2022-2023學年北師大版九年級數(shù)學上學期專項講練1.8矩形的性質(zhì)與判定(拓展篇練習)_第1頁
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文檔簡介

專題1.8矩形的性質(zhì)與判定(拓展篇)(專項練習)一、單選題類型一、坐標系下的矩形問題1.如圖,把矩形O48C放入平面直角坐標系中,點8的坐標為(10,8),點。是OCTOC\o"1-5"\h\z上一點,將△8CO沿8。折疊,點C恰好落在。4上的點E處,則點。的坐標是( )A.(0,4) B.(0,5)C.(0,3) D.(0,2)2.如圖,在平面直角坐標系中,A,8兩點的坐標分別是(8,0),(0,6),點C為線段AB的中點,則OC的長等于( )A.J5 B.- C.5 D.102.如圖①,在矩形ABCO中,AB<AD,對角線AC、BO相交于點O,動點P從點A出發(fā),沿4—B—C—O向點。運動.設點戶的運動路程為x,440P的面積為y,y與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示,則下列結(jié)論錯誤的是(C.當42.5時,A40P是等邊三角形D.44OP的面積為3時,x的值為3或10.如圖,點4的坐標為(4,3),軸于點B,點C為坐標平面內(nèi)一點,OC=2,點。為線段AC的中點,連接80,則8。的最大值為(7 /cA.3 B.- C.吆 D.2752 2類型二、折疊中的矩形問題.如圖,把長方形紙片A8CO沿對角線所在直線折疊,設重疊部分為那么下列說法錯誤的是(A.△£%>是等腰三角形,EB=EDB.折疊后NABE和NEBO一定相等C.折疊后得到的圖形是軸對稱圖形 D.△EBA和aEOC'一定是全等三角形.如圖,某數(shù)學興趣小組開展以下折紙活動:①對折矩形紙片A8CD,使4。和BC重合,得到折痕EF,把紙片展開;②再一次折疊紙片,使點A落在EF上,并使折痕經(jīng)過點B,得到折痕同時得到線段BN.觀察探究可以得到NNBC的度數(shù)是(A.20° A.20° B.25°C.30° D.35°.如圖,四邊形OABC是矩形,點A的坐標為(8,0),點C的坐標為(。,4),把矩形O4BC沿08折疊,點C落在點。處,則點。的縱坐標為(

.在數(shù)學拓展課《折疊矩形紙片》上,小林發(fā)現(xiàn)折疊矩形紙片ABC??梢赃M行如下操作:①把△碼翻折,點8落在C邊上的點E處,折痕為AF,點F在BC邊上;②把“ID//翻折,點£>落在AE邊上的點G處,折痕為4/,點"在C£>邊上,若A£>=6,CD=10,類型三矩形背景下的最值問題.如圖,ZkABC中,BC=4,D,E分別是線段AB和線段BC上的動點,且8D=£>E,F是線段AC上一點,且EF=FC,則OF的最小值為( )A.3 B.2 C.2.5 D.4.如圖,“BC中,ZC=90°,AC=10,BC=8,線段OE的兩個端點£>、E分別在邊AC,BC上滑動,且OE=6,若點M、N分別是DE.AB的中點,則MN的最小值為(

A.10-向B.a-3 C.2a-6D.3.如圖,在矩形488中,AB=5,AD=3.動點P滿足凡始口=gs勵/BCD,則點尸到4、B兩點的距離之和以+PB的最小值為(C.而D.V52C.而D.V52.如圖,四邊形ABCD是矩形紙片,AB=2.對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,折痕為EF;展平后再過點B折疊矩形紙片,使點A落在EF上的點N,折痕BM與EF相交于點Q;再次展平,連接BN,MN,延長MN交BC于點G.有如下結(jié)論:①NABN=60°;②AM=1;③AB_LCG;④aBMG是等邊三角形;⑤點P為線段BM上一動點,點H是BN的中點,則PN+PH的最小值是其中正確結(jié)論有()A.5個 B.4個 C.3個 D.2個類型四、旋轉(zhuǎn)中的矩形問題.如圖,矩形ABC。的頂點A。,。),£>(0,2),B(5,2),將矩形以原點為旋轉(zhuǎn)中心,順時針旋轉(zhuǎn)75。之后點C的坐標為(

A.(4,-2)B.(4>/2,-2V2)C.(4應,-2)D.(2#,-2&).如圖,將斜邊為4,且一個角為30。的直角三角形408放在直角坐標系中,兩條直角邊分別與坐標軸重合,。為角邊分別與坐標軸重合,。為斜邊的中點,現(xiàn)將三角形AOB繞O點順時針旋轉(zhuǎn)120。得到三角形EOC,則點。對應的點的坐標為( )C.(2GC.(2G,-2)D.(2,-2G).如圖,矩形48CC中,A慶2,AB=6對角線4c上有一點G(異于A,C),連接。G,將AAGO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△AEF,則B尸的長為(A.713 B.25/13 C.幣 D.2".如圖,矩形。48<7的頂點。(0,0),4(。,3),。(5,0),點。為45上一動點,將△04。繞點。順時針旋轉(zhuǎn)得到aOA'D',使得點4的對應點A落在。。上,當A7X的延長線恰好經(jīng)過點C時,點。的坐標為(

A.(2,3)B.C.D.(4,3)A.(2,3)B.C.D.(4,3)二、填空題類型一、坐標系下的矩形問題.如圖,在平面直角坐標系中,點B的坐標為(3,3),過點8作軸于點A,BCLy軸于點C.若直線/:y=/nr-2〃KmxO)把四邊形OABC分成面積相等的兩部分,則則.如圖,四邊形0A8C為矩形,點A,C分別在x軸和y軸上,連接AC,點8的坐標為(12,5),NCAO的平分線與y軸相交于點O,則點。的坐標為.如圖,在平面直角坐標系中,矩形0ABe的頂點A、C的坐標分別為(10,0),(0,4),點。是OA的中點,點尸在BC邊上運動,點。是坐標平面內(nèi)的任意一點.若以。,D,P,。為頂點的四邊形是邊長為5的菱形時,則點。的坐標為.

