平面向量教案

教師閻偉清學生上課時間學科高中數(shù)學年級教材版本課題平面向量教學重點1、向量的綜合應(yīng)用。2、用向量知識，實現(xiàn)幾何與代數(shù)之間的等價轉(zhuǎn)化教學難點1、向量的綜合應(yīng)用。2、用向量知識，實現(xiàn)幾何與代數(shù)之間的等價轉(zhuǎn)化教學基本知識回顧：.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有一.向量的表示方法：①用有向線段表示 AB(幾何表示法)；②用字母a、b等表示(字母表示法)；③平面向量的坐標表示(坐標表示法)：分別取與1軸、y軸方向相同的兩個單位向量_? —? —?理知，有且只有一對實數(shù)1、y，使得a=xi+yj其中x叫做a在x軸上的坐標，地，i:(1,0),j=(0,1),0=(0,0).， 、二個要素：大小、方向。fi、j作為基底。任作一個向量a，由平面向量基本定，(x,y)叫做向量a的(直角)坐標，記作a=(x,y)，y叫做a在y軸上的坐標， 特別萬卜Jx2+W；若A(xjy1),B(x2,y2)，則過程AB=b2—xjy「yJ|AB1=J(x-x)2+(y-2 12 1 2 1 2.零向量、單位向量：①長度為0的向量叫零向量,記為0；②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量。(注：.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行。向量a、b、c平彳量就是共線向量。性質(zhì)：a//b(b豐0)oa=九b(九是唯)<-y1)2a▼就是單位向量)1a1亍，記作a//b//c.共線向量與平行向量關(guān)系：平行向七八 ［九〉0,b與a同向萬向一-《 一一九<0,b與a反向—，?一長度 1a1=網(wǎng)b

a//b(b豐0)=xy-xy=0(其中a=(x1,y),b=(x2,y2))5。相等向量和垂直向量：①相等向量:長度相等且方向相同的向量叫相等向量.兀②垂直向量 兩向量的夾角為?=——? ?—?—?性質(zhì)：a±boa，b=0(其中a=/yJ,b=(x2,y2))6.向量的加法、減法：①求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.平行四邊形法則：AC=a+b(起點相同的兩向量相加，常要構(gòu)造平行四邊形)三角形法則加法---首尾相連三角形法則減法---終點相連,方向指向被減數(shù)--加法法則的推廣：入耳=邛+B耳+……+Bn1Bn即n個向量彳,[……&首尾相連成一個封閉圖形，則有a+a+……+a=0②向量的減法向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。即：a-b=a+(-b)；差向量的意義：oa=a,ob=b，則BA=abb③平面向量的坐標運算：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x-x,y-y),九a=(九x,九y)。④向量加法的交換律：a+b=b+a；向量加法的結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)⑤常用結(jié)論：1-(1)若AD=-(AB+AC)，則D是AB的中點(2)或G是4ABC的重心，則GA+GB+GC=07.向量的模：1、定義：向量的大小，記為IaI或IAB^|2、模的求法：若a=(羽y),則Ia|=\：x2+j2若A(x,y),B(x,y),則IABI=<(x—x)2+(y—y)21 1 2 2 2 1 2 13、性質(zhì)：(i)?ai2=a2； ?ai=bs>0)n?ai2=b2(實數(shù)與向量的轉(zhuǎn)化關(guān)系)(2)a=bnIa12=1b12，反之不然(3)三角不等式：IaI-IbI<Ia±bI<IaI+IbITOC\o"1-5"\h\z(4)IabI<IaIIbI(當且僅當a,b共線時取“=”)->■—>■ -? —? —? —? —>■ —>■ —? -* —) —?即當a,b同向時，a?b=IaIIbI；即當a,b同反向時，a?b=-1aIIbI(5)平行四邊形四條邊的平方和等于其對角線的平方和，即21aI2+21bI2=Ia+bI2+1a-bI28.實數(shù)與向量的積：實數(shù)人與向量力的積是一個向量，記作：入a—? —?(1)I入aI二|人|IaI；—*■(2)入>0時入a與a方向相同；入〈0時入a與a方向相反；入=0時入a=0；—— ——(3)運算定律入(“a)=(入口)a,(入+口)a=入a+口a，入(a+b)=入a+入b―?—?-?—>交換律：a?b=ba；分配律：(a+b)c=a^c+b*c(九a)?b=九(a?b)=a?(九b)；--①不滿足結(jié)合律：即(ab)?c豐a?(bc)

