微分中值定理的推廣與應(yīng)用畢業(yè)論文

..本科畢業(yè)設(shè)計〔論文微分中值定理的推廣及應(yīng)用TheGeneralizationofDifferentialMeanValueTheoremandItsApplication學(xué)院〔系：數(shù)理學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)生姓名：學(xué)號：101108072指導(dǎo)教師〔職稱：評閱教師：完成日期：2012.04XX理工學(xué)院NanyangInstituteofTechnology微分中值定理的推廣及應(yīng)用數(shù)理學(xué)院[摘要]本文在闡述了微分中值定理的一般證法的基礎(chǔ)上,給出了新的證明方法,討論了三大微分中值定理之間的遞進關(guān)系等,并對中值定理進行了一定地推廣,同時具體的分析了微分中值定理在證明等式、不等式以及討論方程根的存在性等幾個方面的應(yīng)用.[關(guān)鍵詞]微分中值定理；新證法；推廣；費馬定理TheGeneralizationofDifferentialMeanValueTheoremandItsApplicationMathematicalInstituteAbstract:Inthispaper,thedifferentialmeanvaluetheoremofthegenerallicensebasedonthemethod,givesanewproofmethod,discussesthethreedifferentialmeanvaluetheoremsoftransitiverelationsamong,andthemeanvaluetheoremforapromotion,andspecificanalysisofthedifferentialmeanvaluetheoremintheproofofidentity,inequalityanddiscusstheequationexistenceofrootandsoonseveralaspectsoftheapplication.Keywords:Differentialmeanvaluetheorem;Newmethod;Promotion;Fermat'stheorem目錄0緒論……………………11微分中值定理及相關(guān)的概念………………12微分中值定理普遍的證明方法………22.1費馬定理…………22.2羅爾中值定理……………………22.3拉格朗日中值定理………………32.4柯西中值定理……………………43中值定理的推廣………………………43.1關(guān)于三個中值定理新的證明方法………………43.2微分中值定理的推廣………………63.3微分中值定理的弱逆定理………104微分中值定理的應(yīng)用…………………114.1利用微分中值定理證明等式……………………114.2利用微分中值定理證明不等式…………………144.3討論方程根的存在性…………15結(jié)束語……………………18參考文獻…………………18致謝………………………180緒論微分中值定理是包括Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理等一系列基本定理的總稱.它的出現(xiàn)是一個過程,聚集了眾多數(shù)學(xué)家的研究成果.從費馬到柯西不斷發(fā)展,理論知識也不斷完善,成為了人們引進微分學(xué)以后,數(shù)學(xué)研究中的重要工具之一,而且應(yīng)用也越來越廣泛.微分中值定理在函數(shù)在某一點的局部性質(zhì)；函數(shù)圖象的走向；曲線凹凸性的判斷；積分中值定理；級數(shù)理論；等式及不等式證明等問題的研究中也發(fā)揮著很重要的作用.因此,微分中值定理構(gòu)成了整個微分學(xué)基礎(chǔ)而重要的內(nèi)容.1微分中值定理及相關(guān)概念所謂微分中值定理,其實是指一個<或多個>函數(shù)導(dǎo)數(shù)與其增量之間的等式關(guān)系.通俗的講,微分中值定理就是包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在內(nèi)的定理的總稱.以下是證明微分中值定理時用到的幾個概念.定義1<最小值或最大值>設(shè)在上有定義QUOTE,若存在使任意,<QUOTE>,則QUOTE稱為的最小值<最大值>.為最小值點<最大值點>.定義2<極小值或極大值>設(shè)QUOTE在任意QUOTE上有定義,若存在任意,都有QUOTE<>,則稱為QUOTE的一個極小值<極大值>,稱為極小值點<極大值點>.定義3<極限的局部保號性>若QUOTE,則存在任意使得QUOTE.定義4<函數(shù)單調(diào)性>函數(shù)在定義域內(nèi),當(dāng)時,有則稱單調(diào)遞增<嚴格單調(diào)遞增>.當(dāng)時,有,則稱單調(diào)遞減<嚴格單調(diào)遞減>.定義5<凸性>若函數(shù)曲線位于其每一點處切線的上方<下方>,則稱函數(shù)曲線時下凸<上凸>的,或稱函數(shù)向下凸<上凸>.定義6<凹性>若的一階導(dǎo)數(shù)在上單調(diào)遞增<或遞減>,則稱在是向上凹<下凹>的,或稱函數(shù)曲線向上凹<下凹>.2微分中值定理普遍的證明方法2.1費馬定理定理1設(shè)QUOTE在區(qū)間有定義.