.如圖,平面直角坐標系中,長方形Q4BC,點A,C分別在丁軸,x軸的正半軸上,04=6,OC=3,/DOE=45。,OD,OE分別交BC,A8于點O,E,且8=2,則點E坐標為.類型二、折疊中的矩形問題.如圖,在長方形ABCO紙片中,ADHBC,AB//CD,把紙片沿EF折疊后,點C、。分別落在C'、川的位置,若NEFB=75。,則NAE。'等于.如圖,在矩形ABC。中,AB=6,BC=8,點E為邊BC上任意一點,將ZXABE沿AE折疊,使點B落在點尸處,連接C尸,若aCEF是直角三角形,則線段8E的長為..如圖,矩形ABCO中,AB=3,AD=5.點E是BC邊上一動點,連接AE.將△ABE5沿AE翻折得到△AEF,連接OF.當AAOF的面積為彳時,線段BE的長為.

.如圖,在矩形ABC。中,E是BC邊上的一點,連接AE,將△回£沿4E翻折,點8的對應點為F.若線段A廠的延長線經(jīng)過矩形一邊的中點,AB=2,AZ)=4,則BE長為類型三矩形背景下的最值問題.如圖,在矩形A8CD中,4D=2/uj=4,點E是AD上一點,DE=1,尸是BC上一動點,尸、。分別是EF,AE的中點,則PE+PQ的最小值為..如圖,在長方形A5CD中,已知A8=6,8C=8,點P是8c邊上一動點(點戶不與8,C重合),連接AP,作點B關(guān)于直線AP的對稱點用,則線段MC的最小值為..如圖,矩形A8CD中,A8=6,AD=8,動點E、F分別從點A、C同時出發(fā),以相同的速度分別沿AD、CB向終點B移動,當點E到達點。時,運動停止,過點8

作直線EF的垂線3P,垂足為點尸,連接CP,則CP長的最小值為.如圖,在矩形48co中,A8=8,BC=12,E是48的中點,尸是8c邊上一動點,將ABEF沿著EF翻折,使得點8落在點用處,矩形內(nèi)有一動點尸,連接P8、PC、PD,則P£+PC+P。的最小值為一.類型四'旋轉(zhuǎn)中的矩形問題.如圖,將矩形ABCD繞點、A逆時針旋轉(zhuǎn)&(?!?lt;?<90。),連接EC,ED,當a為。時EC=ED..如圖,在平面直角坐標系中,矩形ABCO的頂點A,C的坐標分別為(2,0),(0,T),將矩形A8CO繞點B順時針旋轉(zhuǎn),點4,C,。的對應點分別為4,C,O二當點0,落在x軸的正半軸上時,點。'的坐標為.