②向量沒有除法運算。如：ab=c-bna=c,f2 -a乙 a ,r②向量沒有除法運算。如：ab=c-bna=c,f2 -a乙 a ,r…r一一n：都是錯誤的a?b b(4)已知兩個非零向量a,b，它們的夾角為0，則—?—? —?-?a,b=IaIIbIcos0坐標運算：a=(x1,y1),b=(x2，y2),則%石=x1x2+y1y2(5)向量AB=a在軸l上的投影為：Ia|cos0,(0為a與n的夾角，n為l的方向向量)am其投影的長為|A/B/|=-ny(2為n的單位向量)InI(6)a與b的夾角0和a?b的關(guān)系:(1)當0=0時，a與b同向；當0=兀時，a與b反向(2)0為銳角時，則有ab>0[a,b不共線0為鈍角時，―?-?a?b<0a,b不共線.向量共線定理:—? —?向量b與非零向量a共線(也是平行)的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)入，使b二入a..平面向量基本定理:如果匕，e之是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)入1，(1)不共線向量G］、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量a在給出基底e；e；的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.、，入2是被a,e,e唯一確定的數(shù)量。向量坐標與點坐標的關(guān)系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即若A(x,y)，則a=(x,丫)；當向量起點不在原點時，向量AB坐標為終點坐標減去起點坐標，即若AG/yJ,B(x2，y2),則幅=(X2-X1，y2-yi)11。向量a和b的數(shù)量積:

①a?b=|a|?|b|cos。，其中?！闧0,冗]為a和b的夾角。②|b|cos0稱為b在a的方向上的投影.③a?b的幾何意義是：b的長度|b③a?b的幾何意義是：b的長度|而不是向量。④若=(X,y),1 1⑤運算律：a?b=b?a=(X2,—?④若=(X,y),1 1⑤運算律：a?b=b?a=(X2,—?y2)，則a^b=%1%2+y1y2(入a)?b=a,(1b)二入(a?b),(a+b)?c=a,c+b?c.⑥a和b的夾角公式：cos。⑦a?a=a2=|a|2=x2+y2,或|a|=qx2+y2=\：a⑧|a'b|W|a|?|b|。12.兩個向量平行的充要條件:符號語言：若a〃a,a手a，則a八a坐標語言為：設(shè)a=(x,y),a=(x,y),則a〃ao(x,y)二人(x,y),即11 2 2 11 2 2x=Xx1 2，或xy——xy=0y1=Xy2 12 21在這里，實數(shù)人是唯一存在的，當a與a同向時，入〉o；當a與a異向時，入＜0.|人1=同■，入的大小由才及B的大小確定。因此，當才，B確定時，入的符號與大小就確定了。這就是實%1數(shù)乘向量中人的幾何意義。13。兩個向量垂直的充要條件:符號語言:坐標語言:設(shè)a=(力工)，a=(叼丫2)，則a,a0升寸丫乂=0例題講解例1、已知448(3中，A(2,——1),B(3,2),C(-3,——1),BC邊上的高為AD,求點D和向量AD坐標。例2、求與向量a=(v3,-1)和a=(1,8)夾角相等，且模為0的向量a的坐標.例3、在4OAB的邊OA、OB上分別取點M、N,使IoM|：|OA|=1：3,|ON|：|OB1=1：4,設(shè)線段AN與BM交于點P，記OA=#，OB=B，用a,B表示向量OF。例4、直角坐標系xOy中，i,j分別是與x,y軸正方向同向的單位向量.在直角三角形ABC中，若—?—? —? —?AB=2i+j,AC=3i+左j,則k的可能值個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4例5、如圖，平面內(nèi)有三個向量OA、OB、OC，其中與OA與OB的夾角為120°,OA與OC的夾角為30°,且|OA|=|oBI=1,|OCI=2G，若OC=入OA+口OB(入，U￡R),貝州+口的值為。()H例6、設(shè)3=(1,-2),b=(—3,4),c=(3,2)，則(a+2b)?c=()A。(一15,12) B.0C.-3D.—11例7、已知平面向量a=(1,2),b=(—2,m)，且a〃b，則2a+3b=()A.(-2,-4)Bo (—3,-6) C.(—4,-8)D.