y=5時(shí),5=

×(4-10)2+a+1,解得a=-5,故A中說(shuō)法正確.當(dāng)x=12時(shí),ymin=a-9,故B中說(shuō)法正確.當(dāng)x=2時(shí),y=

×(2-12)2+a-9=a+16,a+16-(a-9)=25,故C中說(shuō)法錯(cuò)誤.∵Δ=(-6)2-4×

×(a+27)=36-a-27=9-a,∴當(dāng)a<0時(shí),Δ>0,圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),故D中說(shuō)法正確.故選C.答案

C

y=?x2-6x+a+27=?(x-1397.(2020江西,6,3分)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=x2-2x-3與y軸交于點(diǎn)A,與x軸正半軸交

于點(diǎn)B,連接AB,將Rt△OAB向右上方平移,得到Rt△O'A'B',且點(diǎn)O',A'落在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上,點(diǎn)B'落在拋

物線上,則直線A'B'的表達(dá)式為?()A.y=x

B.y=x+1C.y=x+

D.y=x+2答案

B令x=0,則y=-3,故A(0,-3).令y=0,則x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,故B(3,0),易得直線AB的表達(dá)式為y=

x-3.∵將Rt△OAB向右上方平移得到Rt△O'A'B',且點(diǎn)O'、A'落在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=1上,∴點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)

為4,代入拋物線表達(dá)式可得B'(4,5).∵A'B'∥AB,∴可設(shè)直線A'B'的表達(dá)式為y=x+b,將點(diǎn)B'(4,5)代入可得b=

1,∴直線A'B'的表達(dá)式為y=x+1,故選B.思路分析首先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),然后由待定系數(shù)法求出直線AB的表達(dá)式.因?yàn)辄c(diǎn)O、B在x軸上,所以

向右上方平移后O'B'∥x軸,A'B'∥AB,又點(diǎn)O'、A'落在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=1上,可推出點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)為4,從

而可求點(diǎn)B'的坐標(biāo),將點(diǎn)B'的坐標(biāo)代入所設(shè)的直線A'B'的表達(dá)式中即可得解.7.(2020江西,6,3分)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)408.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,垂直于x軸的直線l分別與函數(shù)y=x-a+1和y=x2-2ax的圖象相交

于P,Q兩點(diǎn).若平移直線l,可以使P,Q都在x軸的下方,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.答案

a>1或a<-1解析解法一:函數(shù)y=x2-2ax的圖象與x軸的交點(diǎn)為(0,0),(2a,0),函數(shù)y=x-a+1的圖象與x軸的交點(diǎn)為(a-1,0),

與y軸的交點(diǎn)為(0,1-a).分兩種情況:①當(dāng)a<0時(shí),如圖(1),要滿(mǎn)足題意,則需a-1>2a,可得a<-1;②當(dāng)a>0時(shí),如圖(2),要滿(mǎn)足題意,則需a-1>0,可得a>1.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>1或a<-1.8.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,垂直于x41解法二:∵直線l分別與函數(shù)y=x-a+1和y=x2-2ax的圖象相交于P、Q兩點(diǎn),且P,Q都在x軸的下方,∴令y=x-a+1<0,解得x<a-1.令y=x2-2ax<0,當(dāng)a>0時(shí),解得0<x<2a;當(dāng)a<0時(shí),解得2a<x<0.分兩種情況:①當(dāng)a>0時(shí),若

有解,則a-1>0,解得a>1;②當(dāng)a<0時(shí),若

有解,則2a<a-1,解得a<-1.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>1或a<-1.難點(diǎn)突破根據(jù)二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)分a<0和a>0兩種情況考慮是解答本題的突破口.解法二:∵直線l分別與函數(shù)y=x-a+1和y=x2-2ax的429.(2019浙江溫州,21,10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=-

x2+2x+6的圖象交x軸于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo),并根據(jù)該函數(shù)圖象寫(xiě)出y≥0時(shí)x的取值范圍;(2)把點(diǎn)B向上平移m個(gè)單位得點(diǎn)B1.若點(diǎn)B1向左平移n個(gè)單位,將與該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)B2重合;若點(diǎn)B1

向左平移(n+6)個(gè)單位,將與該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)B3重合.已知m>0,n>0,求m,n的值.

