【配套K12】江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題七應(yīng)用題第1講函數(shù)不等式中應(yīng)用題學(xué)案

K12教育資源學(xué)慣用資料第1講函數(shù)、不等式中的應(yīng)用題[考情考向分析]應(yīng)用題察看是江蘇高考特點，每年均有察看，試題難度中等或中等偏上．命題主要察看學(xué)生運用所學(xué)知識成立數(shù)學(xué)有關(guān)模型解決實詰問題的能力.與函數(shù)、不等式有關(guān)的應(yīng)用題，可以經(jīng)過成立函數(shù)、不等式模型，解決實質(zhì)中的優(yōu)化問題或許知足特定條件的實際問題．熱門一和函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題例1某工廠現(xiàn)有200人，人均年收入為4萬元．為了提升工人的收入，工廠將進行技術(shù)改造．若改造后，有x(100≤x≤150)人連續(xù)留用，他們的人均年收入為4a(a∈N*)萬元；剩下的人從事其余服務(wù)行業(yè)，這些人的人均年收入有望提升2x%.(1)設(shè)技術(shù)改造后這200人的人均年收入為y萬元，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x為多少時，能使這200人的人均年收入達到最大，并求出最大值．(1)y＝200－x×4×1＋2x%＋4ax200－0.02x2＋a＋3x＋200＝501212＝－2500[x－25(a＋3)]＋4(a＋3)＋4.此中100≤x≤150，x∈N*.①當(dāng)100≤25(a＋3)≤150，即當(dāng)x＝25(a＋3)時，y取最大值，即

1≤a≤3，a∈N*時，12ymax＝4(a＋3)＋4；②當(dāng)25(a＋3)＞150，即a＞3，a∈N*時，函數(shù)y在[100,150]上單一遞加，∴當(dāng)＝150時，y取最大值，即ymax＝3＋4.xa答當(dāng)1≤≤3，a*，＝25(a＋3)時，y12∈N取最大值(＋3)＋4；ax4a當(dāng)a＞3，a∈N*，x＝150時，y取最大值3a＋4.思想升華二次函數(shù)是高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題命題的一個重要模型，解決此類問題要充分利用二次函數(shù)的結(jié)論和性質(zhì)．追蹤操練1某公司參加A項目生產(chǎn)的工人為1000人，均勻每人每年創(chuàng)辦利潤10萬元．根據(jù)現(xiàn)實的需要，從A項目中調(diào)出x人參加B項目的售后服務(wù)工作，每人每年可以創(chuàng)辦利潤K12教育資源學(xué)慣用資料K12教育資源學(xué)慣用資料10a－3x萬元(a＞0)，A項目余下的工人每人每年創(chuàng)辦利潤需要提升0.2x%.500(1)若要保證A項目余下的工人創(chuàng)辦的年總利潤不低于本來1000名工人創(chuàng)辦的年總利潤，則最多調(diào)出多少人參加B項目從事售后服務(wù)工作？(2)在(1)的條件下，當(dāng)從A項目調(diào)出的人數(shù)不可以超出總?cè)藬?shù)的40%時，能使得A項目中留崗工人創(chuàng)辦的年總利潤向來不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)辦的年總利潤，務(wù)實數(shù)a的取值范圍．解(1)依據(jù)題意可得(1000－x)(10＋10×x%)≥1000×10，整理得x2－500x≤0，解得0≤x≤500，最多調(diào)出的人數(shù)為500.0≤x≤500，解得0≤x≤400.(2)由x≤1000×40%，a－3×≤－·＋×10x)(10500x(1000100.2x%)對x∈[0,400]恒成立，3x22即10ax－50≤1000×10＋20x－10x－2x%恒成立，x2即ax≤250＋x＋1000對于隨意的x∈[0,400]恒成立．當(dāng)x＝0時，不等式明顯成立；當(dāng)0＜x≤400時，x10001＋250000a≤250＋x＋1＝250xx＋1.250000，令函數(shù)f(x)＝x＋x可知f(x)在區(qū)間[0,400]上是減函數(shù)，f(x)min＝f(400)＝1025，x100051250＋x＋1≥10.5151故0＜a≤10，所以實數(shù)a的取值范圍是0，10.