北師大版高中數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程全套課件

北師大版高中數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程全套PPT課件平面直角坐標(biāo)系【綜合評(píng)價(jià)】通過直角坐標(biāo)系，平面和空間中的點(diǎn)與坐標(biāo)(有序數(shù)組)、曲線與方程建立了聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，這些數(shù)所表示的幾何含義是不同的，同一曲線在不同坐標(biāo)系下的方程也有不同形式．因此我們研究幾何圖形時(shí)可以根據(jù)需要選擇不同的坐標(biāo)系．本講介紹了極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系，其中極坐標(biāo)系是重點(diǎn)內(nèi)容，同學(xué)們要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)極坐標(biāo)系下直線和圓的方程，理解它們的特點(diǎn)、意義.回顧在平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法，體會(huì)坐標(biāo)系的作用．通過具體例子，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況．能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形(如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)的方程．通過比較這些圖形在極坐1．2．3．4．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，體會(huì)在用方程刻畫平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義．了解在柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中刻畫空間中點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法相比較，體會(huì)它們的區(qū)別．5．【學(xué)習(xí)計(jì)劃】

內(nèi)容學(xué)習(xí)重點(diǎn)建議學(xué)習(xí)時(shí)間平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系的選擇；直角坐標(biāo)系下的伸縮變換2課時(shí)極坐標(biāo)系極坐標(biāo)的概念1課時(shí)點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1課時(shí)直線和圓的極坐標(biāo)方程1課時(shí)曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化1課時(shí)圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程1課時(shí)柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系兩種坐標(biāo)系的概念2課時(shí)

平面直角坐標(biāo)系(1)坐標(biāo)法：根據(jù)幾何對(duì)象的_____，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立它的_____，通過_____研究它的_____及______________________．(2)坐標(biāo)法解決幾何問題的“三步曲”：第一步，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中涉及的_____元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化成_____問題；第二步，通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步，把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成_____結(jié)論．1.坐標(biāo)系特征方程方程性質(zhì)與其他幾何圖形的關(guān)系幾何代數(shù)幾何平面直角坐標(biāo)系的作用：使平面上的點(diǎn)與_________________，曲線與_____建立聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)_______的結(jié)合．(1)平面直角坐標(biāo)系中方程表示圖形，那么平面圖形的伸縮變換就可歸結(jié)為_____伸縮變換，這就是用_________研究_____變換．2．平面直角坐標(biāo)系的作用3．平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換坐標(biāo)(有序?qū)崝?shù)對(duì))方程數(shù)與形坐標(biāo)代數(shù)方法幾何【思維導(dǎo)圖】1．回顧坐標(biāo)系有關(guān)概念，體會(huì)坐標(biāo)系的作用．2．了解建立坐標(biāo)系的方法和原則．【知能要點(diǎn)】題型一平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上起過劃時(shí)代的作用．坐標(biāo)系的創(chuàng)建，在代數(shù)和幾何之間架起了一座橋梁．利用坐標(biāo)系，我們可以方便地用代數(shù)的方法確定平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置，也可以方便地確定空間內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置．它使幾何概念得以用代數(shù)的方法來描述，幾何圖形可以通過代數(shù)形式來表達(dá)，這樣便可將抽象的代數(shù)方程用形象的幾何圖形表示出來，又可將先進(jìn)的代數(shù)方法應(yīng)用于幾何學(xué)的研究．建立直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合，我們可以解決許多數(shù)學(xué)問題，如函數(shù)問題就常常需要借助直角坐標(biāo)系來解決．【例1】解以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則O1(－2，0)，O2(2，0)．因?yàn)閮蓤A的半徑均為1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．設(shè)P(x，y)，則(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求軌跡方程為(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．【反思感悟】本題求點(diǎn)的軌跡，考查建坐標(biāo)系和數(shù)形結(jié)合思想，利用勾股定理、兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)，巧妙探求動(dòng)點(diǎn)P滿足的條件．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．解如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和B，根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.∵|MA|＝|MB|，∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝2.1．如圖所示，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－1，3)，B(－3，－2)，C(4，－2)，D(3，4)，求四邊形ABCD的面積．【例2】分析本例是幫助同學(xué)們進(jìn)一步了解點(diǎn)的坐標(biāo)．點(diǎn)的坐標(biāo)還可以表示點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離(點(diǎn)A(a，b)到x軸的距離為|b|，到y(tǒng)軸的距離為|a|)，從而得出某些我們需要的線段的長(zhǎng)度．將四邊形ABCD分割成兩個(gè)三角形和一個(gè)梯形，其中BE的長(zhǎng)度等于B到y(tǒng)軸的距離減去A到y(tǒng)軸的距離，AE的長(zhǎng)度為A到x軸的距離加上B到x軸的距離，依此類推可以求出DF，CF，EF的長(zhǎng)度，從而求出四邊形ABCD的面積．【反思感悟】本例是坐標(biāo)系在幾何圖形中的應(yīng)用，在求面積時(shí)要盡量利用圖形中的垂直關(guān)系，將原圖形分割求得面積．2．平面幾何圖形的伸縮變換可以歸結(jié)為坐標(biāo)的伸縮變換，學(xué)習(xí)中可結(jié)合坐標(biāo)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系理解．在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系保持不變，在同一坐標(biāo)系下對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行伸縮變換，展示了坐標(biāo)法思想．在伸縮變換下，直線仍然變?yōu)橹本€，拋物線變?yōu)閽佄锞€，雙曲線變?yōu)殡p曲線，而橢圓可以變?yōu)閳A，圓可以變?yōu)闄E圓．題型二

坐標(biāo)伸縮變換分析根據(jù)變換公式，分清新舊坐標(biāo)即可．【例3】將其代入5x＋2y＝0，得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是5x′＋3y′＝0.經(jīng)過伸縮變換后，直線仍然是直線．經(jīng)過伸縮變換后，圓變成了橢圓．【反思感悟】伸縮變換要分清新舊坐標(biāo)，直接利用公式即可，變換后的新坐標(biāo)用x′，y′表示．3．求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線4x2＋9y2＝36變成曲線x′2＋y′2＝1.分析求滿足圖形變換的伸縮變換，實(shí)際上是求出其變換公式，將新舊坐標(biāo)分清，代入對(duì)應(yīng)的曲線方程，然后比較系數(shù)就可得了，橢圓伸縮變換之后可得圓或橢圓．得λ2x2＋μ2y2＝1.與4x2＋9y2＝36比較，【例4】【反思感悟】對(duì)于圖形的伸縮變換問題，只要搞清新舊坐標(biāo)，區(qū)別x，y和x′，y′，比較公式中的系數(shù)即可．在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線x2－36y2－8x＋12＝0變成曲線x′2－y′2－4x′＋3＝0，求滿足圖像變化的伸縮變換．4．已知一條長(zhǎng)為6的線段兩端點(diǎn)A、B分別在x、y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M在線段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．解

