2018年高考數(shù)學(xué)黃金100題系列第18題幾類特殊函數(shù)(對(duì)勾函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)等)理

第18題幾類特殊函數(shù)（對(duì)勾函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)等）理論基礎(chǔ)?解題原理（I）對(duì)勾函數(shù)一、對(duì)勾函數(shù)的定義b形如yax-（a0,b0）的函數(shù)，叫做對(duì)勾函數(shù).xb二、對(duì)勾函數(shù)f（x）ax-（a0,b0）的圖象與性質(zhì)x1?定義域{xR|x0}值域當(dāng)x0時(shí)，ax2.'axbx（當(dāng)且僅當(dāng)ax咅時(shí)取等號(hào)）.a當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，ax2.'axbx（當(dāng)且僅當(dāng)ax咅時(shí)取等號(hào)）.a當(dāng)x0時(shí)，ax[(ax)(-)]xIb2J(ax)(b)x2〔abbrb(當(dāng)且僅當(dāng)ax—,即Xx時(shí)取等號(hào)）.函數(shù)f(x)axb-(a0,b0)函數(shù)f(x)axb-(a0,b0)的值域?yàn)?x,2fab][2v'ab,).奇偶性由于雙勾函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（x）bax由于雙勾函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（x）bax—x(ax—)xf（x）,則對(duì)勾函數(shù)為奇函數(shù).單調(diào)性由于f(x)a2,令f由于f(x)a2,令f(x)0,解得xx2■'b■b:b訂或xva，令（x）°，解得v'ax0或'bp—i—'b0x芮’所以函數(shù)曲在（‘茁）上為增函數(shù)’在（訂'0）上為減函數(shù)’在（0,打上為減函數(shù)'在（詁,在（詁,a）上為增函數(shù).漸近線bb當(dāng)X0時(shí)，ax0,當(dāng)X0時(shí)，ax0,說(shuō)明函數(shù)的的圖象在第一、第三象限.xxbb當(dāng)X0時(shí)，f（x）ax，說(shuō)明函數(shù)在第一象限的圖象在直線yax的上方，當(dāng)X0時(shí),xxbf(x)=ax+<ax，說(shuō)明函數(shù)在第三象限的圖象在直線y二ax的下方.x雙勾函數(shù)就是以y軸和直線y=x為漸近線的雙曲線.特別a—1,b—1時(shí)，f(x)=x+，函數(shù)圖象如下圖所示：x(II)絕對(duì)值函數(shù)一、絕對(duì)值函數(shù)的定義：形如y=|ax+b\的函數(shù)，叫做絕對(duì)值函數(shù).含絕對(duì)值的函數(shù)本質(zhì)上是分段函數(shù)，往往需要先去絕對(duì)值再結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行研究,由于去絕對(duì)值函數(shù)大多要涉及到分類討論，對(duì)能力要求較高，故備受高考命題者青睞，高考?？嫉闹饕幸韵?類：i.形如f(x)|的函數(shù)，研究此類函數(shù)往往結(jié)合If(x)|圖像，可以看成由f(x)的圖像在x軸上方部分不變，下方部分關(guān)于x軸對(duì)稱得到；2.形如f(x|)的函數(shù)，此類函數(shù)是偶函數(shù)，因此可以先研究x>0的情況，x<0的情況可以根據(jù)對(duì)稱性得到；3.函數(shù)解析式中部分含有絕對(duì)值，如y二x|x-a|+1，y二x2+|x-a|等,這種函數(shù)是普通的分段函數(shù)，一般先去絕對(duì)值，再結(jié)合圖像進(jìn)行研究.二、絕對(duì)值函數(shù)f(x)=|ax+b的圖象與性質(zhì)1?定義域:R；2.值域：［0,+s)；bb3.單調(diào)性：函數(shù)f(x)在(-8,-)上為減函數(shù)，在(-,+8)上為增函數(shù).aa特別a=1,b二0時(shí)，f(x)=x，圖象如下圖所示(III)取整函數(shù)取整函數(shù)的定義若X為實(shí)數(shù)，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)二[x]叫做取整函數(shù).