2016考研最后3小時(shí)直播點(diǎn)題數(shù)學(xué)主講網(wǎng)絡(luò)課堂電子系列

考2016考研數(shù)學(xué)最后三小時(shí)配套講義考 授課教師：張 第一部分可能考哪些定理和公式的證 第二部分重點(diǎn)題預(yù) 14、數(shù)一................................................................................................................. 第一部 可能考哪些定理和公式的證1、敘述并證明函數(shù)極限的局部保號(hào)性定如果limf(x)AA0A0那么存在常數(shù)0，使得當(dāng)0

x

時(shí)f(x0（或??(??)證：就A0的情形證明因?yàn)閘imf(xA0所以取A0，則?δ>0，當(dāng)0|????0|<?? 有|??(??)???|<?????(??)>?????=??> 類似地可以證明A02、敘述并證明函數(shù)極限的局部有界性定如果limf(x)A??>0和??>0，使得當(dāng)0<|?????0|<??|??(??)|≤證：因?yàn)閘im

(x)A=100

x

時(shí)，有f(x)A

f(x)

f(x)AAAMA13、證明有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮0證：設(shè)函數(shù)ux0的某一去心鄰域Ux0,1內(nèi)是有界的，即M0使u00對(duì)一切xUx0,1成立。又設(shè)是當(dāng)xx0時(shí)的無(wú)窮小，即0,200xUx0,20M0取min1,2，則當(dāng)xUx00uM及M同時(shí)成立，從而uuMM這就證明了是當(dāng)xx0時(shí)的無(wú)窮小。4、敘述并證明數(shù)列的準(zhǔn)準(zhǔn)則 如果數(shù)列{xn}，{yn}，{zn}滿足下列條nnN，當(dāng)nnn時(shí)，有：ynxnlimyna，limzn 那么數(shù)列{xn}的極限存在，且limxnaynazna，所以根據(jù)數(shù)列極限的定義0存在正整N1nN1ynaN2，當(dāng)nN2zna，現(xiàn)在取NmaxnnN1N2，則當(dāng)nN時(shí)，有yna，zna

ayna，azna同時(shí)成立，又因當(dāng)nN時(shí)，xn介于yn和zn之間aynxnzna xna成立。這就證明了limxa5、證

n與是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件o證：必要性設(shè) ， limlim1lim10 因此o，即o。充分性設(shè)o，則 ao oa lim 因此 7、判別極值的第一和第二充分條件（見命題人8套卷18講8、敘述并證明羅爾定羅爾定理：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)在開區(qū)間a,bf(a)f(b)，那么在a,b內(nèi)至少有一點(diǎn)ab，使得f0。證：由于f(x)在閉區(qū)間ab值定理，f(x在閉區(qū)間ab上必定取得它的最大值M和最小值m。這樣，只Mm，這時(shí)f(x在閉區(qū)間ab上必然取相同的數(shù)值Mf(x)Mxa,b，有fx0。因此，任取a,bf0Mm，因?yàn)閒(a)f(b)，所以M和m這兩數(shù)中至少有一個(gè)不等于f(x)在區(qū)間ab的端點(diǎn)處的函數(shù)值，為確定起見，不妨設(shè)Mf(a)(如果設(shè)mf(a)，證法完全類似)，那么必定在開區(qū)間a,b內(nèi)有一點(diǎn)使f()M，xa,b，有f(x)f()，從而由費(fèi)馬引理可知f0。定理證9、敘述并證明柯西中值定理（見沖刺班，輔助函數(shù)做法三步曲10、敘述并證明牛頓——萊布尼茨公如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間abbaf(x)d F( bxF(x是連續(xù)函數(shù)f(x的一個(gè)原函數(shù)，x(x)af也是f(x)F(x(x)在ab上必定是某一個(gè)常數(shù)C即F(x)(x)C(axb)在上式中令xaF(a(aC(a0F(aCxaf(t)dtF(xF(axbx先補(bǔ)充如下定義z

f(x,y在點(diǎn)(x,y的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)在點(diǎn)(x,yxf(xx,yy)f(x,zAxByAB不依賴于xyxy

((x)2zf(x,y)在點(diǎn)(x,y可微AxBy稱為函zf(x,y)在點(diǎn)(x,y的全微分，記作dz，即dzAxBy定理1（必要條件）如果函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)(xyzzzf(x,y在點(diǎn)(x,yxdzzxz 證：設(shè)函數(shù)zf(xyP(xyP的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意P(xxyy)，(2)式總成立，特別當(dāng)y0時(shí)(2)式也應(yīng)成立，這時(shí)x，所以(2f(xx,y)f(x,y)Axo(x上式兩邊各除以x，再x0limf(xx,y)f(x,y)A 從而偏導(dǎo)數(shù)z存在，且等于A.同樣可證zB.所以(3 定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0)處有極值，則 fx(x0,y0)0,f(x,y) 證不妨設(shè)zf(xy在點(diǎn)(x0y0(x0,y0)的某鄰域內(nèi)異于(x0,y0)的點(diǎn)(x,y)f(x,y)f(x0,y0yy0xx0f(x,y0)f(x0,y0這表明一元函數(shù)f(x,y0在xx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)013、證明一階線性型微分方程的通解公若P(x和Q(x是連續(xù)函數(shù)，證明微分方程yP(xyQ(x的通解 yeP(x)dxCQ(x)eP(x)dx 14、證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是其部分和數(shù)列有界（僅數(shù)學(xué)一三u1u2

un

是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)（un0，它的部分和為sn.顯然，數(shù)列sn是一個(gè)單調(diào)s1s2

sn 如果數(shù)列sn有界，即sn總不大于某一常數(shù)M，根據(jù)單調(diào)有界的數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)(1)必收斂于和s，且snsM.反之，如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)收斂于和s，即和limsss列sn有界。因此，得證。15、敘述并證明冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的阿貝爾定理（僅數(shù)學(xué)一三1(阿貝爾(Abel)定理)如果級(jí)數(shù)axnxx(x0) 式x

xx使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。反之，如果級(jí)數(shù)axnxx xx0x證：先設(shè)x0是冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),則級(jí)數(shù)naax+ax2n 1 2

