信息光學(xué)原理第3章課件

第三章

光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性第三章

光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性1本章主要內(nèi)容3.1、透鏡的位相調(diào)制作用3.2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)3.3、透鏡的成像性質(zhì)3.4、成像系統(tǒng)的一般分析3.5、衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6、衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.7、像差對(duì)成像系統(tǒng)傳遞函數(shù)的影響3.8、相干和非相干成像系統(tǒng)的比較本章主要內(nèi)容3.1、透鏡的位相調(diào)制作用23.1透鏡的位相調(diào)制作用透鏡是一種非常重要的光學(xué)元件，其主要功能包括：成像和傅里葉變換。1）透鏡的成像功能2）透鏡的傅里葉變換功能（夫瑯和費(fèi)衍射）

Question:

透鏡為什么具有這樣的功能？3.1透鏡的位相調(diào)制作用透鏡是一種非常重要的光學(xué)元件，33.1透鏡的位相調(diào)制作用1.透鏡對(duì)入射波前的作用透鏡的復(fù)振幅透過率：在傍軸近似下，忽略透鏡對(duì)光波振幅的影響，緊靠透鏡前后的平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布為3.1透鏡的位相調(diào)制作用1.透鏡對(duì)入射波前的作用透43.1透鏡的位相調(diào)制作用則透鏡復(fù)振幅透過率表示為：(常數(shù)項(xiàng))(調(diào)制項(xiàng))對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，它改變的是光波整體的位相分布，并不影響平面上位相的相對(duì)空間分布，分析時(shí)可忽略掉。對(duì)于調(diào)制項(xiàng)，它改變了平面上位相的相對(duì)空間分布，能把發(fā)散球面波變換為會(huì)聚球面波。根據(jù)幾何光學(xué)中介紹的透鏡成像公式(為透鏡的焦距)3.1透鏡的位相調(diào)制作用則透鏡復(fù)振幅透過率表示為：(常53.1透鏡的位相調(diào)制作用因此，透鏡的位相調(diào)制因子：Answer:

透鏡本身的厚度變化，使得入射光波在通過透鏡的不同部位時(shí)，經(jīng)過的光程差不同，即所受時(shí)間延遲不同，從而使得光波的等相位面發(fā)生彎曲。結(jié)論：通過上面的分析可知，透鏡對(duì)透射的光波具有位相調(diào)制的功能。但是，透鏡為什么會(huì)具有這種能力呢？3.1透鏡的位相調(diào)制作用因此，透鏡的位相調(diào)制因子：An63.1透鏡的位相調(diào)制作用2透鏡的厚度函數(shù)主要考慮薄透鏡的情況(忽略了折射效應(yīng))如果進(jìn)一步忽略光在透鏡表面的反射以及透鏡內(nèi)部吸收造成的損耗，認(rèn)為通過透鏡的光波振幅分布不發(fā)生變化，只是產(chǎn)生一個(gè)大小正比于透鏡各點(diǎn)厚度的位相變化，于是透鏡的位相調(diào)制可以表示為：L(x,y)L(x,y)是Q到Q’之間的光程：則上式具有普遍意義，對(duì)于任意面形的薄位相物體，一旦知道其厚度函數(shù)(x,y)，就可以根據(jù)該式得到其位相調(diào)制。3.1透鏡的位相調(diào)制作用2透鏡的厚度函數(shù)主要考慮73.1透鏡的位相調(diào)制作用下面具體分析一下厚度函數(shù)(x,y)和透鏡主要結(jié)構(gòu)參數(shù)(構(gòu)成透鏡的兩個(gè)球面的曲率半徑R1和R2)之間的關(guān)系。僅考慮傍軸光將透鏡一剖為二3.1透鏡的位相調(diào)制作用下面具體分析一下厚度函數(shù)(83.1透鏡的位相調(diào)制作用3透鏡的復(fù)振幅透過率根據(jù)厚度函數(shù)的表達(dá)式，可得到在傍軸近似下，光波通過透鏡時(shí)在(x,y)點(diǎn)發(fā)生的位相延遲常數(shù)項(xiàng)透鏡位相因子(n為透鏡材料的折射率)3.1透鏡的位相調(diào)制作用3透鏡的復(fù)振幅透過率根據(jù)93.1透鏡的位相調(diào)制作用以上推導(dǎo)的關(guān)系適用于各種形式的薄透鏡，而且是在傍軸近似條件下推導(dǎo)出來的。透鏡的作用：將入射平面波變換為會(huì)聚（發(fā)散）球面波，如下圖所示。入射平面波變換為球面波，這正是由于透鏡具有的位相因子，能夠?qū)θ肷洳ㄇ笆┘游幌嗾{(diào)制的結(jié)果。3.1透鏡的位相調(diào)制作用以上推導(dǎo)的關(guān)系適用于各種形式的103.1透鏡的位相調(diào)制作用1）若在非傍軸近似條件下，即使透鏡表面是理想球面，透射光波也將偏離理想球面波，即透鏡產(chǎn)生波像差。2）實(shí)際透鏡總是有大小的，即存在一個(gè)有限大小的孔徑。引入光瞳函數(shù)P(x,y)來表示透鏡的有限孔徑，即于是透鏡的復(fù)振幅透過率可以完整的表示為：其中，表示透鏡對(duì)入射波前的位相調(diào)制；表示透鏡對(duì)于入射波前大小范圍的限制。3.1透鏡的位相調(diào)制作用1）若在非傍軸近似條件下，即使113.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)回顧一下：利用透鏡實(shí)現(xiàn)夫瑯和費(fèi)衍射，可以在透鏡的焦平面上得到入射場(chǎng)的空間頻譜，即實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的運(yùn)算。透鏡為什么具有這種功能呢？***根本原因在于它具有能對(duì)入射波前施加位相調(diào)制的功能，或者說是透鏡的二次位相因子在起作用。下面將具體分析一下這種作用發(fā)生的具體過程，并深入討論透鏡實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的一些性質(zhì)。光波傳播分析方法3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)回顧一下：利用透鏡實(shí)現(xiàn)夫瑯123.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡后焦面上的場(chǎng)是透鏡前端場(chǎng)U1(x,y)的傅立葉變換(空間頻譜)根據(jù)透鏡的位相調(diào)制功能，透鏡后端場(chǎng)U2(x,y)為:從透鏡后端到后焦面光的傳播屬于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的場(chǎng)U(x,y)為：?物體放置在透鏡前d處3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡后焦面上的場(chǎng)133.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)后焦面上的場(chǎng)分布為焦面場(chǎng)是透鏡前端場(chǎng)的傅里葉變換(空間頻譜)。如上圖所示，距離透鏡前端有一物體，其透過率為t(x0,y0)。若用振幅為A的平面波垂直照明物體，則物體的透射光場(chǎng)為：根據(jù)角譜理論，透鏡前端場(chǎng)的角譜為：則有：3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)后焦面上的場(chǎng)分布為焦面場(chǎng)是透鏡143.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)上式具有普遍意義，它證明在物體透射場(chǎng)的菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)放置一透鏡，在透鏡的后焦面上就可以得到該透射場(chǎng)的傅里葉變換(空間頻譜)。如果d>0，物體在透鏡前方，由于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜產(chǎn)生一個(gè)位相彎曲。其中，T()為透過率函數(shù)t()的頻譜。對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度分布為（二次位相彎曲因子）3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)上式具有普遍意義，它證明在物153.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)如果d=f，物體在透鏡前焦面，二次位相彎曲消失，后焦面的光場(chǎng)分布是物體準(zhǔn)確的傅里葉變換。如果d=0，物體在透鏡前端面，由于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜也產(chǎn)生一個(gè)位相彎曲。3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)如果d=f，物體在透鏡前焦163.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)總結(jié)一下：在單色平面波照明下，無論物體位于透鏡前方、后方還是緊靠透鏡，在透鏡的后焦面上都可以得到物體的功率譜；對(duì)于這樣的照明方式，透鏡后焦面常稱為傅里葉變換平面或（空間）頻譜面。如果采用球面波照明時(shí)，透鏡還能進(jìn)行傅里葉變化嗎？那頻譜面還是焦平面嗎?透鏡連續(xù)兩次變換？Answer:

透鏡還能起傅里葉變換作用，但是頻譜面不再是焦平面，而是點(diǎn)光源的像面位置。具體推導(dǎo)過程可參考有關(guān)參考書，這里不再贅述。3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)總結(jié)一下：Answer:173.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)3.2.3透鏡孔徑的影響（1）有限大小的透鏡孔徑可能會(huì)造成物體頻譜的失真，原因就在于透鏡實(shí)際上是一個(gè)低通濾波器：低頻成分可以通過，稍高頻率成分可以部分通過，高頻部分則完全被濾除。（2）因此由于透鏡有限孔徑的影響，后焦面上不能得到準(zhǔn)確的物體頻譜，給傅里葉變換結(jié)果帶來誤差，頻率越高，誤差越大。我們把這種現(xiàn)象稱為漸暈效應(yīng)。（3）采用盡可能大的透鏡孔徑，或物體盡可能靠近透鏡，可以減小漸暈的影響。3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)3.2.3透鏡孔徑的影響（118