舉例如下:[2.8]=2,[1.2]=1,[0.35]=0,[-0.8]=0,[-1.9]=-1等.題型攻略?深度挖掘【考試方向】這類試題在考查題型上，可以是選擇題或填空題，也可以是解答題，難度較大，往往與函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及對(duì)稱性有聯(lián)系，主要考查函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用等.【技能方法】解決此類問(wèn)題一般要把先求函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).最好先畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想，解決相應(yīng)問(wèn)題.【易錯(cuò)指導(dǎo)】注意定義域先行原則，必須先求出函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)解決相應(yīng)問(wèn)題.舉一反三?觸類旁通考向1對(duì)勾函數(shù)【例1】【2018河北唐山模擬】已知f(x)=x+--1，f(a)二2，則f(-a)二()xA.-4B.-2C.-1D.-3【答案】A【解析】???f(x)=x+1-1,???f(x)+1=x+-，令F(x)=f(x)+1，則F(x)為奇函數(shù)，則TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"xxF(一x)=一F(x)，所以f(一x)+1=-f(x)一】，有f(一a)=一f(a)一2=一2一2=一4，故選A.考點(diǎn)：函數(shù)值、函數(shù)的奇偶性.【例2】【2018云南省師大附中模擬】若函數(shù)f(x)二x3-tx2+3x在區(qū)間［1,4］上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()D.[3,+8)\o"CurrentDocument"/51/小「51、D.[3,+8)A.(一?/B.Y,3]C.冷，+8)88【答案】C【解析】丫畑亠-他十爲(wèi)由于/何在IK間［1=4］±M調(diào)遞瀛則有Zw<0ft［L4］±恒成立,TOC\o"1-5"\h\z7171即3”-址+強(qiáng)0,也即在［1：4］上恒成立，因?yàn)?―(時(shí)-)在［1：4］上單調(diào)遞増，所以\o"CurrentDocument"x2x&1氣1/故選U248考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.b【例3】【2017山西四校聯(lián)考】若函數(shù)f(x)=x+—(beR)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)，則f(x)x在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的是A.(一8,-1］B.(-1,0)C.(0,1)D.(2,+8)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"bb【解析】f'(x)=1-=0，x2=b，顯然b>0，函數(shù)f(x)=x+(beR)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(1,2)\o"CurrentDocument"x2xx^2上有零點(diǎn)，1<b<4，f(x)為增函數(shù)，只需f'(x)=1-=>0,x2>b，故選D.\o"CurrentDocument"x2x2【名師點(diǎn)睛】1.要結(jié)合圖象，理解對(duì)勾函數(shù)的各種性質(zhì)，單調(diào)性，對(duì)稱性，奇偶性等.通過(guò)對(duì)勾函數(shù)的研究，要明確均值不等式的使用條件.對(duì)漸近線的認(rèn)識(shí)，應(yīng)進(jìn)一步加深，我們可以理解為，函數(shù)圖象無(wú)限靠近直線，且總在直線的一側(cè).2x——,x>1,【例4】【2018吉林百校聯(lián)盟高三九月聯(lián)考】已知函數(shù)f(x)二｛12"函數(shù)g(x)=f(x)-m,—-2x,x<1,2x則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.