科學(xué)技術(shù)史-2.7數(shù)學(xué)的全面繁榮

Word文檔科學(xué)技術(shù)史-2.7數(shù)學(xué)的全面繁榮第七節(jié)數(shù)學(xué)的全面富強(qiáng)

古人在算術(shù)、代數(shù)和幾何學(xué)等方面已經(jīng)積累了相當(dāng)?shù)膶W(xué)問(wèn)，尤其是初等幾何學(xué)已形成了比較完整的學(xué)科體系。不過(guò)歐洲自羅馬人統(tǒng)治到中世紀(jì)時(shí)期數(shù)學(xué)衰落了。中國(guó)古代數(shù)學(xué)在宋元后也進(jìn)入了低潮。數(shù)學(xué)作為一門(mén)科學(xué)重新起步是在經(jīng)過(guò)文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)沖擊以后的歐洲。文藝復(fù)興的浪潮滌蕩著人們的思想，很多歐洲人逐新熟悉到基督教神學(xué)并不就是真理。重新呈現(xiàn)的古希臘的數(shù)學(xué)成就和數(shù)理思想給了人們很大的啟發(fā)，東方數(shù)學(xué)(主要是阿拉伯人的數(shù)學(xué))的傳入又打開(kāi)了人們的眼界。于是，在一些人看來(lái)，好像只有數(shù)學(xué)和數(shù)理才是亙古不變的，才是最牢靠的。雖然大多數(shù)人并不放棄對(duì)上帝的信仰，但是與其信仰神學(xué)的說(shuō)教不如信任上帝以數(shù)理來(lái)構(gòu)造世界更有勸說(shuō)力。當(dāng)然，揭開(kāi)數(shù)學(xué)史新篇章的主要?jiǎng)恿?lái)自歐洲經(jīng)濟(jì)的進(jìn)展與社會(huì)的進(jìn)步。來(lái)自自然科學(xué)進(jìn)展的需求，特殊是天文學(xué)、力學(xué)這些當(dāng)時(shí)的前沿學(xué)科的迫切需求。在古希臘人那里，討論數(shù)學(xué)主要是追求理性上的滿意，這時(shí)的歐洲人卻在很大程度上是為了描述客觀現(xiàn)象和規(guī)律以及其他有用上的需要。因此在近代初期，歐洲數(shù)學(xué)的有用顏色劇烈，經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)期的進(jìn)展之后，人們又把留意力轉(zhuǎn)向理論方面。16～19世紀(jì)是數(shù)學(xué)進(jìn)展史上的重要時(shí)期，從對(duì)數(shù)的創(chuàng)造到代數(shù)學(xué)、解析幾何學(xué)、數(shù)學(xué)歸納法、微積分學(xué)、概率論、非歐幾何學(xué)、規(guī)律代數(shù)學(xué)等的建立和進(jìn)展，呈現(xiàn)了非常絢麗多彩的畫(huà)面，現(xiàn)摘其要略述于后。

7.1代數(shù)學(xué)的成熟

東方的代數(shù)學(xué)傳入歐洲之后，它的有用價(jià)值引起了一些務(wù)實(shí)的學(xué)者的留意，從今代數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支使在歐洲邁開(kāi)了前進(jìn)的步伐。上文已經(jīng)述及，古代阿拉伯人已經(jīng)能解一般的一無(wú)二次代數(shù)方程，這些學(xué)問(wèn)隨著阿拉伯人的數(shù)學(xué)傳入了歐洲，而中國(guó)古人解代數(shù)方程的很多技巧歐洲人尚無(wú)所知。