3.2.4透鏡傅里葉變換的應(yīng)用

光學(xué)頻譜分析的基本原理就是利用透鏡的傅里葉變換性質(zhì)來產(chǎn)生物體的空間頻譜，然后對(duì)它進(jìn)行測(cè)量、分析來研究物體的空間結(jié)構(gòu)。上圖所示為二維光學(xué)頻譜分析系統(tǒng)的光路。S為相干點(diǎn)光源，L1為準(zhǔn)直透鏡，L2為傅里葉變換透鏡。P1平面（L2前焦面）放置輸入物體，其復(fù)振幅透過率為t(x1,y1)。在P2平面（L2后焦面）上，輸出光場(chǎng)分布正比于物體的空間頻譜，即

3.2.4193.2.4透鏡傅里葉變換的應(yīng)用強(qiáng)度記錄得到物體的功率譜為光學(xué)頻譜分析可用于微小物體的形狀尺寸檢測(cè)、質(zhì)量檢測(cè)、圖像分析等領(lǐng)域。3.2.4透鏡傅里葉變換的應(yīng)用強(qiáng)度記錄得到物體的功率譜為20小結(jié)1）透鏡具有成像和傅里葉變換的功能，其根本原因在于透鏡具有對(duì)入射波前進(jìn)行位相調(diào)制的功能；而透鏡之所以具有這種位相調(diào)制的功能就在于透鏡本身存在的厚度變化。2）透鏡具有傅里葉變換的功能當(dāng)采用平面波垂直照明時(shí)，總可以在透鏡后焦面上得到物體的功率譜，無論物體放置在透鏡前方、后方還是緊靠透鏡；但當(dāng)用球面波照明時(shí)，頻譜面不在透鏡焦平面上，而是點(diǎn)光源的成像位置。3）透鏡有限大小的孔徑對(duì)傅里葉變換有很大的影響，給傅里葉變換結(jié)果帶來誤差，頻率越高，誤差越大。透鏡相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器。小結(jié)1）透鏡具有成像和傅里葉變換的功能，其根本原因在于透鏡具213.3透鏡的成像性質(zhì)光學(xué)成像系統(tǒng)是信息傳遞的系統(tǒng):光波攜帶輸入圖像信息（圖像的細(xì)節(jié)、對(duì)比、色彩等）從物平面?zhèn)鞑サ较衿矫?，輸出像的質(zhì)量完全取決于光學(xué)系統(tǒng)的傳遞特性。輸入圖像信息（圖像的細(xì)節(jié)、對(duì)比、色彩等）物平面像平面光學(xué)系統(tǒng)輸出圖像信息（傳遞特性）在一定條件下，成像系統(tǒng)可看作空間不變的線性系統(tǒng)，因而可以用線性系統(tǒng)理論來研究它的性能。將線性系統(tǒng)理論與傅里葉分析方法相結(jié)合，可以全面研究系統(tǒng)的空間頻率特性或傳遞函數(shù)。光學(xué)系統(tǒng)像質(zhì)評(píng)價(jià)方法20世紀(jì)50年代，霍普金斯完整提出了光學(xué)傳遞函數(shù)的概念和處理方法。它是一種全面評(píng)價(jià)光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的科學(xué)方法，并成為成像理論的重要基礎(chǔ)。3.3透鏡的成像性質(zhì)光學(xué)成像系統(tǒng)是信息傳遞的系統(tǒng):光223.3透鏡的成像性質(zhì)本節(jié)只討論最簡(jiǎn)單的情況：?jiǎn)紊庹彰飨?，一個(gè)薄的無像差的正透鏡對(duì)透射物體成實(shí)像。分析思路：按照光波的傳播方向，逐面確定光場(chǎng)分布，從而確定出系統(tǒng)的輸入—輸出關(guān)系，即3.3透鏡的成像性質(zhì)本節(jié)只討論最簡(jiǎn)單的情況：?jiǎn)紊庹彰?33.3透鏡的成像性質(zhì)利用菲涅耳衍射公式，可得又知，透鏡的復(fù)振幅透過率為則透鏡后的透射場(chǎng)分布為Step1：3.3透鏡的成像性質(zhì)利用菲涅耳衍射公式，可得又知，透鏡的243.3透鏡的成像性質(zhì)光波傳播距離di，再次利用菲涅耳衍射公式，可確定Ui，Step2：3.3透鏡的成像性質(zhì)光波傳播距離di，再次利用菲涅耳衍射253.3透鏡的成像性質(zhì)將代入上式，并進(jìn)行整理，舍棄常數(shù)位相因子，可得到若滿足成像關(guān)系，則為1