若m<-2，則函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)B.若m>-3，則函數(shù)g(x)有零點(diǎn)C.若—2<m<3，則函數(shù)g(X)有一個(gè)零點(diǎn)D.若m>斗，則函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】A【解析】作出函數(shù)f(X)的圖象如圖所示：觀察可知：當(dāng)m二-3時(shí)，函數(shù)g(x)有一個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.故選A.【跟蹤練習(xí)】若函數(shù)f(x)二X+4，則下列結(jié)論正確的是()XA.函數(shù)/(x)的最小值為4B函數(shù)f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增C函數(shù)f(x)的最大值為4D函數(shù)f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增在(2,+8)上單調(diào)遞減解：參照上述總結(jié)，可知對(duì)比得到』I日對(duì)于對(duì)勾函數(shù)，在整個(gè)定義域，既浚有最小值，也浚有最大值，所以九C選項(xiàng)不正確。又因削￡=—所以國(guó)數(shù)在(0,2｝上單調(diào)遞減在(2,十對(duì)上單調(diào)遞増，所以.B正確,關(guān)于函數(shù)f(x)=lg學(xué)J有下列命題：xI其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(—8,0)上單調(diào)遞減;函數(shù)f(x)的最小值為lg2；函數(shù)f(x)在(—1,0),(2,+8)上單調(diào)遞增；函數(shù)f(x)無(wú)最大值，也無(wú)最小值其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

【解析】注意函數(shù)的定義域?yàn)閄豐0.又有冗羽所臥函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)團(tuán)象關(guān)于V軸對(duì)稱所法⑴正確當(dāng)Q0時(shí)，可令肌對(duì)二土1二工+1;再根據(jù)對(duì)稱性，可以畫出盤)團(tuán)象X兀所以在(0,+8)上，g(x)在(0,1)上遞減，在(1+Q上遞增.所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，f(x)在(0,1)上遞減，在(1,+Q上遞增.由函數(shù)對(duì)稱性，f(x)在(-1,0)上遞增，在(-?-I)上遞減，所以(2)不正確,(4)正確.又因?yàn)?，函?shù)g(x)的最小值為2，所以f(x)的最小值為lg2，所以(3)正確，(5)不正確.43?函數(shù)y=logx+(xG[2,4])的最大值為logX2【答案】54【解析】設(shè)g=[匕2],即求函數(shù)y=t^—在[1刀上的最大值.函數(shù)為對(duì)勾函數(shù)，在(0f2)±單調(diào)遞減，所以當(dāng)H時(shí)，函魏取到最丈值』即凡誣=1+*=5.34.求函數(shù)f(x)=x+在下列條件下的值域：x(1)xG(—8,0)u(0,+8)；(2)xg(2,3]3【解析】(l)當(dāng)X〉0時(shí)，由均值不等式，有x+-x