古代東方的代數(shù)學(xué)注意有用，在數(shù)理方面沒(méi)有作太多的探討，因而在解二次方程消失負(fù)根和含有無(wú)理數(shù)或虛數(shù)(即負(fù)數(shù)的平方根)的根時(shí)或接受或舍棄，不曾存在什么障礙。歐洲人則深受到古希臘人對(duì)于數(shù)的理解的束縛，只承認(rèn)那些一個(gè)一個(gè)數(shù)得出來(lái)的數(shù)，他們不懂得負(fù)數(shù)，對(duì)于無(wú)理數(shù)作為一個(gè)數(shù)也大多不能接受，至于虛數(shù)就更難接受。他們?cè)鵀榇藗噶四X筋。直到16世紀(jì)，意大利人篷貝利(RafaelBombelli，1526～1572)給出了負(fù)數(shù)的定義承認(rèn)它是一個(gè)數(shù)，其后荷蘭人斯蒂文(SimonStevin，1548～1620)才表明接受負(fù)根的存在。斯蒂文也是最早承認(rèn)無(wú)理數(shù)是數(shù)的人。負(fù)根和含有無(wú)理數(shù)的根，到這時(shí)才算取得了“合法”的地位。至于含有虛數(shù)的根，是首先為意大利人卡爾達(dá)諾(GirolamoCardano，1501～1576)所確認(rèn)的。到了這個(gè)時(shí)候，解二次方程的問(wèn)題才算是完全解決了。

古人已經(jīng)能夠解一些特別形式的三次和四次方程，那么一般的三次和四次方程是不是也都能解呢?直到15世紀(jì)末人們還認(rèn)為這是不行能做到的事情，但在現(xiàn)實(shí)中又經(jīng)常會(huì)消失三次、四次甚至更高次的方程。于是，三次和三次以上方程求解的問(wèn)題就成了此時(shí)數(shù)學(xué)家們所關(guān)注的課題?？栠_(dá)諾，還有意大利人塔爾塔利亞(NiccoloTartalea，1499～1557)和法國(guó)人維埃特(FrancoisViete，1540～1603)對(duì)三次方程進(jìn)行了比較深化的討論，他們弄清晰了三次方程應(yīng)當(dāng)有三個(gè)根，同時(shí)也解了更多類型的三次方程。對(duì)四次方程的討論也取得了類似的成果。但是對(duì)于一般的三次方程和四次方程還是束手無(wú)策，四次以上方程更是毫無(wú)頭緒。這種狀況促使數(shù)學(xué)家們更加著力討論三次以上一般方程的解法，于是產(chǎn)生了代數(shù)方程論這一討論領(lǐng)域。

法國(guó)數(shù)學(xué)家吉拉爾(AlbertGirard，1595～1632)于1629年和笛卡兒于1637年先后提出n次方程有n個(gè)根的猜想，后來(lái)經(jīng)過(guò)很多數(shù)學(xué)家的努力，才在1799年由德國(guó)科學(xué)家高斯(Carl

FriedrichGauss，1777～1855)作出了證明，被稱為代數(shù)學(xué)的基本原理。16～17世紀(jì)期間，卡爾達(dá)諾、笛卡兒和牛頓等人對(duì)一般代數(shù)方程的各項(xiàng)系數(shù)與該方程的根的關(guān)系作了大量的討論。卡爾達(dá)諾發(fā)覺(jué)，n次方程各個(gè)根之和等于這個(gè)方程的xn-1項(xiàng)的系數(shù)的負(fù)值。笛卡兒和牛頓又弄清晰了一個(gè)方程的正根、負(fù)根和復(fù)根(即含有虛數(shù)的根)的個(gè)數(shù)與這個(gè)方程各項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)號(hào)的關(guān)系。又經(jīng)過(guò)很多人工作，到了18世紀(jì)70年月，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日找到了一種方法，這種方法對(duì)解一般的二次、三次和四次方程都很有效，但是對(duì)于解一般的五次和五次以上方程還是無(wú)能為力。高斯在1801年發(fā)表的一篇文章中宣稱，一般的五次和五次以上方程求根式解的問(wèn)題或許是永久不行能解決的了。不過(guò)，高斯又證明白某些形式的n次方程求解的可能性。其后挪威數(shù)學(xué)家阿貝耳(NielsHenrikAbel，1802～1829)連續(xù)討論這個(gè)問(wèn)題，他最終證明白高于四次的一般方程是不行能用根式來(lái)求解的。緊跟著，法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦(EvaristeGalois，1811～1832)又著手討論可以用根式求解的n次方程的類型問(wèn)題，他的工作卓有成效。伽羅瓦還由此開(kāi)拓了代數(shù)學(xué)的一個(gè)新的領(lǐng)域——群論的討論。

