數(shù)學物理方法復習提綱

復變函數(shù)論復變函：若在復數(shù)平面上存在一個點，對中的每一z，按照一定的規(guī)律，有一個或多個復數(shù)與相對應則說在點E上定義了一個復變函數(shù)記作：w點E叫函數(shù)的定義域令：wu，并iy代入，則有：xu

初等復函數(shù)：指數(shù)函：e

z

xiy

x

iy

x

(cosy三角函：

coszeizeiz,,cosz1）因2)z所具實周22為無界函數(shù)。31

z)212

12s(z)so1212

cos12

szco1雙曲線數(shù)：shz

11shzeez，chzze，thz22chz對數(shù)函：wuivLnzlnziArgz冪函數(shù)ze

e

Argz

（為復常數(shù)）一般指函數(shù)：

e

e

zln

e

（為復常數(shù)）復變函的導數(shù)：設(shè)w是在區(qū)上定義的單值函數(shù)，對的某點如果極限z0

wz

limz0

z

存在，則稱函數(shù)在z處導，此極限叫作函w在z處的導數(shù)，表示為:limz0

wz

limz0

zdz

f復變函可導的充要件：復變函w導的充要條件是偏導數(shù)第1頁

共頁y)x,)x)x)，，，存在、連續(xù)，并且滿足柯西-黎曼條件，即：yxy)x,)x)，解析函全純函，正則數(shù))：如果函數(shù)(z)在點及其鄰域內(nèi)處處可導，那么稱f()0在z點解析如果()區(qū)域內(nèi)每一點都解析那么稱z)E內(nèi)解析或稱z)E0內(nèi)的一個解析函數(shù)。注：f(z)在某點z解在該點可該點連該點有極限0區(qū)域解析區(qū)域可導，即解析函數(shù)是函數(shù)在一個區(qū)域上的性質(zhì)，而不是在一些孤立點上的性質(zhì)。解析函數(shù)在定義域內(nèi)的和、差、積、商（分母不為零）仍然為解析函數(shù).●設(shè)給定二元調(diào)和函u()作為解析函數(shù)fz)iv的實部由柯西-黎曼條件可求出相應的虛部，進而確定這個解析函數(shù)。設(shè)二元函v(y)的全微式為：

dxdy考慮柯西-黎曼條件可得：dvv(y)三種計算方：

dxdy（1）曲線分法：微分的線積分與路徑無關(guān)，可選取特殊路徑積分，使積分容易求出（2）湊全分顯式：（3）不定分法

dxdy成全微分的顯式，求(xy)。例題已知解析函數(shù)f()實ux,)

2

y

2

，求虛部和這個解析函數(shù)容易驗u(xy)y為調(diào)和函數(shù)：

x,yx,y0由柯西-黎曼條件可得：

x),y)y

x),y)x所以有

dxdy2ydxxdy(1)曲線積分法：第頁

共頁

(,y)

(圖取如圖1示的積分路徑，可求出積分v

(,0)(xy)()2xdyxdy(0,0)

(x(x其C為積分常數(shù)。(2)湊全微分顯式法：所以有;xy

dxdyxdy)(3)不定積分法：

x,)

x

，

x)

2y把視為參數(shù)，

x,)

xy積分可得v)xy)v2

()偏導數(shù)vy與

x)

2y比較可得0)所以v

))可得v所以有：f(z)x,)iv,y)

2

y

2

)(2)

2

iC可把

z,y代入上式求出2i復變函積分:復變函數(shù)的分歸為兩個變函的曲線分：

f(z)dz

[u(,y)(xy)](dx)

(,y)dx(x,)

v(,y),)llll若曲l由參數(shù)方程xt)，(t)t給出2則dzdxidy

dtx

dtiy

dt，可得積分的計算公式第頁

共頁tttttt

fz)

[x)(,y)](idy)

t

{u[x(t),y(t)]iv[t),t)]}

dtl

lt

{u[x(t),y(t)][t),t)]}[x

iy

dtt

{u[x(t),y(t)]x

(t),t)]

{[x(),y()]

