黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系

黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系數(shù)學系1302班第五組07樊萌12韓鴻林19蘭星21李鴻燕45王堃51武相伶54許小亭57楊莉1 69趙志陽

黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系黎曼積分和勒貝格積分定義的比較-x<x<??-<x-b},

0 1 11其中令M=sup{/（x）,xgAx},m=infxgAx￡Ax=|-x<x<??-<x-b},

0 1 11其中令M=sup{/（x）,xgAx},m=infxgAx￡Ax=|X-xZ+1 .|,s=（xi,i=l-x）z-1S=￡M（x-x），若有iii-1i=lfSdx=fsdxa a則稱/Q）在W上黎曼可積.<5,m,m<5,m,m分別為/Q）在石上的上界V8>0,作m=> <???y,其中卜一y0 1 n 1ii-l和下界，令￡=上y<f（x）<y},G= y加E存在，則/Q）勒貝格可積.和下界，令￡=上I i 5^0Tii=l3、一般的可測函數(shù)的積分定義為:設(shè)在可測集E上可測，若記/+Q）=max{/Q）o},-。=minL/Q）。},則有/Q）=/+。-/<）,若Jf+（x）dx,J/_Q）dx不同時為s,則/Q）在石上的積分確定且Jf（x）dx=Jf+（x）dx—Jf-（x）dx.4、簡單函數(shù)的勒貝格積分定義:設(shè)/Q）4、劃分￡,1=1,2…〃，/1）在￡上的取值為c，則/Q）=ZcX，定義/Q）的勒貝格積分為i i i iEj^i=lJf（x）dm=XcmEf/QMn<oo,則稱/Q）在石上勒貝格可積.IIi=l E5、非負可測函數(shù)的勒貝格積分定義：取￡上的非負簡單函數(shù)列/Q）,對任意的nxeEf(x)都收斂于f(x)，則f(x)在E上勒貝格可積其積分為limJf(x)dm=Jf(x'dim.nn-8E E對一般的函數(shù)由于fQ)=f+Q)-f-Q),則Jf+(xLm-Jf-G)dm二JfQLm.若左端的兩個積分值都有限時，稱f(x)在E上勒貝格可積.勒貝格積分是對黎曼積分的推廣，所以黎曼可積的函數(shù)一定勒貝格可積，但勒貝格可積的函數(shù)不一定黎曼可積.黎曼積分與勒貝格積分存在條件的比較黎曼可積的條件㈠黎曼可積的條件必要條件定義在a,b］上的f(x)黎曼可積的必要條件是f(x)在a,b］上有界.注任何黎曼可積的函數(shù)必有界，但有界函數(shù)不一定黎曼可積.㈡黎曼可積的充分必要條件1、設(shè)f(x)是定義在a,b］上的有界函數(shù)，則f(x)黎曼可積的充分必要條件為f(x)在a,b］上的黎曼上積分等于黎曼下積分.即設(shè)f(x)在a,b］上有界,T={a=x<x<…<x=b}為對J,b］的任一分割,其中令M=supf(x)xeAx},m=inff(x)xeAx[Ax=|x-x|,s=￡m(x-x),i=1S=^nM(x-x),i=1,2，…n有i=1JSdx=Jsdx.a a2、設(shè)f(x)是定義在a,b］上的有界函數(shù)，則f(x)黎曼可積的充分必要條件為y：>0,總存在某一分割T,使得￡攻Ax〈自(w=M-m).ii iiii=13、設(shè)f(x)是定義在a,b］上的有界函數(shù)，則f(x)黎曼可積的充分必要條件為20,總存在某一分割7,使得S(7)-s(T)<自成立.4、定義在a,b］上的函數(shù)f(x)黎曼可積的充分必要條件為f(x)在a,b］上的一切間斷點構(gòu)成一個零測度集.注這說明黎曼可積的函數(shù)時幾乎處處連續(xù)的.勒貝格可積條件1、設(shè)f(x)是定義在可測集E上的有界函數(shù)，則f(x)在E上勒貝格可積的充要條件為飛1>0,總存在E的某一分割D，使得EwmE〈自.iii2、設(shè)f(x)是定義在可測集E上的有界函數(shù)，則f(x)在E上勒貝格可積的充要條件為f(x)在E上勒貝格可測.3、設(shè)f(x)在a,b］上的黎曼反常積分存在，則f(x)在a,b］上勒貝格可積的充要條件為?f(x)在a,b］上的黎曼反常積分存在，且有Jf(x力m=ff(xy)dx.\a,b］ a4、設(shè)fn(x)為E上的可測函數(shù)歹U,fn(x)在E上的極限函數(shù)幾乎處處存在，且fIf(x)dx<M，則f(x)在E上勒貝格可積.nE5、設(shè)f(x)是是定義在可測集E上的連續(xù)函數(shù)，則f(x)在E上勒貝格可積的充要條件為f(x)在E上勒貝格可測.黎曼積分與勒貝格積分的性質(zhì)比較黎曼積分的性質(zhì)

