一個教學(xué)案例及教學(xué)反思南方中學(xué)張旭艷

一個教學(xué)案例及教學(xué)反思——————利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式株洲市南方中學(xué)數(shù)學(xué)組張旭艷41最新按照國家教育部門的要求，湖南將在今年9月新高一開始，進行新課程改革，為了適應(yīng)新課程改革的要求，本學(xué)期我們數(shù)學(xué)組就開展了以課例為載體的課堂教學(xué)研究活動，以教研組為單位，以解決教學(xué)中的問題為重點，要求每位教師鉆研教材，認(rèn)真設(shè)計上課的程序，同時對課堂中出現(xiàn)的問題及時反思，從而優(yōu)化課堂教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量和效率，以便更好地迎接新課程改革。下面是本人在教學(xué)過程中一個案例及教學(xué)反思。教學(xué)片段：例題：已知函數(shù)f=n1,若-1＜a＜b＜c且ab≠0,則,,的大小關(guān)系為。利用函數(shù)性質(zhì)判斷和證明不等式,是高考考試的重點和難點，湖南省最新年理科卷19題是一道函數(shù)、數(shù)列和不等式綜合性非常強的題目，涉及的知識內(nèi)容較多，知識層次較高，對學(xué)生的能力要求非常高。本題也是一道函數(shù)和不等式的簡單綜合題。-1B-1BCAO學(xué)生1：利用填空題的解法技巧“特殊值法”。令a=e-1，b=e2-1，c=e3-1則=，=，=再根據(jù)e≈經(jīng)過簡單的計算可以得出＞＞學(xué)生2：“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)方法來解，先畫出f（）=n1（＞-1）的圖象，如右圖：將=理解為=，其幾何意義為函數(shù)f（）=n1上的點（，f（））與原點O（0,0）的斜率這樣我們就可以把,,分別理解為點Aa,fa,Bb,f,Cc,f與原點O（0,0）的斜率,根據(jù)圖象,可以直觀地看到OA＞OB＞OC,所以有＞＞成立學(xué)生3:構(gòu)造函數(shù)g==＞-1且≠0,再利用函數(shù)的單調(diào)性來求解g/=,再令h=－n1（＞-1）,然后對h求導(dǎo),h/=由h/＞0得-1＜＜0；h/＜0得＞0＜∴h在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，∞）上單調(diào)遞減∴hma=h0=0∴當(dāng)＞-1且≠0時,g/＜0,∴g在（-1，0）和（0，∞）單調(diào)遞減∵-1＜a＜b＜c∴＞＞師：這三種方法都應(yīng)該值得肯定，學(xué)生的思維靈活，處理問題的能力較強，學(xué)生3的方法對于解決一個類似的填空題，有點小題大做，但學(xué)生3的方法，對于證明這個不等關(guān)系，不惜是一種相當(dāng)好的方法，這種方法對能力要求更高，完成如此已是相當(dāng)不易，但還是存在推理的錯誤和思維的跳躍。問題出在最后部分，“g在（-1，0）和（0，∞）單調(diào)遞減”，是否能夠得到“＞＞”，值得再繼續(xù)研究和討論。由于g（）的單調(diào)區(qū)間不連續(xù)，，那么在得出結(jié)論就可能會出現(xiàn)錯誤。下面有同學(xué)能解析清楚嗎（教室陷入一片沉思）學(xué)生4：我想要完善同學(xué)3的解答，就需要來討論函數(shù)g（）=在（-1，∞）是連續(xù)的。有同學(xué)馬上提出疑問，怎么判斷這樣函數(shù)的連續(xù)性呢帶著思考和疑問，很快就下課了，然后我要求同學(xué)們后互相討論、探索一下，問題留到下節(jié)課來討論。教學(xué)反思：課后我也在不斷思考，怎樣解決這一關(guān)鍵問題，同時盡量找到一種能讓學(xué)生理解，又能接受的可行的好方法。在反思中，我給出了兩種解決方法：法一：令t（）=∈（-1，0）∪（0，∞）=0∵=e∴=1，且t（）=1，所以t（）在（-1，∞）上是連續(xù)的，由學(xué)生3給出的“g在（-1，0）和（0，∞）單調(diào)遞減”，∴t（）在（-1，∞）上是單調(diào)遞減的，所以有＞＞。這種方法，不是高中數(shù)學(xué)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》和《高考考試大綱》的要求的內(nèi)容，學(xué)生一般不能理解，特別是不知道公式=e，這個公式是《高等數(shù)學(xué)》的知識范疇。所以這種理解方式學(xué)生不易接受。那有如何解決這一關(guān)鍵問題呢法二：令g=＞-1且≠0,==n1/|=0=（）|=0=1又∵當(dāng)-1＜時n1＜,∴當(dāng)-1＜＜0時＞1；當(dāng)＞0時＜∴當(dāng)g在（-1，0）和（0，∞）單調(diào)遞減，且-1＜a＜b＜c時所以有＞＞。對于高中學(xué)生，這種方法顯然是可以接受，同時也解決了單調(diào)區(qū)間的不連續(xù)問題而導(dǎo)致無法比較大小，對于這種情況，（-1，0），（0，∞）斷開都沒有影響。下面補充例題：已知∈（0，），求證：＞in＞分析，要證明＞in＞，只要證明1＞＞，根據(jù)上面的反思，我們可以令f（）=∈（0，）=0當(dāng)∈（0，）時，f/（）==＜0，所以f（）在（0，）上單調(diào)遞減，又∵=（in）/|=0=（co）|=0=1，且f（0）=1，∴f（）在=1處連續(xù)，又易知f（）在=處連續(xù)∴f（）在[0，]是連續(xù)的，且單調(diào)遞減，∴f（0）＞f（）＞f（）即1＞＞，已證。點評：開區(qū)間端點處的函數(shù)值能否求出，需要考慮函數(shù)在開區(qū)間端點處是否連續(xù)，這一點是學(xué)生容易忽略的問題，在教學(xué)時，應(yīng)及時提醒他們注意考慮。教學(xué)反思就是研究自己如何教、如何學(xué)：別人如何教、如何學(xué)；如何在教中學(xué)、學(xué)中教的問題。是指在解決了數(shù)學(xué)問題之后，從更深層面上對問題的特征進行審視，對解決的方法進行剖析，對解題的過程進行推敲、研討，對解答的結(jié)果進行驗證等。教學(xué)反思是一種有益的思維活動和在學(xué)習(xí)方式，每一位優(yōu)秀教師的成長都離不開教學(xué)反思。如果一個教師僅僅滿足于獲得經(jīng)驗而不對經(jīng)驗進行深入的思考，那么教學(xué)永遠(yuǎn)只能停留在一個新手型教師的水準(zhǔn)上，不可能有什么