2020高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.1.1.2 正弦定理（2）練習(xí)（含解析）5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時(shí)正弦定理（2）知識(shí)點(diǎn)一正弦定理的變形及應(yīng)用1．在△ABC中，角A,B，C所對(duì)的邊分別為a，b,c．若acosA＝bsinB，則sinAcosA＋cos2B＝（）A．－eq\f(1，2）B．eq\f(1,2）C．－1D．1答案D解析∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，∴sinAcosA＋cos2B＝1．2．在△ABC中，sinA＝eq\f(3，4)，a＝10，則邊長(zhǎng)c的取值范圍是（)A．eq\f(15,2），＋∞B．（10，＋∞）C．(0，10）D．0，eq\f（40,3）答案D解析∵eq\f(c，sinC）＝eq\f(a,sinA）＝eq\f(40，3)，∴c＝eq\f(40，3)sinC．∵C∈（0，π)，∴0<c≤eq\f（40，3）．3．在單位圓上有三點(diǎn)A，B，C，設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c，則eq\f（a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC）＝________．答案7解析∵△ABC的外接圓的直徑為2R＝2，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b，sinB）＝eq\f(c，sinC）＝2R＝2,∴eq\f（a，sinA)＋eq\f(b,2sinB）＋eq\f（2c,sinC)＝2＋1＋4＝7．知識(shí)點(diǎn)二判斷三角形的形狀4．在△ABC中,若a＝2bcosC,則這個(gè)三角形一定是(）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案A解析由a＝2bcosC，得sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C）＝0，∴B＝C,∴這個(gè)三角形一定是等腰三角形．5．已知在△ABC中,角A，B所對(duì)的邊分別是a和b,若acosB＝bcosA，則△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形答案A解析由正弦定理，得acosB＝bcosA?sinAcosB＝sinBcosA?sin(A－B）＝0，由于－π<A－B<π，故必有A－B＝0，即△ABC為等腰三角形．6．在△ABC中,若eq\f(a,cos\f(A,2）)＝eq\f（b，cos\f(B，2)）＝eq\f(c，cos\f(C,2）），則△ABC的形狀為（)A．等腰三角形B．等邊三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案B解析由正弦定理，得eq\f(sinA,cos\f（A,2))＝eq\f(sinB，cos\f(B，2)）＝eq\f（sinC，cos\f（C，2））,∴2sineq\f(A,2）＝2sineq\f(B，2)＝2sineq\f（C,2）．顯然eq\f(A，2)＋eq\f（B,2）＝π或eq\f(B,2）＋eq\f(C，2）＝π或eq\f(A，2)＋eq\f(C，2）＝π均不成立．∴eq\f（A,2)＝eq\f(B，2)＝eq\f（C,2）,即A＝B＝C，∴△ABC為等邊三角形．故選B．7．在△ABC中，已知eq\f（a2sinB,cosB）＝eq\f(b2sinA，cosA)，試求△ABC的形狀．解∵eq\f(a2sinB,cosB）＝eq\f(b2sinA,cosA)，a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴eq\f(4R2sin2AsinB，cosB）＝eq\f(4R2sin2BsinA,cosA)．又∵sinAsinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B,或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝eq\f(π,2）．故△ABC是等腰三角形或直角三角形．知識(shí)點(diǎn)三三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題8．在△ABC中，已知（b＋c）∶(c＋a）∶(a＋b）＝4∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于(）A．6∶5∶4B．7∶5∶3C．3∶5∶7D．4∶5∶6答案B解析∵(b＋c）∶(c＋a)∶（a＋b)＝4∶5∶6，∴eq\f（b＋c,4）＝eq\f（c＋a,5)＝eq\f(a＋b，6）．令eq\f（b＋c，4)＝eq\f（c＋a，5)＝eq\f（a＋b，6）＝k（k〉0),則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（b＋c＝4k,,c＋a＝5k，，a＋b＝6k，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝\f(7,2)k，，b＝\f(5,2)k,，c＝\f（3,2)k。)）∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3．9．已知△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b,c，且acosC＋eq\f(1，2）c＝b，則角A等于()A．eq\f(π,3）B．eq\f(π，4)C．eq\f（π，6)D．eq\f(π，12)答案A解析由正弦定理，得sinAcosC＋eq\f(1，2）sinC＝sinB＝sin（A＋C),∴sinAcosC＋eq\f(1，2)sinC＝sinAcosC＋cosAsinC，∴cosA＝eq\f(1，2）．∴A＝eq\f(π，3）．故選A．易錯(cuò)點(diǎn)忽視角之間的關(guān)系10．