三重積分概念與計算

（在積分中要正確選擇積分次序）復(fù)二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式f

(x,y)dy.［X－型］f

(

x,

y)d

12

(

x

)

(

x

)Dbadxf

x

y

dx［.D

fdc2

()y1

()yx

y)d,(

dyY－型］D

f

(x,

y)

d

D

f

(r

cos

,

r

sin

)

r

d

r

d說明:要把二重積分中的變量從直角坐r標(biāo)co變s換,r為si極n坐標(biāo),只要把被積函數(shù)中的x,y分別換成并且把直角坐標(biāo)系中的面積元素dxdy換為極坐標(biāo)中的面積元素rdrd2、利用極坐標(biāo)計算二重積分

,

r

sin

)rdr.f

(r

cos21

(

)

(

)dADor

1

()r

2

()

,

(

)

r

(

).1

2

f

(r

cos

,

r

sin

)rdrdD二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖AoDr

(

)f

(r

cos

,

r

sin

)rdr.

(

)

d

0二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖

,0

r

(

).

f

(r

cos

,

r

sin

)rdrdD

f

(r

cos

,

r

sin

)rdrdD2

(

)f

(r

cos

,

r

sin

)rdr.

0

d

0極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積

rdrd

.D二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征如圖0

r

(

).DoAr

(

)0

2,*3、二重積分換元法

y

y(u,

v)T

:

x

x(u,

v)

(u,

v)

D

D滿足

(1)

x(u,

v),

y(u,

v)

在D上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);(2)在D上雅可比行列式J

(u,

v)

(x,

y)

0;(u,

v)(3)變換T

:D

D是一一對應(yīng)的,定理:

設(shè)

f

(x,

y)

在閉域

D上連續(xù),

變換:則D

f

(x,y)d

x

d

y

D

f

(x(u,v),y(u,v))J

(u,v)d

u

d

vovuDo

xyDT一、三重積分的概念二、三重積分的計算三重積分在直角坐標(biāo)系（三種情況）、柱面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系下的計算9.3

三重積分的概念與計算第九章(k

,k

,

k

)kv一、三重積分的概念引例:設(shè)在空間有界閉區(qū)域

內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),密度函數(shù)為(x,y,z)C,求分布在

內(nèi)的物質(zhì)的質(zhì)量M

.解決方法:類似二重積分解決問題的思想,采用“大化小,常代變,近似和,求極限”可得n

0

k

1M

lim

(k

,k

,

k

)vk定義.

設(shè)存在,則稱此極限為函數(shù)稱為體積元素,

在直角坐標(biāo)系下常寫作若對

作任意分割:在上的三重積分.任意取點下列“乘積和式”極限記作三重積分的性質(zhì)線性性質(zhì)、區(qū)域可加性單調(diào)性和積分估值公式4.中值定理.V

為

的體積,則存在在有界閉域

上連續(xù),使得二、三重積分的計算1.利用直角坐標(biāo)計算三重積分先假設(shè)連續(xù)函數(shù)

f

(x,

y,

z)

0,

并將它看作某物體的密度函數(shù)

,

通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算方法:方法1

.

投影法

(“先一后二”)

三次積分法方法2

.

截面法

(“先二后一”)方法1.

投影法

(“先一后二”)記作投影法三次積分法z1(x,

y)

z

z2

(x,

y)設(shè)區(qū)域:利用投影法結(jié)果,

把二重積分化成二次積分即得:y

(x)

y

y

(x)a

x

b(x,

y)

D

:21

z

(

x,

y)2z1

(

x,

y)f(x,

y,

z)dzDdxd

y2z1

(

x,

y)f

(x,

y,

z)dz2y1

(

x)d

yb

y

(

x)

z

(

x,

y)adx例1.

化

I

f

(x,y,z)dxdydz

為三次積分，

由曲面zoxyxyDz

xy

及平面

x

y

1

0,

z

0

圍成.解：如圖所以

I

Dxydxdyxyf

(x,

y,

z)dz01

xxyf

(x,

y,

z)dzdydx0010

:D0

z

xy,:

0

x

1, 0

y

1

xxyx

y

1xyO注：x

0

或y

0時，z

0.曲面與xOy

坐標(biāo)面交于x

軸和y

軸.例2..計算I

12

2x

y

1dxdydz

,其中由錐面

x2

y2

z2

,及平面z

1圍成.解：

:

x

2

y2

1

y2

z

1x2DxyI

dxdyx2

y2

11x

2

y21dz

Dxy1

y2

1

x

2

y2dxdyx

201

r

r

2d

21

r20dr

極坐標(biāo)

1

r

210(1

r

22

1)dr

(ln

2

2

)x2

y2

1x2

y2

z2方法2.

截面法

(“先二后一”)例3.

計算三重積分

zd

xd

ydz,

其中

為三個坐標(biāo)面及平面x

y

z

1

所圍成的閉區(qū)域.解:如圖，：0

z

1,

D

為

xoy面上x軸，zy軸和x

y

1

z

圍成的等腰直角三角形.所以zdxdydzzDdxdyzdz1010221z

(1

z)

dz

1

24注：此題可用投影法（例2）求解．xyzo111zx

y

1xyODz1

z111

z例.

