全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)分類(lèi)匯編全等三角形(含解析)

匠心文檔，專(zhuān)屬精選。全等三角形一.選擇題（2016·陜西·3分）如圖，在正方形ABCD中，連結(jié)BD，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，若M、N是邊AD上的兩點(diǎn)，連結(jié)MO、NO，并分別延伸交邊BC于兩點(diǎn)M′、N′，則圖中的全等三角形共有（）A．2對(duì)B．3對(duì)C．4對(duì)D．5對(duì)【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判斷．【剖析】能夠判斷△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′由此即可對(duì)稱(chēng)結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，，∴△ABD≌△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，，∴△MDO≌△M′BO，同理可證△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，∴全等三角形一共有4對(duì)．應(yīng)選C．匠心教育文檔系列1匠心文檔，專(zhuān)屬精選。（2016·遼寧丹東·3分）如圖，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，AD與FE、BE分別交于點(diǎn)G、H，∠CBE=∠BAD．有以下結(jié)論：①FD=FE；②AH=2CD；③BC?AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．此中正確的有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【考點(diǎn)】相像三角形的判斷與性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)．【剖析】由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)得出FD=AB，證明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，證出FE=AB，延伸FD=FE，①正確；證出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性質(zhì)得出BC=2CD，BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA證明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正確；證明△ABD～△BCE，得出=，即BC?AD=AB?BE，再由等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積得出BC?AD=AE2；③正確；由F是AB的中點(diǎn)，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正確；即可得出結(jié)論．【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴FD=AB，∵∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，匠心教育文檔系列2匠心文檔，專(zhuān)屬精選。AE=BE，∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)E=AB，F(xiàn)D=FE，①正確；∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，AB=AC，∵AD⊥BC，BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），AH=BC=2CD，②正確；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD～△BCE，=，即BC?AD=AB?BE，AE2=AB?AE=AB?BE，BC?AD=AC?BE=AB?BE，∴BC?AD=AE2；③正確；F是AB的中點(diǎn)，BD=CD，∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正確；應(yīng)選：D．3.（2016·黑龍江龍東·3分）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE，BF交于點(diǎn)G，將△BCF沿BF對(duì)折，獲得△BPF，延伸FP交BA延伸線(xiàn)于點(diǎn)Q，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四邊形ECFG=2S△BGE．匠心教育文檔系列3匠心文檔，專(zhuān)屬精選。A．4B．3C．2D．1【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【剖析】第一證明△ABE≌△BCF，再利用角的關(guān)系求得∠BGE=90°，即可獲得①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF對(duì)折，獲得△BPF，利用角的關(guān)系求出QF=QB，解出BP，QB，依據(jù)正弦的定義即可求解；依據(jù)AA可證△BGE與△BCF相像，進(jìn)一步獲得相像比，再根據(jù)相像三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，CF=BE，在△ABE和△BCF中，，Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正確；又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故②正確；依據(jù)題意得，F(xiàn)P=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），則PB=2k在Rt△BPQ中，設(shè)QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，匠心教育文檔系列4匠心文檔，專(zhuān)屬精選。∴x=，∴sin=∠BQP==，故③正確；∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，BE=BC，BF=BC，∴BE：BF=1：，∴△BGE的面積：△BCF的面積=1：5，∴S四邊形ECFG=4S△BGE，故④錯(cuò)誤．應(yīng)選：B．4．