精選文檔信息光學習題答案

〖精選文檔〗信息光學習題答案〖精選文檔〗信息光學習題答案PAGE12/12PAGE12〖精選文檔〗信息光學習題答案信息光學習題答案第一章線性系統(tǒng)分析1.1簡要說明以下系統(tǒng)是否有線性和平移不變性.（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）線性、平移不變；（2）線性、平移不變；（3）非線性、平移不變；（4）線性、平移不變；（5）線性、非平移不變。1.2證明證明：左邊＝當n為奇數(shù)時，右邊＝0，當n為偶數(shù)時，右邊＝所以當n為偶數(shù)時，左右兩邊相等。1.3證明證明：根據(jù)復合函數(shù)形式的δ函數(shù)公式式中是h(x)=0的根，表示在處的導數(shù)。于是1.4計算圖題1.1所示的兩函數(shù)的一維卷積。解：設(shè)卷積為g(x)。當-1≤x≤0時，如圖題1.1(a)所示，圖題1.1當0<x≤1時，如圖題1.1(b)所示，即1.5計算下列一維卷積。（1）（2）（3）解：（1）（2）設(shè)卷積為g(x)，當x≤0時，如圖題1.2(a)所示，當0<x時，如圖題1.2(b)所示圖題1.2即（3）1.6已知的傅立葉變換為，試求（1）（2）解：設(shè)即由坐標縮放性質(zhì)得（1）（2）1.7計算積分.（1）（2）解：應用廣義巴塞伐定理可得（1）（2）1.8應用卷積定理求的傅里葉變換.解：當時，如圖題1.3(a)所示，當時，如圖題1.3(b)所示，當時，如圖題1.3(c)所示，2G(ξ)的圖形如圖題1.3(d)所示，由圖可知圖題1.31.9設(shè)，，求解：1.10設(shè)線性平移不變系統(tǒng)的原點響應為，試計算系統(tǒng)對階躍函數(shù)的響應.解：由階躍函數(shù)定義得線性平移不變系統(tǒng)的原點響應為所以系統(tǒng)對解階躍函數(shù)的響應為1.11有兩個線性平移不變系統(tǒng)，它們的原點脈沖響應分別為和.試計算各自對輸入函數(shù)的響應和.解：1.12已知一平面波的復振幅表達式為試計算其波長λ以及沿方向的空間頻率。解：設(shè)平面波的復振幅的表達式可以表示成以下形式由題可知，又因為所以波長為沿方向的空間頻率為1.13單色平面波的復振幅表達式為求此波在傳播方向的空間頻率以及在方向的空間頻率.解：設(shè)單色平面波的復振幅的表達式可以表示成以下形式由題可知，又因為所以波長為沿方向的空間頻率為第三章光學成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3.1參看圖3.1.1，在推導相干成像系統(tǒng)點擴散函數(shù)(3.1.5)式時，對于積分號前的相位因子試問：（1）物平面上半徑多大時，相位因子相對于它在原點之值正好改變π弧度？（2）設(shè)光瞳函數(shù)是一個半徑為a的圓，那么在物平面上相應h的第一個零點的半徑是多少？（3）由這些結(jié)果，設(shè)觀察是在透鏡光軸附近進行，那么a,λ和do之間存在什么關(guān)系時可以棄去相位因子解：（1）由于原點的相位為零，于是與原點相位差為π的條件是（2）根據(jù)相干成像系統(tǒng)的點擴散函數(shù)是透鏡光瞳函數(shù)的夫瑯禾費衍射圖樣，其中心位于理想像點式中，而（1）在點擴散函數(shù)的第一個零點處，此時應有，即(2)將(2)式代入(1)式，并注意觀察點在原點，于是得(3)（3）根據(jù)線性系統(tǒng)理論，像面上原點處得場分布，必須是物面上所有點在像面上的點擴散函數(shù)對于原點的貢獻。按照上面的分析，如果略去h第一個零點以外的影響，即只考慮h的中央亮斑對原點的貢獻，那么這個貢獻僅僅來自于物平面原點附近范圍內(nèi)的小區(qū)域。