3當(dāng)x二一時(shí)，即x=、月時(shí)，取到等號(hào)；x3—當(dāng)x〈0時(shí)，有x+=—[―(x)+]<—2\：3x—xu[2\；u[2\；3,+a)"語(yǔ)時(shí)函數(shù)取到最小值所以蘭心爲(wèi)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞増當(dāng)gg朽時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減所以在xe(2.3]時(shí)，函數(shù)遞増，所^/(2)=^/(3)=4￡所漢當(dāng)XEa3]時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椤?]5.已知函數(shù)f(x)=x+a其中常數(shù)a〉0.x(1)證明：函數(shù)f(x)在(0,\；a]上是減函數(shù)，在Za,)上是增函數(shù)；20⑵利用(1)的結(jié)論，求函數(shù)y=x+(xG[4,6])的值域；x⑶借助(1)的結(jié)論，試指出函數(shù)g(x)二壬+x+1的單調(diào)區(qū)間，不必證明.x2

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"【解析】門)尸亠丄w(2丄］二丄嚴(yán)［D所以JS域?yàn)?；?a2)宀1/+丄2x+l525\o"CurrentDocument"XX才2亠2才_(tái)|_訂11—⑵解：，二十'兀十蓋二兀十蘭十3.vxe<132］..x+^e［2^33］,所以.值域?yàn)椋海?+2^6］.\o"CurrentDocument"XXX(3)y=x+=(x—1)++1，所以值域?yàn)椋海?、；5+1,+8).x—1x—1考向2絕對(duì)值函數(shù)1【例5】【2017云南昆明下學(xué)期第二次統(tǒng)測(cè)】已知關(guān)于x的方程二a|x|有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)x+2數(shù)a的取值范圍是()A.(-8,0)B.(0,1)C.(1,+8)D.(0,+8)【答案】C【解析】當(dāng)“0時(shí)，方程無(wú)解,當(dāng)XO時(shí)，x<-2?方程TOC\o"1-5"\h\z―!—=—ax,cd?"+2^xx+1=0,A>=丄■<(),即至多一解'當(dāng)口>0日寸；當(dāng)丸二。時(shí)方程兀十2a—!—=^^+2^-1=0,A>O1jclxl=-!<(},即必有一解；S-2<x<O0寸方程x+2a」一十屁十l=0JA>01^x1=->{}=>o>l/因此口Al有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；選C?【例6】已知函數(shù)f(x)二【例6】已知函數(shù)f(x)二x+”,

|log2xl，x<0x>0'若方程f(x)二a有四個(gè)不同的解x1，x2，x3，x4，且的取值范圍是(x<x<x<x，則x(x+x)+的取值范圍是(1234312D.[—1,1)A.(—1,+8)B.(—匚1】C.(—8,1)D.[—1,1)【答案】B【解析】先畫出函數(shù)=的團(tuán)象方程g=a有四個(gè)不同的解丙七羽齊且[|log2^:Jt>0jq<心由x<0時(shí)丿(兀)=|丸+山則橫坐標(biāo)為西與帀兩點(diǎn)■的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為k=一1：即：西七旳齊2當(dāng)Q0時(shí)'由于y=地?fù)碓?0.0±是減函數(shù)?在厲皿)上是増函埶又因?yàn)樨兀;険2花|二|燉訂』，則°<1<X4^-Iog2^二log訂4二>羽工4二匚又因?yàn)榉匠?(X)=fl有四個(gè)不同的解倂以.-Jo恥眄<1^ijx3>1+xj)+J-=-2xa+—,4<x3<1)^2百斗兩2訴)=②+UU兒由于^r?=-2-l<0,則茗旳在[丄J)上杲湎函數(shù)阿—1C曲)蘭L/2r2|x+2,x<1【例7】【2018上海交通大學(xué)附中高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試】已知函數(shù)f(x)={2|x+—,x>1x若關(guān)于x的不等式f(x)>x+a在R上恒成立，則a的取值范圍是厶【答案】[-2,2]的團(tuán)象如翱令如=+斗其團(tuán)象與次軸相交于卜|+2衛(wèi)<:的團(tuán)象如翱令如=+斗其團(tuán)象與次軸相交于【解析】根據(jù)題意’函數(shù)/(x)={2K十一，H仝1X點(diǎn)(^0),在區(qū)間(p,-2Q上找減函數(shù)，在卜爼杉吐為增函數(shù)，若不等式/(x)>|+fl在盪上恒成立，則函數(shù)T(力的圖象在鞏力上的上方或相交，則必有/(0)>^(0),即\a\<2,可得—1喧口玉2.