(-5,—10)例8、已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),為a+b與a垂直，則為是()A.-1B.1Co-2Do2例9、在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點0不是線段OD的中點冷￡的延長線與CD交于點Fo若AC=a,TOC\o"1-5"\h\zBD=b，則UAF=( )17 2- 1r 1- 17 1- 2rA.—a+—bBoa+—bC.—a+—b Do—a+—b4 2 3 3 2 4 3 3例10、已知向量a=(v3sinx,cosx),b=(cosx,cosx)，函數(shù)f(x)=2a-b—1八 兀兀 八(1)求f(x)的最小正周期； (2)當xe[-,-]時，若f(x)=1,求x的值.62TOC\o"1-5"\h\z一 - 3 3丁 x.x 兀例11、已知向量a=(cos—x,sin—x),b=(—cos-,sin-)，且x￡[0,—].2 2 2 2 2、(1)求a+b、 、⑵設(shè)函數(shù)f(x)=a+b+晨b，求函數(shù)f(x)的最值及相應(yīng)的X的值。提高練習一一、選擇題)B)BAb+BA=0dAb+BC+cd=AdAOA—OB=ABc0.Ab=0設(shè)點A(2,0)，B(4,2)，若點P在直線AB上，且|AB|=2|AP］，則點P的坐標為(A (3,1) B (1,—1)C (3,1)或(1,—1) D無數(shù)多個3若平面向量b與向量a=(1,—2)的夾角是180。，且Ib1=3J5，則b=(A (—3,6) B(3,—6)C (6,—3) D(—6,3)向量a=(2,3)，b=(—1,2)，若ma+b與a—2b平行，則m等于A—2B一J. 、 7/ 1一，，「設(shè)a=(2,sina)，b=(cosa,3)，且a//b，則銳角a為()A300b600c750d450二、填空題1若?a|=1,|b|=2,c=a+b，且c1a，則向量a與b的夾角為2已知向量a=(1,2)，蘇=(—2,3),c=(4,1)，若用a和b表示3，則c=3若a=1,b=2,a與b的夾角為60。，若(3a+5b)1(ma—b)，則m的值為4若菱形ABCD的邊長為2,則|AB-CB+而卜.5若a=(2,3),b=(-4,7)，則a在b上的投影為.三、解答題—? —?已知a=(cosa,sina),b=(cosP,sinP)，其中0<a<P<兀(1)求證：a+b與a-b互相垂直；(2)若孱9與a-ka的長度相等，求P-a的值(k為非零的常數(shù)).設(shè)點P(3,—6),Q(—5,2),R的縱坐標為-9,且P、Q、R三點共線，則R點的橫坐標為()。A、一9B、一6C、9 D、6.已知以二(2,3),b=(-4,7)，則白在b上的投影為()。正運A、而B、$C、$D、辰—> —>.設(shè)點4(1,2),B(3,5),將向量AE按向量也二(-1,-1)平移后得向量也舊為()。A、(2,3)B、(1,2)C、(3,4)D、(4,7).若(a+b+c)(b+c—a)=3bc,且sinA=sinBcosC,那么△ABC是()。A、直角三角形 B、等邊三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形.已知|必1=4,Ib|=3,以與b的夾角為60°,則|&+b|等于()。A、距B、后C、而D、歷立.已知向量丘二匡黃)，求向量b,使|b|=2|，，并且丘與b的夾角為.。課后作業(yè)一、選擇題TOC\o"1-5"\h\z.在4ABC中，一定成立的是 （ ）A. asinA=bsinB B. acosA=bcosB C. asinB=bsinA D. acosB=bcosA.4ABC中，sin2A二sin2B+sin2C,則^ABC為 （ ）A.直角三角形 B.等腰直角三角形C.等邊三角形 D.等腰三角形.在4ABC中，較短的兩邊為a=222,b=2<3，且A=45°,則角C的大小是 （ ）A.15° B.75 C.120° D.60°.在4ABC中，已知IAB1=4,1AC\=1,S=.43，則版?AC等于 （ ）AABCA.-2 B.2 C.±2 D.+4a—1.設(shè)A是4ABC中的最小角，且cosA= ，則實數(shù)a的取值范圍是 （）a+1A.aN3 B.a>—1 C.-1<a<3 D.a>0.在^ABC中，三邊長AB=7,BC=5,AC=6,則UAB?bC等于 （ ）A.19 B.-14 C.-18 D.-19.在^ABC中，A>B是sinA>sinB成立的什么條件 （ ）A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要.若4ABC的3條邊的長分別