當這個小區(qū)域內(nèi)各點的相位因子變化不大，而降它棄去。假設(shè)小區(qū)域內(nèi)相位變化不大于幾分之一弧度(例如π/16)就滿足以上要求，則，也即（4）例如λ＝600nm,do=600mm，則光瞳半徑a≥1.46mm，顯然這一條件是極易滿足的。3.2一個余弦型振幅光柵，復振幅透過率為放在圖3.1.1所示的成像系統(tǒng)的物面上，用單色平面波傾斜照明，平面波的傳播方向在平面內(nèi)，與z軸夾角為θ。透鏡焦距為f,孔徑為D。求物體透射光場的頻譜；使像平面出現(xiàn)條紋的最大θ角等于多少？求此時像面強度分布；（3）若θ采用上述極大值，使像面上出現(xiàn)條紋的最大光柵頻率是多少？與θ＝0時的截止頻率比較，結(jié)論如何？解：（1）斜入射的單色平面波在物平面上產(chǎn)生的場為，為確定起見設(shè)θ>0，則物平面上的透射光場為其頻譜為由此可見，相對于垂直入射照明，物頻譜沿ξ軸整體平移了sinθ/λ距離。（2）欲使像面有強度變化，至少要有兩個頻譜分量通過系統(tǒng)。系統(tǒng)的截至頻率，于是要求由此得（1）θ角的最大值為（2）此時像面上復振幅分布和強度分布為（3）照明光束的傾角取最大值時，由(1)式和(2)式可得即(3)θ＝0時，系統(tǒng)的截止頻率為，因此光柵的最大頻率(4)比較(3)和(4)式可知，當采用傾角的平面波照明時系統(tǒng)的截止頻率提高了一倍，也就提高了系統(tǒng)的極限分辨率，但系統(tǒng)的通帶寬度不變。3.3光學傳遞函數(shù)在處都等于1，這是為什么？光學傳遞函數(shù)的值可能大于1嗎？如果光學系統(tǒng)真的實現(xiàn)了點物成點像，這時的光學傳遞函數(shù)怎樣？解：在（1）式中，令為歸一化強度點擴散函數(shù)，因此(1)式可寫成而即不考慮系統(tǒng)光能損失時，認定物面上單位強度點源的總光通量將全部彌漫在像面上，著便是歸一化點擴散函數(shù)的意義。（2）不能大于1。（3）對于理想成像，歸一化點擴散函數(shù)是δ函數(shù)，其頻譜為常數(shù)1，即系統(tǒng)對任何頻率的傳遞都是無損的。3.4當非相干成像系統(tǒng)的點擴散函數(shù)成點對稱時，則其光學傳遞函數(shù)是實函數(shù).解：由于是實函數(shù)并且是中心對稱的，即有，，應用光學傳遞函數(shù)的定義式易于證明，即為實函數(shù)3.5非相干成像系統(tǒng)的出瞳是由大量隨機分布的小圓孔組成。小圓孔的直徑都為2a，出瞳到像面的距離為di，光波長為λ，這種系統(tǒng)可用來實現(xiàn)非相干低通濾波。系統(tǒng)的截止頻率近似為多大？解：用公式來分析。首先，由于出瞳上的小圓孔是隨機排列的，因此無論沿哪個方向移動出瞳計算重疊面積，其結(jié)果都一樣，即系統(tǒng)的截止頻率在任何方向上均相同。其次，作為近似估計，只考慮每個小孔自身的重疊情況，而不計及和其它小孔的重疊。這時N個小孔的重疊面積除以N個小孔的總面積，其結(jié)果與單個小孔的重疊情況是一樣的，即截至頻率約為，由于2a很小，所以系統(tǒng)實現(xiàn)了低通濾波。第四章部分相干理論4.1若光波的波長寬度為Δλ，頻率寬度為Δν，試證明：。設(shè)光波波長為，試計算它的頻寬Δν=?若把光譜分布看成是矩形線型，則相干長度證明：因為頻率與波長的關(guān)系為(其中c為光速)對上式兩邊求導得所以因所以有因為相干長度4.2設(shè)邁克耳孫干涉儀所用光源為的鈉雙線，每一譜線的寬度為0.01nm.（1）試求光場的復相干度的模；（2）當移動一臂時，可見到條紋總數(shù)大約是多少？（3）可見度有幾個變化周期？每個周期有多少條紋？解：假設(shè)每一根譜線的線型為矩形，光源的歸一化功率譜為（1）光場的復相干度為式中，復相干度的模為由于，故第一個因子是τ的慢變化非周期函數(shù)，第二個因子是τ的快變化周期函數(shù)。