1、(線性性)若f(x),g(x)是定義在a,b］上黎曼可積函數(shù)，則f(x)+g(x),f(x)—g(x),f(x)gQ)也在a,b］上黎曼可積.注ff(x)+g(x)dx=ff(x)7x+fg(x)7x,但fg(x)f(x)dxwff(xdxfg(xdx.aaaaaa2、(區(qū)域可加性)設(shè)有界函數(shù)f(x)在a,c］,c,b］上都黎曼可積，則f(x)在a,b］上也黎曼可積，且有ff(x)7x=ff(x)7x+ff(x)ix.a a c3、(單調(diào)性)若f(x),g(x)是定義在a,b］上黎曼可積，且f(x)<gQ),則ff(x)7x<fg(x)7x.aa4、(可積必絕對可積)若f(x)在a,b］上黎曼可積，則?f(x)在a,b］上也黎曼可積，且有ff(x)dx<f|f(x蟲.注其逆命題不成立.5、若f(x)在a,b］上黎曼可積，則在a,b］的任意內(nèi)閉子區(qū)間la,p］Cla,b］上也黎曼可積.且其積分值不會超過在a,b］上的積分值.6、若f(x)是a,b］上非負且連續(xù)的函數(shù)，若有ff(x)dx=0,則f(x)在a,b］上恒等于零.07、若f(x),g(x)是a,b］上的黎曼可積函數(shù)，則M=maxf(x)g(x)},m=min{f(x)g(x)}在a,b］上也黎曼可積.8、若f8、若f(x)在a,b］上黎曼可積,為在a,b］上有定義且有界，則1

f(x)也在a,b］上黎曼可積.勒貝格積分的性質(zhì)

1、(有限可加性)設(shè)fQ)是有界可測集E上的可積函數(shù),E=EK,EK等均可測且兩k=1兩互不相交，則有Jf@JfGx+JfGx+…+JfGx.E E1 % En2、對于給定的可測函數(shù)fQ),fQ)與|f(x)的可積性相同且J鼠卜J|fC%x.TOC\o"1-5"\h\zE E3、(單調(diào)性)若f(x),g(x)在E上勒貝格可積，且fQ)VgQ)幾乎處處成立，則Jf(xdx"g(xdx.E E4、f(x)是E上的非負可積函數(shù)，則f(x)在E上是幾乎處處有限的.5、fQ)是E上的非負可測函數(shù)，若f(x)在E上幾乎處處等于0,則Jf(xdx=0.6、(零測集上的積分)若mE=0,則Jf(xdx=0. E7、f(x)是E上的勒貝格可積函數(shù):f(x)>0在E上幾乎處處成立，則Jf(xdx>0.E8、設(shè)fQ)在E上可測，若存在非負函數(shù)gQ)在可測集E上勒貝格可積,|f(x)<gQ)幾乎處處成立，則fQ)在可測集E上勒貝格可積.9、fQ)在可測集E上勒貝格可積,A是E的可測子集，則f(x)在A上也勒貝格可積.且其積分值不會超過在E上的積分值.10、設(shè)10、設(shè)f(x)在E上可測，則Jf(x力x=0的充要條件是f(x)=0在E上幾乎處處成立.12、1312、13、14、E11、設(shè)f(x),g(x)均在E上勒貝格可積，則M=max{f(x)g(x)},m=min{fQ)gQ)}也在E上勒貝格可積.若f(x)與g(x)在E上幾乎處處相等，則g(x)也可積，且Jf《dx=Jg《dx.設(shè)fQ)在可測集E上勒貝格可積函數(shù)，則其不定積分是絕對連續(xù)函數(shù)設(shè)fQ)為可測集e上勒貝格可積函數(shù)，則存在絕對連續(xù)的函數(shù)gQ)，使得gQ)導

函數(shù)在E上幾乎處處等于fQ).黎曼積分與勒貝格積分相關(guān)定理的比較與黎曼積分相關(guān)的定理.若函數(shù)列fn(x)在區(qū)間i上一致收斂，且每一項都連續(xù),則其極限函數(shù)fQ)也在i上連續(xù)..(可積性)若函數(shù)列fnQ)在區(qū)間I上一致收斂，且每一項都連續(xù)，flimf(x)dx=limff(x)dx.n―8n n―8na,b］a,b］為f(x)的收斂點，且fq).(可微性)設(shè)fn(x)為定義在a,b］上的函數(shù)列，若x0e的每一項在a,b］上都有連續(xù)的導數(shù),fn《)在a,b］上一致收斂，則d—(mf(xLlimdf(x).dx4n dxnn-8 n-85.有界收斂定理設(shè)fnQ)是定義在a,b］上的黎曼可積函數(shù).⑴IfQ)<M(n=1,2…,xeL,b?n⑵f(x)是定義在a,b］上的黎曼可積函數(shù).且limf(x)=fQ).則有nn-8limff(x)dx=ff(x)7x.與勒貝格積分相關(guān)的定理1.(勒維定理)設(shè)可測集E與勒貝格積分相關(guān)的定理1.(勒維定理)設(shè)可測集E上的可測函數(shù)列f(x)滿足如下條件:n0<f1(x)<f2(x)<???,limf(x)=f(x)，則f0<f1(x)<f2nffCdx=limff(xlx.nn-8E E.(勒貝格控制收斂定理)設(shè)可測集E上的可測函數(shù)列fnQ)滿足如下條件:⑴fQ)的極限存在,limf(x)=f(x).⑵存在可積函數(shù)gQ)使得If(x)<g(x)(xeE,neN)那么f(x)可積，有nJ