熱門二和不等式有關(guān)的應(yīng)用題2秸稈還田是現(xiàn)在世界上廣泛重視的一項培肥地力的增產(chǎn)舉措，在根絕了秸稈燃燒所造成的大氣污染的同時還有增肥增產(chǎn)作用．某農(nóng)機戶為了達到在收割的同時讓秸稈還田，花137600元購置了一臺新式結(jié)合收割機，每年用于收割可以收入6萬元(已減去所用柴油費)；該收割機每年都要按期進行維涵養(yǎng)護，第一年由廠方免費維涵養(yǎng)護，第二年及今后由該農(nóng)機戶付費維涵養(yǎng)護，所付開銷y(元)與使用年數(shù)n的關(guān)系為y＝kn＋(n≥2，且∈N*)，已知第bnK12教育資源學(xué)慣用資料K12教育源學(xué)用料二年付1800元，第五年付6000元．求出機用于涵養(yǎng)護的用f(n)(元)與使用年數(shù)n(n∈N*)的函數(shù)關(guān)系式；臺收割機使用多少年，可使年均勻利潤最大？(利潤＝收入－涵養(yǎng)護用－機械用)解(1)依意知，當(dāng)＝2，y＝1800；n當(dāng)n＝5，y＝6000，1800＝2k＋b，k＝1400，即＋，解得b＝－1000，6000＝5kb所以f(n)＝0，n＝1，1400n－1000，n≥2且n∈N*.(2)使用n年，年均利潤W(元)，1依意知，當(dāng)n≥2，W＝60000－n[137600＋1400(2＋3＋?＋n)－1000(n－1)]1137600＋1400×n－1n＋2－1000n－1＝60000－n212＝60000－n(137200＋700n－300n)＝60300－137200≤60300－2137200700n＋n700n·＝40700，n當(dāng)且當(dāng)700＝137200，即n＝14取等號．nn所以臺收割機使用14年，可使年均利潤最大．思升運用基本不等式求解用，要注意結(jié)構(gòu)符合基本不等式使用的形式，同要注意等號成立的條件．追蹤演2小于年初支出50萬元一大，第一年因各樣用需支出6萬元，從第二年起，每年都比上一年增添支出2萬元，假定每年的運收入均25萬元．小在運累收入超支出后，考將大作二手銷售，若在第x年年關(guān)出售，其售收入(25－x)萬元(國家定大的年限10年)．大運到第幾年年關(guān)，運累收入超支出？在第幾年年關(guān)將大銷售，能使小得的年均勻利最大？(利＝累收入＋售收入－支出)解(1)大到第x年年關(guān)的運累收入與支出的差y萬元，y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50,0＜x≤10，x∈N*，即y＝－x2＋20x－50,0＜x≤10，x∈N*，由－x2＋20x－50＞0，K12教育源學(xué)用料K12教育資源學(xué)慣用資料解得10－52＜x＜10＋52，而2＜10－52＜3，故從第三年開始運輸累計收入超出總支出．由于利潤＝累計收入＋銷售收入－總支出，所以銷售二手貨車后，小張的年均勻利潤為112y＝x[y＋(25－x)]＝x(－x＋19x－25)25＝19－x＋x，又19－x＋2525x≤19－2x·＝9，x當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時等號成立．答第5年年關(guān)銷售貨車，獲得的年均勻利潤最大．熱門三和三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題例3(2018·鎮(zhèn)江期末)如圖，準(zhǔn)備在墻上釘一個支架，支架由兩直桿AC與BD焊接而成，焊接點D把桿分紅，兩段，此中兩固定點，間距離為1米，與桿的夾角ACADCDABABAC為60°，桿AC長為1米，若制作AD段的成本為a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作桿BD成本是4a元/米．設(shè)∠ADB＝α，則制作整個支架的總成本記為S元．(1)求S對于α的函數(shù)表達式，并求出α的取值范圍；問AD段多長時，S最??？解(1)在△ABD中，由正弦定理得AB＝BD＝AD，sinαπsin2πsin3－α333cosα1∴BD＝2sinα，AD＝2sinα＋2，則S＝a3cosα＋1＋2a1－3cosα＋1＋2sinα22sinα24a3＝a43－3cosα＋3，2sinα2sinα2π2π由題意得α∈3，3.(2)令S′＝3a·1－4cosαα＝12sinα＝0，設(shè)cos.20K12教育資源學(xué)慣用資料K12教育資源學(xué)慣用資料πα0α3，α0cosα1114，24S′－0S極小值1S最小，此時sin15∴當(dāng)cosα＝4時，α＝4，3cosα15＋5AD＝2sinα＋2＝10.