[x(),y()]y

)}t高階導公式

t設(shè)f(z在區(qū)域E是解析的，在閉區(qū)E上是連續(xù)的l為的邊界，對于區(qū)域E內(nèi)的任一點z，)可以求導任意多次，階導數(shù)可表示為：f

(n)

(

!f(i2l()n

上式可看作在柯西公式f()

fi2l

對求n導，其中等式右邊在積分號內(nèi)對f

關(guān)于

n

次導。冪級數(shù)

c(z)n0

n

(z)c(z)0100

n

n其中：系和固定點z都是復常數(shù)是一個復變量nc冪級數(shù)斂半徑的比判別法達朗貝爾判法：Rc冪級數(shù)斂半徑的根判別法柯西判別法Rlimcnn奇點法級數(shù)中到最近奇點的距離即為收斂圓的半徑0收斂圓0泰勒級：理：函數(shù)()區(qū)域上是解析的為區(qū)域E內(nèi)任一點，在區(qū)內(nèi)的0C:中，)可以展開為泰勒級數(shù)：0f(z)(z)nnn

n

1!

f()(z)()00

n泰勒級數(shù)的收斂半徑z到區(qū)域E的邊界的最短距離0將函數(shù)開為泰勒級的方法1．接計算數(shù)cn

1n!

f

(n)

()：題.z為中心，將f(z)0

z

展開為泰勒級數(shù)。第頁

共頁000000解：f(z)

z

的各階導數(shù)為f

()

()

z

cn

1f(nz0)n!

z

z

1n!所以e

zz!

nn!n2.換元法：例題.試分別以z及為中心將函數(shù)(z)0并指出其收斂半徑.

zz

展開成Taylor級數(shù)，解：利用級數(shù)z

，z展開(z)zz以z中心，則有：f(z)(nzz)n

zf()的奇點是，從中0到z的距離為，所以收斂半R。03.在收斂圓內(nèi)逐項求導(求分法例題以中心，將函數(shù)fz)0

1(1)

2

展開為Taylor級數(shù)解：已zn，，等式左邊對z求導，右邊對逐項求導可得：11()nzn(1(1n

n

，洛朗定：函數(shù)()環(huán)形區(qū)內(nèi)解析則)可在環(huán)形區(qū)域內(nèi)任一點10

展開為羅朗級數(shù)，其形式為：(z

c

(z)n

nn其中展開系數(shù)為：

cn

1i2

l

f)0

n

d積分路l為環(huán)形區(qū)域內(nèi)繞z的任一簡單閉合曲線。0羅朗級數(shù)中(z()稱為展開式的正則部分，(z)12

c(z)n0

n

稱為主要部n

n分。羅級數(shù)f(z)

c

n

()0

n

在環(huán)形域z內(nèi)絕對一致收n羅朗級展開方法舉z例題將函數(shù)f()在z中心的環(huán)形區(qū)0z展開為羅朗級數(shù)。z第頁

共頁ez1解：f()zz2

nz!nn

n!zzn在上式中，再l寫n可得：()z2(n2)!例題已知函數(shù)(z

1z2

，以為中心將函數(shù)f(z)開成羅朗級數(shù)0解：已知f()

z

2

111z2z上式中的第二項

12z

有一個奇點，所以在z為圓心的圓周z內(nèi)，0

12z

可以展開為泰勒級數(shù)

11z4

z(n()z)n

111所以有：fz)(z2z2zn

n

2

1n

(0z孤立奇若函數(shù)fz)在不可導無定義)，而在的任意小鄰域內(nèi)除外處處可00導，則稱點是)的一個孤立奇點。0孤立奇的分類及其定(1)可去奇：極limf()存在，則稱z為fz)的可去奇點。0zz(2)極點零點：不恒為零的解析函數(shù)()如果能表示成f(z0

)其為正整數(shù))在z點解析，0

(z)0，那么z為f()階零點。0零點判定理：果函數(shù)(z)在點解析，那么為f(z階零0(f)00

(

)0

)0例如：z為f(zz

3

的一階零點極點：如果函數(shù)f(z其孤立奇點鄰域內(nèi)的羅朗級數(shù)中的主要部分為有限項0f()

c()n

cm(z)m()m

(z)(z)()則稱為函數(shù)()階極點。上式也可表示為(z)0第頁共頁

(z)()0

，其中n010n010()

c

c

m

(

)

z

)

m

c(z

)