(代入法)設(shè)A(a，0)，B(0，b)，M(x，y)，∵|AB|＝6，∴a2＋b2＝36. ①1.已知B村位于A村的正西方向1公里處，原計(jì)劃經(jīng)過B村沿著北偏東60°的方向埋設(shè)一條地下管線m.但在A村的西北方向400米處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址W.根據(jù)初步勘察的結(jié)果，文物管理部門將遺址W周圍100米范圍劃為禁區(qū)．試問：埋設(shè)地下管線m的計(jì)劃需要修改嗎？2．闡述由曲線y＝tanx得到曲線y＝3tan2x的變化過程，并求出坐標(biāo)伸縮變換．3．

[思考交流]1．在平面直角坐標(biāo)系中，圓心坐標(biāo)為(2，3)，5為半徑的圓的方程是什么？答

(x－2)2＋(y－3)2＝25.2．在平面直角坐標(biāo)系中，以(a，b)為圓心，r為半徑的圓的方程是什么？答

(x－a)2＋(y－b)2＝r2.[思考交流]我國(guó)1990年至2000年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值如表1－2(單位：億元) 表1—2選擇適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)表1－2畫出統(tǒng)計(jì)圖，與同學(xué)交流，觀察各自的特點(diǎn)．年份19941995199619971998生產(chǎn)總值4380057733677957477279553年份19992000200120022003生產(chǎn)總值820548940495933102398116694答

統(tǒng)計(jì)圖從表中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可看到，我國(guó)的生產(chǎn)總值年年增長(zhǎng)，1994～1997年增長(zhǎng)較快，1997～2001年放慢了增長(zhǎng)速度，2001年之后又以較快的速度增長(zhǎng)．[思考交流]1．觀察例3(2)中y＝sinx的圖像與(1)中y＝2sin3x的圖像，討論它們的關(guān)系？

答

y＝sinx的圖像和y＝2sin3x的圖像可以通過伸縮變換相互得到：2．試將上述討論引申為坐標(biāo)軸單位長(zhǎng)度任意伸縮的情況．答設(shè)函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝μf(ωx)(其中ω＞0，μ＞0)圖像之間的關(guān)系為：它們的圖像可以通過伸縮變換相互得到．【規(guī)律方法總結(jié)】1．建立平面直角坐標(biāo)系，可以利用未知點(diǎn)滿足條件的坐標(biāo)形式，求點(diǎn)的軌跡方程．2．利用平面直角坐標(biāo)系，可以將平面圖形坐標(biāo)化，進(jìn)行證明或計(jì)算．3．在伸縮變換中，要分清新舊坐標(biāo)，然后代入公式比較系數(shù)即可．坐標(biāo)系

平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系與曲線方程391.點(diǎn)P(1,-2)關(guān)于點(diǎn)A(-1,1)的對(duì)稱點(diǎn)P′的直角坐標(biāo)為()A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)答案:B402.若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(-3,4),B(3,-4),C(1,7),則△ABC的形狀是()A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形答案:B413.方程(x2-3)2+(y2-4)2=0表示的圖形是()A.兩個(gè)點(diǎn)B.四個(gè)點(diǎn)C.兩條直線D.四條直線答案:B424.已知直線l:x+y-3=0,曲線:(x-3)2+(y-2)2=2,則點(diǎn)M(2,1)()A.在直線l上,但不在曲線上B.在直線l上,也在曲線上C.不在直線l上,也不在曲線上D.不在直線l上,但在曲線上答案:B43解析:將M(2,1)代入直線方程,2+1-3=0,將M(2,1)代入曲線方程,(2-3)2+(1-2)2=2,故點(diǎn)M在l上,也在曲線上.445.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在直線x=1上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)P為直角邊,以點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△OPQ,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是()A.圓B.兩條平行直線C.拋物線D.雙曲線答案:B4546解析:(1)方程,表示的曲線是以(2,0)為對(duì)稱中心,焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,焦距為的橢圓.(2)方程(x+2)2+(y-2)2=16表示的曲線是以(-2,2)為圓心,4為半徑的圓.(3)方程(2x+3y-5)=0表示直線2x+3y-5=0與射線x=4(x≥3).(4)方程,可以看作點(diǎn)(x,y)到(2,0)的距離與到直線x=4的距離之比為2,故此方程表示以(2,0)為焦點(diǎn),離心率為2的雙曲線.477.過點(diǎn)P1(1,5)作直線交x軸于點(diǎn)A,過點(diǎn)P2(2,7)作直線P1A的垂線交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)M在線段AB上,且BM∶MA=1∶2,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.共12頁4849

平面直角坐標(biāo)軸中的伸縮變換隨堂驗(yàn)收1.將點(diǎn)P(-2,2)變換為P′(-6,1)的伸縮變換公式為()答案:C2.將正弦曲線y=sinx的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的,所得曲線的方程為()A.y=sin3x B.y=3sinx答案:A3.在同一平面直角坐標(biāo)系中,使直線x-2y=2變成直線2x′-y′=4的伸縮變換是()答案:C4.在同一直角坐標(biāo)系中函數(shù)y=cos2x的圖像經(jīng)過伸縮變換φ后,得到函數(shù)的圖像,則伸縮變換φ是()答案:B5.在同一平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過伸縮變換后,曲線C變?yōu)榍€2x′2+8y′2=1,則曲線C的方程為()A.50x2+72y2=1B.9x2+100y2=1C.10x2+24y2=1答案:A答案:B7.若點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過平面伸縮變換后又回到P點(diǎn),則x=________,y=________.008.對(duì)下列曲線向著x軸進(jìn)行伸縮變換,伸縮系數(shù)(1)2x+3y-6=0;(2)x2+y2=16.平面直角坐標(biāo)系課后作業(yè)1.如果命題“坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0的點(diǎn)都在曲線C上”是不正確的,那么下列命題中正確的是()A.坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0的點(diǎn)都不在曲線C上B.曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)不都滿足方程f(x,y)=0C.坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0的點(diǎn)有些在曲線C上,有些不在曲線C上D.至少有一個(gè)點(diǎn)不在曲線C上,其坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0答案:D解析:對(duì)于命題“坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0的點(diǎn)都在曲線C上”的否定是“坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0的點(diǎn)不都在曲線C上”,即至少有一個(gè)點(diǎn)不在曲線C上,它的坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0.2.若點(diǎn)P到直線x=-1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1,則點(diǎn)P的軌跡為()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線答案:D解析:由題意知,點(diǎn)P到點(diǎn)(2,0)的距離與P到直線x=-2的距離相等,由拋物線定義得點(diǎn)P的軌跡是以(2,0)為焦點(diǎn),以直線x=-2為準(zhǔn)線的拋物線,故選D.3.方程的曲線是()A.兩條直線 B.一個(gè)點(diǎn)C.一條射線和一條直線D.兩條射線答案:C4.設(shè)過點(diǎn)P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A?B兩點(diǎn),點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若