2π0，3112，4＋思想升華諸如航行、建橋、丈量、人造衛(wèi)星等波及必定圖形屬性的應(yīng)用問題，經(jīng)常需要應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)，用三角函數(shù)知識來求解．追蹤操練3某單位將舉辦慶典活動，要在廣場上直立一形狀為等腰梯形的彩門BADC(如圖)．設(shè)計要求彩門的面積為(單位：m2)，高為(單位：m)(，h為常數(shù))．彩門的下底BCShS固定在廣場底面上，上底和兩腰由不銹鋼支架組成，設(shè)腰和下底的夾角為α，不銹鋼支架的長度和記為l.請將l表示成對于α的函數(shù)l＝f(α)；問當(dāng)α為什么值時l最小，并求最小值．解(1)過D作DH⊥BC于點H，以以下圖．π則∠DCB＝α0＜α＜2，DH＝h，hhDC＝sinα，CH＝tanα.2hAD＝x，BC＝x＋tanα.12h·，則Sh，由于＝x＋x＋tanαx＝－tanαS2hhl＝f(α)＝2DC＋ADS21π＝h＋hsinα－tanα0＜α＜2.K12教育資源學(xué)慣用資料K12教育資源學(xué)慣用資料S21(2)由(1)可知，l＝f(α)＝h＋hsinα－tanα，－2cosα－11－2cosα則f′(α)＝h·sin2α－sin2α＝h·sin2α，令f′(α)＝h·1－2cosαπsin2α＝0，得α＝3.ππππα0，333，2f′(α)－0＋f(α)極小值所以l＝fπSmin3＝3h＋h.1．某學(xué)校有長度為14m的舊墻一面，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建筑平面圖形為矩形、面積為12621m新墻的開銷為a元；②修1m舊墻的開銷是am的活動室，工程條件是：①建4元；③拆去1m舊墻所得的資料，建1m新墻的開銷為a元，經(jīng)過討論有兩種方案：2利用舊墻的一段xm(0<x＜14)為矩形廠房的一面邊長；(2)矩形活動室利用舊墻的一面邊長為x≥14.問怎樣利用舊墻，即x為多少時建墻的開銷最?。?1)(2)兩種方案，哪一種方案最好？解設(shè)利用舊墻的一面邊長為xm，126則矩形另一邊長為xm.當(dāng)0＜x＜14時，aa252總開銷f(x)＝4x＋2(14－x)＋a2x＋x－14367a4＋x－1≥35a，當(dāng)且僅當(dāng)x＝12時取最小值35a.當(dāng)x≥14時，總開銷f(x)＝a×＋a2x＋252－14414xK12教育資源學(xué)慣用資料K12教育源學(xué)用料212ax＋x－4，126f′(x)＝2a1－x2＞0，f(x)在[14，＋∞)上增，所以當(dāng)x＝14取最小a.答第(1)種方案最省，即當(dāng)x＝12m，用最省，35a元．2．某油的容量31萬噸，年初油量10萬噸，從年初起劃每個月月初先石油m萬噸，此后再出一部分石油來足地區(qū)內(nèi)和地區(qū)外的需求．若地區(qū)內(nèi)每個月用石油1萬噸，地區(qū)外前x個月的需求量y(萬噸)與x的函數(shù)關(guān)系y＝*5＋px(p＞0,1≤x≤10，x∈N)．已知前4個月地區(qū)外的需求量15萬噸．寫出第x個月石油出后，油內(nèi)油量M(x)(萬噸)的函數(shù)表達式；要使油中的石油在前10個月內(nèi)任何候都不超出油的容量，又能足地區(qū)內(nèi)和地區(qū)外的需求，求m的取范．解(1)因前4個月地區(qū)外的需求量15萬噸，所以15＝5＋·4，p*p＝25，y＝5＋5x(1≤x≤10，x∈N)．M(x)＝10＋mx－x－(5＋5x)＝mx－x－5x＋5(1≤x≤10，x∈N*)．