-3?1I】123-V-丄【例8】【2015高考湖北卷】a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=1X2-axI在區(qū)間［0,1］上的最大值記為g(a).當(dāng)a=時(shí)，g(a)的值最小.【答案】3-2邁【解析】f(x)二|x2一ax|=|x(x-a).①當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像如圖所示.函數(shù)f(x)在區(qū)間【0,1］上單調(diào)遞增，f(x)=g(a)=f(1)=1-a.max當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x2,f(x)在區(qū)間［o,l］上的最大值為f(1)=g(a)=1-a.當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像如圖所示.AAx⑴若彳ul<a,Sni<a<27/(a)Hiai=,^■-"■(11)若牛丄即。…鳥丿仗討匹力一門「GM十lIX-「GM十lI(iii)若0co吒1丁于(可.^=max［?-」一￡/l-a口弋2詩(shī)_1)綜上所述蟲⑷=制血—舉2個(gè)此a-1,a...2l_童何巫立［耳血_1)］今_2血.1【例9】函數(shù)g(x)=log?x(x>2)，關(guān)于x的方程\g(x)卩+m\g(x)|+2m+3=0恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.4【答案】—2<m<-3【解析】設(shè)陸創(chuàng)"±4方程為：X+誡+2稱+3=0方程有兩個(gè)不等實(shí)根必租如根據(jù)嵐的團(tuán)像可得畑(匐7?和瓜園=亦有三個(gè)不同交點(diǎn)麻乩根據(jù)數(shù)形結(jié)合分析荷丘?1)加丘d十巧所加舸數(shù)y二尸+m/+2/w+3,*=2m+3>0數(shù)y二尸+m/+2/w+3,=3m+4<023—sasffis匸/■*\1【例10】【2018廣東廣州模擬】已知函數(shù)/(X)=X-1|+卜+1(xeR)證明：函數(shù)/(X)是偶函數(shù)；利用絕對(duì)值及分段函數(shù)知識(shí)，將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)的形式，然后畫出函數(shù)圖像(草圖)并寫出函數(shù)的值域；在同一坐標(biāo)系中畫出直線Y二x+2，觀察圖像寫出不等式/(x)>x+2的解集.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3){xIx；O或X；.2}.【解析】試題分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先要考查函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提，當(dāng)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱式，根據(jù)f(-x)與f(x)的關(guān)系，判斷函數(shù)f(x)為奇偶性；再利用零點(diǎn)分區(qū)間討論法分段去掉絕對(duì)值符號(hào)，化為分段函數(shù)，畫出函數(shù)圖象；根據(jù)圖象解不等式,這是一種數(shù)形結(jié)合思想.試題解析：(1)依題可得：/(x)的定義域?yàn)镽/(-x)=-x-11+|-x+1|=|x+1|+|x-1=/(x)???/(x)是偶函數(shù)

—2x(xv—1)(2)f(x)={2(—1<x<1)2x(x>1)由函數(shù)圖象知，函數(shù)的值域?yàn)椋?,+8)(3)由函數(shù)圖象知，不等式的解集為{xIx：；0或x；：2}【跟蹤練習(xí)】1.【2018浙江臺(tái)州模擬】函數(shù)1.【2018浙江臺(tái)州模擬】函數(shù)f(x)=min^2^/x,x—2其中min{a,b}=a<ba>b若動(dòng)直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別x,x,x,則x-x-x的最大值為()123123A.4B.3C?2D.1【答案】D【解析】作出13【解析】作出13數(shù)的圖象所示，由y=x-2得{x-2f=^Jxf(O<x<2}?得jc=4-2^5;因此』亦―2珂目工石—2),由團(tuán)知』y=m與7=子(兀)圖象有三個(gè)交點(diǎn)』則0<m<2-/3-2不妨設(shè)0蘭五w花弋2€花;，則由2屆=叭得兩=竺由lx—2=2—x=m，得x=2一m,2—m>0222由lx—2|=x—2=m，得x=m+2，m+2>0'3133...x-x...x-x-x123=晉匕m)°+m)=4m2(4-m2)<4當(dāng)且僅當(dāng)m2=4—m2，即m=邁時(shí)取到等號(hào)，故答案為D.考點(diǎn)：1、函數(shù)圖象的應(yīng)用；2、基本不等式的應(yīng)用.flx-aI,xWl,2.【2018北京西城區(qū)模擬】設(shè)函數(shù)f(x)=\[lo電x,x>1.