,且,則點(diǎn)P的軌跡方程是()答案:D5.已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于()A.πB.4πC.8πD.9π答案:B解析:設(shè)P(x,y),由|PA|=2|PB|得整理得x2-4x+y2=0.而(x-2)2+y2=4,故點(diǎn)P的軌跡是以(2,0)為圓心,2為半徑的圓,故S=4π.6.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(1,0)?B(1,1)?C(0,1),映射f將xOy平面上的點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到另一個(gè)平面直角坐標(biāo)系uO′v上的點(diǎn)P′(2xy,x2-y2),則當(dāng)點(diǎn)P沿著折線A-B-C運(yùn)動(dòng)時(shí),在映射f的作用下,動(dòng)點(diǎn)P′的軌跡是()答案:D答案:y2=8x8.一動(dòng)點(diǎn)在圓x2+y2=1上移動(dòng),它與定點(diǎn)(3,0)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是________.答案:(2x-3)2+4y2=19.△ABC中,若BC的長(zhǎng)度為4,中線AD的長(zhǎng)為3,則A點(diǎn)的軌跡方程是________.答案:x2+y2=9(y≠0)解析:取BC所在直線為x軸,線段BC的中垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,則B(-2,0),C(2,0),設(shè)A(x,y)則D(0,0),所以|AD|= =3(y≠0)故A點(diǎn)的軌跡方程是x2+y2=9(y≠0).10.如圖,動(dòng)圓與定圓x2+y2-4y-32=0內(nèi)切且過定圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)A(0,-2),求動(dòng)圓圓心的軌跡.解析:定圓:x2+(y-2)2=36,圓心為B(0,2),半徑=6.設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為P(x,y),動(dòng)圓半徑為|PA|.∵動(dòng)圓與定圓相切,∴|PB|=6-|PA|,即|PB|+|PA|=6.這表明動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A?B的距離之和等于定長(zhǎng)6.所以P點(diǎn)的軌跡是以A?B為焦點(diǎn)的橢圓,且2a=6,2c=|AB|=4,即a=3,c=2.∴b2=5.故所求的方程為.11.已知A(2,0)?B(-1,2),點(diǎn)C在直線2x+y-3=0上移動(dòng),求△ABC重心G的軌跡.解析:設(shè)△ABC的重心G的坐標(biāo)(x,y).∵A(2,0),B(-1,2),∴C(3x-2+1,3y-0-2).又C點(diǎn)在直線2x+y-3=0上,∴2(3x-1)+(3y-2)-3=0,即6x+3y-7=0.又C點(diǎn)不在直線AB上,即C(3x-1,3y-2)不能為直線AB:2x+3y-4=0與直線2x+y-3=0的交點(diǎn) ,12.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一定長(zhǎng)為m的線段,其端點(diǎn)A?B分別在x?y軸上滑動(dòng),設(shè)點(diǎn)M滿足

(t為大于0的常數(shù)),M點(diǎn)的軌跡是什么?若t=1,上述方程表示以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓;若0<t<1,上述方程表示中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;若t>1,上述方程表示中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.平面直角坐標(biāo)系課后作業(yè)1.將Y=sinX圖象沿x軸均勻壓縮為y=sin3x,則坐標(biāo)變換公式是()答案:A2.將曲線F(x,y)=0上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,縱坐標(biāo)縮短到原來的,得到的曲線方程為()答案:A3.將曲線C按伸縮變換公式變換得到曲線方程為x′2+y′2=1,則曲線方程為()C.4x2+9y2=36D.4x2+9y2=1答案:D4.在平面直角坐標(biāo)系中,方程3x-2y+1=0所對(duì)應(yīng)的直線經(jīng)過伸縮變換后的直線方程為()A.3x-4y+1=0B.3x+y-1=0C.9x-y+1=0D.x-4y+1=0答案:C5.在同一坐標(biāo)中,將曲線y=2sin3x變?yōu)榍€y=sinx的伸縮變換是()答案:B6.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),y=tanx經(jīng)過怎樣的伸縮變換可得到y(tǒng)=3tan2x()答案:B7.將對(duì)數(shù)曲線y=log3x的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍得到的曲線方程為________.8.已知平面上三點(diǎn)A(2,0)?B(0,3)?C(0,0),經(jīng)過伸縮變換后變?yōu)锳′、B′、C′.則△A′B′C′的面積為________.12解析:經(jīng)過伸縮變換A(2,0)→A′(4,0),B(0,3)→B′(0,6),C(0,0)→C′(0,0),∴△A′B′C′面積為9.對(duì)曲線向y軸進(jìn)行伸縮變換,伸縮系數(shù)為

,所得的曲線方程為________.10.設(shè)M1是A1(x1,y1)與B1(x2,y2)的中點(diǎn),經(jīng)過伸縮變換后,它們分別為M2,A2,B2,求證:M2是A2B2的中點(diǎn).11.圓C:x2+y2=4向著x軸均勻壓縮,伸縮系數(shù)為.(1)求壓縮后的曲線方程;(2)過圓C上一點(diǎn)的切線,經(jīng)過壓縮后的直線與壓縮后的曲線有何關(guān)系?12.在同一平面直角坐標(biāo)系中,已知伸縮變換φ:(1)求點(diǎn)A(,-2)經(jīng)過φ變換所得的點(diǎn)A′的坐標(biāo);(2)點(diǎn)B經(jīng)過φ變換得到點(diǎn)B′(-3,),求點(diǎn)B的坐標(biāo);(3)求直線l:y=6x經(jīng)過φ變換后所得直線l′的方程;(4)求雙曲線C:x2-=1經(jīng)過φ變換后所得曲線C′的焦點(diǎn)坐標(biāo).

曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化隨堂驗(yàn)收1.將曲線ρ2(1+sin2θ)=2化為直角坐標(biāo)方程為________.解析:∵ρ2(1+sin2θ)=2,∴ρ2(cos2θ+2sin2θ)=2,∴ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=2,即x2+2y2=2,∴2.極點(diǎn)到直線ρ(cosθ-sinθ)=2的距離為________.答案:解析:∵直線ρ(cosθ-sinθ)=2的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0,極點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0),∴極點(diǎn)到直線的距離為3.ρ2sin2θ=4的直角坐標(biāo)方程是________.答案:xy=2解析:ρ2sin2θ=4變形為2ρ2sinθ\5cosθ=4.即xy=2.4.曲線ρ=4cosθ化為直角坐標(biāo)方程為________.答案:x2+y2=4x解析:ρ=4cosθ,∴ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x.5.將直線x+y-2=0化為極坐標(biāo)方程為________.答案:ρcosθ+ρsinθ-2=06.ρ2cos2θ=16表示的曲線是________.答案:雙曲線解析:由ρ2cos2θ=16,得ρ2(cos2θ-sin2θ)=16,即x2-y2=16.∴ρ2cos2θ=16表示的是雙曲線.7.將下列曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.(1)ρ=cosθ+sinθ;(2)ρcos2=1.8.將下列曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程.(1)直線x+y=0;(2)圓x2+y2+2ax=0(a≠0).解析:(1)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x+y=0,得ρcosθ+ρsinθ=0,ρ(cosθ+sinθ)=0,tanθ=-1,得(ρ≥0)和θ=(ρ≥0).綜上所述,直線x+y=0的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ≥0)和θ=(ρ≥0).

(2)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+y2+2ax=0,得ρ2cos2θ+ρ2sinθ+2aρcosθ=0,即ρ(ρ+2acosθ)=0,ρ=-2acosθ,從而圓x2+y2+2ax=0(a≠0)的極坐標(biāo)方程為ρ=-2acosθ,圓心為(-a,0),半徑為r=|a|.

極坐標(biāo)系的概念

點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系的建立：如圖在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫作_____，從O點(diǎn)引一條射線Ox，叫作_____，選定一個(gè)單位長(zhǎng)度和角的正方向(通常取逆1．時(shí)針方向)．這樣就確定了一個(gè)______________，簡(jiǎn)稱為_________．(2)極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定：對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，用ρ表示_____________，θ表示______________________________，ρ叫作點(diǎn)M的_____，θ叫作點(diǎn)M的_____，有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ，θ)叫作點(diǎn)M的_______，記作_________．極點(diǎn)平面極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系線段OM的長(zhǎng)以O(shè)x為始邊、OM為終邊的角度極徑極角極坐標(biāo)極軸__________當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極徑________，極角θ可以__________．(1)互化的前提條件：_____________________________________________________________________________________________________.2．極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化ρ＝0取任意值①極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)重合；②極軸與x軸的正半軸重合；③兩種坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位M(ρ，θ)【思維導(dǎo)圖】【知能要點(diǎn)】1．極坐標(biāo)系的四要素．2．點(diǎn)的極坐標(biāo)的寫法．3．極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．

題型一極坐標(biāo)系的概念與點(diǎn)的極坐標(biāo)極坐標(biāo)系的概念極坐標(biāo)系的建立有四個(gè)要素：①極點(diǎn)；②極軸；③單位長(zhǎng)度；④角度單位和它的正方向．四者缺一不可．極坐標(biāo)系就是用長(zhǎng)度和角度來確定平面內(nèi)點(diǎn)的位置．點(diǎn)的極坐標(biāo)：每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ，θ)確定一個(gè)點(diǎn)的位置．其中，ρ是點(diǎn)M的極徑，θ是點(diǎn)M的極角．平面上給定一點(diǎn)，可以寫出這個(gè)點(diǎn)的無數(shù)多個(gè)極坐標(biāo)．根1．2．據(jù)點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ，θ)的定義，對(duì)于給定的點(diǎn)(ρ，θ)有無數(shù)個(gè)極坐標(biāo)，可分為兩類，一類為(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，另一類為(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．在極坐標(biāo)(ρ，θ)中，一般限定ρ≥0.當(dāng)ρ＝0時(shí)，就與極點(diǎn)重合，此時(shí)θ不確定．給定點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ，θ)，就唯一地確定了平面上的一個(gè)點(diǎn)．但是，平面上的一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)并不是唯一的，它有無窮多種形式．由此可見，平面上的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．這是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的不同之處．如果限定ρ>0，0≤θ<2π，則除極點(diǎn)外，平面上的點(diǎn)就與它的極坐標(biāo)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．寫出圖中A、B、C、D、E、F、G各點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ>0，0≤θ<2π)．【例1】解對(duì)每個(gè)點(diǎn)我們先看它的極徑的長(zhǎng)，再確定它的極角，因此這些點(diǎn)的極坐標(biāo)為【反思感悟】(1)寫點(diǎn)的極坐標(biāo)要注意順序：極徑ρ在前，極角θ在后，不能把順序搞錯(cuò)了．(2)點(diǎn)的極坐標(biāo)是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，則除極點(diǎn)外，點(diǎn)的極坐標(biāo)是唯一確定的．1．寫出下列各點(diǎn)的極坐標(biāo)．解各點(diǎn)描點(diǎn)如圖所示【例2】【反思感悟】知道點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ，θ)，我們可以先根據(jù)極角θ確定方向(射線)，然后根據(jù)ρ來確定距離，進(jìn)而描出(ρ，θ)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．2．點(diǎn)D，E，F(xiàn)的位置如上圖所示．解析如圖所示，由題設(shè)可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)O對(duì)稱，即O是AB的中點(diǎn)．【例3】答案

B【反思感悟】在找點(diǎn)的極坐標(biāo)時(shí)，把圖形畫出來，可以幫助我們解決問題，從圖形中很容易找到極角和極徑．這一點(diǎn)跟直角坐標(biāo)系中的方法是一致的，數(shù)形結(jié)合．3．答案

B題型二

兩點(diǎn)間的距離公式【例4】答案等邊三角形4．我們把極軸與平面直角坐標(biāo)系xOy的正半軸重合，且兩種①與②是平面直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系中同一點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x，y)與極坐標(biāo)(ρ，θ)之間的換算公式．題型三

極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，設(shè)P(x，y)是平面上的任一點(diǎn)，如圖所示，則【例5】【反思感悟】把極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)，直接代入公式即可；把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，通常有不同的表示法(極角相差2π的整數(shù)倍)，一般只要取θ∈[0，2π)，ρ>0即可．分析本題考查的是直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式的應(yīng)用．5．即ρ2－8ρ＋7＝0，解得ρ＝1或ρ＝7.∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)或(7，0)．答案

