2020屆高考數(shù)學模擬考試試卷及答案

2020

科）一、選擇題：本大題共

12

個小題，每小題5

分，滿分60

分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設

是虛數(shù)單位，復數(shù)

為純虛數(shù)，則實數(shù)

a

的值為（

）A．1

B．﹣1

C．

D．﹣22．集合

A={0，1，2，3，4}，B={xx+2）（x﹣1）≤0}，則

A∩B=（ ）A．{0，1，2，3，4}

B0，1，2，3}

C．{0，1，2}

D．{0，1}= 2

，

= ）3．已知向量

（1，

） （﹣2，m

，若

∥

= 2

，

= ）A． B． C． D．4．設

a=2，數(shù)列{1+a}是以

3

為公比的等比數(shù)列，則

a=（ ）A．80

B．81

C．54

D．535．若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，其中左視圖是一個邊長為

2

的正三角形，則這個幾何體的體積是（ ）A．2cm

B． cm C．3 cm D．3cm6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出

的值是

9，則判斷框中的橫線上可以填入的最大整數(shù)是（ ）A．4

B．8 C．12

D．167．已知

，m，n

為三條不同直線，α，β，γ

為三個不同平面，則下列判斷正確的是（ ）A．若

m∥α，n∥α，則

m∥nB．若

m⊥α，n∥β，α⊥β，則

m⊥nC．若

α∩β=l，m∥α，m∥β，則

m∥D．若

α∩β=m，α∩γ=n，⊥m，⊥n，則

⊥α8．已知

θ∈（0， ），則

y═ 的最小值為（ ）A．6

B．10

C．12

D．169．已知變量

x，y

滿足

，則

的取值范圍為（

）A．[0，

] B0，+∞）

C

]

D．[﹣

，0]10．已知直線

：y=kx

與橢圓

C： 交于

A、B

兩點，其中右焦點

F

的坐標為（c，0），且

AF

與

BF

垂直，則橢圓

C

的離心率的取值范圍為（ ）A． B． C． D．11

a、b“?”：a?b=

f（x）=（2x﹣3）?（x﹣3

x

的方程

f（x）=k（k∈R）恰有三個互不相同的實根

x、x、x，則

x?x?x取值范圍為（ ）A．（0，3）

B．（﹣1，0） C0） D．（﹣3，0）12．f（x）是定義在（0，+∞）上的非負可導函數(shù)，且滿足

xf′（x）≤f（xa、b，若

a＜b，則必有（ ）A．a(chǎn)f（a）≤bf（b） B．a(chǎn)f（a）≥bf（b） C．a(chǎn)f（b）≤bf（a）D．a(chǎn)f（b）≥bf（a）二．填空題：本大題共

4

小題；每小題

5

分，共

20

分.13

．圓（x+2

）

+

（

y

﹣

2

）

=2

的圓心到直線

x

﹣

y+3=0

的距離等于 ．14．已知函數(shù)

y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤則

φ

的值為 ．

）的部分圖象如示，15．定義在

R

上的函數(shù)

f（x）滿足

f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且

x∈=（﹣2，0）時，f（x）=2+

，則

f17．已知等差數(shù)列{a}滿足：a=7，a+a=26．{a}的前

n

項和為

S．（Ⅰ）求

a及

S；（Ⅱ）令

b= （n∈Nb}的前

n

項和

T．18．已知函數(shù)

f（x）=﹣2sinx+2

sinxcosx+1（Ⅰ）求

f（x）的最小正周期及對稱中心（Ⅱ）若

x∈[﹣ ， ]，求

f（x）的最大值和最小值．19H1N1

病毒感染數(shù)之間的相關關系進行研究，他們每天將實驗室放入數(shù)量相同的甲型

H1N1

病毒和100

4

月

1

日至

4

月

5

日每天晝夜溫差與實驗室里

100

只白鼠的感染數(shù)，得到如下資料：日

4

月

1

日

4

月

2

日

4

月

3

4

月

4

日

4

月

5

日期溫差感染

日10

13

11

12

723

32

24

29

17數(shù)（1）求這

5

天的平均感染數(shù)；y（2）從

4

月

1

日至

4

月

5

日中任取

2

x，

用（x，yy）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）視為同一事件，并求|x﹣y3

或|x﹣y|≥9

的概率．20．如圖，已知三棱錐A﹣BPC

中，AP⊥PC，AC⊥BC，M

為

AB

的中點，D

為

PB

的中點，且△PMB

為正三角形．（）求證：BC⊥平面

APC；（Ⅱ）若

BC=3，AB=10，求點

B

到平面

DCM

的距離．21．已知橢圓

C：

+

=1（a＞b＞0），圓

Q：（x﹣2）+（y﹣

）=2

的圓心

Q

在橢圓

C

上，點

P（0，

）到橢圓

C

的右焦點的距離為

．（1）求橢圓

C

的方程；（2）過點

P

作互相垂直的兩條直線

，，且

交橢圓

C

于

A，B

兩點，直線交圓

Q

于

C，D

兩點，且M

為

CD

的中點，求△MAB

的面積的取值范圍．22．已知函數(shù)