該位相因子不再依賴于(x0,y0)，可以舍去！[若點(diǎn)物產(chǎn)生的響應(yīng)是一個(gè)很小的像斑。]3.3透鏡的成像性質(zhì)將代入上式263.3透鏡的成像性質(zhì)于是，上式得到簡(jiǎn)化其中，G0是U0的傅里葉變換。上式表明成像過程經(jīng)歷了兩次傅里葉變換，物的頻率成分在傳遞過程中將受到有限大小光瞳的截取。由于并且令光瞳函數(shù)的傅里葉變換為3.3透鏡的成像性質(zhì)于是，上式得到簡(jiǎn)化其中，G0是U0的273.3透鏡的成像性質(zhì)則利用卷積定理有根據(jù)光波傳播的線性性質(zhì)，Ui可由下述疊加積分表示將兩式進(jìn)行對(duì)比，有1）幾何光學(xué)理想像點(diǎn)的坐標(biāo)滿足2）可看做系統(tǒng)脈沖響應(yīng)，而且3.3透鏡的成像性質(zhì)則利用卷積定理有根據(jù)光波傳播的線性性283.3透鏡的成像性質(zhì)定義一個(gè)新函數(shù)表示幾何光學(xué)的理想像，即假如不考慮衍射效應(yīng)，即認(rèn)為透鏡孔徑無限大，此時(shí)P(,)=1，則此時(shí)，（1）系統(tǒng)脈沖響應(yīng)是函數(shù)，即點(diǎn)物可成點(diǎn)像；（2）幾何光學(xué)的理想像是物體的準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)，它的像平面是倒立的，而且尺寸經(jīng)過縮放。3.3透鏡的成像性質(zhì)定義一個(gè)新函數(shù)表示幾何光學(xué)的理想像，293.3透鏡的成像性質(zhì)實(shí)際上，必須考慮透鏡有限孔徑產(chǎn)生的衍射效應(yīng)，此時(shí)顯然，脈沖響應(yīng)就等于透鏡孔徑的夫瑯和菲衍射圖樣，其中心位于理想像點(diǎn)輸出光場(chǎng)為像的光場(chǎng)分布是幾何光學(xué)理想像和系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的卷積。3.3透鏡的成像性質(zhì)實(shí)際上，必須考慮透鏡有限孔徑產(chǎn)生的衍303.3透鏡的成像性質(zhì)（1）上述卷積關(guān)系表明，由透鏡構(gòu)成的成像系統(tǒng)可看作是線性空間不變系統(tǒng)，其輸入物和輸出像之間的關(guān)系由卷積積分確定。（2）可以從疊加性質(zhì)和不變性兩方面理解卷積成像的物理意義，右圖是卷積成像的示意圖。作業(yè)：P74習(xí)題3.2、3.43.3透鏡的成像性質(zhì)（1）上述卷積關(guān)系表明，由透鏡構(gòu)成的313.4成像系統(tǒng)的一般分析任意的成像系統(tǒng)都可以分成三個(gè)部分，即從物面到入瞳的第一部分，從入瞳到出瞳的第二部分和從出瞳到像面的第三部分；光波在一、三部分的傳播可按菲涅耳衍射討論；對(duì)于第二部分即透鏡系統(tǒng)，在等暈條件下，可把它看作“黑箱”，只要能夠確定它兩端的邊端性質(zhì)，整個(gè)透鏡組的性質(zhì)就可以確定下來。對(duì)于實(shí)際的透鏡組，邊端性質(zhì)差別很大，但總可以分為兩類：衍射受限系統(tǒng)和有像差系統(tǒng)。3.4.1成像系統(tǒng)的一般模型3.4成像系統(tǒng)的一般分析任意的成像系統(tǒng)都可以分成三個(gè)部分323.4成像系統(tǒng)的一般分析

衍射受限系統(tǒng)是指系統(tǒng)可以不考慮像差的影響，僅僅考慮光瞳產(chǎn)生的衍射限制。它的邊端性質(zhì)是：物面上任一點(diǎn)光源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，被透鏡組變換為出瞳上的會(huì)聚球面波。

有像差系統(tǒng)的邊端性質(zhì)是：物面上任一點(diǎn)光源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，通過透鏡組后，出瞳處的波前明顯偏離理想球面波。3.4成像系統(tǒng)的一般分析衍射受限系統(tǒng)是指系統(tǒng)可以不考333.4成像系統(tǒng)的一般分析3.4.2阿貝成像理論1873年，阿貝基于對(duì)顯微鏡成像的研究，提出了其衍射成像理論。它認(rèn)為成像過程包括兩次衍射過程：從物體到透鏡焦平面的一次衍射——夫朗和費(fèi)衍射：受物體調(diào)制的光場(chǎng)復(fù)振幅分布被分解為各頻譜分量；從透鏡焦平面到像面的二次衍射：各頻譜分量又復(fù)合為像。