對于(z)，()0且z鄰域內(nèi)的解析函數(shù)0(3)本奇點：函數(shù)()其孤立奇點鄰域內(nèi)的羅朗級數(shù)中的主要部分有無限項0留數(shù)概：若點z是函數(shù)f(z)的一個孤立奇點，函數(shù)f()環(huán)形區(qū)域內(nèi)解析，則在此0環(huán)形區(qū)域內(nèi)，f(z)可展開成羅朗級數(shù)f(z)

c(z)n

n

()0

c(z)0

(z)010

1

(z)n0

n

n羅朗級數(shù)(

c()0

(z)0

項的系數(shù)

1i2

f()dz

叫作函數(shù)f(z)在點0的留數(shù)（殘數(shù)，Re[fzz]。0留數(shù)定：設(shè)函數(shù)f()在簡單閉合曲所圍區(qū)域E內(nèi)除有限個孤立奇點z,,外處12處解析，在閉區(qū)域E上z,z,外連續(xù)，則有1

f(z)dz2

k

Re[(),]k其中沿曲C的積分方向為逆時針方向。留數(shù)的算(1)若為f(z)的可去奇點為中心的羅朗級數(shù)中不含負冪次項，則s[f),]000(2).若點z為z)的一階極點s[f(zz])f(z)]00z若函數(shù)z)可以表示為fz)

()(

的特殊形式，其中函數(shù)P()(z)都在點解析，點0z(z)的一階零點（)0Pz，z必為f(00

()(

的一階極點，則有公式Re[(z),z]lim[()f(z)]lim[0z

()()]0()(z))00z0(3).若z為z)的m階極點，則函數(shù)(z)環(huán)形區(qū)域內(nèi)的羅朗級數(shù)展開式0為：(z)

c(z)m(z)0

m

c()(z)0可容易得到計算f(z)在點z的留數(shù)的公式：0第頁

共頁llili00llili001dms[f(),]lim[()mf(z)](zdz(4).若z為z)的本性奇點，求留數(shù)采用羅朗級數(shù)展開法或直接計算圍道積分。0●復數(shù)形式的傅里葉級數(shù)：

S(x)

i

，ck

l

fxe

dx，對于復數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，盡管f)是變函數(shù)，但其傅立葉系卻可能是復數(shù)。k容易證明：在區(qū)[l]上的函數(shù){

i

:0,}有如下性質(zhì)：

kel

(e

i

ml

)dx

kel

e

ml

dx

02l

kmkm數(shù)：如果一個函數(shù)x上滿足下列條件：(1)

x()xx

0(2)

(a,都，都x)(x)a)這樣的函

()稱函數(shù)。0數(shù)等價的泛定義：若對于任意一個定義(的連續(xù)函數(shù)f)總有：fx)

()fx)dx數(shù)方分離變法解題的一步驟(1)代入試探u(x,t)X(xT(t)將偏微分方程的定解問題通過分離變量轉(zhuǎn)化方程的定解問題。

為常微分(2)依據(jù)齊次邊界條件，確定本征本征函數(shù)X()。n(3)求解關(guān)于Tt)的常微分方程的通解T(t)，把得到的通解與本征函數(shù)相乘得到本征解n(x,t)(xT(t)，這時本征x,t中還包含著任意常數(shù)。nnn(4)利用疊加原理，求出定解問題的u(t)(,t)。nn(5)應用本征函數(shù)的正交性以及初始條件確定任意常數(shù)。第頁