一般高次方程求根式解已被證明是不行能的事，但是對(duì)于一般的實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)常只要求得實(shí)根的近似值即可滿意，并不需要求得全部的根和它們的精確?????值。于是數(shù)學(xué)家們又朝這個(gè)方向努力。這個(gè)任務(wù)于1819年由英國(guó)數(shù)學(xué)家霍納(WilliamGeorgeHorner，1786～1837)完成了。他所創(chuàng)造的方法被稱為“霍納方法”，有很高的有用價(jià)值。其實(shí)，霍納方法與我國(guó)13世紀(jì)的秦九韶所運(yùn)用的方法是相同的，不過(guò)那時(shí)歐洲人并不知道秦九韶已經(jīng)走在他們的前頭。

以解方程為基本任務(wù)的古典代數(shù)學(xué)到19世紀(jì)上半葉已大體完成，此后代數(shù)學(xué)的進(jìn)展進(jìn)入了抽象代數(shù)學(xué)(或稱近世代數(shù)學(xué))的階段，群論的消失就是重要的標(biāo)志。這時(shí)人們更加關(guān)懷的是代數(shù)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題。除了群論之外，代數(shù)數(shù)論、超復(fù)數(shù)系、線性代數(shù)、環(huán)論、域論等等很多新的分支相繼消失，代數(shù)學(xué)的討論領(lǐng)域更加寬敞。這個(gè)時(shí)代之始，代數(shù)學(xué)以其解決實(shí)際問(wèn)題的效能吸引著人們，現(xiàn)在它又向著比較抽象的理論的方向進(jìn)展了。

7.2解析幾何學(xué)的創(chuàng)立和變量數(shù)學(xué)的興起

幾何學(xué)是古希臘的“數(shù)學(xué)之王”，那時(shí)一些代數(shù)上的問(wèn)題實(shí)際上都是用幾何學(xué)的方法來(lái)解決的。到了近代，當(dāng)代數(shù)學(xué)取得了很大勝利的時(shí)候，人們又反其道而行，試圖用代數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決幾何學(xué)的問(wèn)題，再加上描述變量關(guān)系的需要，由此便產(chǎn)生了解析幾何學(xué)。前已述及，法國(guó)人奧勒姆在討論運(yùn)動(dòng)學(xué)的問(wèn)題時(shí)采納了坐標(biāo)的方法，預(yù)示了解析幾何學(xué)的誕生。解析幾何學(xué)的創(chuàng)立則應(yīng)歸功于奧勒姆的同胞費(fèi)馬(PierredeFormat，1601～1665)和笛卡兒。

費(fèi)馬在代數(shù)學(xué)上很有成就，他在討論曲線軌跡的問(wèn)題時(shí)，想到把代數(shù)學(xué)運(yùn)用到幾何學(xué)里，采納了在一個(gè)坐標(biāo)系中以一系列的數(shù)值表示一條曲線軌跡的方法。不過(guò)他關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的著作是在他去世以后才公開(kāi)發(fā)表的。

笛卡兒是一位學(xué)識(shí)淵博的學(xué)者。他在不知道費(fèi)馬的工作的狀況下寫(xiě)成了《幾何學(xué)》，這是作為他的重要哲學(xué)著作《方法談》的一篇附錄于1637年發(fā)表的，這部著作的副標(biāo)題是“更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法”，所述的是熟悉方法，可見(jiàn)他是把解析幾何學(xué)作為一種熟悉方法來(lái)看待的。我們知道，古希臘人習(xí)慣于用線條和圖形來(lái)表示數(shù)。在他們那里，假如一條直線的長(zhǎng)度代表某數(shù)a，那么以這條直線為邊長(zhǎng)所構(gòu)成的正方形便代表a2，以這條直線構(gòu)成的立方體便代表a3，至于更高次的變量他們便無(wú)能為力了。笛卡兒打破了這個(gè)既定的框框，他改為，a2也可以用一條長(zhǎng)度為a2的直線來(lái)表示，同樣，a3、a4、a5。以至任何一個(gè)數(shù)都可以用線段的長(zhǎng)度來(lái)表示。這樣，在由兩條直線構(gòu)成的平面坐標(biāo)系里的幾何圖形都可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)二元方程，或者說(shuō)任何一個(gè)二元方程都可以在這個(gè)坐標(biāo)系里描繪成一個(gè)圖形。由于有了這種方法，平面幾何學(xué)的問(wèn)題就都可以用代數(shù)學(xué)的方法來(lái)處理了。