（2016·湖北荊門(mén)·3分）如圖，在矩形ABCD中（AD＞AB），點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且DE=DA，AF⊥DE，垂足為點(diǎn)F，在以下結(jié)論中，不必定正確的選項(xiàng)是（）A．△AFD≌△DCEB．AF=ADC．AB=AFD．BE=AD﹣DF【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判斷．【剖析】先依據(jù)已知條件判斷判斷△AFD≌△DCE（AAS），再依據(jù)矩形的對(duì)邊相等，以及全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行判斷即可．【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正確；（B）∵∠ADF不必定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不必定等于AD的一半，故（B）錯(cuò)誤；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正確；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，匠心教育文檔系列5匠心文檔，專(zhuān)屬精選。又∵BE=BC﹣EC，BE=AD﹣DF，故（D）正確；應(yīng)選（B）5．（2016·山東省德州市·3分）在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中點(diǎn)，一塊足夠大的三角板的直角極點(diǎn)與點(diǎn)E重合，將三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB，BC（或它們的延伸線(xiàn)）于點(diǎn)M，N，設(shè)∠AEM=α（0°＜α＜90°），給出以下四個(gè)結(jié)論：①AM=CN；②∠AME=∠BNE；③BN﹣AM=2；④S△EMN=．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4【考點(diǎn)】全等三角形的判斷與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【剖析】①作協(xié)助線(xiàn)EF⊥BC于點(diǎn)F，而后證明Rt△AME≌Rt△FNE，從而求出AM=FN，因此BM與CN的長(zhǎng)度相等．②由①Rt△AME≌Rt△FNE，即可獲得結(jié)論正確；③經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算獲得BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，④用面積的和和差進(jìn)行計(jì)算，用數(shù)值代換即可．【解答】解：①如圖，匠心教育文檔系列6匠心文檔，專(zhuān)屬精選。在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中點(diǎn)，作EF⊥BC于點(diǎn)F，則有AB=AE=EF=FC，∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，∴∠AEM=∠FEN，在Rt△AME和Rt△FNE中，，Rt△AME≌Rt△FNE，AM=FN，∴MB=CN．∵AM不必定等于CN，∴AM不必定等于CN，∴①錯(cuò)誤，②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，∴∠AME=∠BNE，∴②正確，③由①得，BM=CN，AD=2AB=4，∴BC=4，AB=2∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，∴③正確，④如圖，匠心教育文檔系列7匠心文檔，專(zhuān)屬精選。由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE=AD=2，AM=FNtanα=，∴AM=AEtanα∵cosα==，∴cos2α=，∴=1+=1+（）2=1+tan2α，∴=2（1+tan2α）∴S△EMN=S四邊形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN（AE+BN）×AB﹣AE×AM﹣BN×BM（AE+BC﹣CN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣CN）×CN（AE+BC﹣CF+FN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣2+AM）（2﹣AM）=AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣（2+AM）（2﹣AM）=AE+AM﹣AE×AM+AM2=AE+AEtanα﹣AE2tanα+AE2tan2α=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α=2（1+tan2α）=．∴④正確．應(yīng)選C．匠心教育文檔系列8匠心文檔，專(zhuān)屬精選。【評(píng)論】本題是全等三角形的性質(zhì)和判斷題，主要考察了全等三角形的性質(zhì)和判斷，圖形面積的計(jì)算銳角三角函數(shù)，解本題的重點(diǎn)是Rt△AME≌Rt△FNE，難點(diǎn)是計(jì)算S△EMN．二.填空題1.（2016·遼寧丹東·3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)分別在x軸、y軸上，OA=3，OB=4，連結(jié)AB．點(diǎn)P在平面內(nèi)，若以點(diǎn)P、A、B為極點(diǎn)的三角形與△AOB全等（點(diǎn)P與點(diǎn)O不重合），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）或（\frac{96}{25}，\frac{72}{25}）或（﹣\frac{21}{25}，\frac{28}{25}）．【考點(diǎn)】全等三角形的判斷；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【剖析】由條件可知AB為兩三角形的公共邊，且△AOB為直角三角形，當(dāng)△AOB和△APB全等時(shí)，則可知△APB為直角三角形，再分三種狀況進(jìn)行議論，可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：以下圖：①∵OA=3，OB=4，∴P1（3，4）；②連結(jié)OP2，設(shè)AB的分析式為y=kx+b，則，解得．故AB的分析式為y=﹣x+4，則OP2的分析式為y=x，聯(lián)立方程組得，匠心教育文檔系列9匠心文檔，專(zhuān)屬精選。解得，則P2（，）；③連結(jié)P2P3，∵（3+0）÷2=1.5，0+4）÷2=2，∴E（1.5，2），∵1.5×2﹣=﹣，2×2﹣=，∴P3（﹣，）．