2022-2023學(xué)年山東省煙臺市高二年級上冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省煙臺市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)投影向量的定義即可得出正確的答案.【詳解】根據(jù)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)確定方法知，空間中點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)，橫坐標(biāo)為0，縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo)不變．所以空間向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是：故選：B.2．已知過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線經(jīng)過點(diǎn)，直線的傾斜角是直線的2倍，則直線的斜率是（

）A． B． C． D．A【分析】先求得直線的傾斜角，從而求得直線的傾斜角，進(jìn)而求得直線的斜率.【詳解】直線過原點(diǎn)和，所以斜率為，傾斜角為，所以直線的傾斜角為，斜率為.故選：A3．已知點(diǎn)，，，若，則的值為（

）A．2 B． C．0或 D．0或2D【分析】根據(jù)向量垂直時(shí)數(shù)量積為0即可.【詳解】由題知，因?yàn)椋?，解得?.故選：D.4．以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓的方程是（

）A． B．C． D．D【分析】求出圓心到直線的距離即得圓的半徑，即得圓的方程.【詳解】由題得圓心到直線的距離，所以圓的方程為.故選：D.5．如圖，在三棱柱中，點(diǎn)是底面的重心，若，，，則（

）A． B．C． D．A【分析】如圖，連接，并延長交于點(diǎn)D，根據(jù)重心的定義可得D為的中點(diǎn)，，利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意知，如圖，連接，并延長交于點(diǎn)D，則D為的中點(diǎn)，，有，.故選：A.6．若直線與圓相離，則過點(diǎn)的直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定C【分析】根據(jù)題意，求出圓心到直線的距離大于半徑，得到，故點(diǎn)在圓內(nèi)，進(jìn)而判斷結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與圓相離，所以圓心到直線的距離大于半徑，即，所以，故點(diǎn)在圓內(nèi)，所以過點(diǎn)的直線與圓相交，故選：C.7．如圖，和均是邊長為2的正三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，則異面直線與夾角的大小為（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)向量的模長公式可得向量的夾角，進(jìn)而可得異面直線的夾角.【詳解】由于，所以，即,化簡得，由于，所以，故異面直線與夾角的大小為，故選：C8．設(shè)過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則經(jīng)過中點(diǎn)與圓心的直線的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，利用點(diǎn)到直線的距離為半徑求出與圓相切的直線斜率，如圖，結(jié)合過AB中點(diǎn)與圓心的連線必垂直于弦AB可得，即可求解.【詳解】由圓，知圓心，半徑，設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，即，則點(diǎn)到切線的距離為，解得或，所以，因?yàn)檫^AB中點(diǎn)與圓心的連線必垂直于弦AB，所以，得.故選：B.二、多選題9．下列命題正確的有（

）A．若空間向量，與任意一個(gè)向量都不能構(gòu)成基底，則B．若向量，所在的直線為異面直線，則向量，一定不共面C．若構(gòu)成空間的一組基底，則也是空間的一組基底D．若構(gòu)成空間的一組基底，則，，共面AC【分析】根據(jù)空間共面向量定理，結(jié)合基底的定義，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：若空間向量，與任意一個(gè)向量都不能構(gòu)成基底，則，故A正確；對B：根據(jù)向量的可平移性可知，向量，一定共面，故錯(cuò)誤；對：若共面，則一定存在實(shí)數(shù)使得，即，這與不共互矛盾，故不共面，可做基底，故C正確；對D：若，，共面，則一定存在實(shí)數(shù)，使得，即，這與不共互矛盾，故，，不共面，D錯(cuò)誤.故選：AC.10．圓與圓相交于，兩點(diǎn)，則（