9.(2019浙江溫州,21,10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系43解析(1)令y=0,則-

x2+2x+6=0,∴x1=-2,x2=6,∴A(-2,0),B(6,0).由函數(shù)圖象得,當(dāng)y≥0時(shí),-2≤x≤6.(2)由題意得B1(6,m),∴B2(6-n,m),B3(-n,m),函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

=2.∵點(diǎn)B2,B3在二次函數(shù)圖象上且縱坐標(biāo)相同,∴

=2,∴n=1,∴m=-

×(-1)2+2×(-1)+6=

,∴m,n的值分別為

,1.解析(1)令y=0,則-?x2+2x+6=0,44考點(diǎn)二系數(shù)a、b、c的作用1.(2020天津,12,3分)已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0,c>1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),其對(duì)稱(chēng)軸是直線x=

.有下列結(jié)論:①abc>0;②關(guān)于x的方程ax2+bx+c=a有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;③a<-

.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是?()A.0

B.1

C.2

D.3考點(diǎn)二系數(shù)a、b、c的作用1.(2020天津,12,3分)45答案

C拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=

,即-

=

,∴-

=1,∴a+b=0,ab<0.①∵ab<0,c>1,∴abc<0,①錯(cuò)誤;②拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),將(2,0)代入得4a+2b+c=0,又∵a+b=0,∴2a+c=0,即c=-2a,方程ax2+bx+c=a可化為ax2

+bx+c-a=0,Δ=b2-4a(c-a)=b2-4ac+4a2=a2+8a2+4a2=13a2,∵a≠0,∴Δ=13a2>0,∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,②正確;③∵c>1,∴c=-2a>1,∴a<-

,③正確.故正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2.故選C.解題關(guān)鍵本題結(jié)合一元二次方程、一元一次不等式考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),題目比較綜合.根據(jù)

對(duì)稱(chēng)軸方程找到a,b的關(guān)系和將(2,0)代入得到a,c之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.答案

C拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=?,即-?=?,解題462.(2020廣東,10,3分)如圖,拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是x=1.下列結(jié)論:①abc>0;②b2-4ac>0;③8a+c<0;④5

a+b+2c>0,正確的有?()

A.4個(gè)

B.3個(gè)

C.2個(gè)

D.1個(gè)答案

B根據(jù)拋物線開(kāi)口方向及與y軸的交點(diǎn)位置可得a<0,c>0.又∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-

=1,∴b=-2a>0,∴abc<0,故①錯(cuò)誤.根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),可得b2-4ac>0,故②正確.觀察題圖發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=-

2時(shí),y=4a-2b+c<0.又∵b=-2a,∴8a+c<0,故③正確.觀察題圖發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2時(shí),y=4a+2b+c>0,當(dāng)x=-1時(shí),y=a-b

+c>0,兩式相加,得5a+b+2c>0,故④正確.故選B.2.(2020廣東,10,3分)如圖,拋物線y=ax2+bx473.(2020山東青島,8,3分)已知在同一直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx和反比例函數(shù)y=

的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=

x-b的圖象可能是

()

3.(2020山東青島,8,3分)已知在同一直角坐標(biāo)系中,二48答案

B由二次函數(shù)的圖象可知a<0,b>0,由反比例函數(shù)的圖象可知c>0,∴

<0,-b<0,∴一次函數(shù)y=

x-b的圖象與y軸負(fù)半軸相交且y隨x的增大而減小.故選B.答案

B由二次函數(shù)的圖象可知a<0,b>0,由反比例494.(2019四川成都,10,3分)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),B(5,0),下列說(shuō)法正確的是?(

)A.c<0B.b2-4ac<0C.a-b+c<0D.圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=3答案

D由題圖得拋物線與y軸的正半軸相交,所以c>0;拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),所以b2-4ac>0;當(dāng)x=-1

時(shí),y=a-b+c,由題圖可知a-b+c>0,所以選項(xiàng)A,B,C錯(cuò)誤,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

=3,選項(xiàng)D正確,故選D.4.(2019四川成都,10,3分)如圖,二次函數(shù)y=ax2505.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列說(shuō)法正確