故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）或（，）或（﹣，）．故答案為：（3，4）或（，）或（﹣，）．2．（2016·山東省濟(jì)寧市·3分）如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，請(qǐng)你增添一個(gè)適合的條件：AH=CB等（只需切合要求即可），使△AEH≌△CEB．【考點(diǎn)】全等三角形的判斷．【剖析】開(kāi)放型題型，依據(jù)垂直關(guān)系，能夠判斷△AEH與△CEB有兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，就只需要找它們的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等就能夠了．匠心教育文檔系列10匠心文檔，專(zhuān)屬精選?！窘獯稹拷猓骸逜D⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，因此依據(jù)AAS增添AH=CB或EH=EB；依據(jù)ASA增添AE=CE．可證△AEH≌△CEB．故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．三.解答題1．（2016·山東省東營(yíng)市·10分）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)B、C分別在邊AD、AF上，此時(shí)BD＝CF，BD⊥CF建立．當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD＝CF建立嗎？若建立，請(qǐng)證明；若不建立，請(qǐng)說(shuō)明原因．當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延伸DB交CF于點(diǎn)H.①求證：BD⊥CF；②當(dāng)AB＝2，AD＝32時(shí)，求線(xiàn)段DH的長(zhǎng)．匠心教育文檔系列11匠心文檔，專(zhuān)屬精選。【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形——等腰三角形的現(xiàn)性質(zhì)、特別的平行四邊形——正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)——旋轉(zhuǎn)的特征、全等三角形——全等三角形的判判斷和性質(zhì)、相像三角形——相像三角形的判判斷和性質(zhì)【思路剖析】（1）先用“SAS”證明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性質(zhì)即可得BD＝CF成立；（2）利用△HFN與△AND的內(nèi)角和以及它們的等角，獲得∠NHF＝90°,即可得①的結(jié)論；（3）連結(jié)DF，延伸AB，與DF交于點(diǎn)M，利用△BMD∽△FHD求解.【解答】(l)解：BD＝CF建立．證明：∵AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ;AF＝AD,△ABD≌△ACF,∴BD＝CF.(2)①證明：由(1)得，△ABD≌△ACF，∴∠HFN＝∠ADN，在△HFN與△ADN中，∵∠HFN＝∠AND，∠HNF＝∠AND,∴∠NHF＝∠NAD＝90°,∴HD⊥HF,即BD⊥CF.②解：如圖，連結(jié)DF，延伸AB，與DF交于點(diǎn)M.在△MAD中，∵∠MAD＝∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°.在Rt△BMD與Rt△FHD中，∵∠MDB＝∠HDF,∴△BMD∽△FHD.32∴AB＝2，AD＝32，四邊形ADEF是正方形，∴MA＝MD＝＝3.∴MB＝3－2＝1,DB＝12＋32＝10.MD＝BD.∴3＝10.HDFDHD6910∴DH＝.【方法總結(jié)】本題考察了全等三角形的判判斷和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)是證明等角、等線(xiàn)匠心教育文檔系列12匠心文檔，專(zhuān)屬精選。段的最為常用的方法；圖形的旋轉(zhuǎn)中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度、對(duì)應(yīng)角的大小相等,旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒(méi)有改變；2.（2016·云南省昆明市）如圖，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE=FE，F(xiàn)C∥AB求證：AE=CE．【考點(diǎn)】全等三角形的判斷與性質(zhì)．【剖析】依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，再依據(jù)全等三角形的判斷定理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．【解答】證明：∵FC∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），AE=CE．（2016·重慶市A卷·7分）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線(xiàn)上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求證：AE=FB．【剖析】依據(jù)CE∥DF，可得∠ACE=∠D，再利用SAS證明△ACE≌△FDB，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可．【解答】證明：∵CE∥DF，∴∠ACE=∠D，匠心教育文檔系列13匠心文檔，專(zhuān)屬精選。在△ACE和△FDB中，，∴△ACE≌△FDB（SAS），AE=FB．【評(píng)論】本題主要考察全等三角形的判斷與性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)；嫻熟掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的重點(diǎn)．（2016·重慶市B卷·7分）如圖，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求證：∠B=∠E．【考點(diǎn)】全等三角形的判斷與性質(zhì)．【專(zhuān)題】證明題．【剖析】依據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BAC=∠ECD，再利用“邊角邊”證明△ABC和△CED全等，而后依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等證明即可．