.如圖,矩形ABC。中,A8=2,BC=\,將矩形ABC。繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90。,得到矩形MCG,連接AE,取AE的中點“,連接則..如圖,在平面直角坐標系中,四邊形AOBC是矩形,點0(0。,點A(5,0),點8(0,3).以點A為中心,順時針旋轉(zhuǎn)矩形AO8C得到矩形ADEF,點O,B,C的對應點分別為O,E,F.記K為矩形AO8c對角線的交點,則AKDE的最大面積為三、解答題.在一次數(shù)學活動課中,林老師提出問題:“如圖,已知矩形紙片A8CC,如何用折紙的方法把乙A8C三等分?”通過各小組合作討論,奮進組探究出解決此問題的方法為:先對折矩形紙片A8CD,使AO與BC重合,得到折痕EF,然后把紙片展平;再次折疊紙片,使點A落在EF上的點N,得到折痕8M和線段BN,如圖所示.則和8N三等分ZABC.請你對奮進組這種做法的合理性給出證明..材料閱讀小明偶然發(fā)現(xiàn)線段A8的端點A的坐標為(1,2),端點8的坐標為(3,4),則線段AB中點的坐標為(2,3),通過進一步的探究發(fā)現(xiàn)在平面直角坐標系中,以任意兩點P(X,yJ、。(天,必)為端點的線段中點坐標為(土滬,七叢)?(1)知識運用:如圖,矩形ONEF的對角線相交于點M,ON、。尸分別在x軸和y軸上,。為坐標原點,點E的坐標為(4,3),則點M的坐標為.(2)能力拓展:在直角坐標系中,有4T2),B(3,l),C(l,4)三點,另有一點。與點A、B、C構(gòu)成平行四邊形的頂點,求點。的坐標..請閱讀下列材料:問題:如圖1,點A,8在直線/的同側(cè),在直線/上找一點P,使得AP+B尸的值最小.小軍的思路是:如圖2,作點A關(guān)于直線/的對稱點A,連接A'B,則A8與直線/的交點尸即為所求.請你參考小軍同學的思路,探究并解決下列問題:(1)如圖3,在圖2的基礎上,設/VT與直線/的交點為C,過點B作BDL,垂足為。.若CP=1,PD=2,AC=l,寫出AP+8P的值為;(2)如圖3,若AC=1,BD=2,CD=6,寫出此時AP+8P的最小值;(3)求出J(5m_3y+1+7(5/n-8)2+9的最小值.參考答案【分析】由題意可得A0=8c=10,A8=OC=8,DE=CD,BE=BC=10,在放AABE中,由勾股定理可求得AE=6,0E=4,設0£>=x,則。E=CA8-x,然后在/?/△">£:中,由勾股‘定理即可'求得00=3,繼而求得點。的坐標.解:???點8的坐標為(10,8),:.A0=BC=\Q,AB=OC=S,由折疊的性質(zhì),可得:DE=CD,BE=BC=10,在RiAABE中,由勾股定理得:AE=>jBE2-AB2=7102-82=6-:.OE=AO-AE=\0-6=4,設OD=x,貝ljDE=G9=8-x,在RtAODE中,由勾股定理得:OD'OE'DE:即:x2+42=(8—x)~,解得:x=3,:.OD=3,.??點。的坐標是(0,3).故選:C.【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理,熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.C【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊AB的長度,再由直角三角形斜邊中線定理,即可得出答案.解:8兩點的坐標分別是(8,0),(0,6),;.OA=8,08=6,,48=yjoA1+OB2=,8?+6?=1°,???點C為48的中點,0C=gA8=gxl0=5,故選:C.【點撥】本題主要考查坐標與圖形的性質(zhì),勾股定理,直角三角形斜邊中線定理,掌握直角三角形斜邊中線定理是解題的關(guān)鍵.C【分析】過點尸作尸ELAC于點E,根據(jù)440尸的邊OA是一個定值,04邊上的高PE最大時是點尸分別與點8和點C重合,因此根據(jù)這個規(guī)律可以對各個選項作出判斷.解:A、過點P作PEL4c于點E,當點P在A8和BC邊上運動時,PE逐漸增大,到點8時最大,然后乂逐漸減小,到點C時為0,而.v=gQ4PE中,04為定值,所以y是先增大后減小,在B點時面積最大,在C點時面積最?。河^察圖②知,當點尸與點B重合時,/AOP的的面積為3,此時矩形的面積為:4x3=12,故選項A正確;B,觀察圖②知,當運動路程為7時,y的值為0,此時點尸與點C重合,所以有AB+BC=7,又ABBC=12,解得:4B=3,BC=4,或AB=4,BC=3,但AB<BC,所以AB=3,BC=4,根據(jù)四邊形A8c。為矩形,所以4尺4,故選項B正確;C、當下2.5時,即x<3,點P在邊AB上由勾股定理,矩形的時角線為5,則OA=2.5,所以OA=AP,△AO尸是等腰三角形,但AABC是三邊分別為3,4,5的直角三角形,故/BAC不可能為60。,從而AAOP不是等邊三角形,故選項C錯誤;D、當點P在AB和8c邊上運動時,點P與點8重合時最大面積為3,此時x的值為3;當點尸在邊CO和D4上運動時,PE逐漸增大,到點。時最大,然后又逐漸減小,到點4時為0,而V=:OA?PE也是先增大再減小,在。點時面積最大,在A點時面枳最??;所以當點P與點D電合時,最大面積為3,此時點P運動的路程為AB+BC+CD=\0,即410,所以當m3或10時,zUOP的面積為3,故選項D正確.故選:C.【點撥】本題是動點問題的函數(shù)圖象,考查了函數(shù)的圖象、圖形的面積、矩形的性質(zhì)、解方程等知識,關(guān)鍵是確定點P到AC的距離的變化規(guī)律,從而可確定y的變化規(guī)律,同時善于從函數(shù)圖象中抓住有用的信息,獲得問題的突破口.B【分析】先連接A0,取其中點E,連接DE、8E,根據(jù)點E為線段ACA。的中點求出DE的長,翻蠢斜中線定理求出BE的長,當當8、。、E三點在同一條H線上.時,BD值最大,求出結(jié)果即可.解:如下圖所示,連接40,取其中點E,連接OE、BE,;點D、E為線段AC、A。的中點,DE=-OC=192又TABLr軸于點B,AO=\lAB2+OB2=5BE=—AO=—,2 2當3、。、E三點在同一條直線上時,80值最大,57此時8O=8E+£>E=l+-=-:22故選:B.