+axn于是存在一個(gè)常數(shù)M

limaxnnn

an

(n0,1, a

a

axn

n0x0xx n nx0 因?yàn)楫?dāng)x

x0時(shí)，等比級(jí)數(shù)Mx x

收斂(公比

也就是級(jí)數(shù)anxnxx0x1適x1x0xx0時(shí)應(yīng)收斂，這與16、敘述并證明格林公式（僅數(shù)學(xué)一這個(gè)方向行走時(shí),D內(nèi)在他近處的那一部分他的左邊。例如，D是L及l(fā)11-8DL的正向是逆時(shí)針方向，而l的正向是順時(shí)針方向。QPdxdy yD

LPdx兩點(diǎn)，即區(qū)域D既是X型又是Y型的情形。DXD又是YFGAELx(y， 2EBCFL'：x2D又是Y

2y)，則D可表D(x,y)1(y)x2(y),cyD11-9D(xy1(xy2(xaxb因?yàn)镻 (x) dydxD baP[x,2(x)]P[x,1 LPdxLPdxBCPdxLPdxGA L L a b P[x, P[x,2 baP[x,1(x)]P[x,2

Pdxdy

L

DD(xy1yx2ycyd (yQdxdyd2( (yD dcQ[2(y),y]Q[1(y), LQdyLQdy

L

示的區(qū)域D，完全類似地可證(1)成立。再考慮一般情形。如果閉區(qū)域D不滿足以上條件，那么可以在D內(nèi)引進(jìn)一條11-11DL為MNPM，引進(jìn)一條輔助線ABCDD1、D2、D3三部分。應(yīng)用公式(1)于每個(gè)Q-Pdxdy y 11

P dxdy

22

P dxdy

3D 3

D

LPdx第二部 重點(diǎn)題預(yù)1x2y2設(shè)r 0，函數(shù)uf(r)在(0,)內(nèi)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且f(r)在r0足夠小的x2y22 2

2

z2=lnr，求f(r【解】由復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)公式，中間變量是一元rf x2 r2 f(r)

f r

f(r) f

22

f(r)y2f(r)z2

ff

r2y2r2z2f(rf(r2lnr將f(r)看成f(r)。上述方程可看成f(r)的一階線性微分方程，f(r)

lnrdr lnrdrC(1(1 r2lnrdrC1r lnr C1r rlnrr rf(r)1r2lnr5r2C1 由條件f(r在r0的足夠小的去心鄰域內(nèi)有界，所以C10f(r1r2lnr5r2C，其中C 21ln1設(shè)f(x)在區(qū)間(,)內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)x(1x)0時(shí)f(x)1ln1xf(0)f(1)(2)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極【解】(1)由題設(shè)f(x在區(qū)間(f(0) 1) 1x0ln1 x0ln(1 limxln(1x)limxln(1x0xln(1 1x 1ln1f(1ln1

x02x(1 1)xf(xx1,x0(1x)(1x)ln21xx2(1x)ln21(1x)ln21(1x)ln21令g(x)=(1xln21xx2g(0)=0g(x)=2ln1xln21x2xg(0)=0g(x)21

2ln12ln1

2 1x

(ln1xx) (1x且g(0)=0

所以當(dāng)1xx0時(shí)f(x0。又因f(xx0f(x在區(qū)間(1,內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少。此外，由f(x)的表達(dá)式 (1x)ln21xf(x) x2(1x)ln21直接可知，當(dāng)x1時(shí)，分子小于0，分母亦小于0，所以f(x)0從而可知f(x在區(qū)間(1)f(1)1f(x1F(x1

x

et2dt1(e11 F(x)在區(qū)間[1,1]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).2F(x)x(xt)et2dt1(tx)et2dt1(e1 xxet2dtxtet2dt1tet2dtx1et2dt1(e1 F(x)xet2dt+xex2xex2xex21et2dt xet2dt1et2 對(duì)第二個(gè)積分作變量替換tu F(x)xet2dt1eu2duxet2dt=2xe 所以當(dāng)0x1F'(x)0；當(dāng)1x0Fx0，所以在區(qū)間[-1,0]F(x)嚴(yán)格單調(diào)減，在區(qū)間[0,1]內(nèi)F(x)嚴(yán)格單調(diào)增。F(1)1tet2dt1et2dt1(e1 021et2dt1(e11)21etdt1(e11)35e1F(0)

tet2dt1(e1

21tet2dt1(e11)e111(e1 13e1 F(1)1et2dt1tet2dt1(e1 21et2dt1(e11)0（F(1)的計(jì)算 由連續(xù)函數(shù)介值定理知，F(xiàn)(x)在區(qū)間(1,0)與(0,1)內(nèi)各至少有一個(gè)零點(diǎn)，再由方程3x2x21 f(x3x2x21f(x3x(ln3)30f(x0，無(wú)實(shí)根，故由羅爾定理可知至f(x)0多有3個(gè)實(shí)根，故選(A).b設(shè)f(x在區(qū)間[a，bf(x)0F(xaf(xf(tdt在開區(qū)間(a,b)上b嚴(yán)格單調(diào)增加.（B)嚴(yán)格單調(diào)減少.(C)存在極大值點(diǎn).（D)存在極小值點(diǎn). F(x)af(x)f(t)dtaf(x)f(t)dt a(f(x)f(t))dtx(f(t)f