3.4成像系統(tǒng)的一般分析3.4.2阿貝成像理論18343.4成像系統(tǒng)的一般分析實(shí)際上，兩次衍射過程也是兩次傅里葉變換過程，即從物面到焦平面的傅立葉變換，焦平面就是頻譜面；從焦平面到像面的傅里葉逆變換。物面透鏡焦平面像面傅里葉變換傅里葉逆變換根據(jù)之前的分析，因?yàn)橥哥R有限孔徑大小的緣故，光學(xué)系統(tǒng)類似于一個(gè)低通濾波器，濾掉物體的高頻成分，而只讓一定范圍內(nèi)的低頻成分通過系統(tǒng)，所以光學(xué)系統(tǒng)不能傳遞物面的全部信息，像并不是物體的準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)。3.4成像系統(tǒng)的一般分析實(shí)際上，兩次衍射過程也是兩次傅353.4成像系統(tǒng)的一般分析3.4.3單色光照明的衍射受限系統(tǒng)當(dāng)單色光照明時(shí)，由于光波傳播的線性性質(zhì)，像面復(fù)振幅分布可以用疊加積分表示：其中，U0是物面復(fù)振幅分布，h是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，它表示(x0,y0)處的點(diǎn)源在像平面(xi,yi)處產(chǎn)生的復(fù)振幅。3.4成像系統(tǒng)的一般分析3.4.3單色光照明的363.4成像系統(tǒng)的一般分析對(duì)于衍射受限系統(tǒng)，h是由從出瞳向理想像點(diǎn)(Mx0,My0)會(huì)聚的球面波產(chǎn)生的。由系統(tǒng)的邊緣性質(zhì)，出瞳面上受到出瞳大小限制的會(huì)聚球面波的旁軸近似是：在像面上產(chǎn)生的光場(chǎng)分布可由菲涅耳公式寫出3.4成像系統(tǒng)的一般分析對(duì)于衍射受限系統(tǒng)，h是由從出瞳373.4成像系統(tǒng)的一般分析結(jié)果表明，單色光照明時(shí)，衍射受限系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是光學(xué)系統(tǒng)出瞳的夫朗和費(fèi)衍射圖樣，其中心在幾何光學(xué)的理想像點(diǎn)(Mx0,My0)處。而且該表達(dá)式表明該脈沖響應(yīng)具有空間不變性！根據(jù)前面的分析，不難確定像的復(fù)振幅分布Ui是幾何光學(xué)預(yù)言的理想像Ug與系統(tǒng)出瞳所確定的復(fù)振幅脈沖響應(yīng)h的卷積：

將U(,)代入上式并進(jìn)行整理，最終得到其中，是理想像的坐標(biāo)，M為系統(tǒng)放大率，3.4成像系統(tǒng)的一般分析結(jié)果表明，單色光照明時(shí)，衍射受限383.4成像系統(tǒng)的一般分析3.4.4非單色光照明實(shí)際的照明光源絕不是理想單色的。事實(shí)上，照明光束的振幅和位相隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，將會(huì)對(duì)成像系統(tǒng)的性能產(chǎn)生重要影響。非單色光照明時(shí)，xy平面光擾動(dòng)隨時(shí)間變化，可以用復(fù)值函數(shù)u(x,y;t)表示其中，是光波的平均頻率，U(x,y;t)稱為相幅矢量，是空間和時(shí)間坐標(biāo)的函數(shù)。當(dāng)采用非單色光照明物體時(shí)，每一物點(diǎn)的振幅和位相隨時(shí)間作無規(guī)則變化；在像平面，與每一物點(diǎn)對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)也將隨時(shí)間作無規(guī)則變化。最終像的強(qiáng)度分布將取決于這些脈沖響應(yīng)之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，也正是取決于物面上被照明各點(diǎn)振幅和位相的統(tǒng)計(jì)關(guān)系。3.4成像系統(tǒng)的一般分析3.4.4非單色光照明實(shí)際393.4成像系統(tǒng)的一般分析考慮兩種典型的物體照明方式：空間相干和非相干照明。

相干成像系統(tǒng)對(duì)復(fù)振幅是線性的，可直接利用單色光照明的分析結(jié)果；非相干成像系統(tǒng)對(duì)強(qiáng)度這一物理量是線性的，強(qiáng)度變換的脈沖響應(yīng)正比于相干系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的平方。3.4成像系統(tǒng)的一般分析考慮兩種典型的物體照明方式：空間403.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.5.1相干傳遞函數(shù)相干成像系統(tǒng)的物像關(guān)系由卷積積分描述，即其中，M為系統(tǒng)放大倍數(shù)，Ug是幾何光學(xué)理想成像的復(fù)振幅分布，是復(fù)振幅脈沖響應(yīng)(或相干脈沖響應(yīng)）。衍射受限的相干傳遞系統(tǒng)對(duì)于復(fù)振幅的傳遞是線性空間不變系統(tǒng)。3.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.5.1相干413.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)下面從頻域的角度來分析成像過程：選擇復(fù)指數(shù)函數(shù)作為基元物分布，考察系統(tǒng)對(duì)各種頻率成份的傳遞特性。定義系統(tǒng)的輸入頻譜Gg(fx,fy)和輸出頻譜Gi(fx,fy)分別為把相干脈沖響應(yīng)的傅里葉變換定義為相干傳遞函數(shù)(CTF)，即則三者具有如下關(guān)系：Hc表征了衍射受限的相干成像系統(tǒng)在頻域中的作用，它使輸入頻譜轉(zhuǎn)換為輸出頻譜。Hc決定于系統(tǒng)本身的物理結(jié)構(gòu)，其與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系為