如果f(1)=3，那么實(shí)數(shù)a=—；如果函數(shù)y=f(x)-2有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】-2或4；(-1，3]【解析】由題意f(1)=卩-a|=3,,解得a=一2或a=4；第二問(wèn)如圖:卩=|工—対的團(tuán)象是由兩條以.(?0)為頂點(diǎn)的射線組毗當(dāng)(“巴)在A3之間〔包括月不包括小時(shí)，函數(shù)y=/(jc)和尸2有兩個(gè)交點(diǎn)，即y=f(jc)~2有兩個(gè)霧點(diǎn).所以的取值范圍再(73]?考點(diǎn)：1.分段函數(shù)值；2.函數(shù)的零點(diǎn).3.設(shè)函數(shù)f(x)二x2+12x-a|(xeR,a為常數(shù))(1)a=2時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若a>-2，函數(shù)f(x)的最小值為2,求a的值.【解析】(1)a=2時(shí)』=+|2x-2|=l，結(jié)合團(tuán)像知：函數(shù)F=_AX)的單調(diào)jc-2x+2x<l1■-増■區(qū)間；減區(qū)間為(TO」]j〉aTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"[x2+2x-ax_2-a(2)f(x)=i2,a>—2,.?.>-1，結(jié)合圖像可得\o"CurrentDocument"[x2—2x+ax<±22當(dāng)a>2時(shí)函數(shù)y=f(x)的最小值為f(1)=a—1=2,解得a=3符合題意；aa2當(dāng)—2<a<2時(shí)函數(shù)y=f(x)的最小值為f(2)=—=2，無(wú)解;綜上，a=3.考向3取整函數(shù)與程序框圖【例11】【2018山西四校聯(lián)考】執(zhí)行圖中的程序框圖(其中L]表示不超過(guò)x的最大整數(shù))，則輸出的S值為A.5B.7C.9D.12考向4取整函數(shù)與函數(shù)的周期性【例12】【2018陜西西北工業(yè)大學(xué)附中模擬】x為實(shí)數(shù)，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)=x—[x]在R上為()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.周期函數(shù)【答案】D【解析】因?yàn)閒(X)=x-[x]，所以f(x+1)=(x+1)，-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f(x)，???f(x)=x-[x]在只上為周期是1的函數(shù).所以選D.考點(diǎn)：函數(shù)的周期性.

【例13】【2017重慶一中高三上學(xué)期一診模擬考試】高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱,以他的名字“高斯”命名的成果達(dá)110個(gè)，設(shè);，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，并用-I-I表示?的非負(fù)純小數(shù)，貝『?稱為高斯函數(shù),已知數(shù)列?「滿足:1?的非負(fù)純小數(shù)，貝『?稱為高斯函數(shù),已知數(shù)列?「滿足:1叫=求如+1=[<|I門-価f)a2D1?=.【答案】【解析】=石冋=1十點(diǎn)=2十弓』如=乙4■克W4■苗畋=牢卜羔=訐弓□m=5十□m=5十金-=—￥VX⑷二7A可歸納:當(dāng)優(yōu)為奇數(shù)時(shí)」叫!=-x3+j當(dāng)骯為偶數(shù)時(shí)an—y*卻+手：■■-a2Qi7=~-~x3+-V3—3024-1-故答案為3D24+V3.考點(diǎn)：歸納推理、數(shù)列的遞推公式及新定義問(wèn)題.【跟蹤練習(xí)】1.【2018重慶銅梁一中高三上學(xué)期第一次月考】閱讀下列一段材料，然后解答問(wèn)題：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，符號(hào)川表示“不超過(guò)的最大整數(shù)”，在數(shù)軸上，當(dāng)是整數(shù)，丨4就是，當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，是點(diǎn)左側(cè)的第一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，這個(gè)函數(shù)叫做“取整函數(shù)”，也叫高斯(Gauss)函數(shù).如-l=-'I-'-7'Ir='求卜呂頃]+[I四2#卜山呂巧II-：唱J十[gg^l+|Rg昇+[log去|+的值為()A.0B.-2C.-1?D.1【答案】C11【解析】=-2,-2<〈一1,=一1,3」=0,"沁=1,1〈"沁〈2,=2,由“取整函數(shù)”的定義可得，1I1】陂#1I昶呻卜山卑幼卜灌日1[理0卜l-og^l卜log品IIlog2+]=-2-2-1+0+1+1+2=-1.故選：C.