f（x）= ，（e=2.71828…（1）求

f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設

g（x）=xf'（x），其中

f'（x）為

f（x）的導函數(shù)．證明：對任意

x＞0，g（x）＜1+e．一、選擇題：本大題共

12

個小題，每小題5

分，滿分60

分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設

是虛數(shù)單位，復數(shù)

為純虛數(shù)，則實數(shù)

a

的值為（

）A．1

B．﹣1

C．

D．﹣2【考點】A5：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．

0

且虛部不為

0

求得

a

值．【解答】解：∵

=

為純虛數(shù)，∴

，解得：a=1．故選：A．2．集合

A={0，1，2，3，4}，B={xx+2）（x﹣1）≤0}，則

A∩B=（ ）A．{0，1，2，3，4}

B0，1，2，3}

C．{0，1，2}

D．{0，1}【考點】1E：交集及其運算．【分析】求出

B

中不等式的解集確定出B，找出

A

與

B

的交集即可．【解答】解：由

B

中不等式解得：﹣2≤x≤1，即

B=[﹣2，1]，∵A={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1}，故選：D．= 2

，

= ）3．已知向量

（1，

） （﹣2，m

，若

∥

= 2

，

= ）A． B． C． D．【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據(jù)

∥

，算出

=（﹣2，﹣4

=（﹣4，﹣8

的值．【解答】解：∵∴1×m=2×（﹣2），可得

m=﹣4

且

∥

，由此可得

，∴2

+3

=（﹣4，﹣8），得

=

=4故選：B4．設

a=2，數(shù)列{1+a}是以

3

為公比的等比數(shù)列，則

a=（ ）A．80

B．81

C．54

D．53【考點】8G：等比數(shù)列的性質(zhì)；8H：數(shù)列遞推式．1+a}是以

3

為公比的等比數(shù)列以及a=2，求出數(shù)列{1+a}的通項，再把

n=4

代入即可求出結論．【解答】解：因為數(shù)列{1+a}是以

3

為公比的等比數(shù)列，且

a=2所以其首項為

1+a=3．其通項為：1+a=（1+a）×3=3．當

n=4

時，1+a=3=81．∴a=80．故選

A．5．若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，其中左視圖是一個邊長為

2

的正三角形，則這個幾何體的體積是（ ）A．2cm

B． cm C．3 cm D．3cm【考點】L!：由三視圖求面積、體積．幾何體的體積．【解答】解：由幾何體的三視圖可知，該幾何體為底面是直角梯形，高為 的四棱錐，其中直角梯形兩底長分別為1

和

2，高是

2．故這個幾何體的體積是

×[

（1+2）×2]×故選：B．

=

（cm）．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出

的值是

9，則判斷框中的橫線上可以填入的最大整數(shù)是（ ）A．4

B．8 C．12

D．16【考點】EF：程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的

S，

的值，當

S=16，i=9

時，不滿足條件，退出循環(huán)，輸出

的值為

9，則判斷框中的橫線上可以填入的最大整數(shù)為：16【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得i=1S=0滿足條件，S=1，i=3滿足條件，S=4，i=5滿足條件，S=9，i=7滿足條件，S=16，i=9由題意，此時，不滿足條件，退出循環(huán)，輸出

的值為

9，則判斷框中的橫線上可以填入的最大整數(shù)為：16，故選：D．7．已知

，m，n

為三條不同直線，α，β，γ

為三個不同平面，則下列判斷正確的是（ ）A．若

m∥α，n∥α，則

m∥nB．若

m⊥α，n∥β，α⊥β，則

m⊥nC．若

α∩β=l，m∥α，m∥β，則

m∥D．若

α∩β=m，α∩γ=n，⊥m，⊥n，則

⊥α【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】根據(jù)常見幾何體模型舉出反例，或者證明結論．A）若

m∥α，n∥α，則

m

與

n

可能平行，可能相交，也可能異面，故

A

錯誤；（B

ABCD﹣A′B′C′D′

ABCD

為平面

α，平面

CDD′C′為平面

β，直線

BB′為直線

m，直線

A′B

為直線

n，則

m⊥α，n∥β，α⊥β，但直線

A′B

與

BB′不垂直，故

B

錯誤．（C）設過

m

的平面

γ

與

α

交于

a，過

m

的平面

θ

與

β

交于

b，∵m∥α，m?