【點撥】本題主要考查三角形中位線定理、斜中線定理,本題解題的關(guān)鍵是在于找到兩點之間線段最短.B【分析】根據(jù)長方形的性質(zhì)得到/8AE=NOCE,AB=CD,再由對頂角相等可得N4EB=/CEL>,推出△AEB/ZXCE。,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論,依此可得A,C,D正確;無法判N<r斷NA8E和/C8D是否相等.解:...四邊形A8CO為長方形,:.NBAE=NDCE,AB=CD,???折疊AZC=ZDCE,CD=Cto:.ZBAE=ZDC'E,AB=CD在△4£8和4C'EZ)中,ZBAE=ZDC'E<ZAEB=ZCED,AB=CD:.AAEB^AC'ED(A4S),:.BE=DE,...△E8。為等腰三角形,二折疊后得到的圖形是軸對稱圖形,無法判斷NA8E和NC8D是否相等.故其中正確的是A,C,D.故選B【點撥】此題考查圖形的翻折變換,解題關(guān)鍵在于應注意折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,根據(jù)軸對稱的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變.C【分析】BM交EF于P,如圖,根據(jù)折疊的性質(zhì)得/BNM=/A=90。,N2=N3,EF〃AD,AE=BE,則可判斷EP為ABAM的中位線,利用平行線的性質(zhì)得N1=NNBC,根據(jù)斜邊上的中線性質(zhì)得PN=PB=PM,所以N1=N2,從而得到NNBC=N2=N3,然后利用NNBC+N2+N3=90??傻玫絅NBC的度數(shù).解:BM交EF于P,如圖,B C:.ZA=ZABC=90°,??折疊紙片,使點A落在E尸上,并使折痕經(jīng)過點B,得到折痕同時得到線段BN,:.^BNM=ZA=90°,/2=N3,??對折矩形紙片AB8,使A。和8c重合,得到折痕ERJ.EF//AD,AE=BE,為△BAM的中位線,Z\=NNBC,?.P點為的中點,:.PN=PB=PM,.?.Z1=Z2,;.NNBC=N2=N3,VZ/VBC+Z2+Z3=90°,:.NNBC=30。.故選C.【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì):折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應邊和對應角相等.也考查了矩形的性質(zhì).B【分析】由折疊的性質(zhì)得到一對角相等,再由矩形對邊平行得到一對內(nèi)錯角相等,等量代換及等角對等邊得到BE=OE,利用AAS得到三角形OED與三角形BEA全等,由全等三角形對應邊相等得到DE=AE,過D作DF垂直于OE,利用勾股定理及面積法求出DF與OF的長,即可確定出D坐標.解:由折疊得:ZCBO=ZDBO,:矩形ABCO,/.BC/7OA,二NCBO=/BOA,.,.ZDBO=ZBOA,;.BE=OE,在AODE和ABAE中,^D=ZBAO=90°<ZOED=ZBEAOE=BE/.△ODE^ABAE(AAS),/.AE=DE,設DE=AE=x,則有OE=BE=8-x,在RsODE中,根據(jù)勾股定理得:42+x2=(8-x)2解得:x=3,即OE=5,DE=3,過D作DF_LOA,VSAOED=OD?DE=yOE?DF,.nc_12512.'.點。的縱坐標為-《=-2.4,故選:B.【點撥】此題考查了翻折變化(折疊問題),坐標與圖形變換,以及矩形的性質(zhì),熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.A【分析】利用翻折不變性可得AE=AB=IO,推出0E=8,EC=2,設=EF=x,在RtAEFC中,x2=22+(6-x)2,可得工二號,設£>H=GH=y,在Rtz\EG〃中,y2+42=(8-y)2,可得y=3,由此即可解決問題.解:???四邊形488是矩形,..ZC=ZD=90°,AB=CD=\O,AD=BC=6,山翻折不變性可知:AB=AE=10,AD=AG=6tBF=EF,DH=HG,:,EG=4,在RtZ\A£)E中,DE=Jae2-AD2=J102-6?=8,/.EC=IO-8=2,設BF=EF=x,在RtZXEFC中有;x2=22+(6-x)2,10x=—,3設OH=GH=y,在RtZXEG”中,/+42=(8-y)2,:.EH=5,EH5 3~EF一邊-5,3故選:A.【點撥】本題考查矩形的性質(zhì),翻折變換,勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題,屬于中考??碱}型.B【分析】過點D作DGLBC于點G,過點尸作尸”J_8C于點H,當OFJ■尸”時,。尸取得最小值,據(jù)此求解即可.解:過點。作OGLBC于點G,過點尸作于點H,如圖:?:BD=DE,EF=FC,:.BG=GE,EH=HC,當OF,尸〃時,OF取得最小值,此時,四邊形OGHF為矩形,:.DF=GH=-BE+-EC=-BC=2.2 2 2故選:B.【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),矩形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題.B【分析】根據(jù)三角形斜邊中線的性質(zhì)求得CN=;A8=屈,CM=gDE=3,||產(chǎn)C、M、N在同-直線上時,MN取最小值,即可求得MN的最小值.解:MBC中,ZC=90°,AC=10,BC=8,AB=>JAC2+BC2=2屈,"DE=6,點M、N分別是£>E、AB的中點,;.CN2AB=a,CM=LdE=3,2 2當C、M.N在同一直線上時,MN取最小值,.〔MN的最小值為:"7-3,故選:B.【點撥】本題考查/直角三角形斜邊中線的性質(zhì),勾股定理的應用等,明確C、M.N在同?直線上時,MN取最小值是解題的關(guān)鍵.C【分析】首先由5mB 岫2m,得出動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線/上,作A關(guān)于直線/的對稱點E,連接AE,連接8E,則BE的長就是所求的最短距離.然后在直角三角形ABE中,由勾股定理求得8E的值,即F4+P8的最小值.解:設AABP中A3邊上的高是〃.