相干時間由第一個因子決定，它的第一個零點出現(xiàn)在的地方，τc即為相干時間，故相干長度(2)可見到的條紋總數(shù)（3）復相干度的模中第二個因子的變化周期，故可見度的變化周期每個周期內(nèi)的條紋數(shù)4.3假定氣體激光器以N個等強度的縱模振蕩。其歸一化功率譜密度可表示為式中，Δν是縱模間隔，為中心頻率。為簡單起見，假定N為奇數(shù)。（1）證明復相干度的模為（2）若N＝3，且0≤τ≤1/Δv，畫出與Δντ的關(guān)系曲線。（1）證明：復相干度函數(shù)為得所以復相干度得模為（2）當N=3時，復相干度的模為4.4在例4.7.1所示的楊氏干涉實驗中，若縫光源用兩個相距為a，強度相等的準單色點光源代替，試計算此時的復相干系數(shù)。解：應用范西泰特－策尼克定理得4.5利用傍軸條件計算被一準單色點光源照明，距離光源為z的平面上任意兩點P1和P2之間的復相干系數(shù)μ(P1,P2).解：設(shè)光源所在平面的坐標為α，β；孔平面的坐標為x,y。點P1和P2的坐標為(x1,y1)和(x2,y2)。對于準單色點光源，其強度可表為在傍軸近似下，由范西泰特－策尼克定理得因為,由點光源發(fā)出的準單色光是完全相干的，或者說x,y面上的相干面積趨于無限大。第六章計算全息6.1一個二維物函數(shù)f(x,y)，在空域尺寸為10×10mm，最高空間頻率為5線/mm，為了制作一張傅里葉變換全息圖：(1)確定物面抽樣點總數(shù).(2)若采用羅曼型迂回相位編碼方法，計算全息圖上抽樣單元總數(shù)是多少？(3)若采用修正離軸參考光編碼方法，計算全息圖上抽樣單元總數(shù)是多少？(4)兩種編碼方法在全息圖上抽樣單元總數(shù)有何不同？原因是什么？解：(1)假定物的空間尺寸和頻寬均是有限的。設(shè)物面的空間尺寸為Δx,Δy；頻寬為2Bx,2By.根據(jù)抽樣定理，抽樣間距δx,δy必須滿足δx≤1/2Bx,δy≤1/2By才能使物復原。故抽樣點總N(即空間帶寬積SW)為(2)羅曼計算全息圖的編碼方法是在每一個抽樣單元里用開孔的大小和開孔的位置來編碼物光波在該點的振幅和相位。根據(jù)抽樣定理，在物面上的抽樣單元數(shù)應為物面的空間帶寬積，即。要制作傅里葉變換全息圖，為了不丟失信息，空間帶寬積應保持不變，故在譜面上的抽樣點數(shù)仍應為.(3)對于修正離軸參考光的編碼方法，為滿足離軸的要求，載頻α應滿足α≥Bx為滿足制作全息圖的要求，其抽樣間隔必須滿足δx≤1/2Bx,δy≤1/2By。因此其抽樣點數(shù)為(4)兩種編碼方法的抽樣點總數(shù)為2倍關(guān)系，這是因為，在羅曼型編碼中，每一抽樣單元編碼一復數(shù)；在修正離軸型編碼中，每一抽樣單元編碼一實數(shù)。修正離軸加偏置量的目的是使全息函數(shù)變成實值非負函數(shù)，每個抽樣單元都是實的非負值，因此不存在位置編碼問題，比同時對振幅和相位進行編碼的方法簡便。但由于加了偏置分量，增加了記錄全息圖的空間帶寬積，因而增加了抽樣點數(shù)。避免了相位編碼是以增加抽樣點數(shù)為代價的。6.2對比光學離軸全息函數(shù)和修正型離軸全息函數(shù)，說明如何選擇載頻和制作計算全息圖的抽樣頻率.解：設(shè)物的頻寬為(1)對于頻寬α的選擇光學離軸，由圖6.2.5(b)可知，修正離軸，由圖6.2.5(d)可知，載頻的選擇是為了保證全息函數(shù)在頻域中各結(jié)構(gòu)分量不混疊。(2)對于制作計算全息圖時抽樣頻率的選擇光學離軸全息，由圖6.2.5(c)可知：在x方向的抽樣頻率應，即x方向的抽樣間距。在y方向的抽樣頻率應，即x方向的抽樣間距。修正離軸全息，由圖6.2.5(e)可知：在x方向的抽樣頻率應，即x方向的抽樣間距。在y方向的抽樣頻率應，即x方向的抽樣間距。