共頁l2lnC2kll2lnC2kl例題：細桿的導熱題，桿為l，兩保持為氏零度，初溫度分為：u

t

xl)l

。解：本題的定解問題為：a2xt0)xt)(t)(txl)(t),)t應用分離變量法，x,t)X(x)T()，代入到泛定方程和邊界條件可得：①

X)X0,(l0②

TT()0①式的本征n

(

nl

),(n

n)，本征解X(xAxnn)l②式的解為T()Bnn則本題的本征解u(x,t)X(x)Tt)nnnn

l

)t

sin

l

x其中待定常AB。n本題的(x,t)表示為本征(x,t)的線性疊加：nx,t)(x)nn

nl

)t

nl

x代入初始條件可得：

xlnu(x,0)sixl2ln展開系數(shù)為n

Cl(lsinll2l

0(2

3

(

)所以問題的解為u(,t

k

8k

3

sin

(2kl

xe

(2k

a

t用本征數(shù)展開法求非齊次程●齊次界條件和零始條件齊次定解條）下的齊次方程的解問題第頁

共頁lnnnnnnlnnnnnn例．設(shè)有如下定解問題2f(t(0xt0)(0)x)tt則用本征函數(shù)展開法求解的步驟如下：第一步.求解相應齊次邊界條件的齊次方程的本征解2t0)V0(0)xxn由分離變量法（參考例1）可得本征解(xsinx()第二步.設(shè)非齊次方程的本征解(x,t)()(t)(t)sinnn表示為本征解的線性疊加：

nl

x非齊次方程的解可(x,t)(x,)t)nn

nl

x第三步.把非齊次方程中的自由項用本征解,()lf(xt()sinnn

l

x其中展開系數(shù)f(t)由本征

nl

x正交性求出如下f(tn

2l

l0

nf(,t)sinln第四把非齊次方程的(,t)()和(xt)f()sin入到定解lln問題中的泛定方程可得：a2f(x,t)nTx2()T()sinf()sinlllln第頁

共頁ttnntttnnt考慮到本征sin

nl

x正交性，由上式可得：Tn

2

n()l

2

T(t)(t)nn同理，把非齊次方程的V(x,t)()

nl

x代入到初始條件可得：nVsinxsinx0llnnTnn則可得關(guān)Tt)定解問題：nn)T()(t)l(0)0n上式可由拉普拉斯變換來求解，所得的解如下：T()f(t)n

lltanlan

t0

fn

an)(l

)d第五步.T(t)代(x,t)n

(,t)n

T()sin

l

x得到非齊次方程的定解問題的解為：l(t[ann

0

fn

)sin

anntxll由上面的推導可知解滿足泛定方程，齊次邊界條件和零初始條件。對于齊次邊界條件和非零初始條件的非齊次方程的定解問題的求解，可由疊加定理化為齊次邊界條件和非零初始條件的齊次方程，以及齊次邊界條件和零初始條件的非齊次方程的定解問題的線性疊加。例．已知如下的次邊界件和非零初條件的齊次方程的解問題Ua2f(x,t),t0)(0)),)(0x)ttU(x(xt)()，疊加定理可得如下兩個關(guān)V(x,t)(x,)的定解問題：第頁

共頁xx2f(t(0x,t(0)x)tt2,(0xlt0)(t0)),x)tt關(guān)(x,t)(t)定解問題的線性疊加即為原來的定解問題。它們的求解可用前面介紹的特征函數(shù)展開法以及分離變量法求解。二階線常微分方程標準形為：

2(x)2

p(x)

dy(x)dx

x(x例如：勒讓德方程：

d(1)x(d2xn(2(12)

2

2

2

)y()0例如：貝塞爾方程：

2y()02二階線性常微分方程中的函數(shù)(x)，(x)和(x在某個區(qū)[b]內(nèi)為實函數(shù)，而對方程級數(shù)解法的討論需要在復數(shù)平面上進行。不失一般性，我們討論復變函(z二階線性常微分方程

2wz)2

z)

dw(

z)()0

(1)在滿足初始條件(z)，)下的級數(shù)解，其C為任意給定的復常數(shù)。00010施圖姆劉維爾(SL)本征值題施圖姆劉維爾(SL)型方程：式為

ddy[(x)])ydxdx

(x)(ax)的二階常微分方程稱為施圖姆－劉維爾(型方程，其中：()為核函數(shù)離變量過程中引入的參數(shù)。

()為權(quán)函數(shù)為分第頁

共頁a(x)dxa()a(x)dxa(x)dxa()a(x)dx注：一般的二階常微分方程)y

c()y0乘上函

()dx

就可以化成施圖姆－劉維爾(型方程：ddx

[e

(x]