的是?()A.abc<0,b2-4ac>0B.abc>0,b2-4ac>0C.abc<0,b2-4ac<0D.abc>0,b2-4ac<0答案

B因?yàn)閽佄锞€的開(kāi)口向上,所以a>0,又對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè),所以-

>0,所以b<0,因?yàn)閽佄锞€與y軸交于負(fù)半軸,所以c<0,所以abc>0;因?yàn)閽佄锞€與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),所以b2-4ac>0,故選B.思路分析本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系,從拋物線的開(kāi)口方向,對(duì)稱(chēng)軸,以及與y軸的交點(diǎn)位

置來(lái)判斷a,b,c的符號(hào),由拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷b2-4ac的符號(hào).5.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中516.(2018北京,26,6分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,拋物線y=ax2+bx-3a

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,得到點(diǎn)C.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸;(3)若拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求a的取值范圍.解析(1)將x=0代入y=4x+4,得y=4,∴B(0,4).∵將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C,∴C(5,4).(2)將y=0代入y=4x+4,得x=-1,∴A(-1,0).將(-1,0)代入拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a,∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-

=-

=1.(3)拋物線始終過(guò)點(diǎn)A(-1,0),且對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知拋物線也過(guò)點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(3,0).由(2)得y=ax2-2ax-3a.①a>0時(shí),如圖1.6.(2018北京,26,6分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直52

圖1將x=5代入拋物線的解析式得y=12a,∴12a≥4,∴a≥

.②a<0,且拋物線頂點(diǎn)不在線段BC上時(shí),如圖2.

53

圖2將x=0代入拋物線解析式得y=-3a,∵拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn),∴-3a>4,∴a<-

.若拋物線的頂點(diǎn)在線段BC上,則頂點(diǎn)為(1,4),如圖3.

54

圖3將(1,4)代入拋物線的解析式得4=a-2a-3a,∴a=-1.綜上所述,a≥

或a<-

或a=-1.

55考點(diǎn)三二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系1.(2020廣東廣州,9,3分)直線y=x+a不經(jīng)過(guò)第二象限,則關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是?()A.0個(gè)

B.1個(gè)C.2個(gè)

D.1個(gè)或2個(gè)答案

D∵直線y=x+a不經(jīng)過(guò)第二象限,∴a≤0.當(dāng)a=0時(shí),方程為2x+1=0,只有一個(gè)實(shí)數(shù)解;當(dāng)a<0時(shí),方程ax2+2x+1=0為一元二次方程,Δ=4-4a>0,∴方程有兩個(gè)解.故方程有1個(gè)解或2個(gè)解.故選D.易錯(cuò)警示本題易將a=0的情況漏掉,從而錯(cuò)選C.考點(diǎn)三二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系1.(2020廣東廣562.(2019山東濰坊,12,3分)拋物線y=x2+bx+3的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1.若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t為

實(shí)數(shù))在-1<x<4的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根,則t的取值范圍是()A.2≤t<11

B.t≥2

C.6<t<11

D.2≤t<6答案

A∵拋物線y=x2+bx+3的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,∴b=-2,∴y=x2-2x+3,∴一元二次方程x2+2x+3-t=0有實(shí)數(shù)根可以看作y=x2-2x+3的圖象與直線y=t有交點(diǎn),對(duì)于y=x2-2x+3,當(dāng)x=-1時(shí),y=6,當(dāng)x=4時(shí),y=11,函數(shù)y=x2-2x+3在x=1時(shí)取最小值2,∴2≤t<11.故選A.思路分析根據(jù)所給的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸求出函數(shù)解析式為y=x2-2x+3,將一元二次方程x2+2x+3-t=0有實(shí)

數(shù)根看作y=x2-2x+3的圖象與直線y=t有交點(diǎn),再由-1<x<4確定y的取值范圍即可求解.2.(2019山東濰坊,12,3分)拋物線y=x2+bx+3573.(2018河北,16,2分)對(duì)于題目“一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:y=x+2有唯一公共點(diǎn).若c為整

數(shù),確定所有c的值.”甲的結(jié)果是c=1,乙的結(jié)果是c=3或4,則?()A.甲的結(jié)果正確B.乙的結(jié)果正確C.甲、乙的結(jié)果合在一起才正確D.甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確答案