6.3一種類似傅奇型計算全息圖的方法，稱為黃氏(Huang)法，這種方法在偏置項中加入物函數(shù)本身，所構(gòu)成的全息函數(shù)為(1)畫出該全息函數(shù)的空間頻率結(jié)構(gòu)，說明如何選擇載頻.(2)畫出黃氏計算全息圖的空間頻率結(jié)構(gòu)，說明如何選擇抽樣載頻.解：把全息函數(shù)重寫為物函數(shù)為并且歸一化的，即，參考光波R＝1。經(jīng)過處理后的振幅透過率為其頻譜為(1)設(shè)物的帶寬為，如圖題6.3(a)所示。全息函數(shù)的空間頻譜結(jié)構(gòu)如圖題6.3(b)所示，載頻。(2)黃氏全息圖的空間頻率結(jié)構(gòu)如圖題6.3(c)所示，由此可得出：在x方向的抽樣頻率應，即x方向的抽樣間距。在y方向的抽樣頻率應，即x方向的抽樣間距。抽樣點數(shù)即空間帶寬積為.黃氏計算全息圖的特點：(1)占用了更大的空間帶寬積(博奇全息圖的空間帶寬積)，不具有降低空間帶寬積的優(yōu)點。(2)黃氏全息圖具有更高的對比度，可以放松對顯示器和膠片曝光顯影精度的要求。6.4羅曼迂回相位編碼方法有三種衍射孔徑形式，如圖題6.1所示.利用復平面上矢量合成的方法解釋，在這三種孔徑形式中，是如何對振幅和相位進行編碼的.解：對于Ⅰ型和Ⅲ型，是用來編碼振幅A(x,y)，用來編碼相位，在復平面上用一個相幅矢量來表示，如圖題6.4(a).對于羅曼Ⅱ型是用兩個相同寬度的矩孔來代替Ⅰ，Ⅲ型中的一個矩孔。兩矩孔之間的距離是變化的，用這個變化來編碼振幅A(x,y)。在復平面上反映為兩個矢量夾角的變化。兩個矩孔中心距離抽樣單元中心的位移量用作相位的編碼。在復平面上兩矢量的合成方向即表示了的大小，如圖題6.4(b)所示。第八章空間濾波8.1利用阿貝成像原理導出相干照明條件下顯微鏡的最小分辨距離公式，并同非相干照明下的最小分辨距離公式比較。解：顯微鏡是用于觀察微笑物體的，可近似看作一個點，物近似位于物鏡的前焦點上。設(shè)物鏡直徑為D，焦距為f，如圖8.1所示。對于相干照明，系統(tǒng)的截止頻率由物鏡孔徑的最大孔徑角θo決定，截止頻率為。從幾何上看，近似有。截止頻率的倒數(shù)的倒數(shù)即為分辨距，即對于非相干照明，由幾何光學可知其分辨距為非相干照明時顯微鏡的分辨率大約為相干照明時的兩倍。8.2在4f系統(tǒng)輸入平面放置40mm-1的光柵，入射光波長632.8nm。為了使頻譜面上至少能夠獲得±5級衍射斑，并且相鄰衍射斑間距不小于2mm，求透鏡的焦距和直徑。解：設(shè)光柵寬度比較大，可近似看成無窮，設(shè)周期為d，透光部分為a，則其透過率函數(shù)可表為其頻譜為即譜點的位置由決定，即m級衍射在后焦面上的位置由下式確定：相鄰衍射斑之間的間距由此得焦距f為物透明片位于透鏡的前焦面，譜面為后焦面，譜面上的±5級衍射斑對應于能通過透鏡的最大空間頻率應滿足于是求得透鏡直徑8.3觀察相位型物體的所謂中心暗場方法，是在成像透鏡的后焦面上放一個細小的不透明光闌以阻擋非衍射的光。假定通過物體的相位延遲<<1弧度，求所觀察到的像強度(用物體的相位延遲表示出來)。解：相位物體的透過率為其頻譜為若在譜平面上放置細小的不透明光闌作為空間濾波器，濾掉零頻背景分量，則透過的頻譜為再經(jīng)過一次傅里葉變換(在反演坐標系)得強度分布為因此在像面上得到了正比于物體相位平方分布的光強分布，實現(xiàn)了將相位轉(zhuǎn)換為強度分布的目的。不過光強不是相位的線性函數(shù)，這給分析帶來困難。8.4當策尼克相襯顯微鏡的相移點還有部分吸收，其強度透射率等于α(0<α<1)時，求觀察到的像強度表示式。解：相位物體的頻譜為現(xiàn)在用一個濾波器使零頻減弱，同時使高頻產(chǎn)生一個±π/2的相移，即濾波器的透過率表達式為于是像的復振幅分布為像強度分布為像強度分布與相位分布成線性關(guān)系，易于分析。