=§3觸形.CD,-ABh=-ABAD,2 3:.h=-AD=2,3???動點尸在與AB平行且與A8的距離是2的宜線/上,如圖,作A關(guān)丁?直線/的對稱點E,連接AE,連接8E,則8E的長就是所求的最短距離.在RtAABE中,-.-AB=5,AE=2+2=4,..BE=\lAB'+AE2=6+4?=向,即FA+P8的最小值為"L故選:C.【點撥】本題考查了軸時稱一最短路線問題,三角形的面積,矩形的性質(zhì),勾股定理,兩點之間線段最短的性質(zhì).得出動點尸所在的位置是解題的關(guān)鍵.B【分析】①根據(jù)折疊的性質(zhì)得出AE=BE,AB=BN,ZNEB=90°,再根據(jù)含30度的直角三角形判定定理即可得出/ENB=30°,即可得出N4BN=60。:②根據(jù)折疊的性質(zhì)得出NABM=NN8M=30。,設AM=x,根據(jù)勾股定理即可求出AM的值;③直接根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得出;④根據(jù)NABM=30。,得出NM8G=N8AM=60。,再根據(jù)折疊的性質(zhì)和等量代換即可得出△8GM是等邊三角形;⑤根據(jù)點H是BN的中點即矩形的性質(zhì)得出結(jié)合題意得出PE=P",再根據(jù)三點共線時值最小及勾股定理即可判斷.解:由折疊可知,AE=BE,AB=BN,ZNEB=90°,在RtABEN中,■:BN=AB=2BE,