3.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)下面從頻域的角度來423.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)相干傳遞函數(shù)(CTF)Hc為相干傳遞函數(shù)正比于經(jīng)過坐標(biāo)反射的光瞳函數(shù)；考慮實(shí)際光瞳的有限大小，光瞳函數(shù)總是取0和1兩個(gè)值，所以相干傳遞函數(shù)也是如此。也就是說系統(tǒng)是一個(gè)低通濾波器，系統(tǒng)在頻域中有一個(gè)有限的通頻帶，此通帶內(nèi)全部頻譜分量通過系統(tǒng)時(shí)不產(chǎn)生振幅和位相畸變，通帶以外的頻譜分量不能通過系統(tǒng)。也可以借用單色光場(chǎng)傳播的角譜方法來解釋相干傳遞系統(tǒng)在頻域的響應(yīng)。相干傳遞函數(shù)為：光瞳本身的透過率函數(shù)就是頻域的傳遞函數(shù)：傾角(x,y)超過某一范圍的平面波分量將被系統(tǒng)濾除，即超過某一頻率范圍的平面波將被系統(tǒng)濾除，如右圖所示。3.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)相干傳遞函數(shù)(CT433.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.5.2相干傳遞函數(shù)的計(jì)算和運(yùn)用實(shí)例例1衍射受限的相干成像系統(tǒng)，其出瞳是邊長(zhǎng)為l的正方形，光瞳函數(shù)是則相干傳遞函數(shù)為其中，為截止頻率。3.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.5.2相443.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)例2衍射受限的相干成像系統(tǒng)，其出瞳是直徑為l的圓形孔徑，光瞳函數(shù)是其中，為截止頻率。則相干傳遞函數(shù)為3.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)例2衍射受限的453.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.1非相干照明時(shí)的物像關(guān)系式非相干成像系統(tǒng)是強(qiáng)度變換的線性系統(tǒng)，物像關(guān)系滿足如下卷積積分其中，k是實(shí)常數(shù)；Ig是幾何光學(xué)理想像的強(qiáng)度分布；Ii為像的強(qiáng)度分布；hi是光強(qiáng)度脈沖響應(yīng)(或非相干脈沖響應(yīng)、點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù))，它是點(diǎn)物產(chǎn)生的衍射光斑的強(qiáng)度分布，而且有上式卷積積分關(guān)系表明，把點(diǎn)源作為輸入的基元物，它將在像面上產(chǎn)生以幾何光學(xué)理想像點(diǎn)為中心的像斑，物體上所有點(diǎn)源產(chǎn)生的像斑按強(qiáng)度疊加的結(jié)果就給出像面的強(qiáng)度分布。3.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.1非463.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.2光強(qiáng)的空間頻譜由于光強(qiáng)脈沖響應(yīng)hI是實(shí)函數(shù)，余弦函數(shù)是非相干成像系統(tǒng)的本征函數(shù)；因而可以選擇余弦的光強(qiáng)分量作為基元物。定義Ag(x,y)和Ai(x,y)分別為輸入光強(qiáng)頻譜和輸出光強(qiáng)頻譜，即對(duì)應(yīng)的歸一化光強(qiáng)頻譜為3.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.2473.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.3光學(xué)傳遞函數(shù)的定義及物理意義(卷積定理)其中，HI是光強(qiáng)脈沖響應(yīng)的傅里葉變換，對(duì)于零頻成分則有：定義非相干成像系統(tǒng)的歸一化傳遞函數(shù)為通常把它稱為非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)(OTF)，它描述了非相干成像系統(tǒng)在頻域的效應(yīng)。3.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.3光483.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)因?yàn)镺TF通常是復(fù)函數(shù)，所以可表示為其中，調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF)相位傳遞函數(shù)(PTF)MTF描述系統(tǒng)對(duì)各頻率分量對(duì)比度的傳遞特性，而PTF描述系統(tǒng)對(duì)各頻率分量施加的相移。3.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)因?yàn)镺TF通常是493.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.4OTF與CTF的聯(lián)系CTF和OTF分別是描述同一成像系統(tǒng)采用相干照明和非相干照明時(shí)的傳遞函數(shù)，它們都取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，所以兩者之間必然存在一定的聯(lián)系。聯(lián)系的紐帶就是：其中，CTF和OTF分別定義為利用傅里葉變換的自相關(guān)定理不難得出3.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.4O503.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.5衍射受限系統(tǒng)的OTF已知OTF為對(duì)于相干照明的衍射受限系統(tǒng)，已知?jiǎng)t得到上述OTF的表達(dá)式為衍射受限系統(tǒng)的OTF是光瞳函數(shù)的歸一化自相關(guān)函數(shù)。幾何解釋：分母是光瞳的總面積S0，分子代表中心為(-difx,dify)的經(jīng)過平移的光瞳與原光瞳的重疊面積S(fx,fy)，求衍射受限的OTF只不過是歸一化的重疊面積的計(jì)算問題：3.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.5513.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限系統(tǒng)的OTF的幾何解釋和一些特性：(1)H(fx,fy)非負(fù)，因此系統(tǒng)只改變個(gè)頻率分量的調(diào)制度，而不產(chǎn)生相移，它只需要計(jì)算MTF(2)H(0,0)=1(3)H(fx,fy)