(1，0)或(7，0)1．2．中央氣象臺(tái)在2010年7月15日發(fā)布的一則臺(tái)風(fēng)消息：今年第2號(hào)熱帶風(fēng)暴“康森”的中心今天晚上八點(diǎn)鐘已經(jīng)移到了距離萬寧市東南方大約380千米的南海海面上，中心附近最大風(fēng)力有12級(jí)．請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示出該臺(tái)風(fēng)中心的位置(ρ≥0，0≤θ<2π)．3．已知點(diǎn)Q(ρ，θ)，分別按下列條件求出點(diǎn)P的極坐標(biāo)．(1)點(diǎn)P是點(diǎn)Q關(guān)于極點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)；解

(1)由于P、Q關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，得它們的極徑|OP|＝|OQ|，極角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．

4．[練習(xí)]在極坐標(biāo)中，點(diǎn)(ρ，θ)與點(diǎn)(－ρ，π－θ)有什么關(guān)系？答關(guān)于極軸對(duì)稱．設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(ρ，θ)，為直觀，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，以x軸的正方向與極軸建立直角坐標(biāo)系，不難看出與M點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(ρ，π－θ)M1關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)M2的坐標(biāo)為(－ρ，π－θ)則M2與M關(guān)于極軸對(duì)稱，如圖所示．【規(guī)律方法總結(jié)】1．建立極坐標(biāo)系可以確定點(diǎn)的位置和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示．規(guī)定ρ>0，0≤θ<2π，則除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)．2．利用極坐標(biāo)可以刻畫點(diǎn)的位置，有時(shí)比直角坐標(biāo)方便，在臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)、測(cè)量、航空、航海中主要采用這種方法．3．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，并且取相同的長(zhǎng)度單位，平面內(nèi)一點(diǎn)的直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)可以進(jìn)行互化．

極坐標(biāo)系

極坐標(biāo)系的概念 隨堂驗(yàn)收1.點(diǎn)M(1,0)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為()A.(1,0)B.(-1,π)C.(1,π)D.(1,2π)答案:C解析:如圖所示,設(shè)點(diǎn)M(1,0)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M′(1,π),故選C.2.點(diǎn)關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為()答案:D解析:如圖所示,設(shè)點(diǎn)關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′,易得P′點(diǎn)的極坐標(biāo)為答案:A解析:如圖所示,結(jié)合選項(xiàng),只有點(diǎn),符合題意,故選A.答案:A解析:如圖所示,5.點(diǎn)M(ρ,)(ρ≥0)的軌跡是()A.點(diǎn)B.射線C.直線D.圓答案:B解析:由于動(dòng)點(diǎn)M(ρ,)的極角θ=

,ρ取一切非負(fù)實(shí)數(shù),故點(diǎn)M的軌跡是極角為

的終邊,是一條射線,故選B.6.點(diǎn)M(1,θ)(θ∈[0,π])的軌跡是()A.射線B.直線C.圓D.半圓答案:D解析:由于M(1,θ)滿足ρ=|OM|=1,θ∈[0,π],故點(diǎn)M的軌跡是以極點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓的上半部分,即半圓.7.將極軸Ox繞極點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到射線OP,若在OP上取點(diǎn)M,使|OM|=4,則ρ>0,θ∈[0,2π]時(shí)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為

________.解析:ρ=|OM|=4,與OP終邊相同的角為2kπ-,k∈Z,令k=1,θ=π,∴M(4,

π).8.點(diǎn)到極軸所在直線的距離為________.解析:依題意,點(diǎn)M(6,π)到極軸所在直線的距離為d=6×sinπ=3.3

圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程隨堂驗(yàn)收1.判斷下列極坐標(biāo)方程表示的是什么曲線.解析:(1)方程可化為ρ-2ρcosθ=6,化為直角坐標(biāo)方程為化簡(jiǎn)得3x2-y2+24x+36=0(x≥-3).故該方程表示雙曲線的右支.(2)方程可化為4ρ-ρcosθ=4,化為直角坐標(biāo)方程為化簡(jiǎn)得15x2+16y2-8x-16=0,2.求橢圓的實(shí)軸長(zhǎng)?焦距?離心率.3.求證:過拋物線的焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分成的兩部分的倒數(shù)和為常數(shù).4.定點(diǎn)O與定直線l的距離是a,自O(shè)作射線交l于Q,在OQ上取點(diǎn)P,如圖所示,分別求下列兩種情形下點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程.(1)OP?OQ=a2;(2)OP=OQ.極坐標(biāo)系課后作業(yè)1.極坐標(biāo)為的點(diǎn)的直角坐標(biāo)為()A.(π,π)B.(π,-π)C.(-π,π)D.(-π,-π)答案:B解析:設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x,y),則有x=ρcosθ=πcosπ=π,y=ρsinθ=πsinπ=-π,故直角坐標(biāo)為(π,-π).2.下列極坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)中,在直角坐標(biāo)平面的第三象限的是()A.(3,4)B.(4,3)C.(3,5)D.(5,6)答案:A解析:x=ρcosθ,y=ρsinθ,對(duì)選項(xiàng)A來說,x=3cos4<0,y=3sin4<0,滿足在第三象限,故選A.3.若極坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn),則P關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)分別為()答案:D答案:C答案:B解析:∴直角坐標(biāo)為6.將點(diǎn)(-3,-3)化為極坐標(biāo)是()答案:C解析:∵點(diǎn)(-3,-3)在第三象限,∴應(yīng)選C.7.在極軸上與點(diǎn)距離為5的點(diǎn)M的坐標(biāo)為________________.答案:(1,0)或(7,0)解析:方法一:設(shè)M(r,0),即r2-8r+7=0,解得r=1或r=7.∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)或(7,0).方法二:點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(4,4),在x軸上的一點(diǎn)M,使即(x-4)2=9,∴x=1或x=7,∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,0),(7,0).∴點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(1,0),(7,0).8.若點(diǎn)M的極坐標(biāo)為,則點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________.9.若點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(5,θ),且tanθ=-<θ<π,則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為________.答案:(-3,4)10.分別將下列點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(ρ>0,0≤θ<2π).11.已知定點(diǎn),將極點(diǎn)移至處,極軸方向不變,求P點(diǎn)的新坐標(biāo).解析:設(shè)P點(diǎn)新坐標(biāo)(ρ,θ),如圖,則|OO′|=又|OP|=4,12.在極坐標(biāo)系中,如果為等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn),求頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π).

圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程 課后作業(yè)1.極坐標(biāo)方程表示的曲線是()A.雙曲線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線的一部分答案:D解析:ρ-2ρcosθ=2化為直角坐標(biāo)方程為即=2+2x,x≥-1,即3x2-y2+8x+4=0(x≥-1).2.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是()A.3B.6C.9D.12答案:B解析:化為直角坐標(biāo),得橢圓方程為,∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6.3.雙曲線的焦距是()A.6B.8C.2D.3答案:A4.極坐標(biāo)方程表示的曲線是()A.圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線答案:D解析:原方程可化為2ρ(1-cosθ)=5,5.記拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作傾斜角為的直線,交拋物線于A?B兩點(diǎn),則線段AB的長(zhǎng)為()A.16B.14C.8D.10答案:A解析:以焦點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,如圖所示.∵拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,則拋物線的極坐標(biāo)方程為答案:C7.橢圓的極坐標(biāo)方程為________.答案:5ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-20=08.將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為________.答案:y2=2x+1解析:ρ-ρcosθ=1,化簡(jiǎn)得y2=2x+1.9.如果圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為,那么它的兩個(gè)焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為________.答案:(8,π),(0,0)解析:化為直角坐標(biāo)方程為3x2-y2+24x+36=0,即∴焦點(diǎn)為(-8,0),(0,0),焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為(8,π),(0,0).10.在極坐標(biāo)系中,橢圓的兩焦點(diǎn)分別為極點(diǎn)和點(diǎn)(2,0),離心率為,求它的極坐標(biāo)方程.11.設(shè)拋物線以O(shè)為頂點(diǎn),F為焦點(diǎn),PQ是過焦點(diǎn)F的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,求△OPQ的面積.解析:如圖,以F為極點(diǎn),拋物線的對(duì)稱軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則拋物線的方程為設(shè)點(diǎn)P的極角為θ(θ∈(0,π)),則點(diǎn)Q的極角為π+θ,所以|PQ|=ρP+ρQ=即,∴sinθ=又S△OPF=a|PF|sinθ,S△OQF=

a|FQ|sinθ,∴S△OPQ=S△OPF+S△OQF=

a(|FP|+|FQ|)sinθ=

absinθ=a12.已知A?B為橢圓

(a>b>0)上兩點(diǎn),OA⊥OB(O為原點(diǎn)).(1)求證: 為定值;(2)求△AOB面積的最大值和最小值.點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 隨堂驗(yàn)收答案:C解析:設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(x,y),則有x=ρcosθ=2cosπ=,y=ρsinθ=2sinπ=-1,即A(,-1).2.直角坐標(biāo)為的點(diǎn)的極坐標(biāo)為()答案:C3.極坐標(biāo)為(3,3)的點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案:B解析:設(shè)點(diǎn)(3,3)的直角坐標(biāo)為(x,y),則有故(x,y)在第二象限.答案:D解析:設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(ρ,θ),則有于是θ=2kπ+π,k∈Z.5.把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(3,3)化成極坐標(biāo)(ρ>0,0≤θ<2π).解析:因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限,ρ>0,所以因此點(diǎn)P的極坐標(biāo)是6.若A?B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為A(4,),B(4,π),求A?B中點(diǎn)的極坐標(biāo).解析:A?B兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,4),(-4,0).中點(diǎn)M為(-2,2).∵M(jìn)在第二象限,∴7.把點(diǎn)按下列要求化為極坐標(biāo)形式:(1)在極坐標(biāo)中,限定ρ≥0,0≤θ<2π;(2)在極坐標(biāo)中,限定ρ<0,0≤θ<2π.圓的極坐標(biāo)方程 隨堂驗(yàn)收1.極坐標(biāo)方程ρ=2表示()A.直線B.射線C.圓D.橢圓答案:C解析:將其化為直角坐標(biāo)方程可得即x2+y2=4,是以原點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓.2.圓心在(1,0),且過極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程為()A.ρ=1B.ρ=cosθC.ρ=2cosθD.ρ=2sinθ答案:C解析:圓心在(1,0)且過極點(diǎn)可知該圓半徑為1.如圖,可得ρ=2rcosθ,即ρ=2cosθ.答案:D解析:ρ=2cosθ是以(1,0)為圓心,半徑r=1的圓極坐標(biāo)方程,而ρ=2cos可以看作把ρ=2cosθ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得到,∴圓心變?yōu)?1,π),故選D.答案:C5.已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos,則圓心坐標(biāo)為()答案:D6.求兩曲線ρ=3cosθ,ρ=1+cosθ,θ∈[0,2π)的交點(diǎn)坐標(biāo).7.已知圓的圓心為,半徑為1,求圓的極坐標(biāo)方程.解析:設(shè)圓上任意一點(diǎn)P(ρ,θ),連接OA,AP,OP,則在△AOP中,OA2+OP2-2OA?OP?cos∠POA=AP2,即9+ρ2-2×3×ρcos(θ-=12,化簡(jiǎn)得ρ2-6ρcos(θ-)+8=0.∴所求圓的極坐標(biāo)方程為ρ2-6ρcos(θ-)+8=0.極坐標(biāo)系課后作業(yè)答案:D解析:令M點(diǎn)坐標(biāo)為把OM繞極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周即與M點(diǎn)重合,故2.下列點(diǎn)在極軸上方的是()答案:D解析:在極坐標(biāo)系將選項(xiàng)中的各點(diǎn)標(biāo)出,即可得到在極軸上方,故選D.3.以為頂點(diǎn)的三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.非等腰銳角三角形答案:D解析:C點(diǎn)的坐標(biāo)可改寫成.∵|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|·|OB|cos=52+82-2·5·8·=49,∴|AB|=7.∵|AC|2=|OA|2+|OC|2-2|OA|·|OC|cos=52+32+2·5·3·