D不妨設(shè)c>0.一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)可以看作拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)沿y軸向上

平移c個(gè)單位形成的,一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:y=x+2有唯一公共點(diǎn)可以看作直線l:y=x+

2沿y軸向下平移c個(gè)單位形成的直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共點(diǎn).當(dāng)直線y=x+2-c

(即l2)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí),0+2-c=0,c=2;當(dāng)直線y=x+2-c(即l3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)時(shí),3+2-c=0,c=5,根據(jù)圖象可得當(dāng)2<c≤5

時(shí),直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共點(diǎn),即一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:

y=x+2有唯一公共點(diǎn).顯然c=3,4,5.當(dāng)直線y=x+2-c為圖中l(wèi)1時(shí),直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)有

唯一公共點(diǎn).令-x(x-3)=x+2-c,得x2-2x+2-c=0,Δ=4-4(2-c)=0,解得c=1.因此甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確,

故選D.3.(2018河北,16,2分)對(duì)于題目“一段拋物線L:y=584.(2017四川綿陽(yáng),10,3分)將二次函數(shù)y=x2的圖象先向下平移1個(gè)單位,再向右平移3個(gè)單位,得到的圖象與

一次函數(shù)y=2x+b的圖象有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是?()A.b>8

B.b>-8

C.b≥8

D.b≥-8答案

D由題意可得,y=x2的圖象經(jīng)過(guò)兩次平移后得到y(tǒng)=(x-3)2-1的圖象.

將①代入②得,x2-8x+8-b=0.因?yàn)閽佄锞€與直線有公共點(diǎn),所以Δ=(-8)2-4(8-b)=4b+32≥0,所以b≥-8,故選D.4.(2017四川綿陽(yáng),10,3分)將二次函數(shù)y=x2的圖象595.(2020湖北武漢,15,3分)拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a<0)經(jīng)過(guò)A(2,0),B(-4,0)兩點(diǎn).下列四個(gè)結(jié)論:①一元二次方程ax2+bx+c=0的根為x1=2,x2=-4;②若點(diǎn)C(-5,y1),D(π,y2)在該拋物線上,則y1<y2;③對(duì)于任意實(shí)數(shù)t,總有at2+tb≤a-b;④對(duì)于a的每一個(gè)確定值,若一元二次方程ax2+bx+c=p(p為常數(shù),p>0)的根為整數(shù),則p的值只有兩個(gè).其中正確的結(jié)論是

(填寫(xiě)序號(hào)).答案①③解析∵點(diǎn)A、B是拋物線與x軸的交點(diǎn),∴ax2+bx+c=0的根為x1=2,x2=-4,故①對(duì);由A、B兩點(diǎn)可知拋物線

的對(duì)稱(chēng)軸方程是x=

=-1,則(-5,y1)關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(3,y1),∵a<0,∴拋物線開(kāi)口向下,∴當(dāng)x>-1時(shí),y隨x增大而減小,∵π>3,∴y2<y1,故②錯(cuò);當(dāng)x=-1時(shí),y取得最大值a-b+c,∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)t,at2+bt+c

≤a-b+c,即at2+bt≤a-b,故③對(duì);對(duì)于a的每一個(gè)確定值,若ax2+bx+c=p的根為整數(shù),等價(jià)于拋物線y=ax2+bx+

c與直線y=p交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù),而這樣的直線有無(wú)數(shù)條,即p值有無(wú)數(shù)個(gè),故④錯(cuò).解題關(guān)鍵抓住拋物線的對(duì)稱(chēng)性和對(duì)稱(chēng)軸方程是判斷正誤的關(guān)鍵.5.(2020湖北武漢,15,3分)拋物線y=ax2+bx+606.(2019山東濰坊,17,3分)如圖,直線y=x+1與拋物線y=x2-4x+5交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△

PAB的周長(zhǎng)最小時(shí),S△PAB=

.