(2)因第x個月的月初石油后，油量不可以多于31萬噸，所以M(x－1)＋m≤31，即10＋mx－(x－1)－(5x－1＋5)≤31，mx－x－5x－1≤25，*此式全部1≤x≤10(x∈N)恒成立，t＋5m≤t2＋1＋1(t＝k，k＝0,1，?，9)恒成立，5令u＝t＋5，m≤＋1(u＝5＋k，k＝0,1，?，9)恒成立，26u＋u－10265因u＋u－10在u＝8獲得最大4，所以5＋1的最小5，≤5.26mu＋u－10另一方面，第x個月出石油后，油量不可以少于0萬噸，所以M(x)≥0，即mx－x－5x＋5≥0.K12教育源學(xué)用料K12教育源學(xué)用料5m≥－x＋＋1，x*此式全部1≤x≤10(x∈N)恒成立，所以m≥－51129x－2＋4，此式全部1≤x≤10(x∈N*)恒成立，9m≥(x＝4取等號)．49上所述，4≤m≤59答每個月石油m的取范是，5.A通關(guān)1．某公司生的A種品，它的成本是2元，售價是3元，年售量100萬件．得更好的效益，公司準(zhǔn)取出必定的金做廣告．依據(jù)，每年投入的廣告是x(位：十萬元)，品的年售量將是原售量的y倍，且y是x的二次函數(shù)，它的關(guān)系以下表x(十萬元)012?y1?求y與x之的函數(shù)關(guān)系式；假如把利看作是售減去成本和廣告，寫出年利S(十萬元)與廣告x(十萬元)的函數(shù)關(guān)系式；假如投入的年廣告x，x∈[10,30]萬元，廣告在什么范內(nèi)，公司得的年利隨廣告的增大而增大？解(1)二次函數(shù)的分析式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．1c＝1，a＝－10，由關(guān)系表，得a＋b＋c＝，解得34a＋2b＋c＝＝，，b5c＝1，∴函數(shù)的分析式y(tǒng)＝－1x2＋3x＋1(x≥0)．105(2)依據(jù)意，得＝10(3－2)－＝－x2＋5＋10(x≥0)．SyxxK12教育源學(xué)用料K12教育資源學(xué)慣用資料＝－x2＋5x＋10＝－x－52＋65，(3)S24∵1≤x≤3，∴當(dāng)1≤x≤2.5時，S隨x的增大而增大．故當(dāng)年廣告費為10～25萬元之間，公司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增大．2．在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600平方厘米的矩形紙板，此后在矩形紙ABCD板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊緣虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖)．設(shè)小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長分別為a厘米和b厘米，此中a≥b.當(dāng)a＝90時，求紙盒側(cè)面積的最大值；試確立a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．(1)由于矩形紙板ABCD的面積為3600平方厘米，故當(dāng)a＝90時，b＝40，進而包裝盒子的側(cè)面積S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x)＝－8x2＋260x，x∈(0,20).由于＝－82＋260x＝－8x－652＋4225，Sx42654225故當(dāng)x＝4時，側(cè)面積最大，最大值為2平方厘米．