若QUOTE是函數(shù)QUOTE的極值點,且QUOTE在QUOTE處可導(dǎo),則QUOTE.費馬定理的幾何意義:若將函數(shù)QUOTE的曲線置于平面直角坐標(biāo)系,則費馬定理具有幾何意義:對曲線QUOTE上,若有一點存在切線,且QUOTE為QUOTE極值點.則這一點處的切線平行于軸.證明QUOTE為QUOTE的極值點.設(shè)QUOTE為極小值點,則存在任意QUOTE,有QUOTE,若QUOTE,則QUOTE;若QUOTE,則QUOTE;取極限QUOTE與分別為、,由于QUOTE在QUOTE處可導(dǎo),則==QUOTE由極限的局部保號性有,QUOTE.故==.所以有,即.QUOTE2.2羅爾中值定理定理2設(shè)QUOTE滿足:<1>在閉區(qū)間上連續(xù);<2>在開區(qū)間QUOTE內(nèi)可導(dǎo);<3>,則至少存在一點QUOTE使得.羅爾定理的幾何意義:若QUOTE滿足羅爾定理的條件,則在曲線上至少存在一點QUOTE,使得點處的切線平行于軸<如圖>,其中,.證明由于在閉區(qū)間上連續(xù),從而存在最大值,最小值.若則對任意有QUOTE,即QUOTE為常函數(shù),所以.若,由于QUOTE.與不同時為區(qū)間的端點,不妨設(shè)QUOTE,所以必為QUOTE的極大值.設(shè),則有,QUOTE且在內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)費馬定理可知.證畢.2.3拉格朗日中值定理定理3若函數(shù)QUOTE滿足:<1>在閉區(qū)間上連續(xù);<2>在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);則至少存在一點QUOTE使得QUOTE.證法利用羅爾中值定理,構(gòu)造輔助函數(shù).QUOTE.證明作輔助函數(shù),QUOTE顯然,QUOTE在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且QUOTE,由羅爾定理可知,存在一點QUOTE使得QUOTE即.QUOTE推論設(shè)QUOTE、都在區(qū)間上可導(dǎo),且,則2.4柯西中值定理定理4設(shè)函數(shù)QUOTE、QUOTE滿足:<1>在閉區(qū)間上連續(xù);<2>在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且,則至少存在一點QUOTE使得QUOTE.證明由定理條件可知QUOTE,則任意QUOTE都有QUOTE,因此,只需證,為此,構(gòu)造函數(shù)QUOTE,,QUOTE顯然,在上連續(xù),在QUOTE內(nèi)可導(dǎo),且QUOTE,根據(jù)羅爾定理,存在,QUOTE使得,QUOTE即,QUOTE所以.3中值定理的推廣微分中值定理在數(shù)學(xué)分析中甚至是整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都占有非常重要的地位,其證明方法也有多種.3.1關(guān)于三個中值定理新的證明方法3.1.1羅爾定理的新證法引理1非單調(diào)函數(shù)在QUOTE上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則存在一點,使得QUOTE.證明因為在QUOTE上連續(xù),且非單調(diào),故存在為函數(shù)的極值點.又在內(nèi)可導(dǎo),故在點可導(dǎo),由費馬定理可知.羅爾定理的新證法證明因為,且.〔1若QUOTE為常數(shù),則必有QUOTE,所以,存在,使得QUOTE;〔2若QUOTE不是常數(shù),則QUOTE非單調(diào),又有在QUOTE上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)引理1,存在,使得QUOTE.證畢.3.1.2拉格朗日中值定理的新證法證明〔利用分析法證明拉格朗日中值定理要證存在使得成立,即證,存在使得<1>成立.亦即<2>記,則由滿足羅爾定理的條件知,存在使得<2>成立,進而<1>成立.從而拉格朗日中值定理成立.3.1.3柯西中值定理的新證法證明首先構(gòu)造輔助函數(shù),由于,故可知恒大于零或者恒小于零.否則,由費馬定理可知,必存在使得.我們不妨設(shè)恒大于零.于是,對于任意,其中,.又由復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理即含參變量函數(shù)定理可證得在閉區(qū)間上連續(xù);在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且故即是要證明,因此可構(gòu)造輔助函數(shù):,可以驗證滿足羅爾定理的條件,故至少存在一個,使得成立.再由知,至少存在使得成立,柯西中值定理得證.3.2微分中值定理的推廣微分中值定理是微分學(xué)的核心內(nèi)容,而隨著其不斷地發(fā)展和完善,衍生了許多微分中值定理的推廣.以下是幾種微分中值定理的推廣形式.3.2.1羅爾定理的推廣定理5設(shè)在QUOTE內(nèi)可導(dǎo),且QUOTE,其中QUOTE,則存在QUOTE使得QUOTE.