H(0,0)3.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限系統(tǒng)的O523.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.6衍射受限系統(tǒng)的OTF計(jì)算和運(yùn)用實(shí)例例1衍射受限的非相干成像系統(tǒng)，其出瞳為邊長(zhǎng)為l的正方形，求其OTFAnswer:

[f0是同一系統(tǒng)采用相干照明時(shí)的截止頻率]3.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.6533.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)例2衍射受限的非相干成像系統(tǒng)，其出瞳為直徑為l的圓形孔徑，求其OTF是用極坐標(biāo)表示的空間頻率坐標(biāo)；非相干截止頻率為相干的兩倍。

其中，截止頻率3.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)例2衍射受限543.7像差對(duì)成像系統(tǒng)傳遞函數(shù)的影響當(dāng)系統(tǒng)必須考慮像差時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)則不同，在相干和非相干照明下，傳遞函數(shù)往往是復(fù)函數(shù)，即系統(tǒng)對(duì)各頻率成分的對(duì)比和位相都產(chǎn)生影響。對(duì)于實(shí)際的有像差的成像系統(tǒng)，可以把物平面分成許多小區(qū)域(等暈區(qū))，在每個(gè)等暈區(qū)里認(rèn)為系統(tǒng)近似是空間不變的，找出相應(yīng)的脈沖效應(yīng)和傳遞函數(shù)。3.7.1廣義光瞳函數(shù)系統(tǒng)像差的效應(yīng)集中表現(xiàn)為出瞳面上波前對(duì)于理想球面的偏離，其大小用波像差表示。像差所產(chǎn)生的位相偏差為以及光瞳孔徑對(duì)出射波前大小的限制可以合并起來考慮，用廣義光瞳函數(shù)來表示，即

3.7像差對(duì)成像系統(tǒng)傳遞函數(shù)的影響當(dāng)系統(tǒng)必須考慮像差時(shí)，553.7像差對(duì)成像系統(tǒng)傳遞函數(shù)的影響3.7.2像差對(duì)CTF的影響根據(jù)CTF的定義，不難得到上式表明，考慮像差以后，相干成像系統(tǒng)的通頻帶沒有改變，但在通頻帶內(nèi)引入了位相畸變，使像質(zhì)變壞。3.7.3像差對(duì)OTF的影響考慮像差時(shí)，利用廣義光瞳函數(shù)的歸一化自相關(guān)函數(shù)計(jì)算OTF各空間頻率余弦分量的調(diào)制度進(jìn)一步降低，且由于系統(tǒng)PTF的影響，使各頻率分量有相對(duì)相移，于是成像質(zhì)量下降。由于3.7像差對(duì)成像系統(tǒng)傳遞函數(shù)的影響3.7.2像差對(duì)563.8相干與非相干成像系統(tǒng)的比較

截止頻率：OTF的截止頻率是CTF截止頻率的兩倍，但前者是對(duì)強(qiáng)度而言，后者是對(duì)復(fù)振幅而言的，兩者由于對(duì)應(yīng)物理量不同，不能從數(shù)值上簡(jiǎn)單比較。成像好壞也與物體本身有關(guān)。

兩點(diǎn)分辨率：根據(jù)瑞利分辨率判據(jù)，對(duì)兩個(gè)等強(qiáng)度的非相干點(diǎn)光源，若一個(gè)點(diǎn)光源產(chǎn)生的愛里斑中心恰好與第二個(gè)點(diǎn)光源產(chǎn)生的愛里斑的第一個(gè)零點(diǎn)重合，則認(rèn)為這兩個(gè)點(diǎn)光源剛好能夠分辨。高斯像面的最小可分辨間隔是式中l(wèi)是出瞳的直徑。

相干噪聲：相干成像系統(tǒng)在像面上會(huì)出現(xiàn)激光散斑，或灰塵等產(chǎn)生的衍射斑，這些“相干噪聲”對(duì)成像不利。非相干成像系統(tǒng)不產(chǎn)生相干噪聲。