∵|BC|2=|OB|2+|OC|2-2|OB||OC|cos=82+32-2·8·3·=73,∴|BC|=.|BC|為最長(zhǎng)邊,但|AB|2+|AC|2=49+34+15>73=|BC|2,故為銳角三角形.4.在極坐標(biāo)系中,下列點(diǎn)與M(3,2)距離為1的是()A.(1,1)B.(1,2)C.(2,2)D.(3,3)答案:C解析:∵C(2,2)點(diǎn)與M(3,2)的極徑相差1,極角相同,∴CM兩點(diǎn)的距離為1.5.與點(diǎn)M(ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是()A.(ρ,θ+π)B.(ρ,-θ)C.(-ρ,-θ)D.(-ρ,θ+π)答案:A解析:如圖所示,設(shè)M點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為M′,則有M′(ρ,θ+π).6.極坐標(biāo)方程表示的圖形是()A.余弦曲線B.兩條相交直線C.一條射線D.兩條射線答案:D7.已知極坐標(biāo)系中,若,0≤θ<2π,則點(diǎn)A關(guān)于射線OP的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為________.解析:如圖所示,∵|OA′|=|OA|=2,∠xOA′=,∴點(diǎn)A關(guān)于射線OP的對(duì)稱點(diǎn)極坐標(biāo)為.8.已知極坐標(biāo)系中,極點(diǎn)為O,0≤θ<π,,在直線OM上與點(diǎn)M的距離為4的點(diǎn)的極坐標(biāo)為__________________.解析:如圖所示,|OM|=3,∠xOM=,在直線OM上取點(diǎn)P,Q,使|OP|=7,|OQ|=1,∠xOP=,∠xOQ=π,顯然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4,|QM|=|OM|+|OQ|=3+1=4.9.已知極坐標(biāo)系中,若極點(diǎn)為,則△AOB的面積為________.6

解析:如圖所示,又∵|OA|=3,|OB|=4,∴S△AOB=|OA|·|OB|=

×3×4=6.10.已知P,Q分別在∠AOB的兩邊OA,OB上,∠AOB=,△POQ的面積為8,求PQ中點(diǎn)M的極坐標(biāo)方程.解析:建立如圖所示極坐標(biāo)系,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M坐標(biāo)為(ρ,θ)(0<θ<),P?Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(ρ1,0)?(ρ2,),11.在極坐標(biāo)系中,作出以下各點(diǎn):解析:如圖所示,A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)分別是唯一確定的.12.已知邊長(zhǎng)是2的正方形ABCD的中心在極點(diǎn),且一組對(duì)邊與極軸Ox平行,求正方形的頂點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定ρ>0,0≤θ<2π).解析:如圖所示,由題意,可知|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=,∠xOA=,∠xOB=,∠xOC=π,∠xOD=π.故正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為極坐標(biāo)系課后作業(yè)1.以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(1,1)為圓心,1為半徑的圓的方程是()C.ρ=2cos(θ-1)D.ρ=2sin(θ-1)答案:C解析:設(shè)P(ρ,θ)為圓上任意一點(diǎn),∴在△OPA中,OP2+OA2-2OP\5OA\5cos∠AOP,=AP2即ρ2+1-2ρcos(θ-1)=1,即ρ=2cos(θ-1).2.圓心在(4,π),半徑為4的圓的極坐標(biāo)方程為()A.ρcosθ=8B.ρ=8cosθC.ρ=8sinθD.ρ=-8cosθ答案:D解析:如圖所示,P(ρ,θ)為圓上一點(diǎn),在△AOP中,有OP=OAcos∠POA,即ρ=8cos(π-θ)=-8cosθ,應(yīng)選D.答案:A解析:由題可知圓過極點(diǎn),直徑為4,∴當(dāng)ρ=4時(shí),∴圓心在直線θ=上,∴圓心的坐標(biāo)為4.在極坐標(biāo)系中,與圓ρ=4sinθ相切的一條直線的方程是()A.ρsinθ=2B.ρcosθ=2C.ρcosθ=4D.ρcosθ=-4答案:B解析:由圓的極坐標(biāo)方程可知圓心為,半徑為2,如圖所示,∴與它相切的直線為ρcosθ=2.5.極坐標(biāo)方程ρ=cosθ與ρcosθ=的圖形是()答案:B解析:ρ=cosθ表示圓心在,半徑為的圓.ρcosθ=表示過(

,0),且與極軸垂直的直線.6.圓ρ=1與圓ρ=-2cosθ的公共弦所在直線的極坐標(biāo)方程為()A.2ρcosθ=1B.2ρcosθ=-1C.ρcosθ=1D.ρcosθ=-1答案:B解析:ρ=1化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1,ρ=-2cosθ化為直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=1,兩式相減,可得化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ=-,即2ρcosθ=-1.7.已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos(θ-),則此圓被直線θ=0(ρ∈R)截得的弦長(zhǎng)為________.解析:由圓的方程知圓過極點(diǎn),圓心為,半徑為1.∴當(dāng)θ=0時(shí),,圓與θ=0的兩個(gè)交點(diǎn)為

,∴截得的弦長(zhǎng)為8.圓心在,且過極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程為________.9.在極坐標(biāo)系中,若過點(diǎn)(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線ρ=4cosθ于A?B兩點(diǎn),則|AB|=________.解析:已知曲線ρ=4cosθ表示圓心C為(2,0),半徑為2的圓.如圖所示,圓與直線相交于A?B兩點(diǎn),又C到直線AB的距離為1,10.在極坐標(biāo)系中,求半徑為r,圓心為的圓的極坐標(biāo)方程.解析:由題意知,圓經(jīng)過極點(diǎn)O,OA為其一條直徑,設(shè)M(ρ,θ)為圓上除點(diǎn)O?A以外的任意一點(diǎn),則|OA|=2r,連接AM,則OM⊥MA.在Rt△OAM中,∵|OM|=|OA|cos∠AOM,即ρ=2rcos,∴ρ=-2rsinθ.經(jīng)驗(yàn)證,點(diǎn)O(0,0),的坐標(biāo)滿足上式.故滿足條件的圓的極坐標(biāo)方程ρ=-2rsinθ.11.在極坐標(biāo)系中,過點(diǎn)A(2,0),作圓ρ=-4cosθ的切線,切點(diǎn)為B,求切線|AB|長(zhǎng).解析:已知圓ρ=-4cosθ,表示圓心在C(2,π),半徑為2的圓.如圖示,在△ABC中,CB⊥AB.又|CB|=2,|AC|=4,12.求滿足下列條件的圓的極坐標(biāo)方程.(1)圓心在,半徑為3;(2)圓心在B(2,π),半徑為2.解析:(1)由圓心在半徑為3,可知圓過極點(diǎn).如圖所示,連接OA并延長(zhǎng)交圓于B,則OB=6.在圓上任取一點(diǎn)P(ρ,θ),則△OPB為直角三角形,則OP=OB·sin∠OBP,∴ρ=6sinθ.故圓的極坐標(biāo)方程為ρ=6sinθ.(2)由題可知圓經(jīng)過極點(diǎn),如圖所示,連OB延長(zhǎng)交圓于A,則OA=4,在圓上任取一點(diǎn)P(ρ,θ),則△OPA為直角三角形,則OP=OAcos∠POA,∴ρ=4cos(π-θ)=-4cosθ.