f(x)f(t)(xa)f(x)af(t)dtxf(t)dt(bx)fF(x)f(x)(xa)f(x)f(x)f(x)f(x)(bx)f(2x(ab))fF(x0x1ab(a,b,當(dāng)axxF(x)0 xxbF'(x0,所F(xF(x的極小值xx為F(x的極小 f(xcosx2x3)31(x1)在區(qū)間(上零點(diǎn)個(gè)數(shù)（2正好1個(gè) (B)正好2個(gè)(C)正好3個(gè) (D)多于3個(gè)2f( 0,f(【分析】易知f(1)0，31 7 130,f(2)12f( 0,f( 以f(x在(上至少有3個(gè)零點(diǎn).又因f(xsinx6(2x3)212f(x2cosx24(2x3),f(x)3sinx480，所以f(x在區(qū)間設(shè)函數(shù)f(x在區(qū)間(0,上可導(dǎo)，且f(x 1fF(x)1xf(u)dux 2 F(xyF(x【解】 F 1xfx

1f xF(x)1f(u)duxf(x)f(xx

f(u)du

f u(

[f(u) f( 當(dāng) 當(dāng) 時(shí) 1，從 F x[f( f 當(dāng)1x時(shí)，011，從而F'(x)1[f(u) 0f(xx1xxx又在x1處F(x)連續(xù)，所以F(x)在區(qū)間(0,)上嚴(yán)格單調(diào)增 F(x) x f() f() f() f() f()x 所以F(10，且當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)(x0，曲線yF(x為凸；當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)(x0，曲線yF(x為凹.點(diǎn)（1，0)為曲線yF(x上的唯一拐3條求函數(shù)f(xyx2y212x16yD(xy)x2y225【解

f2x12f2y160

xy 點(diǎn)(6,-8DD內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)。又閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值，因此，最大值和最小值只能在邊界x2y225上取得。在邊界x2y225上，f(x,y)2512x16y.L(xy)2512x16y(x2y2令L162y yLx2y225

y

y比較大小可知，f(xy在點(diǎn)(3,4)處有最小值f(3,4)75，在點(diǎn)(3,處有最大值f(34125在曲面S2x22y2z21P，使函數(shù)u(xyzx2y2z2P沿方向l(1,1,0)的方向?qū)?shù)為最大.22【解】l0(22

,

,0),uu 2

u

1)u0

2(x 由題意，就是求目標(biāo)函數(shù)fxy在約束條件2x22y2z21下的最大值。F(x,yz)xy(2x22y2z21),由F0,F0,F0,F0 14x0,14y0,2z0,2x22y2z21解得(x,y,z)1,1,0及(x,y, 1 , 2 在點(diǎn)M1,1,0處，u 1 ；在點(diǎn)M1 處，u2221 2+2 2222

,

2 所以在M處u f(xyxyxy，曲線Cx2y2xy3，求f(xy在曲線C上的最大方向而本題與上述兩題不一樣，本題中方向?qū)?shù)的方向向量l是已給出的，所以zx2y2x2y2x2y2xyz

x2y2zx2y2【解】求函數(shù)u 在約束條件x 4價(jià)于求函數(shù)Vx2y2z2F(x,y,z,,)x2y2z2(x2y2z)(xyz由F0,F0,F0F0,F0 2x2x 2y2y 2zx2y2z xyz4解得(1)(xy)0.若1，從而0,z1，與第4 2xy，再由第45兩式得x1y11，或x2y22。再由第5式，得(x2y2由約束條件x2y2z0及xyz40可見，(x,y,z)只能在有限范圍內(nèi)變動(dòng)，可見u x2y21212(2)2(2)21212(2)2(2)2無(wú)條設(shè)f(xy在點(diǎn)O(0,0)的某鄰域Ua12

(x,

f(xyxyax2點(diǎn)(0,0f(xy點(diǎn)(0,0是f(xy點(diǎn)(0,0)f(xy所給條件還不足以確定點(diǎn)(0,0)是否為f(xy【答案】(【分析】 f(x,y)xya（常數(shù)a1于是(x, x2 f(x,y)xy(a)(x2y2)，其 (x,f(x,y)1(x2y2)xy(x2y2)(a

02y2 1(x2y2)(a1)(x2y2)(x2y2 (a1)(x2y2)(x2y2) 于是知，存在點(diǎn)O(00)的一個(gè)去心鄰域U，當(dāng)(x,yU時(shí)f(x,y)且f(0,0) (x,

f(xy0所以是f(00)是f(xy的一個(gè)極小值。選已知u2xy1,ux2y3,u(0,01，求u(xy及u(xy 【解】由u2xy1，有u(x,y)x2xyxy再由ux2y3xy)x2y3y2y3,yy23yC，于是u(xyx2xyxy23yC.再由u(001得C1,從而u(xyx2xyxy23y.)令uu0解2xy10,得駐點(diǎn)(1 .) x2y3

u2,u1,u u2 u

2,(xy (x2

y2 0,且 所 u(,)所 4、積分比一1.(I)I1xsin9xdx02I1,2

2x

xdx,I3

x

xdx【解】

I1

xsin9xdx

20(t)sin9(

sin9tdt tsin9tdtsin9tdtI

864 所以I sin9tdt2sin9tdt

975

I1

0I3I2xsin9xdx2xsin902 0(t)sin9t(dt)2xsin9022(2x)sin9xdx0

2x)2

)sin9,(0 I3I20,即I2IIIII1II1 f(x)在[a,b](a,b)使a

f(x)dx(ba)f()sin 設(shè)I1 dx,I2 dx， 0sin（A）I21（C）1I2

（B）I2I1（D）1I10112dx0為比較I,I,1的大小.只要比較sinx ,2的大小.由于當(dāng)x0時(shí)1 sinxxsin 1sinx.所以只要比較當(dāng)0x時(shí)sinx2sin (x)sinx2,x(0,

