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221112x12121221112x12121過拋物線
：
y
（
）的焦點
（
，0斜率為
（
k
）的直線
l
與拋物線
交于
A
、
B點，若(,y)、(x,y)2
，則：（1
x1
2
，
y1
2
；（2焦點弦
||xp1
12p)k22
（
為直線
l
的傾斜角（3
2AF||BF
；（4
2
。證明）于直線
l
過點
pF(2
斜率為
，故其方程為
y(x
p2
)
，聯(lián)立拋物線方程
y
2
得ky
2
2
①所以y1
2
，
12
(y)p2124（2由拋物線定義可知
|PFx1
pp，2
，所以
||x
，又因為
p1y(x)（k以x，以x(y)p22
，由①式可知
2p1yy以|ABp(1)kk2
因直l的斜角，當
90
時，
k
，代入
1|AB)k2
化簡得
|
，當
90
時，直線
l
垂直
軸，
x1
p，|AB|p2sin2
，所以
|
成立。（3
111xp|AF||BFppx(x)224
x1
2代入化簡得
12AF|BF|p
。（4由于
S
BOF
11|AF|OF22
11ppp2|AF||)|222sin
AOAO拋物線焦點弦的性質(zhì)在解題過程中有著廣泛的應用別是在解選擇題與填空題時用拋物線焦點弦的性質(zhì)可以提高解題速度。例過拋物線
yx
的焦點
F
作直線交拋物線于
A
、
B
兩點，若
2512
，|AFBF|
，則
|AF
_____________________.解析：由性質(zhì)）知
122，因為AFBF|ABAF||BFp
2512
，解方程組，由于
|AFBF|
，所以
56例2.過拋物線
y
的焦點
F
的直線交該拋物線于
、
兩點，且
AF
，則
解析：由性質(zhì)（3）
2AF|BF
，又因為
|AFBF
，代入，解得|BF
，
|AF|
，所以
例3.知過拋物線
y
的焦點
的直線交該拋物線于
A
、B
兩點若
FB
，k則該直線的斜率解析：由性質(zhì)（3知
2AF|BF|
，又因為
|AF2|BF，代入，解得
3AF|以AB性B以)22
，k2解得例4.知過拋物線
y
x的點的直線交拋物線于B兩點點O是標原點，若
|AF|，AOB的積為解析：由性質(zhì)（3知
1AF|
，代入
|AF
，求得
32
，所以
91由（2知AB1)所以)2k2
，k
即
22
，又因為
22
，所以
sin
23
，由（4）知
2
另解：由性質(zhì)（3知
1，入AF，得|BF|AF|
32
，所以
S
||
知
A
點橫坐標為拋線方程求得
A
點縱坐標為
2
，所以
AOF
1OF2
，
23S22例5.物線
y
2
x
與過焦點的直線交于A、兩，則為
解析：由（1）
x12
2
，
y1
2
，所以
112
3p4例
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