;?NENB=30。,:?NABN=60。,故①正確;由折疊可知,NABM=NNBM=30°,設AM=x,則BM=2x,/+22=(2x)2,Vx>0,解得:x=空,3即AM=2叵,故②錯誤;3VZABG=90°,:.AB1.CG,故③正確;,:ZABM=30°,:./M8G=N8MA=60°,由折疊可知,ZBMG=ZBMA=60°,:.ZMBG=NBMG=ZMGB=60°,...△8GM是等邊三角形,故④正確,連接PE.:點H是BN的中點,:"BH=BE=l,':NMBH=Z.MBE,:.E、”關(guān)于對稱,:.PE=PH,:.PH+PN=PE+PN,:.E,P、N共線時,PH+PN的值最小,EN=6=F=G,故⑤正確,故選為B.【點撥】本題考查翻折變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形中30度角的判斷、軸對稱最短問題等知識,解題的美鍵是靈活運用所學知識解決問題,屬于中考填空題中的壓軸題.D【分析】過點8作BG_Lx軸于G,過點C作軸于H,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到點C的坐標,求出NCOE=45。,0C=4應,過點C作CELx軸于E,過點。作。nLx軸于尸,由旋轉(zhuǎn)得ZCOG=75°,求出/。0戶=30。,利用勾股定理求出0凡即可得到答案.:.AD=BC,AB=CD,AD//BC,ZCDA=ZDAB=90°,,NHCD=NADO=NBAG,■:ACHD=ZBGA=90°,:.4CHD^4AGB(AAS),???A(1,O),0(0,2),8(5,2),:.CH=AG=5-\=4,DH=BG=2,:.OH=2+2=4,:.C(4,4),:.OE=CE=4,ZCO£=45°,OC=4五,如圖,過點C作CEJ_x軸于E,過點。作C/F,x軸于尸,由旋轉(zhuǎn)得NCOC/=75。,:./CQF=30。,.?.。尸=3℃尸3℃=20,OF=Jocj-CF=2娓,.?.點C的坐標為(2#,-2&卜故選:D.的【點撥】此題考查了矩形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理,直角三角形30度角的性質(zhì),熟記各知識點并綜合應用是解題的關(guān)鍵.A【分析】根據(jù)題意畫出aAOB繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)120。得到的aAOB,,連接O£>,OD',過O作軸,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到120。,根據(jù)AD=B£)=OD=2,得到NAO3度數(shù),進而求出度數(shù)為30°,在直角三角形。例。中求出OM與的長,即可確定出D'的坐標.解:根據(jù)題意畫出aAOB繞著。點順時針旋轉(zhuǎn)120。得到的aA。夕,連接。£>,OD',過。作,軸,:.ZDOD'=\20°,?.?。為斜邊AB的中點,.".AD=OD—^-AB—2,...NBAO=NOOA=30。,:.ZMOD'=30°,在RtAOM。'中,OD'=OD=2,om=ou--mo-=>/3.則D的對應點。的坐標為(1,-73),故選:A.【點撥】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì),30度角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì),勾股定理,正確掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到對應的旋轉(zhuǎn)圖形進行解答是解題的關(guān)鍵.A【分析】過點尸作交的延長線于點,,則NF44=90。,△AGO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到aAEF,得/放Q=60。,AF=AD=2,又由四邊形ABCC是矩形,ZBAD=90°,得到Z£4/7=30°,在RfAAF”中,F(xiàn)H=^AF^\,由勾股定理得AH=Jaf?_尸”2=6,得到BH=AH+AB=26,再由勾股定理得BFEfH^+BH2=仇2+(2回解:如圖,過點尸作尸”,區(qū)4交84的延長線于點,,則N/7M=90。,H A B':^AGD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到“EFAZMD=60°,AF^AD^2,,/四邊形A8CC是矩形ZBAD=90°:.ZBAF=ZFAD+ZBAD=\50°:./以H=180°-/8A產(chǎn)=30°在放△?!"/中,F(xiàn)H=^AF=]由勾股定理得AH=yjAFW的坐標為[,不)-FH2=>/3W的坐標為[,不)在RfABFH中,FH=\,BH=AH+AB=26由勾股定理得BF=yjFH2+BH2=Jr+(2G)2=V13故8尸的長行.故選:A【點撥】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn),矩形的性質(zhì),含30度角的直角三角形的性質(zhì),勾股定理等知識,解決此題的關(guān)鍵在于作出正確的輔助線.B【分析】當A'D的延長線恰好經(jīng)過點C時,CA'IOD,即可求出4的坐標,再求出。《的解析式即可;解:當4。的延長線恰好經(jīng)過點C時,CA'±OD過A'作E4'_LOC于E0(0,0),A(0,3),C(5,0)OA=3,OC=5由旋轉(zhuǎn)可得:。4'=。4=3CA'=-JoC 1 12???]x3x4= 1 12???]x3x4=;E4&5,解得 ?/.OE=\/OA'2-EA'2= =IQIOSn..r=-OA!CA!=-EA!OC△LZA<_ 2 24.?.0A'的解析式為y=;x?.?矩形owe二。點縱坐標與A一致為3???。在04上二。點坐標為(’3)故選:B.【點撥】本題主要考杏「旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理,求出A的坐標是解題的關(guān)鍵.-3【分析】先由BALx軸,軸得到四邊形0A8C是矩形,然后由矩形的性質(zhì)可得直線/過矩形OA8c的中心點,再由點8和點。的坐標求得中心點的坐標,最后將中心點的坐標代入直線/的解析式求得",的值.解:軸,BC,),軸,,四邊形OA8C是矩形,???直線/將四邊形0ABe分為面積相等的兩部分,,直線/過矩形04BC的中心點,;點B(3,3),點0(0,0),TOC\o"1-5"\h\z3 3...矩形。48c的中心點為(:,:),(中點坐標公式)23 3 3將中心點(不,―)代入得,—/n-2w=-,2 2 2Aw=-3,故答案為:3.【點撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征和矩形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是通過直線/平分四邊形0A8C的面積得到直線,經(jīng)過矩形O45C的中心點.(0,2.4)##(0,—)【分析】過。作OELAC于E,根據(jù)矩形的性質(zhì)和8的坐標求出0c=A8=5,OA=BC=12,NCOA=90。,求出根據(jù)勾股定理求出0A=AE=12,AC=13,在RtADEC中,根據(jù)勾股定理得出。E2+EC2=C02,求出O£),即可得出答案.解:過。作OELAC于E,X.四邊形4BCO是矩形,B(12,5),:.OC=AB=5,OA=BC=12,NCOA=90。,平分NOAC,:.OD=DE,由勾股定理得:042=4》-。6,AE2=AD2-DE2,:.OA=AE=\2,由勾股定理得:AC=yj52+]22=13>在用ZSOEC中,DE^EC^CD2,即OD2+(13-12)2=(5-OD)2,解得:OD=2.4,所以。的坐標為(0,2.4),故答案為:(0,2.4).【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì),角平分線性質(zhì),勾股定理的應用,能根據(jù)勾股定理得出關(guān)于。。的方程是解此題的關(guān)鍵.(-3,4)或(8,4)或(3,4)【分析】當以O,O,尸,。為頂點的四邊形是邊長為5的菱形時,有二種情況,分PD=OD=5,點尸住.點。的左側(cè);OP=OD=5;尸。=。。=5,點尸在點。的右側(cè),結(jié)合矩形的性質(zhì)和勾股定理可求得點Q的坐標.解:有三種情況:(1)如答圖①所示,叨=。。=5,點尸在點。的左側(cè).過點P作軸于點E,則PE=4.在RSPDE中,由勾股定理得:DE=JP?-PE2=后-干=3,二OE=OD-DE=5-3=2,,此時點P坐標為(2,4),此時0(-3,4);過點尸作尸軸丁點E,則PE=4.在RfAPOE中,由勾股定理得:OE=JOP2-PE2=>/52-42=3.:.OE=OD-DE=5-3=2,此時點P坐標為(3,4),此時2(8,4):stE②fOP=OD)(3)如答圖③所示,包>=。。=5,用P在點。的右側(cè).過點P作PE_Lx軸于點E,則PE=4.在中,由勾股定理得:DE=yjOP2-PE2=>/52-42=3>:.OE=OD+DE=5+3=8,此時點點坐標為(8,4),此時2(3,4);