γ，α∩γ=a，∴m∥a，同理可得：m∥b．∴a∥b，∵b?

β，a

β，∴a∥β，∵α∩β=l，a?

α，∴a∥，∴∥m．故

C

正確．（D

ABCD﹣A′B′C′D′

ABCD

為平面

α，平面

ABB′A′為平面

β，平面

CDD′C′為平面

γ，則

α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但

BC 平面

ABCD，故D錯誤．故選：C．8．已知

θ∈（0， ），則

y═ 的最小值為（

）A．6

B．10

C．12

D．16【考點】HW：三角函數(shù)的最值．【分析】y= =（ ）（cosθ+sinθ），由此利用基本不等式能求出y= 的最小值．【解答】解：∵θ∈（0， ），∴sinθ，cosθ∈（0，1），∴y==1+9+≥10+2=16．當且僅當∴y=故選：D．

=（

）（cosθ+sinθ）=

時，取等號，的最小值為

16．9．已知變量

x，y

滿足

，則

的取值范圍為（

）A．[0，

] B0，+∞）

C

]

D．[﹣

，0]【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．可．【解答】解：不等式 表示的平面區(qū)域為如圖所示△ABC，設

Q（3，0）平面區(qū)域內(nèi)動點

P（x，y），則

=kPQ，當

P

為點

A

時斜率最大，A（0，0），C（0，2）．當

P

為點

C

時斜率最小，所以故選：D．

∈[﹣

，0]．10．已知直線

：y=kx

與橢圓

C： 交于

A、B

兩點，其中右焦點

F

的坐標為（c，0），且

AF

與

BF

垂直，則橢圓

C

的離心率的取值范圍為（ ）A． B． C． D．【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．

AF

與

BF

半，再由橢圓的性質(zhì)可得c＞b，結合離心率公式和

a，b，c

的關系，即可得到所求范圍．【解答】解：由

AF

與

BF

垂直，運用直角三角形斜邊的中線即為斜邊的一半，可得||OA|=|OF|=c，由|OAb，即

c＞b，可得

c＞b=a﹣c，即有

c＞

a，可得 ＜e＜1．故選：C．11

a、b“?”：a?b=

f（x）=（2x﹣3）?（x﹣3

x

的方程

f（x）=k（k∈R）恰有三個互不相同的實根

x、x、x，則

x?x?x取值范圍為（ ）A．（0，3）

B．（﹣1，0） C0） D．（﹣3，0）【考點】3O：函數(shù)的圖象；53：函數(shù)的零點與方程根的關系．【分析】根據(jù)定義求出f（x）解析式，畫出圖象，判斷即可．【解答】解：∵a?b=

，∴f（x）=（2x﹣3）?（x﹣3）=其圖象如下圖所示：

，由圖可得：x=﹣k，x?x=

k，故

x?x?x=﹣

k，k∈（0，3），∴x?x?x∈（﹣3，0），故選：D．12．f（x）是定義在（0，+∞）上的非負可導函數(shù)，且滿足

xf′（x）≤f（xa、b，若

a＜b，則必有（ ）A．a(chǎn)f（a）≤bf（b） B．a(chǎn)f（a）≥bf（b） C．a(chǎn)f（b）≤bf（a）D．a(chǎn)f（b）≥bf（a）【考點】6A：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系．【分析】由已知條件判斷出f′（x）≤0，據(jù)導函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關系判斷出

f（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性判斷出f（a）與

f（b）的關系，利用不等式的性質(zhì)得到結論．【解答】解：∵f（x）是定義在（0，+∞）上的非負可導函數(shù)且滿足xf′（x）≤f（x），令

F（x）= ，則

F′（x）= ，∵xf′（x）﹣f（x）≤0∴F′（x）≤0，∴F（x）=∵對任意的正數(shù)

a、b，a＜b∴ ≥ ，∵任意的正數(shù)