證明由于在QUOTE內(nèi)可導(dǎo),則必有在QUOTE上連續(xù),又有.<1>當(dāng)時,對在兩點進行連續(xù)延拓,使得,則有在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)且有,所以,滿足羅爾定理的條件,存在QUOTE使得QUOTE.<2>當(dāng)時,由于,故存在,使得,所以在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),滿足羅爾定理,即存在QUOTE使得QUOTE.綜上所述,存在QUOTE使得QUOTE.3.2.2拉格朗日中值定理的推廣定理6<推廣一>設(shè)QUOTE在上連續(xù),在QUOTE內(nèi)可導(dǎo),則存在使得QUOTE.證明作輔助函數(shù),很明顯在QUOTE連續(xù),在QUOTE內(nèi)可導(dǎo),且,則根據(jù)羅爾定理有,存在使得,命題得證.定理7<推廣二>若QUOTE在有限開區(qū)間QUOTE內(nèi)可導(dǎo),且與存在,則至少存在一點QUOTE使得QUOTE.證明〔1當(dāng)時,由定理5可知,結(jié)論成立.〔2當(dāng)時,作輔助函數(shù),由在內(nèi)可導(dǎo)知,在內(nèi)也可導(dǎo),又因為;,根據(jù)定理5可知,至少存在一點使得.進而有,即.綜上所述,存在一點使得.3.2.3柯西定理的推廣定理8<推廣一>在QUOTE連續(xù),在QUOTE內(nèi)可導(dǎo),任意QUOTE,有QUOTE.則存在使得QUOTE.證明作一個輔助函數(shù),則在QUOTE連續(xù),在QUOTE內(nèi)可導(dǎo),且,所以在上滿足羅爾定理,即存在使得.因為,所以,,即得.定理9<推廣二>若QUOTE在有限或無窮區(qū)間QUOTE中的任意一點有有限導(dǎo)數(shù)和,任意QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE都存在,則至少存在一點QUOTE使得QUOTE.證明首先證明.假設(shè)即,根據(jù)定理5可知,至少存在一點使得.與已知條件相互矛盾.其次,作輔助函數(shù)由已知得在可導(dǎo)且,,所以,.根據(jù)定理5可知,至少存在一點使得即.3.2.4微分中值定理的推廣定理10設(shè)函數(shù)QUOTE在QUOTE上連續(xù),在QUOTE內(nèi)可導(dǎo),且,則在QUOTE內(nèi)至少存在一點,使得QUOTE.證明根據(jù)題意,設(shè)顯然在QUOTE上連續(xù),在QUOTE內(nèi)可導(dǎo),并且即,所以由羅爾中值定理可知在至少存在一點使得證畢.當(dāng)上述式子中時,可得到柯西中值定理;當(dāng)上述式子中時,可得到拉格朗日中值定理.3.3微分中值定理的弱逆定理在一定的附加條件下微分中值定理的弱逆定理成立.定理11<拉格朗日中值定理的弱逆定理>設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),若在嚴格單調(diào),則對任意的,存在使得成立.證明因為在上嚴格單調(diào),不妨設(shè)其嚴格單調(diào)遞增,由定義6可知,函數(shù)在上是向下凸的,再由定義5,任意的,有,所以,切線在曲線下方,所以存在的鄰域使得直線的平行線與有兩個交點,假設(shè)交點為.即有,得到,結(jié)論得證.定理12〔柯西中值定理的弱逆定理設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且嚴格單調(diào),,則對于任意的存在,使得成立.證明對任意的,作輔助函數(shù),顯然,在上連續(xù),在內(nèi)可微,并且由嚴格單調(diào),可知也嚴格單調(diào).由定理11知,對任意的,存在使得成立.而,所以有,,整理得.證畢.4微分中值定理的應(yīng)用微分學(xué)是整個數(shù)學(xué)分析的重要組成部分,而微分中值定理是微分學(xué)的核心內(nèi)容,其建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,是用于證明等式,證明不等式,討論方程根的存在性等問題的重要工具.4.1利用微分中值定理證明等式例1設(shè)函數(shù)QUOTE在QUOTE上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).證明存在使得,.證明利用柯西中值定理令QUOTE,,顯然,在QUOTE上連續(xù),在QUOTE內(nèi)可導(dǎo),且QUOTE,所以,存在QUOTE使得,QUOTE所以.QUOTE證畢.例2設(shè)函數(shù)QUOTE在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且.證明對任意常數(shù),存在QUOTE,有.證明利用羅爾定理,構(gòu)造函數(shù),QUOTE由于在QUOTE上連續(xù),在QUOTE內(nèi)可導(dǎo),且,所以,,且QUOTE在QUOTE上連續(xù),在QUOTE內(nèi)可導(dǎo),所以,存在QUOTE使得,即QUOTE.