【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（SAS），∴∠B=∠E．【評(píng)論】本題考察了全等三角形的判斷與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，嫻熟掌握三角形全等的判斷方法并找出兩邊的夾角是解題的重點(diǎn)．（2016·浙江省紹興市·8分）假如將四根木條首尾相連，在相連處用螺釘連結(jié)，就能組成一個(gè)平面圖形．匠心教育文檔系列14匠心文檔，專(zhuān)屬精選。1）若固定三根木條AB，BC，AD不動(dòng)，AB=AD=2cm，BC=5cm，如圖，量得第四根木條CD=5cm，判斷此時(shí)∠B與∠D能否相等，并說(shuō)明原因．（2）若固定一根木條AB不動(dòng)，AB=2cm，量得木條CD=5cm，假如木條AD，BC的長(zhǎng)度不變，當(dāng)點(diǎn)D移到BA的延伸線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)C也在BA的延伸線(xiàn)上；當(dāng)點(diǎn)C移到AB的延伸線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)A、C、D能組成周長(zhǎng)為30cm的三角形，求出木條AD，BC的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用；三角形三邊關(guān)系．【剖析】（1）相等．連結(jié)AC，依據(jù)SSS證明兩個(gè)三角形全等即可．2）分兩種情況①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D右邊時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左邊時(shí)，分別列出方程組即可解決問(wèn)題，注意最后原因三角形三邊關(guān)系定理，查驗(yàn)?zāi)芊袂泻项}意．【解答】解：（1）相等．原因：連結(jié)AC，在△ACD和△ACB中，，∴△ACD≌△ACB，∴∠B=∠D．2）設(shè)AD=x，BC=y，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D右邊時(shí)，，解得，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左邊時(shí)，解得，此時(shí)AC=17，CD=5，AD=8，5+8＜17，∴不合題意，∴AD=13cm，BC=10cm．匠心教育文檔系列15匠心文檔，專(zhuān)屬精選。6.（2016·廣西桂林·3分）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，連結(jié)OH，則OH=．【考點(diǎn)】相像三角形的判斷與性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)；等腰直角三角形．【剖析】在BD上截取BE=CH，連結(jié)CO，OE，依據(jù)相像三角形的性質(zhì)獲得，求得CH=，依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)獲得AO=OB=OC，A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，等量代換獲得∠OCH=∠ABD，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)獲得OE=OH，∠BOE=∠HOC推出△HOE是等腰直角三角形，依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可獲得結(jié)論．【解答】解：在BD上截取BE=CH，連結(jié)CO，OE，∵∠ACB=90°CH⊥BD，∵AC=BC=3，CD=1，∴BD=10，∴△CDH∽△BDC，∴，∴CH=，∵△ACB是等腰直角三角形，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，∴AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，∴∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45°，∵∠DCH=∠CBD，∴∠OCH=∠ABD，在△CHO與△BEO中，，∴△CHO≌△BEO，匠心教育文檔系列16匠心文檔，專(zhuān)屬精選?！郞E=OH，∠BOE=∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH=90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵EH=BD﹣DH﹣CH=﹣﹣=，∴OH=EH×=，故答案為：．7.（2016·廣西桂林·8分）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD訂交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，連結(jié)BE，DF（1）依據(jù)題意，補(bǔ)全原形；（2）求證：BE=DF．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)．【剖析】（1）以下圖；（2）由全等三角形的判斷定理SAS證得△BEO≌△DFO，得出全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可．【解答】（1）解：以下圖：（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，∴OB=OD，OA=OC．又∵E，F(xiàn)分別是OA、OC的中點(diǎn)，匠心教育文檔系列17匠心文檔，專(zhuān)屬精選?！郞E=OA，OF=OC，∴OE=OF．∵在△BEO與△DFO中，，∴△BEO≌△DFO（SAS），BE=DF．8（.2016·廣西百色·8分）已知平行四邊形ABCD中，CE均分∠BCD且交AD于點(diǎn)E，AF∥CE，且交BC于點(diǎn)F．1）求證：△ABF≌△CDE；2）如圖，若∠1=65°，求∠B的大小．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)．【剖析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，證出∠AFB=∠1，由AAS證明△ABF≌△CDE即可；2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四邊形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，∵AF∥CE，匠心教育文檔系列18匠心文檔，專(zhuān)屬精選?！