直線和圓的極坐標(biāo)方程直線的極坐標(biāo)方程 課后作業(yè)1.過點(diǎn),且垂直極軸的直線的極坐標(biāo)方程是()A.ρ=sinθB.ρ=cosθC.ρsinθ=1D.ρcosθ=答案:D解析:如圖,設(shè)P(ρ,θ)為直線l上的任意一點(diǎn),∴所求直線的方程為ρcosθ=.2.過點(diǎn)且平行極軸的直線的極坐標(biāo)方程是()A.ρcosθ=2B.ρcosθ=2C.ρsinθ=D.ρsinθ=2答案:C解析:設(shè)P(ρ,θ)為直線l上的任意一點(diǎn).∴ρsinθ=4sin∴所求直線的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=

答案:D4.從極點(diǎn)出發(fā),和極軸成的射線的極坐標(biāo)方程是()答案:C5.已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+)=2,則極點(diǎn)到直線l的距離為()答案:D∴|OA|=|OB|,△OAB是等腰直角三角形,取AB的中點(diǎn)M,則OM⊥AB,又|OM|=2,∴極點(diǎn)到直線l的距離為2.6.極坐標(biāo)方程4sin2θ=3所表示的曲線是()A.兩條射線B.兩條相交直線C.圓D.拋物線答案:B解析:由4sin2θ=3得θ=2kπ±或θ=2kπ±π,k∈Z.∴4sin2θ=3表示兩條相交直線.7.直線l過,且極點(diǎn)到l的距離為4,則l的極坐標(biāo)方程為________.解析:如圖所示,P(ρ,θ)為直線上一點(diǎn).則OP\5cos∠POA=OA,其中∠POA=-θ,OA=4,∴l(xiāng)的極坐標(biāo)方程為ρcos(-θ)=4.8.直線l過A(1,0)與兩點(diǎn),則l的極坐標(biāo)方程為__________.解析:由題可知,極點(diǎn)到直線的距離為9.直線ρsin(α-θ)=2sin(α∈R)所過定點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ>0)為________.10.求過點(diǎn)A(1,0),且傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程.化簡(jiǎn)得ρ(cosθ-sinθ)=1.經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)A(1,0)的坐標(biāo)適合上述方程.所以滿足條件的直線的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ-sinθ)=1,其中0≤θ<(ρ≥0)和<θ<2π(ρ≥0).11.已知A(2,0),B(2,),直線l過極點(diǎn),且與AB垂直,求直線l的方程.解:以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立直角坐標(biāo)系,則A?B兩點(diǎn)在直角坐標(biāo)中的點(diǎn)為A(2,0),B(0,-2),則kAB=1.過極點(diǎn)與AB垂直的直線l的方程為y=-x,它的傾斜角為∴直線l的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R)(或?qū)憺棣?- (ρ∈R)).12.求過且和極軸所成角為的直線.解析:設(shè)l上任意一點(diǎn)為P(ρ,θ),在△POA中,由正弦定理得

曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化課后作業(yè)1.極坐標(biāo)方程ρsinθ=4sin2θ表示的曲線為()A.一條射線和一個(gè)圓B.兩條直線C.一個(gè)圓 D.一條直線和一個(gè)圓答案:D解析:ρsinθ=4sin2θ,可化為ρsinθ=8sinθcosθ,即sinθ=0或ρ=8cosθ,即y=0或x2+y2-8x=0.2.極坐標(biāo)方程 表示的曲線是()A.直線B.橢圓C.雙曲線D.拋物線答案:B解析:2ρ-ρsinθ=1,即即4x2+3y2-2y-1=0.得表示橢圓.3.在極坐標(biāo)系中,過點(diǎn)A(6,π)作圓ρ=-4cosθ的切線,則切線長(zhǎng)為()A.2B.6答案:C解析:轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo),則A(-6,0),圓的方程為(x+2)2+y2=4,∴切線長(zhǎng)為2

4.曲線的極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ化為直角坐標(biāo)方程是()A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4答案:B5.直線θ=α分別與直線l1:ρcos(θ-α)=a,l2:ρsin(θ-α)=a的位置關(guān)系是()A.與l1,l2都垂直B.與l1,l2都平行C.與l1平行,與l2垂直D.與l1垂直,與l2平行答案:D解析:直線θ=α的直角坐標(biāo)方程為y=xtanα.ρcos(θ-α)=a化為ρcosθcosα+ρsinθsinα=a,則直角坐標(biāo)方程為xcosα+ysinα=a,則k1=-ρsin(θ-α)=a化為ρsinθcosα-ρcosθsinα=a,則直角坐標(biāo)方程為ycosα-xsinα=a,則k2==tanα.故直線θ=α與直線l1垂直,與直線l2平行.6.已知直線的極坐標(biāo)方程為 ,則極點(diǎn)到該直線的距離是________.解析:化為直角坐標(biāo)方程為x+y=1,極點(diǎn)即原點(diǎn),∴7.已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρ(cosθ+sinθ)=5,則此圓關(guān)于極軸對(duì)稱的圓的極坐標(biāo)方程為________.解析:將圓的方程化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-2y=5,它關(guān)于x軸的對(duì)稱的圓的方程為x2+y2-2x+2

y=5.則其極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcosθ+2

ρsinθ=5.8.在極坐標(biāo)系中,由三條直線θ=0,θ=,ρcosθ+ρsinθ=1圍成圖形的面積是________.解析:三條直線在直角坐標(biāo)系下的方程依次為y=0,y=x,x+y=1.9.在極坐標(biāo)系中,圓ρ=3cos(θ-)被極軸截得的弦長(zhǎng)為________.10.在極坐標(biāo)系中已知圓C的極坐標(biāo)方程為,直線l為2ρcosθ-ρsinθ-3=0,判斷直線l與⊙C的位置關(guān)系.11.⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)求經(jīng)過⊙O1,⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程.12.(2009·遼寧)在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ- ,M?N分別為曲線C與x軸?y軸的交點(diǎn).(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程,并求M?N的極坐標(biāo);(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線OP的極坐標(biāo)方程.

直線和圓的極坐標(biāo)方程直線的極坐標(biāo)方程 隨堂驗(yàn)收1.極坐標(biāo)方程(ρ≥0)表示()A.點(diǎn)B.射線