計算三重積分解:

:z

d

x

d

y

d

z

2c

ccz2

c

z

cx2

y2

z

2Dz

:

a2

b2

1

c2Dzd

x

d

yccz

d

z2

z2

ab(1

)dz

2

abc3154ab

yc

zx用“先二后一”Dzz例4.計算三重積分

zdxdydz其中是上半橢球體2

2

2x

y

z

1.a2

b2

c2解：

:0

z

c,則

zdxdydzDz

:

a2x2

y2

z21

.b2

c2Dzcdxdyzdz0而)2222cz2cz2)

b

(1

a

(1

dxdy

SDz

Dz2cz2

ab(1

),ccz22

)zdz

0原式

ab(1

abc2

.41xyzabzDcz換元法一一對應(yīng)雅可比行列式三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:

f

(

x,

y,

z)d

xd

y

dz

*

F

(u,

v,

w)

J

dudvdw體積元素2.

利用柱坐標(biāo)計算三重積分就稱為點M

的柱坐標(biāo).

直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:圓柱面

c

(常數(shù))z

zc

(常數(shù))平面半平面yzooxcyzooxzcr

rcc

oxyzrccr

常數(shù)

常數(shù)z

常數(shù)圓柱面半平面平面xyoozzM

(x,

y,

z)r(x,

y,0)在柱面坐標(biāo)下10

r,

r

sin

0r

cos

00

sincos若

: z1

(r,

)

z

z2

(r,

)

,

(r,

)

Dr其中Dr：

,

r1

(

)

r

r2

(

)

.從小到大邊界到邊界則有z1

(

,

)

D2z

(

,

)

,

z)r

dz

,

r

sinf

(r

cosdrdz1

(

,

)r1

(

)2z

(

,

)2r

(

)

,

r

sin

,

z)r

dzf

(r

cosddr在投影區(qū)域上做極坐標(biāo)變換oxyz例.計算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下hhrd

z421

r

2

22

hr024(h

r

)

dr2

h2

dr1

rr020dx2

y2

4z

與平面z

h

(h

0)所圍成.其中由拋物面dv

r

dr

d

dz原式=3.

利用球坐標(biāo)計算三重積分設(shè)M(x,y,z)

R3

,直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系oxyr

MZOM

,

則(r,

,

)

就稱為點M

的球坐標(biāo).

zz

0

0

2

0

r

x

rsiny

r

siz

令

OM

r,|

OP

|

r

sinz

Px

rsiny

r

siz

c（常數(shù)）

c（常數(shù)）ox

cyzcr

常數(shù)

常數(shù)

常數(shù)球面半平面錐面M

(r,

,)Moxyzr在球面坐標(biāo)系中化為三次積分，從小到大，從邊界到邊界。體積元素為例6.如圖，求

的體積，(0,0,2a)為

在z

軸的交點.上曲面球心在(0,0,a),半徑為R

,下錐面半頂角為.解：

邊界曲面方程為

x2

y2

(z

a)2

a2在球坐標(biāo)系下方程為r

2a所以2a

cos

V

dxdydz

2003sin(r

)

d2a

cos334

a3

(1

cos4

).020d

d

0r

2

sindrx2azyr

2a

cos

a內(nèi)容小結(jié)*說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:

f

(x,

y,

z)

dxd

ydz

*

F

(u,

v,

w)

J

dudvdw對應(yīng)雅可比行列式為J

(x,y,z)(u,

v,

w)坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系dxdydz積分區(qū)域多由坐標(biāo)面圍成;被積函數(shù)形式簡潔,或變量可分離.柱面坐標(biāo)系r

d

r

d

dz球面坐標(biāo)系r

2

sin

dr

d

d提示:21

y

2

1

x2xf

(x,

y,

z)dz221

x1d

y

20I

d

x

思考與練習(xí)1.將I

f

(x,y,z)d

v

用三次積分表示,其中由六個平面x

0,x

2,y

1,x

2

y

4,z

x

,z

2

所圍成,f

(x,y,z)C().

:2.

設(shè)計算提示:

利用對稱性原式

=

d

x

d

yx2

y2

1

0奇函數(shù)oxyz2和球面3.

設(shè)由錐面所圍成,計算提示:4利用對稱性(x2

y2

z

2

)

dv

(x2

y2

z

2

2

xy

2

yz

2

xz)

dvI

r420用球坐標(biāo)sin

d402

0

d

d

r

64

1

2

5

24.計算其中2由z

1

(x2

y2

),z

1,z

4圍成.解:利用對稱性(

x2

y2

)

d

x

d

y

d

z

1

Dz2142

1d

z

(

x2

y2

)

d

x

d

y

2z

3r

d

r

2104d

z2

1d1204zxo1Dzy其中

為三個坐標(biāo)例1.

計算三重