點(diǎn)睛：正確理解高斯(Gauss)函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，"I表示“不超過(guò)的最大整數(shù)”，首先小于等于此實(shí)數(shù)，并且其為最大的整數(shù)，條件想全面.2.【2018江蘇南京模擬】函數(shù)y二［X］稱為高斯函數(shù)，又稱取整函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x,［x］是不超過(guò)X的最大整數(shù)，則函數(shù)y二［X］+1(一0.5<X<2.5)的值域?yàn)?【答案】｛。丄2,3｝【解析】①當(dāng)O5<孟<0時(shí)，尸［爭(zhēng)1的函數(shù)值為0：②當(dāng)曲<1時(shí)，y=M+l的國(guó)數(shù)值為③當(dāng)1空C2時(shí)，Mx］+1的國(guó)數(shù)值為4④當(dāng)2<x<2.5時(shí)，尸儀］十1的函數(shù)值為3：綜上所述，得固數(shù)尸［X田(-0.5<x<2.5)的值域?yàn)間1,2,3｝.3.【2018福建三明模擬】對(duì)于任意xeR，令［x］為不大于x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)=［x］稱為高斯函數(shù)或取整函數(shù).若數(shù)列｛a｝滿足a—nn(neN+)，且數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S，則S等于nn4n【答案】2n2—na—0—a—a,a—1—【解析】由定義知1234a—a—a,a—2—a,a—n567894n,/.S—4(1+2+...+n一1)+n—2n2一n4n考向5取整函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)【例14】【2018天津南開(kāi)中學(xué)第三次月考】已知xeR符號(hào)L］表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，若函數(shù)f(x)=W一a(x>0)有且僅有3個(gè)零點(diǎn),x則a的取值范圍是【答案】[x]【解析】由f(x)=0得=a，令g(x)

x由f(x)=0得口=a；令盤(x)=x的取值范圍.=兇(x>0),作出g(x)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到ax—,(x>0),則當(dāng)0<x<1,[x]=0,此時(shí)g(x)=0,x當(dāng)1WxV2,[x]=1，此時(shí)g(x)當(dāng)2WxV3,[x]=2,此時(shí)g(x)當(dāng)3WxV4,[x]=3,此時(shí)g(x)\o"CurrentDocument"1/、1=，此時(shí)三<g(x)<1；\o"CurrentDocument"x22=，此時(shí)萬(wàn)<g(x)<1；\o"CurrentDocument"x3\o"CurrentDocument"33=，此時(shí)丁<g(x)<1；\o"CurrentDocument"x444當(dāng)4WxV5,[x]=4,此時(shí)g(x)二一，此時(shí)5<g(x)<1；(x>0)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)即函數(shù)g(x)的圖象與作出(x>0)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)即函數(shù)g(x)的圖象與x、一3434直線y二a有且只有二個(gè)零點(diǎn)，由圖象可知：丁<a<?故答案為：丁<a—.545考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.【例15】【2018杭州重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考】已知xeR，符號(hào)口表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，若函數(shù)f(X)衛(wèi)一a(x豐0)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是■53]■53]一4?2丿【解析】由/(x)二兇⑴所以因；故井Q0和x<0的情況討論，顯然有通>0,從而得到答案.因XX為=兇—口=0所以.兇分Q0和孟<0的情;兄討論，顯然有葩0?XX卄卄[x]八卄若x〉0,此時(shí)]x]$0；若[x]=0,則=0，若]x]$1,因?yàn)閉x]WxV[x]+1,故x艄<黑1,冊(cè)51'且鵠隨著頃的增大而增大?若心’此時(shí)[x]s若…則W，1，若x<-1,x

因?yàn)閇x]WxV—1；[x]WxV[x]+1,故1渾<鴿,5鈴-且丄當(dāng)隨著[x]的增大而增大.又因?yàn)閇x]—定是不同的X對(duì)應(yīng)不同的a值.所以為使函數(shù)[x]+1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"[x]1f(X)a有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，只能使[x]=l,2，3；或[x]=-l,-2,-3.若[x]=l,有巧<a<1