唷螦FB=∠ECB，∵CE均分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；2）解：由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．9.（2016·貴州安順·10分）如圖，在?ABCD中，BC=2AB=4，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)．1）求證：△ABE≌△CDF；2）當(dāng)四邊形AECF為菱形時(shí)，求出該菱形的面積．【剖析】第（1）問(wèn)要證明三角形全等，由平行四邊形的性質(zhì)，很簡(jiǎn)單用SAS證全等．第（2）要求菱形的面積，在第（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上很快知道△ABE為等邊三角形．這樣菱形的高便可求了，用面積公式可求得．【解答】（1）證明：∵在?ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四邊形AECF為菱形時(shí)，匠心教育文檔系列19匠心文檔，專(zhuān)屬精選。AE=EC．又∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE為等邊三角形，（6分）?ABCD的BC邊上的高為2×sin60°=，（7分）∴菱形AECF的面積為2．（8分）【評(píng)論】考察了全等三角形，四邊形的知識(shí)以及邏輯推理能力．1）用SAS證全等；2）若四邊形AECF為菱形，則AE=EC=BE=AB，因此△ABE為等邊三角形．10.（2016·黑龍江哈爾濱·8分）已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，AQ⊥BE于點(diǎn)Q，DP⊥AQ于點(diǎn)P．1）求證：AP=BQ；2）在不增添任何協(xié)助線(xiàn)的狀況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中四對(duì)線(xiàn)段，使每對(duì)中較長(zhǎng)線(xiàn)段與較短線(xiàn)段長(zhǎng)度的差等于PQ的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)．匠心教育文檔系列20匠心文檔，專(zhuān)屬精選?！酒饰觥浚?）依據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再依據(jù)已知條件獲得∠AQB=∠DPA，判斷△AQB≌△DPA并得出結(jié)論；（2）依據(jù)AQ﹣AP=PQ和全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行判斷剖析．【解答】解：（1）∵正方形ABCDAD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于點(diǎn)Q，DP⊥AQ于點(diǎn)P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ11．（2016廣西南寧）已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的兩邊分別與射線(xiàn)CB，DC訂交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAF=60°．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是線(xiàn)段CB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出線(xiàn)段AE，EF，AF之間的數(shù)目關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是線(xiàn)段CB上隨意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與B、C重合），求證：BE=CF；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段CB的延伸線(xiàn)上，且∠EAB=15°時(shí)，求點(diǎn)F到BC的距離．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．匠心教育文檔系列21匠心文檔，專(zhuān)屬精選。【剖析】（1）結(jié)論AE=EF=AF．只需證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形．2）欲證明BE=CF，只需證明△BAE≌△CAF即可．3）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H，依據(jù)FH=CF?cos30°，由于CF=BE，只需求出BE即可解決問(wèn)題．【解答】（1）解：結(jié)論AE=EF=AF．原因：如圖1中，連結(jié)AC，∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF．2）證明：如圖2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF，BE=CF．3）解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2，匠心教育文檔系列22匠心文檔，專(zhuān)屬精選。在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2，∴EB=EG﹣BG=2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，在RT△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°，∵∠AFE=60°，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2﹣2，∴FH=CF?cos30°=（2﹣2）?=3﹣．∴點(diǎn)F到BC的距離為3﹣．匠心教育文檔系列23匠心文檔，專(zhuān)屬精選?！驹u(píng)論】本題考察四邊形綜合題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判斷、全等三角形的判斷和性質(zhì)等知識(shí)，解題的重點(diǎn)是靈巧應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)增添常用協(xié)助線(xiàn)，屬于中考?jí)狠S題．12．（2016貴州畢節(jié)）如圖，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)獲得△ADE，連結(jié)BD，CE交于點(diǎn)F．1）求證：△AEC≌△ADB；2）若AB=2，∠BAC=45°，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，求BF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．