yy③(PD=OD)綜上所述,點Q的坐標為(-3,4)或(8,4)或(3,4);故答案為(-3,4)或(8,4)或(3,4).【點撥】此題主要考查了矩形的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)及勾股定理,使用分類討論的思想是解題關(guān)鍵.加【分析】過點E作EF_L。。,過點尸作機,OC,并延長NF交A8延長線于點M,設MF=ON=x,根據(jù)三角形全等得到EM=/W=6-x,則尸(x,6-x),求出直線。。解析式,代入點尸(蒼6-幻求出x,即可求解.解:過點E作比過點尸作F7VLOC,并延長NF交AB延長線于點如下圖:則ZEFOuN/WOuQO0,:.NOFN+NEFM=90。,ZO/W+ZFO7V=90°:.NFON=ZEFM在矩形OABC中,AB//OC,OA=BC=&OC=AB=3ZA7=N/WO=90°四邊形BCNM為矩形BM=CNAMN=BC=6,CD//MN,BM=CN:.AM=ON,/ZDOE=45°???△EFO為等腰宜角三角形,EF=OF:.△FON^/^EFM:.MF=ONtEM=FN設MF=ON=x,則£71/=硒=6—x,F(x,6-x)設宜線0。解析式為y=H2由題意可知以3,2),代入y=丘得,3k=2,解得2=2又?.,點尸(蒼6-方)在直線0。上,/.6-x=-x1Q 1Q 1O解得X=一,B|JAM=ON=—,FN=EM=—5 5 5AE=AM-EM^-5.,.點E坐標為你6)故答案為弓,6)【點撥】此題考查了矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正比例函數(shù)的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意,作出合適的輔助線,利用有關(guān)性質(zhì)求解.30°##30度【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出A£>〃BC,根據(jù)平行線性質(zhì)得出N8FE=NOEF,根據(jù)折疊性質(zhì)得出ZD'EF=ZD£F=75°BPnJ.解:;四邊形ABC。為矩形,J.AD//BC,:.NBFE=NDEF,':NBDE=75°,:./DEF=75。,四邊形EDCF沿E尸折疊得到四邊形ED'C'F,:.ND'EF=NDEF=75°,:.ZAED'=180°-ND'EF-NDEF=180o-75°-75o=30°.故答案為:30°.【點撥】本題考查矩形性質(zhì),平行線性質(zhì),折疊性質(zhì),掌握矩形性質(zhì),平行線性質(zhì),折疊性質(zhì)是解題關(guān)鍵.4或2所【分析】△CE尸是直角三角形時,有兩種情況:當點尸落在矩形內(nèi)部時,利用勾股定理求出AC,利用折疊性質(zhì)得出當△CEF是直角三角形時,只能得到/EFC=90。,推出點A,F,C共線,則CF=AC-AF;當點尸落在矩形的邊上時,ABE尸為正方形,利用勾股定理計算CF.解:分兩種情況,(1)當點尸落在矩形內(nèi)部時,如下圖所示,連接AC,在RtA48c中,AB=6,BC=8,:.AC=4ABr+BC2=V62+82=10>???將△ABE沿AE折疊,使點B落在點尸處,.-.ZAFE=ZB=90°,當△C£F是直角三角形時,只能得到N£FC=90。,.??點A,F,C共線,即點8落在對角線AC上的點尸處,:.EB=EF,AF=AB=6,CF=AC-AF=10-6=4;(2)當點尸落在矩形的A£>邊上時,如下圖所示,由題意,ZB=ZBAF=ZAFE=90°,AB=AF,.1ABE廠為正方形,.-.EB=AB=6,CE=BC-BE=8-6=2,:.CF=yjEF2+CE2=>/62+22=2M,綜上,CF的長為4或2加,故答案為:4或2>/10.【點撥】本題考查折疊問題、矩形性質(zhì)、勾股定理等知識點,熟練掌握折疊的性質(zhì)一折疊前后兩圖形全等,即對應線段相等、對應角相等,注意分情況討論是解題的關(guān)鍵.門302【分析】過點尸作AO的垂線,交AD于M,交BC于N,求出AM長,再根據(jù)勾股定理列出方程求解即可.解:過點尸作4。的垂線,交于M,交BC于N,由翻折可知,AB=AF=3,BE=EF,△A。尸的面積為5,:.-AD.FM=-,2 2':AD=5,:.FM=\,?*"AM=>JAF2-FM2=2&>*NABN=NBAN=NAMN=90。,.四邊形AMN8是矩形,?AM=BN=2a,NBNM=90°,AB=MN=3,:.FN=MN-FM=2,:.BE2=(2yf2-BE)2+229解得,BE=逑,2故答案為:逑.2【點撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì),勾股定理,解題關(guān)鍵是根據(jù)面積求出線段長,利用勾股定理列方程.24.2夜-2或空二或2【分析】主要分三種情況進行討論:①當線段4F的延長線AG經(jīng)過BC的中點時,②當線段AF的延長線經(jīng)過AO的中點時,③當線段AF的延長線AG經(jīng)過CO的中點時,進行一一求解即可.解:分三種情況討論,①當線段A尸的延長線AG經(jīng)過8c的中點時,如圖1,此時BG=CG=2,圖1由折疊的性質(zhì)可得:AF^AB=2,NAFE=NB=90。,中,AB=BG=2,:.AG=2也,NAG8=45。,:?FG==AG—AF=2y/i—2,EF—FG,