a、b，a＜b，∴af（b）≤bf（a）故選：C．

在（0，+∞）上單調(diào)遞減或常函數(shù)二．填空題：本大題共

4

小題；每小題

5

分，共

20

分.13．圓（x+2）+（y﹣2）=2

的圓心到直線

x﹣y+3=0

的距離等

于．【考點】J9：直線與圓的位置關系．【分析】求出圓的圓心坐標，利用點到直線的距離公式求解即可．【解答】解：圓（x+2）y﹣2）=2

的圓心（﹣2，2）， 圓（x+2）+（y﹣2）=2

的圓心到直線

x﹣y+3=0

的距離 故答案為： ．

=

．14．已知函數(shù)

y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤則

φ

的值為 ．

）的部分圖象如示，【考點】HK：由

y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．算

ω

的值，最后將點（ ，0）代入，結合

φ

的范圍，求

φ

值即可【解答】解：由圖可知T=2（∴y=sin（2x+φ）

）=π，∴ω=

=2代入（

，0），得

sin（

+φ）=0∴

+φ=π+2kπ，k∈Z∵0＜φ≤∴φ=故答案為15．定義在

R

上的函數(shù)

f（x）滿足

f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且

x∈=（﹣2，0）時，f（x）=2+

，則

f=f（1）=﹣f（1），代入函數(shù)的表達式求出函數(shù)值即可．【解答】解：∵定義在R

上的函數(shù)

f（x）滿足

f（﹣x）=﹣f（x），∴函數(shù)

f（x）為奇函數(shù)，又∵f（x﹣2）=f（x+2），∴函數(shù)

f（x）為周期為

4

是周期函數(shù)，∴f=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2﹣

=﹣1，故答案為：﹣1．eq

\o\ac(△,16) ABC

的三邊長成公差為

2

為 ，則這個三角形最小值的正弦值是 ．【考點】8F：等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】設三角形的三邊分別為a、b、c，且a＞b＞c＞0，設公差為d=2，求出a=c+4

和

b=c+2，由邊角關系和條件求出sinA，求出A=60°或

120°，再判斷

A

的值，利用余弦定理能求出三邊長，由余弦定理和平方關系求出這個三角形最小值的正弦值．【解答】解：不妨設三角形的三邊分別為a、b、c，且

a＞b＞c＞0，設公差為

d=2，三個角分別為、A、B、C，則

a﹣b=b﹣c=2，可得

b=c+2，a=c+4，∴A＞B＞C，∵最大角的正弦值為 ，∴sinA= ，由

A∈（0°，180°）得，A=60°或

120°，當

A=60°時，∵A＞B＞C，∴A+B+C＜180°，不成立；即

A=120°，則

cosA=

=

=

，化簡得 ，解得

c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7，∴cosC= = = ，又

C∈（0°，180°），則

sinC=∴這個三角形最小值的正弦值是故答案為： ．

=，

，三、解答題（本大題共6

小題，共70

分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．已知等差數(shù)列{a}滿足：a=7，a+a=26．{a}的前

n

項和為

S．（Ⅰ）求

a及

S；（Ⅱ）令

b= （n∈Nb}的前

n

項和

T．【考點】8E：數(shù)列的求和；84：等差數(shù)列的通項公式；85：等差數(shù)列的前

n

項和．Ⅰa}的公差為

d，由于

a=7，a+a=26，可得 ，解得a，d，利用等差數(shù)列的通項公式及其前n

項和公式即可得出．（Ⅱ）由（）可得

b= = ，利用“裂項求和”即可得出．Ⅰ）設等差數(shù)列{a}的公差為

d，∵a=7，a+a=26，∴ ，解得

a=3，d=2，∴a=3+2（n﹣1）=2n+1；S=

=n+2n．（Ⅱ）

=

=

=

，∴T=

=

=

．18．已知函數(shù)

f（x）=﹣2sinx+2 sinxcosx+1（Ⅰ）求

f（x）的最小正周期及對稱中心（Ⅱ）若

x∈[﹣ ， ]，求

f（x）的最大值和最小值．【考點】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應用；H2：正弦函數(shù)的圖象．（【分析】

1y=Asin（（ωx+φ）的形式，即可求周期和對稱中心．（2）x∈[﹣ ， ]時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值．1）函數(shù)

f（x）=﹣2sinx+2

sinxcosx+1，化簡可得：f（x）=cos2x﹣1+

sin2x+1= sin2x+cos2x=2sin（2x+

）．∴f（x）的最小正周期

T=

，由

2x+ =kπ（k∈Z）可得對稱中心的橫坐標為x=

kπ∴對稱中心（

kπ

，0），（k∈Z）．（2）當

x∈[﹣

，

]時，2x+

∈[

，

]當

2x+當

2x+

==

時，函數(shù)

f（x）取得最小值為時，函數(shù)