答案

6.(2019山東濰坊,17,3分)如圖,直線y=x+1與拋61解析聯(lián)立直線與拋物線的解析式得方程組

解得

或

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,5),∴AB=

=3

,作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',則A'(-1,2),連接A'B與y軸交于P',則當(dāng)點(diǎn)P與P'重合時(shí),△PAB的周長(zhǎng)最小,

設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b,k≠0,解析聯(lián)立直線與拋物線的解析式得方程組?解得?或?62則

解得

∴直線A'B的解析式為y=

x+

,當(dāng)x=0時(shí),y=

,即點(diǎn)P'的坐標(biāo)為

,將x=0代入y=x+1中,得y=1,∵直線y=x+1與y軸的夾角是45°,∴點(diǎn)P'到直線AB的距離是

×sin45°=

×

=

,∴△P'AB的面積是

=

.∴當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí),S△PAB=

.則?解得?637.(2018湖北黃岡,22,8分)已知直線l:y=kx+1與拋物線y=x2-4x.(1)求證:直線l與該拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn);(2)設(shè)直線l與該拋物線兩交點(diǎn)為A,B,O為原點(diǎn),當(dāng)k=-2時(shí),求△OAB的面積.解析(1)證明:令x2-4x=kx+1,則x2-(4+k)x-1=0,因?yàn)棣?(4+k)2+4>0,所以直線l與該拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn).(2)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),直線l與y軸的交點(diǎn)為C,則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),易知x1+x2=4+k=2,x1x2=-1,所以(x1-x2)2=8,所以|x1-x2|=2

,所以△OAB的面積S=

·OC·|x1-x2|=

×1×2

=

.7.(2018湖北黃岡,22,8分)已知直線l:y=kx+1648.(2019北京,26,6分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx-

與y軸交于點(diǎn)A,將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得到點(diǎn)B,點(diǎn)B在拋物線上.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)(用含a的式子表示);(2)求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸;(3)已知點(diǎn)P

,Q(2,2).若拋物線與線段PQ恰有一個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求a的取值范圍.8.(2019北京,26,6分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋65解析(1)∵拋物線y=ax2+bx-

與y軸交于點(diǎn)A,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為

.∵將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得到點(diǎn)B,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為

.(2)∵點(diǎn)B

在拋物線上,∴4a+2b-

=-

,即b=-2a.∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1.(3)點(diǎn)A

,B

,P

.解析(1)∵拋物線y=ax2+bx-?與y軸交于點(diǎn)A,66當(dāng)a>0時(shí),-

<0,如圖1.

圖1設(shè)拋物線上的點(diǎn)C

.∵當(dāng)x<1時(shí),y隨x的增大而減小,∴yC<-

.設(shè)拋物線上的點(diǎn)D(xD,2)(xD>1).∵當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而增大,∴xD>2.當(dāng)a>0時(shí),-?<0,如圖1.67結(jié)合函數(shù)圖象,可知拋物線與線段PQ沒(méi)有公共點(diǎn).當(dāng)a<0時(shí),(i)當(dāng)-

<a<0時(shí),-

>2,如圖2.

圖2設(shè)拋物線上的點(diǎn)C

.∵當(dāng)x<1時(shí),y隨x的增大而增大,∴yC>-

.結(jié)合函數(shù)圖象,可知拋物線與線段PQ沒(méi)有公共點(diǎn).68設(shè)拋物線上的點(diǎn)D(xD,2)(xD>1).∵當(dāng)x>1時(shí),y隨著x的增大而減小,∴xD>2.結(jié)合函數(shù)圖象,可知拋物線與線段PQ沒(méi)有公共點(diǎn).(ii)當(dāng)a=-

時(shí),A(0,2),B(2,2),P

,Q(2,2),如圖3.

圖3結(jié)合函數(shù)圖象,可知拋物線與線段PQ恰有一個(gè)公共點(diǎn)Q(2,2).設(shè)拋物線上的點(diǎn)D(xD,2)(xD>1).69(iii)當(dāng)a<-

時(shí),0<-

<2,如圖4.