BE=EF=FG=2V2-2;②當線段AF的延長線經(jīng)過4。的中點時,如圖2,、X\X、、X\、\X b圖2由折疊的性質(zhì)可得:AF=A8=2,ZAFE=ZB^90°,二四邊形ABE廠是正方形,:.BE=AF=2,圖3此時BE=CE=2,3,此時OG=CG=1,③當線段AF的延長線AG圖3此時BE=CE=2,3,此時OG=CG=1,由折疊的性質(zhì)可得:AF=AB=2,ZAFE=ZB=90°,?.,RfAAQG中,AD=4,DG=l,AG=>JAD2+DG2=V42+l2=V17>FG=AG-AF=>/17-2,設8E=x,則EF=x,CE=4-x,EG2=EF2+FG2,EG2=EC2+CG2,:.ef2+fg2=ec2+cg2,.,.(Vi7-2)2+x2=12+(4-x)\解得;x=姮二1,

n/17-1??H匕= ,2故答案為:2啦-2或空匚或2.【點撥】本題考查了翻折變換,矩形的性質(zhì),勾股定理,熟練掌握翻折變換的性質(zhì)是解決本即的關(guān)鍵.-2【分析】根據(jù)題意可知,本題考查的是“兩定一動”問題,求線段和最小,即“將軍飲馬”問題,以此進行解題即可.解:如圖所示,作交8c于,,作A8,CO的中點M、N,連接MN,作。點關(guān)于MN的對稱點?.?尸為E尸的中點,點的運動軌跡在線段MN上,.?.PE+PQ最小時,尸與2點幣:合,;.BH=AE=3,DC=EH=2,???0為AE的中點,3,QE=Q]H=-9工在R/aEHQ]中,QXE=^EH2+Q.H2=5即尸E+PQ最小值為:5故答案為:~.【點撥】本題主要考查的是“將軍飲馬問題,從幾何問題中提取對應模型,并進行解題是本題的關(guān)鍵.4【分析】根據(jù)對稱性得到AB^AM=6,在△ACM中根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得CM>AC-AM.所以當A,M,C三點共線時,CM最短,求解即可.解:連接AM,AC,如圖所示:4 DBp C?.,點B和M關(guān)于AP對稱,?\AB=AM=6,在△ACU中根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得:CM>AC-AM,...當A,M,C三點共線時,CM最短,???在矩形A8c。中,AC=y[^~^=iQ,:.CM^AC-AM^\O-6=4,故答案為:4.【點撥】本題考查動點最值問題,解題過程涉及到對稱性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、矩形性質(zhì)、勾股定理等知識點,解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定CM的取值范圍.4【分析】因為所不論如何運動,EF的中點始終在矩形的對角線的交點上,所以當EF_LBC時,即,E、尸分別是AO、8c的中點時,CP取得最小值,此時?與尸重合,即可求解.解:???動點E、F分別從點A、C同時出發(fā),以相同的速度分別沿A。、CB向終點。、8移動,:.AE=CF.?.E尸不論如何運動,EF的中點始終在矩形的對角線的交點上,...當E尸,8c時,即,E、尸分別是A。、8c的中點時,CF取得最小值,此時?于重合,:.CP=-BC=42故答案為:4【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì),弄清題意找到P的位置是解題的關(guān)鍵.8+46【分析】將APDC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60。,得到△CPC,連接PP',CP',EC'.由作圖可知,△PDP',△OCC都是等邊三角形,推出 由CP=P'C',推出+PP'+P'C,根據(jù)ES+P9+P9+PC2EC,可得結(jié)論.解:將△POC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60。,得到△£>尸。,連接PF,CP',EC,由題意,AE=EB=EB',點夕在ab上運動,由作圖可知,APDF,△DC。都是等邊三角形,:.DP=PP',,:CP=PC',:.尸8'+尸£>+PC=PB'+PP'+P'C,":EB'+PB'+PP'+P'C>EC,如圖,連接EC,0c交于點G,:.EG=AD???NC7X7=6O。RtADGC中,NOC'G=30°,DG=-DC2GC'=ylDC2-DG2=拒DG=4g、行 r-5l.EC'=AD+—DC=\2+4>J32,+PP'+P'812+ 4,:.PB'+PP'+P'C,>S+4>/3,:.PB'+PC+PD的最小值為8+4x/3,故答案為:8+46.【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),最短路線問題,矩形的性質(zhì),兩點之間線段最短,等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線.60【分析】連接8E,過E作于”,交于M,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與判定得EHLCD,CH=CD,進而得到EM垂直平分A8,證得△ABE為等邊三角形便可.解:連接BE,過E作EH_LCD于",交A3于〃,如下圖,要使EC=ED,則EH_LCO,CH=CD,-.AB//CD,:.EFYAB,NBMH=ZAMH=NMBC=NBCH=ZADH=NMAD=90°,四邊形ADHM和四邊形BCHM都是矩形,;.BM=CH=DH=AM,.?.EM垂宜平分A8./.AE=BE,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知,AB=AE,AB=AE—BE,.?.△母是等邊三角形,.?.ZBA£=60°,故當a為60。時,EC=ED.故答案為:60.【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)與判定,關(guān)鍵是證明&0垂直平分AB.(4,0)【分析】連接08,O'B,證明田△AOB烏@△408,可得。4=(7A=2,即可求解.解:如圖,連接OB,O'B,O'由題意得。4=BC=2,OC=AB=4,由旋轉(zhuǎn)可知03=03,在Rt^AOB和Rt^AO'B中,\ab=ab:.Rt/\AOB^Rt/\AOB(HL),OA-O'A=2..?.O'坐標為(4,0),故答案為:(4.0).【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì),解題的關(guān)是證明RtAAOWRt/XAOB.業(yè)2【分析】根據(jù)題意構(gòu)造并證明AOA“三AAE”(A&4),通過全等得到KE=ADDH=HK,再結(jié)合矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),及可求解;解:如圖,延長DH交EF于點k,DBC G〃是AE的中點:.AH=HE又,:ADIIFE:.ZDAH=ZKEH,ADAH£AKEH(ASA):.KE=AD,DH=HK":EF=AB=CD=2,AD=FC=\:.DF=FK=KE=AD=1則DK=yjDF2+FK2=0:.DH=-DK=—2 2故答案為:立2【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、三角形的全等證明,掌握相關(guān)知識并結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)正確構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.30+3后4【分析】首先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出A8,進而得AD,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷^OEK的面積最大,最后根據(jù)三角形的面積公式得出答案.解:A(5,0),B(0,3),/.0A=5,OB=3.?.,四邊形AO8C是矩形,/.AC=OB=3,OA=BC=5,NO8C=NC=90°,AB=-JOA'+OB1=J25+9=取,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"/.BK=AK=-AB=—.2 2矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到,AD=AO=5,如圖,E'當點。在84的延長線上時,△OEK的面積最大,M^:ffi^R=-xD,E'xKD'=-x3x(5+—)= .2 2 2 4故答案為:30+3后.4【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì),勾股定理,旋轉(zhuǎn)變換等,確定三角形的最大面積是解題的關(guān)鍵..見

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