[(x)]y施圖姆劉維爾(SL)本值問題：在一定的邊界條件下，求解施圖姆－劉維(SL)方程值(本征值以及相應的非零解(本征函數(shù))。如：在施圖姆－劉維爾SL)方程中：(1)取(x)

2

，()0)兩邊界b以及自然邊界條件和y為有限值，則可構(gòu)如下的勒讓德方程本征值問題

dydydy[(1)](1)xdxdxdx2dx自然邊界條件：y(有限有限(2)取(x)qx)

m1

2

)，兩邊界ab，以及自然邊界條件y(和(1)為有限值，則可構(gòu)成如下的連帶勒讓德方程本征值問題

md2ydy[(1)]))ydxdx22自然邊界條件：y(限，(1)有限(3)取p(xx()

2x

，

(x)，兩邊界a0b以及邊界條件y(0)有，y()，則可構(gòu)成如下的貝塞爾方程本征值問題

dy2ydy2[]0x0dxdxxx有限，()方程的點如果方程(的系數(shù)函數(shù)p(z)(在選定點的鄰域內(nèi)都是解析的稱0點z為方程(1)的常點。0●方程點鄰域內(nèi)的數(shù)解：定理：果()(z)在圓內(nèi)是單值解析的，則方程在這圓內(nèi)存在唯一的解析w(z滿足初始條件()，)，其C為任意給定的復常數(shù)。001既然方程(1)在常點z的鄰域R內(nèi)存在唯一的解析(z)()表示為此鄰域0第頁

共頁上的泰勒級數(shù)：(z()n0n

n

,(R)0其中系a,,a待定。012n(例如：勒讓德方程y02122其中p)

2xn，p)，則x為其常點，根據(jù)常點鄰域內(nèi)級數(shù)解的定理，121勒讓德方程在x的鄰域內(nèi)具有泰勒級數(shù)形式的解(x)akk●勒讓德方程的導出勒讓德方程來源于在球坐標系下用分離變量法求解偏微分方程。r圖如圖8-1為球坐標系的示意圖，球坐標與直角坐標的關(guān)系為：

k

。

ii

zro三維拉普拉斯方程在球坐標系下的表達式為：

111u(r2))rr2sinr2sin2

0應用分離變量法求解，u(r(r)，代入方程可得：ddd2r)R)r2rddr2sin2dr2用乘以上式可得：R

第頁

共頁1d2(r))drdsin2d

0

1112(r))sinddsin2等式左端只與r有關(guān)，右端只與有關(guān)，要使等式成立只有左右兩端都等于一個常數(shù)，令這一常數(shù)(n，則可得：

ddRdR(r)(rr(n0drdrdrd2)nnsindd12(sin)(sindd其中①式為歐拉型方程，r

t

，參考第七章例4可得其解解為：R(rr1

n

r2

n②式中等式左端只與

有關(guān)，右端只有關(guān)，由周期性條可令等式兩端都等于常

2

(m

0,1,2,)

，則可得：d20Bmsind③

d)(n2ddd)(]0sindsin2上式③稱n階連帶勒讓德方程。在③式中作變量替換，令

，有，

)(x)則可得：dddxddx1d1dy)(2)2)]sindsindxdxdx則③式n階連帶勒讓德方程可化為：dym22)]nn]0dxdx第頁

共頁nn亦即：

2)

ydy22dx1

2

]0其值為有限的解是連帶勒讓德多項式Pn

(x)。，在這種條件下(r無關(guān)，n階連帶勒讓德方程可進一步簡化為勒讓德方程：

2

ydy)(ny02dx總結(jié)：球坐標系中三維拉普拉斯方程的解為：u(r(rnArr)mnmmn

n

rn

nm

r

)Pmsinnnm●勒讓方程和自然界條件成的本征值題在球坐標系中分離變量已得勒讓德方程：

2

ydy2dy(n)nyy02dxdx212dx2勒讓德方程的解在邊界有限值的自然邊界條件勒讓德項式的微分示（羅里格斯公式P()(xn!dx

2

n勒讓德多項式為勒讓德方

2

2)x2

(n足自然邊界條件，即在兩端點x為有限值的本征解。勒讓德項式的積分示（拉拉斯積分：復變函數(shù)中解析函數(shù)的