例3設(shè)滿足:<1>在QUOTE上連續(xù);<2>在QUOTE內(nèi)可導(dǎo),證明存在,使得.證明證法同例2,令即可證得.小結(jié)如例3,例7中用羅爾定理證明,需要構(gòu)造出原函數(shù),此類函數(shù)有固定的原型,利用微分中值定理容易得到想要證明的結(jié)論.例4設(shè),,在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),QUOTE.則有QUOTE使得.證明由于QUOTE,且在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo),所以,必存在QUOTE使得,根據(jù)羅爾定理,存在使得QUOTE.例5證明恒等式:.證明令,QUOTE則,QUOTE所以,在為常函數(shù).又有QUOTE,所以,即QUOTE成立.例6設(shè)且在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).則存在QUOTE使得.證明變換待證等式為QUOTE其中QUOTE,顯然,利用羅爾定理即可得QUOTE.例7設(shè)QUOTE,在內(nèi)可導(dǎo),則存在,使得QUOTE.證明變換待證等式為QUOTE,其中QUOTE.由于QUOTE,所以QUOTE,其中,于是,在上滿足羅爾定理,從而有結(jié)論QUOTE.若待證等式QUOTE明顯可表示為QUOTE的形式,則很可能就是,因而,可以利用柯西定理證明.例8設(shè),在連續(xù)可導(dǎo),則存在使得QUOTE.證明令則,且,在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)柯西定理,存在使得,QUOTE即.4.2利用微分中值定理證明不等式利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理證明不等式時,常將待證不等式變形為QUOTE的形式,且QUOTE滿足拉格朗日或柯西定理的條件,再證明對一切的有QUOTE,最后利用中值定理證明.例9證明對任何正數(shù)、有QUOTE.證明令,QUOTE.則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)拉格朗日中值定理,存在QUOTE使得,QUOTE由于QUOTE,所以,即有.QUOTE例10設(shè)為非線性函數(shù),且在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則存在使得QUOTE.證明變換待證不等式為QUOTE,QUOTE其中QUOTE,若結(jié)論不成立,則QUOTE,因而單調(diào)遞減.但是,QUOTE故,必有,從而與已知矛盾,所以結(jié)論成立.即QUOTE成立.例11設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)QUOTE,則存在,使得.證明若不存在,則,從而單調(diào)遞增,又由于QUOTE滿足羅爾定理,則存在使得,又有,所以,非單調(diào)遞增.上下矛盾.因而,存在QUOTE使得QUOTE.例12設(shè),對任意.證明QUOTE.證明當(dāng)時,結(jié)論顯然成立.當(dāng)時,取或,在該區(qū)間上,設(shè),,根據(jù)柯西定理,有QUOTE,或,即;QUOTE當(dāng)時,QUOTE,,即;又有QUOTE,所以QUOTE.當(dāng)時,,,,QUOTEQUOTEQUOTE所以,QUOTE.由此,不等式得證.4.3討論方程根的存在性注意到在中值定理中有,令,這樣就可以利用中值定理討論方程的根的存在性.例13設(shè)為任意個實數(shù),證明函數(shù)QUOTE在必有零點.證明作輔助函數(shù)QUOTE,則,容易驗證QUOTE在QUOTE上連續(xù),在可導(dǎo),且QUOTE,所以存在QUOTE使得,即.所以,QUOTE在必存在零點.例14設(shè)函數(shù)QUOTE在區(qū)間上可導(dǎo),則QUOTE的兩個零點間一定存在的零點.證明<采用羅爾定理>任取QUOTE的兩個零點.不妨設(shè).作輔助函數(shù)QUOTE,則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且QUOTE,由羅爾定理,存在,QUOTE使得QUOTE,即,QUOTE而,故有QUOTE,即的兩個零點間一定存在QUOTE的零點.例15證明:若,QUOTE則多項式在內(nèi)至少有一個實根.證明令則,QUOTE又有在連續(xù)可導(dǎo),且,滿足羅爾定理的條件,故存在使得即,結(jié)論得證.例16若函數(shù)在上非負,且三階可導(dǎo),方程在內(nèi)有兩個不同的實根.證明存在使得.證明因為方程在QUOTE內(nèi)有兩個不同的實根,設(shè)其分別為所以QUOTE,又由于非負,根據(jù)極值定義可以知道QUOTE為QUOTE的兩個極值點,所以有QUOTE又因為QUOTE滿足羅爾定理,所以存在使得,又QUOTE三階可導(dǎo),所以QUOTE滿足羅爾定理,即存在QUOTE,QUOTE使得,同樣滿足羅爾定理,則存在QUOTE使得.證畢.例17設(shè),則方程QUOTE在內(nèi)有解.證明將待證問題轉(zhuǎn)化為中值問題:存在使得,即QUOTE,根據(jù)柯