）A．的直線方程為 B．公共弦的長為C．圓與圓的公切線長為 D．線段的中垂線方程為ACD【分析】對于A，兩圓方程相減可求出直線的方程，對于B，利用弦心距、弦和半徑的關(guān)系可求公共弦的長，對于C，求出，再由可求得結(jié)果，對于D，線段的中垂線就是直線，求出直線的方程即可.【詳解】由，得，則，半徑，由，得，則，半徑，對于A，公共弦所在的直線方程為，即，所以A正確，對于B，到直線的距離，所以公共弦的長為，所以B錯(cuò)誤，對于C，因?yàn)椋?，，所以圓與圓的公切線長為，所以C正確，對于D，根據(jù)題意可知線段的中垂線就是直線，因?yàn)?，所以直線為，即，所以D正確，故選：ACD11．已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則（

）A．的面積為定值 B．C．圓上總存在3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2 D．線段中點(diǎn)的軌跡方程是ABD【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，求出圓心到直線的距離為定值1，可判斷AD，再由圓的幾何性質(zhì)知，由二倍角公式可判斷B，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離及與2的大小比較可判斷D.【詳解】對A，點(diǎn)O到直線的距離，為定值，所以為定值，所以為定值，故正確；對B，由A知，，所以，故正確；對C，因?yàn)閳A的半徑，圓心到直線的距離，所以，故圓上到直線的距離為2的點(diǎn)只有2個(gè)，故錯(cuò)誤；對D，設(shè)線段中點(diǎn)，由圓的幾何性質(zhì)知，所以點(diǎn)的軌跡方程為，即，故正確.故選：ABD12．如圖，在四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．平面 B．平面平面C．點(diǎn)到平面的距離為 D．二面角的正弦值為ACD【分析】利用線面平行的判定定理即可判斷A；幾何法找二面角的平面角，確定角度大小即可判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量計(jì)算點(diǎn)到平面的距離，即可判斷C；根據(jù)空間向量計(jì)算二面角的余弦值，進(jìn)而求正弦值，從而判斷D；【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；取為，連接所以，且，又因?yàn)槭堑妊苯侨切危?，且平面，且，所以平面，所以為平面與平面的夾角，又因?yàn)?，所以平面，且平面，所以，，而，所以，故B錯(cuò)誤；以為原點(diǎn)，所在直線為軸，在平面內(nèi)，作平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則因?yàn)樗?，所以，所以設(shè)平面的法向量為，則有即，令則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，故C正確；設(shè)平面的法向量為，則有即，令則，所以，設(shè)二面角的大小為，則，所以.故D正確.故選:ACD.三、填空題13．已知直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為______．1【分析】根據(jù)直線一般式平行時(shí)滿足的關(guān)系即可求解.【詳解】由得：，解得，故114．已知為空間中一點(diǎn)，四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，若，則的值為______．【分析】根據(jù)向量共面列方程，結(jié)合已知條件求得的值.【詳解】依題意，四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，所以，所以，，，所以，解得.故15．在平面直角坐標(biāo)系中，，分別是軸和軸上的動點(diǎn)，若以為直徑的圓與直線相切，則圓面積的最小值為______．【分析】根據(jù)條件得到點(diǎn)在圓上，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】是直徑，，點(diǎn)在圓上，過作垂直直線，交點(diǎn)為，圓與直線相切，要使圓的面積最小，此時(shí)為圓的直徑即可，到直線的距離，則圓的半徑，即圓的最小面積，故16．中和殿是故宮外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿與保和殿之間，中和殿建筑的亮點(diǎn)是屋頂為單檐四角攢（cuán）尖頂，體現(xiàn)天圓地方的理念，其屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐．已知此四棱錐的側(cè)棱長為米，側(cè)面與底面的夾角為30°，則此四棱錐相鄰兩個(gè)側(cè)面的夾角的余弦值為______．##【分析】根據(jù)已知條件求得正四棱錐底面邊長，再根據(jù)二面角的定義通過解三角形求得其余弦值.【詳解】根據(jù)題意，取正四棱錐如下所示，其中側(cè)棱長均為，連接交于點(diǎn)，取中點(diǎn)為，連接.因?yàn)闉檎睦忮F，故面，又為中點(diǎn)，故可得，則；設(shè)，在△中，因?yàn)?，為中點(diǎn)，故,則，在△中，，故，解得；過點(diǎn)作，連接，又△△，故即為所求二面角的平面角；在△中，由等面積法可得：,即，解得：，又，又，故在△中，由余弦定理可得.故相鄰兩個(gè)側(cè)面的夾角的余弦值為.故答案為.四、解答題17．已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線上．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．(1)(2)或【分析】（1）先求出線段的垂直平分線方程，再與直線聯(lián)立，求出交點(diǎn)，即為圓心坐標(biāo)，再求出半徑，可得圓的方程；（2）先根據(jù)弦，弦心距和半徑的關(guān)系求出弦心距，然后分直線斜率存在和不存在兩種情況求解即可.【詳解】（1）由題知，所求圓的圓心為線段的垂直平分線和直線的交點(diǎn)．線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率，所以，的垂直平分線的方程為即．