包裝盒子的體積V＝(a－2x)(b－2x)xx[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈0，b，b≤60.222V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x]≤x(ab－4abx＋4x)x(3600－240x＋4x2)＝4x3－240x2＋3600x.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝60時等號成立．f(x)＝4x3－240x2＋3600x，x∈(0,30)．則f′(x)＝12(x－10)(x－30)．于是當(dāng)0＜x＜10時，f′(x)＞0，所以f(x)在(0,10)上單一遞加；10＜x＜30時，f′(x)＜0，所以f(x)在(10,30)上單一遞減．所以當(dāng)x＝10時，f(x)有最大值f(10)＝16000，K12教育資源學(xué)慣用資料K12教育資源學(xué)慣用資料此時a＝b＝60，x＝10.所以當(dāng)＝＝60，x＝10時紙盒的體積最大，最大值為16000立方厘米．a(chǎn)b3．(2018·蘇州模擬)某“T”型溝渠南北向?qū)挒?m，東西向?qū)挒?m，其俯視圖如圖所示．假定溝渠內(nèi)的水面向來保持水平川址．(1)過點A的一條直線與溝渠的內(nèi)壁交于P，Q兩點，且與溝渠的一邊的夾角為θ(θ為銳角)，將線段PQ的長度l表示為θ的函數(shù)；若從南面漂來一根長度為7m的筆挺的竹竿(粗細不計)，竹竿向來浮于水平面內(nèi)，且不發(fā)生形變，問：這根竹竿可否從拐角處向來漂向東西向的溝渠(不會卡住)？試說明原因．解(1)由題意得，PA＝sin24θ，QA＝cosθ，所以l＝PA＋QA＝sin24θ0<θπθ＋cos<2.(2)設(shè)f(θ)＝2＋4π，θcosθ0<θ<2sin由f′(θ)＝－2cosθ4sinθ222sin3θ－cos3θsin2θ＋cos2θ＝sin2θcos2θ，令f′(θ)＝0，得tanθ02＝.2)時，f′(θ)π時，f且當(dāng)θ∈(0，θ0<0；當(dāng)θ∈θ0，2′(θ)>0，所以f(θ)在(0，θ0)上單一遞減，在πθ0，2上單一遞加，所以當(dāng)θ＝θ0時，f(θ)獲得極小值，即為最小值．21，cosθ＝2，233000所以f(θ)的最小值為36，即這根竹竿能經(jīng)過拐角處的長度的最大值為36m.由于36>7，所以這根竹竿能從拐角處向來漂向東西向的溝渠．答竹竿能從拐角處向來漂向東西向的溝渠．4．(2018·江蘇啟東中學(xué)月考)園林管理處擬在公園某地區(qū)規(guī)劃建設(shè)一半徑為r米，圓心角為θ(弧度)的扇形觀景水池，此中θ∈(0，2π)，O為扇形AOB的圓心，同時緊貼水池周邊(即K12教育資源學(xué)慣用資料K12教育資源學(xué)慣用資料OA，OB和θ所對的圓弧)建設(shè)一圈理想的無寬度步道．要求總估計開銷不超出24萬元，水池造價為每平方米400元，步道造價為每米1000元．若總開銷恰巧為24萬元，則當(dāng)r和θ分別為多少時，可使得水池面積最大，并求出最大面積；若要求步道長為105米，則可設(shè)計出的水池最大面積是多少？1解(1)弧長AB為θr，扇形AOB面積為S＝2θr

2,2400×2θr＋1000(2r＋θr)＝240000.即θr2＋5(2r＋θr)＝1200.1200－10r所以θ＝r2＋5r.1211200－10r2＝650－5(r＋5)＋625(r＋5)×625S＝θr＝×2×r≤650－5×2＝22r＋5rr＋5r＋5400.625θ＝2∈(0，2π).當(dāng)且僅當(dāng)r＋5＝r＋5，即r＝20時取等號，此時r＝20,θ＝2，面積最大值為400平方米．