笛卡兒的《幾何學(xué)》問(wèn)世后，費(fèi)馬聲稱該項(xiàng)工作他在七年前就已完成了，兩人曾為創(chuàng)造權(quán)而發(fā)生爭(zhēng)吵。其實(shí)他們兩人都作出了貢獻(xiàn)。費(fèi)馬從代數(shù)方程動(dòng)身來(lái)查找其軌跡，笛卡兒則從軌跡動(dòng)身來(lái)查找其代數(shù)方程，是殊途而同歸。他們的解析幾何也都未臻完善，如他們的坐標(biāo)系都還沒(méi)有負(fù)數(shù)等等。解析幾何學(xué)消失的時(shí)機(jī)成熟了，它是數(shù)學(xué)進(jìn)展的必定產(chǎn)物。

解析幾何學(xué)所帶來(lái)的好處，一方面是使得一些代數(shù)問(wèn)題形象化，另一方面是幾何學(xué)的問(wèn)題從今可以用代數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決。過(guò)去人們解決幾何學(xué)上的難題，主要是通過(guò)規(guī)律推理，憑借的是才智和技巧，如今只要用比較簡(jiǎn)單把握的、簡(jiǎn)潔得多的代數(shù)運(yùn)算就行。更為重要的是解析幾何學(xué)為物理學(xué)供應(yīng)了一種特別有用的數(shù)學(xué)工具。那個(gè)時(shí)候物理學(xué)討論的主要領(lǐng)域是力學(xué)和光學(xué)，探討運(yùn)動(dòng)學(xué)和幾何光學(xué)的問(wèn)題都離不開(kāi)幾何學(xué)，而物理學(xué)的討論總是要以獲得某些物理量間相互關(guān)系的代數(shù)式為目標(biāo)。解析幾何學(xué)的創(chuàng)造給了物理學(xué)一種描述運(yùn)動(dòng)變化的極好的手段。過(guò)去的數(shù)學(xué)所能做到的只是描寫(xiě)一些確定的、不變化的量，解析幾何學(xué)使得變量韻描述成為可能，這是數(shù)學(xué)進(jìn)展史上的一次質(zhì)的飛躍。

7.3微積分與數(shù)學(xué)分析學(xué)的產(chǎn)生

微積分是微分和積分的合稱，這是牛頓和德國(guó)科學(xué)家萊布尼茲（GottfriedWilhelmLeibniz,1646～1716）幾乎在同一個(gè)時(shí)候建立的，他們和他們的門(mén)徒也曾為創(chuàng)造權(quán)的問(wèn)題而爭(zhēng)吵，對(duì)數(shù)學(xué)的進(jìn)展產(chǎn)生了不利的影響，實(shí)應(yīng)為后人訓(xùn)。其實(shí)，這時(shí)微積分學(xué)消失的條件已經(jīng)成熟，前人已經(jīng)為此做了許多工作，即使不是牛頓或者萊布尼茲，其他學(xué)者也是必定會(huì)完成這個(gè)任務(wù)的。

在物理現(xiàn)象中，物理量變化的情形非常簡(jiǎn)單。比如在自由落體運(yùn)動(dòng)中物體下落的速度時(shí)時(shí)刻刻都在變化，不過(guò)它的加速度g是恒定的，我們要知道其中某一時(shí)刻該物體的運(yùn)動(dòng)速度，以往的數(shù)學(xué)工具也還夠用。但是，假如某物體運(yùn)動(dòng)中的加速度的大小和方向也時(shí)刻發(fā)生簡(jiǎn)單的變化，我們要知道這個(gè)物體某一時(shí)刻的速度(一般稱為“瞬時(shí)速度”或“即時(shí)速度”)，原先的數(shù)學(xué)工具就大多不能處理了，這時(shí)就得借助于微分的方法。