)0,(x)xcosxsinxcosx(xtanx)22所以與0x時(shí)(x022

1

cos sin設(shè)常數(shù)0,積分I12 dx,I22 dx，試比較I1與I2的大小，01

01【解】I1I2 (cosxsin01 cosxsin cosx 1

dx4

1 cosxsin 0sinxcos dx

1

41 24

01 12

當(dāng)0x時(shí)，x，從 ，且cosxsinx 1 1(2I1I2

cos sin2 dx2 dx01二

01D(xyx1)2y1)22I1(xy)dDI2ln(1x 確的 D（A）8I1（C）I1I2

（B）I18（D）I28D的面積為(2)22可將8化成84d。由于當(dāng)(xyDDxyln(1xy0， 4d(xy)dln(1x 5、求旋轉(zhuǎn)yax2x0,常數(shù)a0)與曲線y1x2A，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)OAyax2DDx軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積V(aa為何值時(shí)，V(a1【解】ya2與y1x2的交點(diǎn)為A( ,11

)，直線OA的方程為1y 1旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)

a2x2a2x4)dx2 a 1a 5 15 2

15

22a1a2a21

(4aa2

1 151 當(dāng)a0時(shí)，得V(a)的唯一駐點(diǎn)a4.當(dāng)0a4時(shí)，V(a)0，當(dāng)a時(shí)，V(a0，故a4為V(ax2y21(ab0)的第一象限上的點(diǎn) (,【解】由x2y21有2x2yy .在橢圓上點(diǎn)

(,

A

yb2(x220)B(0b三角形OAB繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 2 b a 2 V x 2 a 3橢圓x2y2與兩坐標(biāo)軸正向圍成的圖形 為

a

x x V20ydxb0(1a2)dx a2b42ab

V23 221 由于V為常數(shù)，所以求V的最小值，只要求V的最小值或2 F(,,)a2b2 2 F220,F2 2 1F221

33

2,2

33 min

a 由于駐點(diǎn)唯一，且Vmin必存在，所以當(dāng)(*)式成立時(shí)，(**)式即為Vmin6、積分 12dy eydx 2 y 1(e2 1

2 1 2【分析】dy eydx dxdyey2y y 221 x 22 dy dxdx dyex2 y 0 1 1 1 0dyyedx0e(1y)dy0edy0ye1ey2dy1(e 所以原式1(e2設(shè)Dx,y0x ,0y ，計(jì)算二重積分sin(maxx2,Dsin(maxx2,y2)dsinx2dsiny2d2sin 2dxxsinx2dy2xsin 0 0 sinxdxcos (11)03.（Ⅰ）Dxy0x2,0y2，求二重積分x2y2D（Ⅱ）設(shè)f(xyDf(xy)df(xy)(x2y2)d20，證明：存在點(diǎn), 4 使f(,)1D1x,y0yx2,D2x,yx2y21,0yxD3x,y1x2y2,0yx2,有x2y21d2x2y2 2(1x2y2)d(x2y21)d 24d(1r2)dr4dcos(r21)dr 1 1 1 1 2 )4 d 4 2cos 22

4tan2dtan

2dtan

1d

0 242 16 164（Ⅱ）由f(x,y)df(xy)(x2y2)d20D

4 D34f(x,y)xy1DD

D

f(x,

x2y21Mx2y21d

M 所以M1，其中M(x,

f(xy)

f(xy)D,D，D4IxD

f,My)dxdyDxy2yx1yx1與yI D1D2

(x

y

(xyD2x,y0x1,0yxDx,y1x2,x1y2 xI D1D2

(xy 2(xy)dxdy(xy)dxdy(x

2

(xy)dy (xy)dydxx(x 211(1x2)dx13x22x1dx2(322x3x23

0

2

1 【注】在將D分割成2(D1D2D3時(shí)，不要將D1D2并成一個(gè)區(qū)域D。因?yàn)镈上0x1，但x1yx1，所以不能隨意去掉y的絕對(duì)值符號(hào)。7、級(jí)數(shù)收f(shuō)(x在(0,1f(x級(jí)數(shù) [f(f n【證 1 1)f()(11)f( f(n

f n n nn(n f( f n 其中f(x)M，所以f1f(1絕對(duì)收斂 nnf(xx3anx1，其中n是正整數(shù)a1n證明：方程fn(x0有唯一正根rn(Ⅱ）若Srr r，證明Slim

存在，且1

S

n

a a4

a【證】(I)f(01,f(10,f(x3x2an00r1（唯一 n (Ⅱ）

1 a

rnrS1a又

1(1r3)

(11)

因 S

r n

a a48、展開與xx將函數(shù)f(x) 展開成(xxx【解】令ux2xu2，f(x

x

lnu2記為(u，u(u) u

uu

12(1u

11 (1)n

)nun

12 2

n0 u2u2

1且

1，即

1 n

1

n

(u)(0)u

1uduln2

1

n1 即

1

f(x)ln2

n1

1(x ,1x設(shè)a4(tannxtann2x)dxn1,2,...,求冪級(jí)數(shù)naxn的收斂半徑、收斂0 0

n【解】由

4(tannxtann2x)dx4sec2xtannxdx4tannxdtan n

tann1x40

1n nanxn

xn

n1nnn (n n

n1n(nS(x) nS(x)n

,xS(x) nn n' nxS

n

n1 nxn' '

xnxn1dx)

xn

x

)'