f（x）取得最大值為

2×1=2．

．19H1N1

病毒感染數(shù)之間的相關關系進行研究，他們每天將實驗室放入數(shù)量相同的甲型

H1N1

病毒和100

4

月

1

日至

4

月

5

日每天晝夜溫差與實驗室里

100

只白鼠的感染數(shù)，得到如下資料：日

4

月

1

日

4

月

2

日

4

月

3

4

月

4

日

4

月

5

日期溫差感染

日10

13

11

12

723

32

24

29

17數(shù)（1）求這

5

天的平均感染數(shù)；y（2）從

4

月

1

日至

4

月

5

日中任取

2

x，

用（x，yy）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）視為同一事件，并求|x﹣y3

或|x﹣y|≥9

的概率．【考點】CC：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．1）由已知利用平均數(shù)公式能求出這5

天的平均感染數(shù)．（2）利用列舉法求出基本事件總數(shù)

n=10，設滿足|x﹣y9

的事件為

Ax﹣y3

的事件為

Bx﹣y|≤3

或|x﹣y9

的概率．1）由題意這

5

天的平均感染數(shù)為：．（2）（x，y23，32），（23，24），（23，29），（23，17），（32，24），（32，29），（32，17），（24，29），（24，17），（29，17），基本事件總數(shù)

n=10，設滿足|x﹣y9

的事件為

A，則事件

A

23，32），（32，17），（29，17），共有m=3

個，∴P（A）= ，設滿足|x﹣y3

的事件為

B

B

23，24），（32，29），共有

m′=2

個，∴P（B）= ，∴|x﹣y|≤3

x﹣y|≥9

的概率

P=P（A）+P（B）=

．20．如圖，已知三棱錐A﹣BPC

中，AP⊥PC，AC⊥BC，M

為

AB

的中點，D

為

PB

的中點，且△PMB

為正三角形．（）求證：BC⊥平面

APC；（Ⅱ）若

BC=3，AB=10，求點

B

到平面

DCM

的距離．【考點】LW：直線與平面垂直的判定；MK：點、線、面間的距離計算．）根據(jù)正三角形三線合一，可得

MD⊥PB，利用三角形中位線定理及空間直線夾角的定義可得

AP⊥PB，由線面垂直的判定定理可得

AP⊥平面

PBC，即

AP⊥BC，再由

AC⊥BC

結合線面垂直的判定定理可得

BC⊥平面

APC；（Ⅱ）記點

B

到平面

MDC

的距離為

h，則有

V=V．分別求出

MD

長，及△BCD

和△MDC

面積，利用等積法可得答案．Ⅰ）如圖，∵△PMB

為正三角形，且

D

為

PB

的中點，∴MD⊥PB．又∵M

為

AB

的中點，D

為

PB

的中點，∴MD∥AP，∴AP⊥PB．又已知

AP⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC 平面

PBC∴AP⊥平面

PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，∴BC⊥平面

APC，…解：（Ⅱ）記點

B

到平面

MDC

的距離為

h，則有

V=V．∵AB=10，∴MB=PB=5，又

BC=3，BC⊥PC，∴PC=4，∴ ．又 ，∴ ．在△PBC

中， ，又∵MD⊥DC，∴ ，∴∴即點

B

到平面

DCM

的距離為 ． …21．已知橢圓

C： + =1（a＞b＞0），圓

Q：（x﹣2）+（y﹣ ）=2

的圓心

Q

在橢圓

C

上，點

P（0，

）到橢圓

C

的右焦點的距離為

．（1）求橢圓

C

的方程；（2）過點

P

作互相垂直的兩條直線

，，且

交橢圓

C

于

A，B

兩點，直線交圓

Q

于

C，D

兩點，且M

為

CD

的中點，求△MAB

的面積的取值范圍．【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．1）求得圓

Q

的圓心，代入橢圓方程，運用兩點的距離公式，解方程可得

a，b

的值，進而得到橢圓方程；（20

MAB

的面積為

4；設直線

y=kx+ ，代入圓Q

的方程，運用韋達定理和中點坐標公式可得

M

的坐標，求得MP

的長，再由直線AB

的方程為

y=﹣

x+

，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，由三角形的面積公式，化簡整理，由換元法，結合函數(shù)的單調(diào)性，可得面積的范圍．1）圓Q：（x﹣2）y﹣

）=2

的圓心為（2，

），代入橢圓方程可得

+

=1，由點

P（0，

）到橢圓

C

的右焦點的距離為

，即有

=

，解得

c=2，即

a﹣b=4，解得

a=2 ，b=2，即有橢圓的