8.5用CRT(陰極射線管)記錄一幀圖像透明片，設(shè)掃描點之間的間隔為0.2mm，圖像最高空間頻率為10mm-1。如欲完全去掉離散掃描點，得到一幀連續(xù)灰階圖像，空間濾波器的形狀和尺寸應當如何設(shè)計？輸出圖像的分辨率如何(設(shè)傅立葉變換物鏡的焦距f＝1000mm,λ=632.8nm)。解：掃描點的表達式為其頻譜為在上式的化簡中應用了公式由此可見，點狀結(jié)構(gòu)的頻譜仍然是點狀結(jié)構(gòu)，但點與點之間的距離不同。掃描點頻譜出現(xiàn)的位置為點狀結(jié)構(gòu)是高頻，所以采用低通濾波將其濾掉。低通濾波器圓孔半徑為能傳遞的最高空間頻率為即高于51/mm的空間頻率將被濾掉，故輸出圖像的分辨率為51/mm。8.6某一相干處理系統(tǒng)的輸入孔徑為30mm×30mm的方形，頭一個變換透鏡的焦距為100mm，波長是632.8nm。假定頻率平面模片結(jié)構(gòu)的精細程度可與輸入頻譜相比較，問此模片在焦平面上的定位必須精確到何種程度？解：考慮到系統(tǒng)孔徑有限，一般用幾何光學近似，引入光瞳函數(shù)P(x,y),根據(jù)題意其表達式為設(shè)系統(tǒng)的輸入面位于透鏡的前焦面，物透明片的復振幅分布為，它的頻譜分布為，透鏡后焦面上的場分布式中。由的表達式可見，頻譜面上能分辨的細節(jié)由決定。取一個方向來看，將sinc函數(shù)由最大降為零的寬度取為最小分辨單元，即要求滿足，于是有因為頻譜平面模片也有同樣細節(jié)，所以對準誤差最大也不允許超過它的一半，約1μm.第九章相干光學處理9.1參看圖9.1.1，在這種圖像相減方法的編碼過程中，如果使用的光柵透光部分和不透光部分間距分別為a和b，并且a≠b。試證明圖像和的信息與圖像差的信息分別受到光柵偶數(shù)倍頻與光柵奇數(shù)倍頻的調(diào)制。解：如圖題9.3所示，先將t(x)展開成傅立葉級數(shù)式中所以第一次曝光得對于是將光柵向x的負方向移動半個周期即(a+b)/2，將它展開成傅立葉級數(shù)得第二次曝光得即圖像和的信息受到光柵偶數(shù)倍頻的調(diào)制，圖像差的信息受到光柵奇數(shù)信頻的調(diào)制。9.2用VanderLugt方法來綜合一個平年元平面濾波器，如圖9.1(左)所示，一個振幅透射率為s(x,y)的“信號”底片緊貼著放在一個會聚透鏡的前面，用照相底片記錄后焦面上的強度，并使顯影后底片的振幅透射率正比于曝光量。這樣制得的透明片放在圖題9.1(右)的系統(tǒng)中，假定在下述每種情況下考查輸出平面的適當部位，問輸入平面和第一個透鏡之間的距離d應為多少，才能綜合出：（1）脈沖響應為s(x,y)的濾波器？（2）脈沖響應為s*(x,y)的“匹配”濾波器？解：（1）參看圖題9.1左，設(shè)物面坐標為x1,y1；膠片坐標為x2,y2。則參考光波在記錄膠片上造成的場分布為（1）式中A為常數(shù)，α＝sinθ/λ為空間頻率。物透明片在記錄膠片上造成的場分布為式中S(ξ,η)為s(x1,y1)的頻譜，且ξ＝x2/λf，η=y2/λf。膠片上的光強分布為(2)將曝過光的膠片顯影后制成透明片，使它的復振幅透過率正比于照射光的強度，即（3）將制得的透明片作為頻率平面模片，放在圖題9.1右所示的濾波系統(tǒng)中。要綜合出脈沖響應s(x,y)或s*(-x,-y)，只要考察當輸入信號為單位脈沖δ(x,y)時，在什么條件下系統(tǒng)的脈沖響應為s(x,y)或s*(-x,-y)。參看右圖，當輸入信號為δ(x1,y1)時，在L2的后焦面上形成的光場復振幅分布，根據(jù)公式得透過頻率平面模片得光場分布，由(2)，(3)和(4)式得如果要使系統(tǒng)是脈沖響應為s(x,y)的濾波器，應當利用(5)式中含有S(