1 (10(1 xS(x)0x 0(1

x,1xS(x)

S(x)ln(1x)x

1

,xS(0)F(x)f(x則

ln(1x) 1,xS(x) 1 ,xF(x)F(0)xf0F(x)xf0求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

(1)n12n【解】取S(x)

n1 2n

2n1

S(為和函數(shù)S(x)在收斂域[1,1]的端點(diǎn)處的值，求和過(guò)程中要用到逐項(xiàng)求導(dǎo)，S(x)

,x2n' (1)n1x2n1 (1)n1x' S(x) 2n n1 2n (1)n1x2n2(x2 ,xS(x)S( x

d

1(x2 10arct 01t(1)n1 從而知 S(1) n12n 9對(duì)于任意給定的正數(shù)0N時(shí)，當(dāng)nN2anA2對(duì)于任意給定的正數(shù)0N時(shí)，當(dāng)n2NanA2對(duì)于任意給定的正數(shù)0N時(shí)，當(dāng)nNanA2對(duì)于任意給定的正數(shù)0N時(shí)，當(dāng)nN2aA2 【分析】對(duì)于數(shù)列極限limaA，寫法一般為n0,N0，當(dāng)nNanA這里，anA大小的尺度，只需要滿足任意小的正數(shù)即可，而不必拘泥于表達(dá)形式，（A）中的2（B）中的2，（D）2，均可在0任意小，但（C）中的21不可能為任意小，故選（CnN”的（A（B（C（D）131設(shè)f(x131

f a(a0)x0是f(xx0是f(xyf(x在點(diǎn)(0,f(0yf(x在點(diǎn)(0,f(0

f 13131

f(0)f(0)1f(0)x21 13

(0)x3o(x.若f(00，則上式右邊，與題設(shè)極限等于a不符，故f(0)0步經(jīng)類似可知f(0)0，f(0)0，f(0)2a0，從而由f(0)得定義limf(xf(0)f(0)2a0， x x0的去心鄰域UxUx0時(shí)f(x00為什么不選（A）和（B）f(0)f(0)f(0)0，所f(x)ax3o(x3x0的去心鄰域，在此鄰域左、右兩側(cè)，f(x3故f(0)xf設(shè)f(xxf

xaf(xf(x

f(x)f(x)f(x可導(dǎo)，且f(a)0f(x可導(dǎo)，但對(duì)不同的f(x，f(a0【分析】由

存在知

f(x)=lim

(xa)

00ffxaxff

xa

xaxxflimf(x)0，再由f(xxa處連續(xù)，故f(xf

x

f(xf(x)f

fxf

存在（xa時(shí)，xaf(f(x)fx

xx

0,Af(x)f(x)ff(x)ff(x)ff(x)ff(x)fff(x)f xf(x)f(x)f

xx

0xxf(x)fxx

xaxf(x)fxf(x)f

x 所以所以

0f(x)fxf(xf(a)0f(x)fxxzf(x

：z

2,

1（k是正常數(shù)f(0,k1滿足關(guān)系 3 (I)求f(x,y(Ⅱ）x00,xn1f(xnyn)(n0,1,2，證明：xn收斂，并求limxn(I)【解】由z2z2xgy 而zgy2k1z2xkC，再由f(0,k1C=0 3 f(x,y)1(2x3

kx3(Ⅱ)【證】由題 1(2xk)(n0,1,...)x3 n3x3由x0及k0知x0(n0,1,2,...),故 1(2xk) （均值不等式3x3 n x1(2xk)x1(kx) 1(kx3)0(n0,1,...) x 3x 3x 因此 單調(diào)遞減有下界，故數(shù)列收斂3設(shè)limxA，得A1(2Ak)，求得A 3n 3即limx3nef(x)cosxsinxx設(shè)f(x)在x0處連續(xù)且 0，求f(0) f(x)xx0 x0f'(0ef(x)cosxsinx【解】因題設(shè)lim x0 ef(x)cosxsinxf(xln(xcosxsinx。題設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，所以

,其中l(wèi)im0f(0)limf(x)limln(xcosxsinx) limf(x)f(0)limln(xcosxsin x limln(1xcosx1sin limxcosx1sin lim(1cosxsinx)001 【注】（*）這一步不能用洛必達(dá)法則，因?yàn)椴恢朗欠窨蓪?dǎo)。（**）這一步設(shè)數(shù)列x，滿足0x1,ln(1x)exn11(n1,2,. (I)證明：當(dāng)0x1ln(1xxex1；(Ⅱ）證明：limxn存在，并且求該極限?！咀C】(I)記F(x)ln(1x)x，則F 1x0 1 1于是F1x)在（0,1）內(nèi)單調(diào)減少，由F1(0)0F1(x)0,x(0,1)，從ln(1x)F(x)xex1F(x)1ex0 22xex故ln(1xxex10x(Ⅱ）當(dāng)0x1ln(1xxex由0x11，可知0ex21ln(1x1x1從而0x21，同理可證當(dāng)0xk1xk1同樣滿足0xk11，由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)一切n12,...有0xn1，即數(shù)列xn是有界的。又當(dāng)0xn1xn1exn11ln(1xnxn，即xn單調(diào)減少。由單調(diào)有界準(zhǔn)則知limx存在，將該極限值記為a,則a0nn對(duì)ln(1x)exn11兩邊取極限，得ln(1a)ea1n設(shè)f(x)ex1ln(1x)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)ex 1