聯(lián)立得，解得圓心．半徑．所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意知圓心到直線的距離為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即．所以，，解得，所以直線的方程為．當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，符合題意．所以，直線的方程為或．18．如圖，四邊形是邊長為2的菱形，，平面，，且．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的大?。?1)證明見解析；(2).【分析】（1）通過證明平面，即可由線面垂直證明線線垂直；（2）以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得的方向向量，以及平面的法向量，利用向量法即可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：連接，如下圖所示：因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以．又因?yàn)槠矫妫矫?，所以．因?yàn)?，面，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以．?）設(shè)，取的中點(diǎn)，則，由（1）知，，．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下所示：則，，，．所以，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，所以，所以，?。O(shè)直線與平面夾角為，所以，，又，所以直線與平面夾角的大小為．19．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)．(1)求直線到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值．(1)(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則可得∥平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解；（2）求出平面與平面的法向量，利用空間向量的夾角公式求解.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以∥．因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面．所以點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離.由題知，，，兩兩垂直，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，．所以，，．設(shè)面的一個(gè)法向量，則，令，則又，所以點(diǎn)到平面的距離為．即直線到平面的距離為．（2）由（1）知，平面的一個(gè)法向量．又，，設(shè)平面的一個(gè)法向量面，則，所以，取．設(shè)平面與平面的夾角為，由圖可知為銳角，則．所以平面與平面夾角的余弦值為．20．已知圓．(1)若圓與圓外切，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，由直線上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，（，為切點(diǎn)），試探究四邊形的外接圓是否過定點(diǎn)？若過，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過，請說明理由．(1)(2)外接圓恒過定點(diǎn)和【分析】（1）由兩圓外切可得圓心距等于半徑之和，從而可得出答案；（2）由題意可知四邊形外接圓是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，設(shè)，求得外接圓方程，過定點(diǎn)則跟參數(shù)無關(guān)，令參數(shù)的系數(shù)等于零，即可得出答案.【詳解】（1）解：圓的方程可化為：，所以，即，方程可化為：，因?yàn)閮蓤A外切，所以圓心距，解得，符合題意，所以；（2）解：由題意可知四邊形外接圓是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，設(shè)，則圓的方程為，整理得：，式子可化為：，聯(lián)立方程，整理得：，解得或，所以外接圓恒過定點(diǎn)和．21．在如圖所示的幾何體中，與為全等的等腰直角三角形，，四邊形為正方形，且，．已知平面平面．(1)求證：；(2)已知，為上一點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．(1)見解析(2)【分析】（1）證明平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以；?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，由（1）知，可設(shè)，所以，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)直線與平面所成的角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．22．如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求直線的方程；(2)記點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)為（異于點(diǎn)），求證：直線恒過軸上一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)求四邊形的面積的取值范圍．(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)(3)【分析】（1）根據(jù)垂直求出的斜率，由點(diǎn)斜式即可解決；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組到韋達(dá)定理，找等量關(guān)系，由，得，再根據(jù)，即可