△ABC的三邊各不相等，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b,c且acosA＝bcosB，求eq\f（a＋b,c)的取值范圍．易錯(cuò)分析這里容易忽視討論“A＝B”這個(gè)情況，從而產(chǎn)生“A＝B”這個(gè)增根．解∵acosA＝bcosB,∴sinAcosA＝sinBcosB．∴sin2A＝sin2B．∵2A,2B∈(0，2π），∴2A＝2B或2A＋2B＝π．∴A＝B或A＋B＝eq\f(π，2）．如果A＝B，那么a＝b不符合題意，∴A＋B＝eq\f(π，2)．∴eq\f(a＋b,c）＝eq\f(sinA＋sinB，sinC)＝sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝eq\r（2)sinA＋eq\f(π，4)．∵a≠b，C＝eq\f(π，2），∴A∈0，eq\f(π，2），且A≠eq\f(π，4)，∴eq\f(a＋b,c）∈(1，eq\r（2)）．一、選擇題1．在△ABC中，若A＝178°,B＝1°，則有()A．eq\f(a，sinA）＞eq\f（b,sinB）B．eq\f（a，sinA)＜eq\f（b，sinB）C．eq\f（a,sinA）＝eq\f(b,sinB）D．以上結(jié)論都不對(duì)答案C解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f（b，sinB）＝2R．故選C．2．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2）a，則eq\f(b,a)＝（）A．2eq\r（3）B．2eq\r（2)C．eq\r(3)D．eq\r（2)答案D解析由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝eq\r(2)sinA,即sinB（sin2A＋cos2A）＝eq\r(2)sinA．所以sinB＝eq\r（2）sinA．所以eq\f（b,a)＝eq\f（sinB,sinA)＝eq\r(2)．3．在△ABC中，已知3b＝2eq\r(3）asinB,cosB＝cosC，則△ABC的形狀是(）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形答案B解析利用正弦定理及第一個(gè)等式，可得sinA＝eq\f(\r(3),2)，A＝eq\f(π,3）或eq\f（2π，3），但由第二個(gè)等式及B與C的范圍，知B＝C,故△ABC必為等腰三角形．4．在△ABC中,B＝60°,最大邊與最小邊之比為(eq\r（3）＋1）∶2，則最大角為()A．45°B．60°C．75°D．90°答案C解析設(shè)C為最大角，則A為最小角，則A＋C＝120°，∴eq\f（sinC，sinA)＝eq\f（sin120°－A,sinA）＝eq\f(sin120°cosA－cos120°sinA,sinA)＝eq\f（\r（3)，2tanA）＋eq\f（1，2）＝eq\f（\r（3）＋1，2)＝eq\f(\r（3），2）＋eq\f（1,2）,∴tanA＝1,∴A＝45°，C＝75°．5．在△ABC中，a,b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊,且滿足bcosC＝（3a－c)cosB．若eq\o(BC,\s\up6(→)）·eq\o（BA,\s\up6（→））＝4，則ac的值為（）A．9B．10C．11D．12答案D解析由正弦定理，得sinBcosC＝(3sinA－sinC）·cosB．化簡(jiǎn)，得cosB＝eq\f（1,3）．又∵Beq\o(C，\s\up6(→)）·Beq\o（A，\s\up6(→）)＝accosB＝4，∴ac＝eq\f（4，cosB）＝12．二、填空題6．在△ABC中，若tanA＝eq\f(1,3），C＝150°，BC＝1，則AB＝________．答案eq\f(\r(10),2）解析∵tanA＝eq\f（1，3)，∴sinA＝eq\f(1,\r(10））．在△ABC中，eq\f(AB，sinC）＝eq\f（BC,sinA），∴AB＝eq\f(BC，sinA)·sinC＝eq\r(10)×eq\f(1,2）＝eq\f(\r(10）,2）．7．在△ABC中,AB＝eq\r(6），∠A＝75°,∠B＝45°,則AC＝________．答案2解析因?yàn)椤螦＝75°,∠B＝45°，所以∠C＝60°，由正弦定理可得eq\f（AC，sin45°)＝eq\f（\r(6）,sin60°），解得AC＝2．8．若滿足c＝eq\r(2),acosC＝csinA的△ABC有兩個(gè)，則邊長(zhǎng)BC的取值范圍是________．答案（eq\r（2），2)解析由acosC＝csinA及正弦定理,得sinAcosC＝sinCsinA，則tanC＝1，所以C＝eq\f(π，4)．過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D,則BD＝eq\f（\r（2),2）BC，要使?jié)M足條件的△ABC有兩個(gè)，則需eq\f（\r(2）,2)BC＜eq\r(2）＜BC成立,解得eq\r（2）＜BC＜2．三、解答題9．在△ABC中，已知2b＝a＋c,證明：acos2eq\f(C，2）＋ccos2eq\f（A,2）＝eq\f(3b，2）．證明由正弦定理可知，要證acos2eq\f（C，2）＋ccos2eq\f（A,2）＝eq\f（3b，2)，即證sinAcos2eq\f(C，2）＋sinCcos2eq\f(A，2)＝eq\f(3sinB，2），sinA·eq\f(1＋cosC，2）＋sinC·eq\f（1＋cosA,2)＝eq\f（3sinB,2)，sinA＋sinC＋(sinAcosC＋sinCcosA)＝3sinB，sinA＋sinC＋sinB＝3sinB，sinA＋sinC＝2sinB．又∵2b＝a＋c，∴acos2eq\f（C，2）＋ccos2eq\f（A，2）＝eq\f（3b,2)成立．10．如圖，D是Rt△ABC斜邊BC上一點(diǎn)，AB＝AD，記∠CAD＝α，∠ABC＝β．(1)證明：sinα＋cos2β＝0；（2）若AC＝eq\r(3）DC，求β的值．解（1）證明：∵α＝eq\f(π，2）－（π－2β)＝2β－eq\f（π,2)，∴sinα＝sin2β－eq\f（π，2）＝－cos2β，即sinα＋cos2β＝0．(2）在△ADC中,由正弦定理，得eq\f（DC,s