【剖析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)獲得三角形ABC與三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等獲得兩對(duì)邊相等，一對(duì)角相等，利用SAS獲得三角形AEC與三角形ADB全等即可；2）依據(jù)∠BAC=45°，四邊形ADFC是菱形，獲得∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，獲得三角形ABD為等腰直角三角形，求出BD的長(zhǎng)，由BD﹣DF求出BF的長(zhǎng)即可．【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；匠心教育文檔系列24匠心文檔，專(zhuān)屬精選。2）∵四邊形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，∴∠DBA=∠BAC=45°，由（1）得：AB=AD，∴∠DBA=∠BDA=45°，∴△ABD為直角邊為2的等腰直角三角形，∴BD2=2AB2，即BD=2，AD=DF=FC=AC=AB=2，∴BF=BD﹣DF=2﹣2．3.(2016河北）（本小題滿(mǎn)分9分）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在直線(xiàn)l上（F，C之間不可以直接丈量），點(diǎn)A，D在l異側(cè)，測(cè)得AB=DE，AC=DF，BF=EC.1）求證：△ABC≌△DEF；2）指出圖中全部平行的線(xiàn)段，并說(shuō)明原因.第21題圖分析：證明三角形全等的條件，SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形（HL），本題中只給了邊，沒(méi)有給角，又不是直角三角形，只好用SSS證明，用已知去求。平行線(xiàn)的判斷：內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，同位角相等。第一問(wèn)證了然三角形全等，從而能夠求角相等，來(lái)判斷平行。匠心教育文檔系列25匠心文檔，專(zhuān)屬精選。知識(shí)點(diǎn)：全等三角形；平行線(xiàn)。（2016·湖北武漢·8分）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線(xiàn)上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求證：AB∥DE．【考點(diǎn)】全等三角形的判斷和性質(zhì)【答案】看法析【分析】證明：由BE＝CF可得BC＝EF，又AB＝DE，AC＝DF，故△ABC≌△DEF（SSS），則∠B=∠DEF，∴AB∥DE．（2016·江西·10分）如圖，將正n邊形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形有另一交點(diǎn)O，連結(jié)AO，我們稱(chēng)AO為“疊弦”；再將“疊弦”AO所在的直線(xiàn)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點(diǎn)P，連結(jié)PO，我們稱(chēng)∠OAB為“疊弦角”，△AOP為“疊弦三角形”．【研究證明】（1）請(qǐng)?jiān)趫D1和圖2中選擇此中一個(gè)證明：“疊弦三角形”（△AOP）是等邊三角形；2）如圖2，求證：∠OAB=∠OAE′．【概括猜想】（3）圖1、圖2中的“疊弦角”的度數(shù)分別為15°，24°；（4）圖n中，“疊弦三角形”是等邊三角形（填“是”或“不是”）（5）圖n中，“疊弦角”的度數(shù)為60°﹣\frac{180}{n}°（用含n的式子表示）匠心教育文檔系列26匠心文檔，專(zhuān)屬精選。【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【剖析】（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，再判斷出△APD≌△AOD'，最后用旋轉(zhuǎn)角計(jì)算即可；2）先判斷出Rt△AEM≌Rt△ABN，在判斷出Rt△APM≌Rt△AON即可；（3）先判斷出△AD′O≌△ABO，再利用正方形，正五邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，計(jì)算即可；4）先判斷出△APF≌△AE′F，′再用旋轉(zhuǎn)角為60°，從而得出△PAO是等邊三角形；5）用（3）的方法求出正n邊形的，“疊弦角”的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖1，∵四ABCD是正方形，由旋轉(zhuǎn)知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，∴∠DAP=∠D'AO，∴△APD≌△AOD'（ASA）∴AP=AO，∵∠OAP=60°，∴△AOP是等邊三角形，（2）如圖2，匠心教育文檔系列27匠心文檔，專(zhuān)屬精選。作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．∵五ABCDE是正五邊形，由旋轉(zhuǎn)知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°∴∠EAP=∠E'AO∴△APE≌△AOE'（ASA）∴∠OAE'=∠PAE．在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，????AE=ABRt△AEM≌Rt△ABN（AAS），∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=ANRt△APM≌Rt△AON（HL）．∴∠PAM=∠OAN，∴∠PAE=∠OAB∴∠OAE'=∠OAB（等量代換）．3）由（1）有，△APD≌△AOD'，∴∠DAP=∠D′AO，在△AD′O和△ABO中，，∴△AD′O≌△ABO，∴∠D′AO=∠BAO，由旋轉(zhuǎn)得，∠DAD′=60°，∵∠DAB=90°，∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，匠心教育文檔系列28匠心文檔，專(zhuān)屬精選?！唷螪′AD=∠D′AB=15°，同理可得，∠E′AO=24°，故答案為：15°，24°．（4）如圖3，∵六邊形ABCDEF和六邊形A′B′C′E是′正F六′邊形，∴∠F=F′=120°，由旋轉(zhuǎn)得，AF=AF′，EF=E′F′，∴△APF≌△AE′F，′∴∠PAF=∠E′AF′，由旋轉(zhuǎn)得，∠FAF′=60°，AP=AO∴∠PAO=∠FAO=60°，∴△PAO是等邊三角形．故答案為：是（5）同（3）的方法得，∠OAB=[（n﹣2）×180°÷n﹣60°]÷2=60°﹣故答案：60°﹣．