積分方法是微分方法的逆運(yùn)算，它的創(chuàng)造也是出自實(shí)際的需要。以往人們用于計(jì)算一已知曲線所圍面積的窮竭法是一種很麻煩的方法，并且難于得到精確?????的數(shù)值。運(yùn)用積分方法事情就變得簡(jiǎn)潔了。

微積分在物理學(xué)和天體力學(xué)上的應(yīng)用取得了極大的勝利，它很快就成為普遍應(yīng)用的處理變量的數(shù)學(xué)工具。隨后，在微積分的基礎(chǔ)上漸漸形成了包括很多分支的數(shù)學(xué)分析學(xué)，其中主要有微分方程、積分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)、變分法、實(shí)變函數(shù)論、復(fù)變函數(shù)論等等，它們?cè)谖锢韺W(xué)和工程技術(shù)中都有重要的用途。

7.4概率論的建立

概率論的思想在古代已有端倪，但它正式形成為數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)分支，則是近代的事?，F(xiàn)實(shí)中存在的量，有時(shí)候并不表現(xiàn)為精確的數(shù)值而只有統(tǒng)計(jì)的意義，概率論就是討論這類問(wèn)題的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。

概率論的建立，首先是費(fèi)馬和與他同時(shí)代的帕斯卡(BlaisePascal，1623～1662)的功績(jī)。人們討論概率論是從考察一些有關(guān)嬉戲和賭博的問(wèn)題開(kāi)頭的。以骰子作嬉戲至少已經(jīng)有三四千年的歷史，后來(lái)它也是一種賭博用具。骰子有六個(gè)面，上面分別標(biāo)示一至六個(gè)點(diǎn)。假如拋擲一顆骰子，要是只擲一次，消失一至六點(diǎn)的可能性是完全相等的，至于實(shí)際上消失那一個(gè)點(diǎn)數(shù)就完全是偶然的了。要是拋擲的次數(shù)許多，消失某一個(gè)點(diǎn)數(shù)的次數(shù)就將接近言，拋擲的次數(shù)越多越是接近這個(gè)數(shù)值，表現(xiàn)為一種統(tǒng)計(jì)上的必定性。在大量具有偶然性的事物中查找其統(tǒng)計(jì)上的必定性，或者說(shuō)查找其中消失某大事的概率，這時(shí)就需要運(yùn)用概率論。

概率論的應(yīng)用范圍非常寬闊，它不僅在自然科學(xué)上有重要的效用，而且已經(jīng)滲透到國(guó)民經(jīng)濟(jì)、生產(chǎn)技術(shù)、商品流通等等很多領(lǐng)域，成為描述內(nèi)含眾多大事和存在著偶然性的客觀現(xiàn)象的有效工具。例如在對(duì)熱現(xiàn)象的討論中，我們知道熱現(xiàn)象實(shí)際上是大量分子運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn)，我們不行能弄清晰其中每一個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由于對(duì)每一個(gè)分子來(lái)說(shuō)，它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都具有偶然性，但是我們可以運(yùn)用概率論的方法弄清晰在某——種狀況下有多大比例的分子的速率處于某一個(gè)數(shù)值范圍之內(nèi)，這就表現(xiàn)為必定性。又如我們說(shuō)吸煙可能導(dǎo)致肺癌，但是我們不能說(shuō)某個(gè)吸煙的人必定得肺癌或者必定不得肺癌，我們只能通過(guò)統(tǒng)計(jì)的方法計(jì)算出吸煙的人得肺癌的可能性，即計(jì)算出吸煙的人得肺癌的概率，或者更詳細(xì)一點(diǎn)，計(jì)算出平均每天吸多少支煙的人得肺癌的概率，通常以一個(gè)百分?jǐn)?shù)來(lái)表示。