0，因此f單調(diào)增加，由f(0)0，可知f(x0，從而只有a0，即limx0xx時(shí)，(xx(x)sinxcosx (x)與(x)是同階非等價(jià)無(wú)窮小(x與(x(x是比(x(x)是比(x)低階x t (x)xxt(t)11~(x 2(x)sinxcosx 2sin(x)2

(x)可知x時(shí)，(x)與(x)同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮小，故選（A10、函數(shù)性質(zhì)與性00設(shè)f(x2G(x2xf(t)dtx2f(t)dt00【分析】因?yàn)閷?duì)任意的x G(x2) f(t)dtx2)0f(t)dt令ut222f(u2)du(x2)0f 22f(u)du20f(u)dux0f(t)dt20f G(x)22f(u)du20f(t)dt 所以G(x也是2周期G(x)2f(x)2f(t)dt0zf(xy在點(diǎn)(x0y0zf(xy(x0y0zf(xy在點(diǎn)(x0y0zf(xy在點(diǎn)(x0y0處兩個(gè)zf(xy在點(diǎn)(x0y0zf(x在點(diǎn)(x0y0zf(xy在點(diǎn)(x0y0zf(xy在點(diǎn)(x0y0【分析】二元函數(shù)的連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)之間沒有必然的聯(lián)系，設(shè)在點(diǎn)(x0,y0)某域U內(nèi)，對(duì)于任意(xyU有

xy)M（M為正常數(shù)fyff(x,y)f(x0,y0)

f(x,y)f(x,y0)

f(x,y0)f(x0,y0fy(x,y01y)yfx(x02x,y0)Mxy這里xxx0yyy001,2x2當(dāng) 0時(shí)，有xx2f(x,y)f(x0,y0)Mxy故f(xy)在點(diǎn)(x0y011、物理應(yīng)用（數(shù)一、數(shù)二邊形，即平板的圖形由雙曲線4x2y24，直線y1與y1圍成(長(zhǎng)度單設(shè)水位下降，如果在時(shí)刻t水面位于yh(t)處，且水面勻速下降速率1Fg111g1

1y24y2(1y)dyg

4y21g

4y22ln(y 4y22g52ln 5 yh(th21 yh21 y24

(hy)dyghh2

y2dygh 11y4

hFhgh

4y2dy由題意知 0.01，當(dāng)水面下降至平板的中位線時(shí)，h=0,代入上式F0.01g52ln 5 2 x軸上區(qū)間[aamy軸上點(diǎn)(0,a處質(zhì)量為m0的質(zhì)點(diǎn)的引力為 【分析】對(duì)于任意x,xdxa,a，將此小區(qū)間看作質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量元素為dmmdx，對(duì)應(yīng)的引力元素為dFkm0dmmdx，其中k 由對(duì)稱性可知，其 軸上的分力被對(duì)稱于原點(diǎn)的小區(qū)間上分力所抵消，

dFar

3dx2(x2a2

3dxkm

(x2a2

2dxxatan

4aay2(x2a2

0

設(shè)一長(zhǎng)度為1的非均勻細(xì)直桿，其上一點(diǎn)x0,1(x(0)0,(1)1,當(dāng)u(xyz

)【解】(I)u(xyz),uxyz,uxyzxyz2xu x由已知等式得3xyz0xyzt，即3t(t(t)3ddt3(tC(1)1得C 32 由 3 ,(x) 3

C13即(x)3x32

1 (Ⅱ)對(duì)原點(diǎn)的靜距I013x3dx ，細(xì)棒質(zhì)量M

x3dx 5x1659 12、幾何

0 0 設(shè)yy(x)是由方程x2 yxet2dt確定，則曲線yy(x)上x0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處0曲率半徑R 22x2yxet2dtx00yet2dty0 程兩邊對(duì)x求導(dǎo)2xe(yx)2(yx0y0y(0)1x2e(yx)2[y2y(

1y2312以x0,y0，y(0)1代入，得y(0)1y23122率半徑R 2求一條凹曲線，已知其上任一點(diǎn)處的曲率k 2y2

，其中cos0，并設(shè)該曲線在點(diǎn)(3,2)41y23【解】由曲率計(jì)算公式以及曲線凹向可知y1y231 因?yàn)閏os 1

1

2y2y(

(1y2) 2y2此 型方程，令pdy,d2ydpdypdp于是上述微分方程化 f(y,y dx dy 2y2pdp(1p2)2 (1p2

21兩邊積分， y(p21)Cy(p21由于曲線在點(diǎn)（3,2）處切線傾角為y(3)2,y(3)14224C1,C10于是有yp21,y y1(因y在y2時(shí)為1，故“±”取“+”)y再分離變量yyy(3)2，得C2y

xx14y1x12,x極坐標(biāo)曲線1(1)在13上一段弧長(zhǎng) 【答案】21ln2x 1 cos y, sin 2 s3(dx)2(dy)2d d d3 1 1 1 1 1 1 1 1 12

1cos2212sin2 sin2212cos2d

1

1

1

( )2d 3 12

21 13、數(shù)三t一階線性差分方程2yt18yt5tet的通解y t【答案】C(4)t t2e

2e

)et,C【分析】先解一階線性齊次差分方程2yt18yt02r80,特征根r所以對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為YtC(4)tC為任意常數(shù).y*(Att于是

(A(t1)B)et1(Aete(A2(Aete(AB))et8(AtB)et2Ae8A 2e(AB)所以A ,B ,通解yYy*，即為所填2e 2e p1182Q1,p212Q2，其中p1和p2分別表示該商品在兩個(gè)市場(chǎng)的價(jià)格(單位:該企業(yè)生產(chǎn)這種商品的總成本函數(shù)是C2Q5，其中Q表示該商品在兩個(gè)市場(chǎng)的總銷售量，即QQ1Q2。LRCp1Q1p2Q2(2Q 2Q2Q216Q