圖4設(shè)拋物線上的點(diǎn)C

.∵當(dāng)x<1時(shí),y隨x的增大而增大,∴yC>-

.設(shè)拋物線上的點(diǎn)D(xD,yD)

,(iii)當(dāng)a<-?時(shí),0<-?<2,如圖4.70∵當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而減小,∴xD<2.結(jié)合函數(shù)圖象,可知拋物線與線段PQ恰有一個(gè)公共點(diǎn).綜上所述,a的取值范圍為a≤-

.解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是分情況討論后精準(zhǔn)畫(huà)圖,要在探究的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P與點(diǎn)A,B縱坐標(biāo)相等

的關(guān)系,進(jìn)而關(guān)注點(diǎn)Q與拋物線的位置關(guān)系.∵當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而減小,∴xD<2.解題關(guān)鍵解決719.(2019安徽,22,12分)一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2+c的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),另一個(gè)交點(diǎn)是

該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn).(1)求k,a,c的值;(2)過(guò)點(diǎn)A(0,m)(0<m<4)且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=ax2+c的圖象相交于B,C兩點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),記

W=OA2+BC2.求W關(guān)于m的函數(shù)解析式,并求W的最小值.9.(2019安徽,22,12分)一次函數(shù)y=kx+4與二次72解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)(1,2)在一次函數(shù)y=kx+4的圖象上,所以2=k+4,即k=-2,因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=kx+4與二次函數(shù)y

=ax2+c圖象的另一個(gè)交點(diǎn)是該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),所以(0,c)在一次函數(shù)y=kx+4的圖象上,即c=4.又點(diǎn)(1,

2)也在二次函數(shù)y=ax2+c的圖象上,所以2=a+c,從而a=-2.?(6分)(2)解法一:因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,m)(0<m<4),過(guò)點(diǎn)A且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=-2x2+4的圖象交于點(diǎn)

B,C,所以可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,m),由對(duì)稱(chēng)性得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-x0,m),故BC=2|x0|.又點(diǎn)B在二次函數(shù)y=-2x2+4

的圖象上,所以-2

+4=m,即

=2-

,從而B(niǎo)C2=4

=8-2m.又OA=m,所以W=OA2+BC2=m2-2m+8=(m-1)2+7(0<m<4),所以m=1時(shí),W取最小值7.?(12分)解法二:由(1)得二次函數(shù)的解析式為y=-2x2+4,因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,m)(0<m<4),過(guò)點(diǎn)A且垂直于y軸的直線

與二次函數(shù)y=-2x2+4的圖象交于點(diǎn)B,C,所以令-2x2+4=m,解得x1=

,x2=-

.所以BC=2

,又OA=m,從而W=OA2+BC2=m2+

=m2-2m+8=(m-1)2+7(0<m<4).所以m=1時(shí),W取最小值7.?(12分)解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)(1,2)在一次函數(shù)y=kx+4的圖象上,73A組2018—2020年模擬·基礎(chǔ)題組時(shí)間:45分鐘分值:55分一、選擇題(每小題3分,共12分)1.(2020廣西崇左江州一模,10)若A(-4,y1),B(-3,y2),C(1,y3)為二次函數(shù)y=x2+4x-m的圖象上的三點(diǎn),則y1,y2,y3

的大小關(guān)系是?()A.y1<y2<y3

B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2

D.y1<y3<y2

答案

B由y=x2+4x-m=(x+2)2-m-4可得拋物線開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2,∴A(-4,y1),B(-3,y2)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè),y隨x的增大而減小.∵-4<-3,∴y2<y1.根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知,C(1,y3)與(-5,y3)關(guān)于直線x=-2對(duì)稱(chēng),∴y3>y1.故y3>y1>y2.故選B.A組2018—2020年模擬·基礎(chǔ)題組1.(2020廣西崇742.(2020海南瓊海一模,7)拋物線y=(x-1)2+3關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的拋物線的解析式是?()A.y=-(x-1)2+3

B.y=(x+1)2+3C.y=(x-1)2-3

D.y=-(x-1)2-3答案

D

∵拋物線y=(x-1)2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),∴此拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3),且開(kāi)口向下,∴所求拋物線解析式為y=-(x-1)2-3.故選D.2.(2020海南瓊海一模,7)拋物線y=(x-1)2+3關(guān)753.(2020湖北荊州4月模擬,9)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=bx+ac的圖象不經(jīng)過(guò)?()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案

D由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可得a>0,-

<0,c>0,∴b>0,ac>0.∴一次函數(shù)y=bx+ac的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限,不經(jīng)過(guò)第四象限,故選D.3.(2020湖北荊州4月模擬,9)二次函數(shù)y=ax