105－2(2)由θr＋2r＝105，得出θ＝r，r121－2r)，∴S＝θr＝r(105220<θ＝105－2r<2π，所以rr2＋5(2r＋θr)≤1200，1051052＋2π<r<2，105所以15所以45≤r<.r或r≥45，2≤2121－2r)，r∈45，105∴S＝2θr＝2r(1052，1所以當(dāng)r＝45,θ＝3時，水池的最大面積為337.5平方米．K12教育資源學(xué)慣用資料K12教育資源學(xué)慣用資料r的取值范圍為45，105，且當(dāng)r＝45,1337.5平方米．答2θ＝3時，水池的最大面積為K12教育資源學(xué)慣用資料K12教育資源學(xué)慣用資料B組能力提升5．(2018·南通模擬)如圖，某機械廠欲從AB＝2米，AD＝22米的矩形鐵皮中裁剪出一個四邊形ABEF加工成某儀器的部件，裁剪要求以下：點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，且EB＝EF，<.設(shè)∠＝θ，四邊形的面積為f(θ)(單位：平方米)．AFBEBEFABEF求f(θ)對于θ的函數(shù)關(guān)系式，求出定義域；(2)當(dāng)，AF的長為什么值時，裁剪出的四邊形的面積最小，并求出最小值．BEABEF(1)過點F作FM⊥BE，垂足為M.在Rt△FME中，MF＝2，∠EMF＝π2，∠FEM＝θ，22所以EF＝sinθ，ME＝tanθ，2AF＝BM＝EF－EM＝sinθ－tanθ，1所以f(θ)＝2(AF＋BE)×AB122242＝2×sinθ－tanθ＋sinθ×2＝sinθ－tanθ.π依據(jù)題意得，AF<BE，所以θ<2，π且當(dāng)點E與點C重合時，EF＝EB＝22，F(xiàn)M＝2，θ＝4，42ππ所以函數(shù)f(θ)＝sinθ－tanθ的定義域為4，2.K12教育資源學(xué)慣用資料K12教育資源學(xué)慣用資料424sin2θ＋cos2θ222(2)由(1)可知，f(θ)＝sinθ－tanθ＝θθ－θ2sin2cos22tan21－tan2θ2θ11θ＝2tan2＋θ－θ－tan2＝3tanθ＋1≥23tanθ×1＝23，tan2tan22θ2θtan2tan2當(dāng)且僅當(dāng)3tanθ12＝θ時，不等式取等號，tan2ππθππ又θ∈4，2∈，4，2，8故tanθ＝3，θ＝π，θ＝π.232632432223BE＝sinθ＝3，AF＝sinθ－tanθ＝3.答當(dāng)BE，AF的長度分別為433米，233米時，裁剪出的四邊形ABEF的面積最小，最小值為23平方米．6．(2018·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)圖(Ⅰ)是一斜拉橋的航拍圖，為認識析大橋的承重狀況，研究小組將其抽象成圖(Ⅱ)所示的數(shù)學(xué)模型．索塔，與橋面均垂直，經(jīng)過丈量知兩索塔的高ABCDAC度均為60m，橋面AC上一點P到索塔AB，CD距離之比為21∶4，且P對兩塔頂?shù)囊暯菫?35°.(1)求兩索塔之間橋面的長度；AC(2)研究表示索塔對橋面上某處的“承重強度”與多種要素有關(guān)，可簡單抽象為：某索塔對橋面上某處的“承重強度”與索塔的高度成正比(比率系數(shù)為正數(shù)a)，且與該處到索塔的距離的平方成反比(比率系數(shù)為正數(shù)b)．問兩索塔對橋面哪處的“承重強度”之和最??？并求出最小值．(1)設(shè)AP＝21t，PC＝4t(t>0)，記∠APB＝α，∠CPD＝β，60206015則tanα＝21t＝7t，tanβ＝4t＝t，K12教育資源學(xué)慣用資料K12教育源學(xué)用料2015tanα＋tanβ7t＋t由tan(α＋β)＝tan45°＝1－tanαtanβ＝300＝1，1－7t2215化得7t－125t－300＝0，解得t＝20或t＝－7(舍去),