1610解得Q14,Q25p110（萬(wàn)元/噸p27（萬(wàn)元/噸L24252164105552（萬(wàn)元p1p22Q1Q2F(Q,Q,)2Q2Q216Q10Q5(2QQ 令

16210F22Q

6解得Q15,Q24,2p1p28（萬(wàn)元/噸L25242165104549（萬(wàn)元14、數(shù)x2y2z2a2a0LxyzxyzaL積 y2dxz2dyL3a2da2323da，原點(diǎn)OLx2y2z2a2的半徑a，所以平面x3a2da2323r xyzaLAr22a2313（Ⅱ）L是SL的方應(yīng)S的法向量記為n0，由題設(shè)cos0，所以13n0(cos,cos,cos)

SLy2dxz2dyx2dz(2z,2x,2y)S2323233 (xyz)dS adS aA 42323233 zf(xy在點(diǎn)O(0,0)的某鄰域內(nèi)有定義，向量eie

與z

若z

中至少有一個(gè)不存在，則x

都不存在，則x

xe

e

中至少一個(gè)不存在，則x

z

x2y2

yxdxyx32lx6yxdxyx32lx6

xyxydxx22lx4

yxyxdxyx32lx6xydxx22lx4【分析】按照通常記號(hào)，4曲線lPdxQdy，無(wú)論（A（B（CQP當(dāng)(xy0, 因此，當(dāng)封閉曲線l不環(huán)繞點(diǎn)O(0,0)時(shí)，均有l(wèi)0，所以不選(A)與(C)，當(dāng)封閉曲線l環(huán)繞O(0,0)時(shí)，其積分值與具體l無(wú)關(guān)，不妨取l：xcost,ysint,t從0到2π，于是，對(duì)于（B），原積分=2(sin4tcos2tsin2tcos4 cos6tsin62sin2tcos2tdt00cos6tsin6原積分=2(sin3tcostcos3tsint)dt2costsin cos4tsin4 0cos4tsin4

sintcostdt奇函數(shù)0，(Dcos4tsin4設(shè)1,0,1)T,1,1,1)T,(11,1)T 3,0,1)T2,0,0)T0,2,2)TR3的兩組基，若向量在基 下的坐標(biāo)為（1,2,0，則在基1,2,3下的坐標(biāo)（A（1,3,3） （（-（C（- （D（-【分析】設(shè)在1,2,3的坐標(biāo)為(x1,x2x3，由題設(shè)可(,,

) ) 0 3(,,2 3(,,2 23x(,,x(,,

2 3 x 0 10 3 故在基1,2,3下的坐標(biāo)為（1,3,3。應(yīng)選將函數(shù)f(xx20x展開成余弦級(jí)數(shù)，并求

1f(xf(xx2x，則a2x2dx22 2

4an0xcosnxdx

,(nbn0,n1, 故S(x)

4(1)n2cosnx(x)n3n3xf(0)f( (n1)212

S

4(133

1,(1,若曲線積分I 3eax(cosydxsinxdy)與路徑無(wú)關(guān)，a為常數(shù)，(0,43（A）a,I（C）a,I

(e(1e

（B）a,I（D）a,I

(e(1ePeaxcosy,QeaxsinyPeaxsinyQaeaxsin 由PQ可得a 1,

1

(11,1 I

43ex(cosydxsinydy) (0,3

cos

4(0,3

1)故選答案1已知曲面S:x2y2z21(0z1)上任一點(diǎn)處的密度為 1無(wú)關(guān)，所以有xy1MdS1 1 1 x2y22 22(x2y2)xy 1 xy 1 1x2y2 0d1d1(x2y2 11(x2y2 1 222(x2y2)xy 1 xy 1 1x2y2

d

221d2 2z ，即質(zhì)心坐標(biāo)為(0,0,) 1 Iz(x2y2)dS(x2y21 1 1 x2y2x 2y22(x2y2)x2y21x 11x2y2

d

23d 15、向n階矩陣A、B乘積可交換，1r、1r分別是方程組Ax0 Bx0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，且對(duì)于n階矩陣C、D，滿足r(CADB)（Ⅰ）證明rAn且、 B

【證】（Ⅰ）因?yàn)閚r(CADBrCDArAn，所以rA B B BrAn知方程組Ax0Ax0Bx0 B

B分別 Ax0與Bx0的基礎(chǔ)解系，于 （Ⅱ）ABi0,i1,22r,ABBAABi0,i1,2r1，故 1r、1r是方程組AB)x0的rr 的基礎(chǔ)解系中至多nnr1r2)r1 有個(gè)解向量，從而1，，r、1，，r為ABx設(shè)A為n階正定矩陣，

為n維非零列向量，且滿足 TA10iji;j 12n，試證：向量組 【證】設(shè)有數(shù) ，kn，使 knn

，n 在上式兩邊左乘TA1，由TA10(ij;i,j1,2 kTA10(i 因A為正定矩陣，則A1也為正定矩陣

1,2,.且0，故TA10，于是，k0(i1,2n，所以向量組，

設(shè)向量組（i）2,4,2T,1,a3,1T,2,8b1T (ii)2,b5,2T,3,7,a4T,1,2b4,1T 記A1,2,3,B123問(wèn)（Ⅰ）ab為何值時(shí)，A等價(jià)于B，ab為何值時(shí)，A和B不等（Ⅱ）a,b為何值時(shí)，向量組（i）等價(jià)于（ii，a,b為何值時(shí)，向量組（i23 a b723 a b71231AB,1231