7.5非歐幾何學(xué)的消失

歐幾里得在總結(jié)和整理古希臘幾何學(xué)的時(shí)候，首先列出他認(rèn)為不證自明的五條公理和五條公設(shè)。所謂公理是適用于一切科學(xué)的真理，公設(shè)則是幾何學(xué)中的真理。他從這些公理和公設(shè)動(dòng)身，經(jīng)過(guò)一系列規(guī)律推理和演算，得出各個(gè)詳細(xì)的定理和推論，從而構(gòu)成整個(gè)幾何學(xué)體系。

歐幾里得幾何學(xué)在規(guī)律上的完善一向?yàn)槿藗兯^賞，不過(guò)很早就有人留意到他的第五公設(shè)存在著一點(diǎn)問(wèn)題。第五公設(shè)是這樣說(shuō)的：“若始終線與兩直線相交，且若同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩直線無(wú)限延長(zhǎng)后必相交于該側(cè)的一點(diǎn)。”這條公設(shè)也被稱為平行線公設(shè)。那時(shí)人們并沒(méi)有懷疑這條公設(shè)的真理性，只是覺(jué)得這條公設(shè)不像其他公理和公設(shè)那樣具有明顯的勸說(shuō)力，問(wèn)題在于是否可以假定物質(zhì)空間中存在能夠無(wú)限延長(zhǎng)的直線。人們還留意到第五公設(shè)在表述上不如其他公理和公設(shè)那樣明白和簡(jiǎn)潔。為了消退歐幾里得幾何學(xué)這個(gè)“疵點(diǎn)”，從托勒密開(kāi)頭，不少數(shù)學(xué)家都曾設(shè)法以其他公理和公設(shè)來(lái)證明第五公設(shè)，在經(jīng)受了很多次失敗之后，人們才不得不懷疑證明第五公設(shè)的可能性。既然這條公設(shè)不那么“不證自明”而又無(wú)法證明，它的真理性也就動(dòng)搖了。人們最終弄明白第五公設(shè)不過(guò)是純粹閱歷性的假設(shè)，第五公設(shè)發(fā)生了問(wèn)題，歐幾里得幾何學(xué)作為一個(gè)整體也就有了問(wèn)題。這是到18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們才想到的。既然歐幾里得幾何學(xué)是從一組自身不導(dǎo)致規(guī)律沖突的假設(shè)的基礎(chǔ)之上而演繹出的幾何學(xué)體系，那么，假如有另外一組也不會(huì)導(dǎo)致規(guī)律上的沖突的假設(shè)，是否也有可能演繹出另外一種幾何學(xué)體系呢?

循此思路，1817年高斯就試圖建立一種新的幾何學(xué)，他還信任這種新的幾何學(xué)也必有其有用價(jià)值?？墒牵咚箤?duì)于發(fā)表他這方面的工作成果過(guò)于謹(jǐn)慎，創(chuàng)建非歐幾何學(xué)的榮譽(yù)落到了受到過(guò)他影響的另外兩個(gè)人身上，他們是俄國(guó)人羅巴切夫斯基(НиколайИвановичЛобачевский，1792～1856)和匈牙利人博耶(JanosBolyai，1802～1860)。

羅巴切夫斯基從1826年開(kāi)頭發(fā)表了一系列論文。他考慮，歐幾里得的平行線公設(shè)實(shí)際上是說(shuō)通過(guò)始終線外的一點(diǎn)在一平面上只能作一條平行線，假如把它改為可以作很多條平行線，其他公理和公設(shè)則照舊，那將又如何呢?他發(fā)覺(jué)，從這樣一組更改過(guò)的公理和公設(shè)動(dòng)身，經(jīng)過(guò)演繹推理，同樣能夠建立一個(gè)幾何學(xué)體系，在這個(gè)體系內(nèi)并沒(méi)有發(fā)生規(guī)律上的沖突。于是，一種與歐幾里德幾何學(xué)不相同的非歐幾何學(xué)便誕生了。這樣的幾何學(xué)純粹是由假設(shè)和規(guī)律推理構(gòu)成的，沒(méi)有任何實(shí)踐閱歷作為基礎(chǔ)，是不是一種數(shù)學(xué)嬉戲?羅