14.（2016·四川宜賓）如圖，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC．求證：BC=AD．【考點(diǎn)】全等三角形的判斷與性質(zhì)．【剖析】先依據(jù)題意得出∠DAB=∠CBA，再由ASA定理可得出△ADB≌△BCA，由此可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC，匠心教育文檔系列29匠心文檔，專(zhuān)屬精選?！唷螪AB=∠CBA．在△ADB與△BCA中，，∴△ADB≌△BCA（ASA），BC=AD．2．（2016·四川瀘州）如圖，C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，CD=BE，CD∥BE．求證：D=∠E．【考點(diǎn)】全等三角形的判斷與性質(zhì)．【剖析】由CD∥BE，可證得∠ACD=∠B，而后由C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，CD=BE，利用SAS即可證得△ACD≌△CBE，既而證得結(jié)論．【解答】證明：∵C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，AC=CB，∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴∠D=∠E．15．（2016·四川南充）已知△ABN和△ACM地點(diǎn)以下圖，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．1）求證：BD=CE；2）求證：∠M=∠N．匠心教育文檔系列30匠心文檔，專(zhuān)屬精選?！酒饰觥浚?）由SAS證明△ABD≌△ACE，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可（2）證出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C，由AAS證明△ACM≌△ABN，得出對(duì)應(yīng)角相等即可．【解答】（1）證明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；（2）證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM，由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠B=∠C，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M=∠N．【評(píng)論】本題考察了全等三角形的判斷與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問(wèn)題的重點(diǎn)．16．（2016·四川攀枝花）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F在邊BC上，且AF=AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AF，垂足為點(diǎn)E1）求證：DE=AB；2）以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓弧交AF于點(diǎn)G，若BF=FC=1，求扇形ABG的面積．（結(jié)果保存π）匠心教育文檔系列31匠心文檔，專(zhuān)屬精選?！究键c(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；全等三角形的判斷與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【剖析】（1）依據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，求出∠DAE=∠AFB，AED=90°=∠B，依據(jù)AAS推出△ABF≌△DEA即可；（2）依據(jù)勾股定理求出AB，解直角三角形求出∠BAF，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DE=DG=AB=，∠GDE=∠BAF=30°，依據(jù)扇形的面積公式求得求出即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°=∠B，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA（AAS），DE=AB；2）解：∵BC=AD，AD=AF，∴BC=AF，∵BF=1，∠ABF=90°，∴由勾股定理得：AB==，∴∠BAF=30°，∵△ABF≌△DEA，∴∠GDE=∠BAF=30°，DE=AB=DG=，∴扇形ABG的面積==π．匠心教育文檔系列32匠心文檔，專(zhuān)屬精選。【評(píng)論】本題考察了弧長(zhǎng)公式，全等三角形的性質(zhì)和判斷，解直角三角形，勾股定理，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解本題的重點(diǎn)．17.（2016·黑龍江龍東·8分）已知：點(diǎn)P是平行四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC所在直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），分別過(guò)點(diǎn)A、C向直線(xiàn)BP作垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)E、F，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)如圖1，易證OE=OF（不需證明）2）直線(xiàn)BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)∠OFE=30°時(shí)，如圖2、圖3的地點(diǎn)，猜想線(xiàn)段CF、AE、OE之間有如何的數(shù)目關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你對(duì)圖2、圖3的猜想，并選擇一種狀況賜予證明．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【剖析】（1）由△AOE≌△COF即可得出結(jié)論．2）圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE，延伸EO交CF于點(diǎn)G，只需證明△EOA≌△GOC，△OFG是等邊三角形，即可解決問(wèn)題．圖3中的結(jié)論為：CF=OE﹣AE，延伸EO交FC的延伸線(xiàn)于點(diǎn)G，證明方法近似．【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，∴