,, 2 2b1400

b1 a 1 23 a b12(b b a 當(dāng)a1,b1r(Ar(B3,ABa1或b1r(Ar(B2,A（II）(iiiA1,2,3Xi;123Yi,i12,3i)，r(ii)ri)，r(ii)r(iii),i1,2,3r(i)

a1,b1r(ir(ii)=r(iii)=(i)iia=1,b1r(ir(ii)=r(iii)=2(i)ii（i（i【注】為方便計(jì)算，A,B合并，一起作初等行變換，若A化為階梯形時(shí)B的秩不能直觀得出，則需將A,B16、相AB,C3AB=-2B,CAT 0 0

1 C 2 1 （Ⅰ）求A（Ⅱ）證明：對(duì)任何3維向量,A100與必線性相【解】由題設(shè)條件①AB2BB按列分塊，設(shè)B123，則有A1232123Ai2i,i12,3，故i,(i1,2,3)A的2對(duì)應(yīng)的特征向量，又12線性無(wú)關(guān)，31212A的屬于2的線性無(wú)關(guān)特征向量②CAT=2C兩邊轉(zhuǎn)置得ACT=2CTCTCT,,，則有A,,2,,A2,i12,3.i1 A的屬于2的特征向量.因1,2,3互成比例，故1A的屬于2的線性取P12,1，則P可逆P1AP

其中P

1 P1

1P

1

2 1 0

1

1 1 1

8

1

1 1 5

5 8

8 1 0 1

EP1

3

P1=1 所 8

81 1

1 5 1 1 1 5 8 1 1 1

1 6 124 4 A2,(i1,2)A10021002100(i A2，故 對(duì)任意的3維向量，因1,2,1線性無(wú)關(guān)，可由1,2,1線性表出，且表示法設(shè)1122+31A100=A10+）A100A100+1 2 3 =21002100+2100=2100+=2100 1 2 3得證A100與成比例，A100與線性相關(guān).ABnA2AB2Br(Ar(B，證ABA2AA010、的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)分別為nr(0EA與nr(1EA2A0A(AE0，則r(Ar(AEnA的線性無(wú)關(guān)特nr(0EA)nr(1E)2nr()r(E)A2值，即A、B相似于同一對(duì)角陣，故A、B必相似。k[2,1,0]Tk[2,0,1]T[1,2,2]T，其中kkAA100 A

b

192 P1AP,APP1,其 1

4P ,

,9

9

4 2 5 99 1 0

故(1)A100

2

1,2,2 ...1,2,29

41 2 59 9

4

2 2

法二由方程組的通解直接求出系數(shù)矩陣A33因?qū)?yīng)齊次方程組Ax0有通解為kkk[2,1,0]Tk[20,1]T，故rA1 2 可設(shè)方程組為ax1bx2cx3將,代入，則有2ab0,，得c2a,b2a 2aca(x12x22x3)

k1(x12x22x3)k(x2x2x) k(x2x2x) 將特解1,2,2]T代入得k1,k2,k

2 再求A100（見法一1A0A1000A0A1000A9A100 A100[,,0 29 4 0設(shè)矩陣B 0,矩陣A~B則秩r(AE)r(A3E) 2 2 00000000000000000000B的特征值為10,22,343.A~BAB有相A23432特征向量.由此可知，r(3EAn2422即rA3E2.又因?yàn)?不是矩陣A的特征值，故知EA0。所以,rEA4rAE4r(AERA3E426.17、方ABX 2 a a 2a6 a a a4 問(wèn)aAXBBXaAXBBX【解】由題設(shè)條件，矩陣方程ABXAB

1 a a 2a6 a a a4 a2 XB(AB)XB(AB)(X1,X2,X3)(1,2,3)(AB)Xii,i1,對(duì)增廣矩陣[(AB)B][(A

011122101112212113aaaa12 212 2 a a 1a a

2

a a a a1r(AB2r(ABB3,矩陣方程無(wú)a1r(AB3r(ABB)3,矩陣方程有唯一 2(a1),2a1a其中AB)X有解

1a1 a, (AB)X有解1,

1 2(a1),1a1aAB)X有解

1a1 a, 1 112(a1) a1 a1a 故解得X 2a

1a1 aa a

a1a 設(shè)

1=1

A=B其中是=2

2

=001 0

8

2B2的所有矩陣

1 A=T=2 1

0= 2 1BT= 02=2 又由A2TT=（T）T=2AA48A，代入原方程16AC8AC16C8(A2E)C E3Cxxx x1x2x1x22 x1

2x22x3)*(0,0,1)2C* 00

（k為任意常數(shù)2 21

k1 2 211 12 1n axax11 12 1n axax axb21 22 2n

amnxn有解的充分必要條件是齊次線性方程組11 21 m1ayay11 21 m1ayay y12 22

m2amnym ym必須滿足方程組

b1y1b2y2

Aa xxxx)T,yy,y,...,y)Tbb,bb)Tij ：Ax：bTy如果方程組（Ⅰ）AxbbTxTy是方程組（Ⅱ）ATy0bTy(xTAT) 所以，方程組（Ⅱ）y滿足方程組（AT（Ⅳ）: y ATr(AT)r bTAT由此可見，矩陣 的最后一行bT可由AT的n個(gè)行向量線性表示，不妨bTTA,,...,AT

xxx TnxTxT...xT1 2 n

x11x22...xnnAxb，因此，方程組（Ⅰ）、二 .設(shè)矩陣A ，已知A的一個(gè)特征值為 1 2 求矩陣P，使APTAP【解（Ⅰ）矩陣A的特征多項(xiàng)式EA

A的特征值3 100A0000210 2000001005

APTAPPT

A2

XTA2Xx2x25x25x28x 3x2x25(x4x)2 3 5 5y1yx yx