對(duì)于相干成像系統(tǒng)能否分辨兩個(gè)點(diǎn)光源除要考慮兩點(diǎn)間距還必須考慮它們的位相關(guān)系。3.8相干與非相干成像系統(tǒng)的比較截止頻率：OTF的截止57本章小結(jié)1）透鏡是一種重要的光學(xué)成像元件，其成像過程可以看成二次傅里葉變換過程；對(duì)于更一般的成像系統(tǒng)，阿貝成像原理證明了成像包括兩次傅里葉變換過程。2）根據(jù)成像系統(tǒng)的邊端性質(zhì)，將系統(tǒng)分為衍射受限系統(tǒng)和有像差系統(tǒng)；根據(jù)照明方式又分為相干照明系統(tǒng)和非相干照明系統(tǒng)。3）對(duì)于衍射受限的系統(tǒng)，無論是相干照明還是非相干照明方式，都可以利用傳遞函數(shù)的方法研究系統(tǒng)的傳遞特性，區(qū)別在于相干成像系統(tǒng)對(duì)于復(fù)振幅的傳遞是線性空間不變系統(tǒng)，而非相干成像系統(tǒng)對(duì)于強(qiáng)度是線性空間不變的系統(tǒng)。4）分別用相干傳遞函數(shù)CTF和光學(xué)傳遞函數(shù)OTF來描述相干成像系統(tǒng)和非相干成像系統(tǒng)的傳遞特性。對(duì)于衍射受限的情況，CTF是一個(gè)低通函數(shù)，只存在0和1兩個(gè)值；而OTF是一個(gè)非負(fù)函數(shù)，系統(tǒng)只改變頻率分量的調(diào)制度，而不產(chǎn)生相移，只考慮MTF即可。5）若成像系統(tǒng)必須考慮像差，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)則發(fā)生變換，一般是復(fù)函數(shù)，系統(tǒng)對(duì)各頻率成分的對(duì)比和位相都產(chǎn)生影響。本章小結(jié)1）透鏡是一種重要的光學(xué)成像元件，其成像過程可以看成58第三章

光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性第三章

光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性59本章主要內(nèi)容3.1、透鏡的位相調(diào)制作用3.2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)3.3、透鏡的成像性質(zhì)3.4、成像系統(tǒng)的一般分析3.5、衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6、衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.7、像差對(duì)成像系統(tǒng)傳遞函數(shù)的影響3.8、相干和非相干成像系統(tǒng)的比較本章主要內(nèi)容3.1、透鏡的位相調(diào)制作用603.1透鏡的位相調(diào)制作用透鏡是一種非常重要的光學(xué)元件，其主要功能包括：成像和傅里葉變換。1）透鏡的成像功能2）透鏡的傅里葉變換功能（夫瑯和費(fèi)衍射）

Question:

透鏡為什么具有這樣的功能？3.1透鏡的位相調(diào)制作用透鏡是一種非常重要的光學(xué)元件，613.1透鏡的位相調(diào)制作用1.透鏡對(duì)入射波前的作用透鏡的復(fù)振幅透過率：在傍軸近似下，忽略透鏡對(duì)光波振幅的影響，緊靠透鏡前后的平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布為3.1透鏡的位相調(diào)制作用1.透鏡對(duì)入射波前的作用透623.1透鏡的位相調(diào)制作用則透鏡復(fù)振幅透過率表示為：(常數(shù)項(xiàng))(調(diào)制項(xiàng))對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，它改變的是光波整體的位相分布，并不影響平面上位相的相對(duì)空間分布，分析時(shí)可忽略掉。對(duì)于調(diào)制項(xiàng)，它改變了平面上位相的相對(duì)空間分布，能把發(fā)散球面波變換為會(huì)聚球面波。根據(jù)幾何光學(xué)中介紹的透鏡成像公式(為透鏡的焦距)3.1透鏡的位相調(diào)制作用則透鏡復(fù)振幅透過率表示為：(常633.1透鏡的位相調(diào)制作用因此，透鏡的位相調(diào)制因子：Answer:

透鏡本身的厚度變化，使得入射光波在通過透鏡的不同部位時(shí)，經(jīng)過的光程差不同，即所受時(shí)間延遲不同，從而使得光波的等相位面發(fā)生彎曲。結(jié)論：通過上面的分析可知，透鏡對(duì)透射的光波具有位相調(diào)制的功能。但是，透鏡為什么會(huì)具有這種能力呢？3.1透鏡的位相調(diào)制作用因此，透鏡的位相調(diào)制因子：An643.1透鏡的位相調(diào)制作用2透鏡的厚度函數(shù)主要考慮薄透鏡的情況(忽略了折射效應(yīng))如果進(jìn)一步忽略光在透鏡表面的反射以及透鏡內(nèi)部吸收造成的損耗，認(rèn)為通過透鏡的光波振幅分布不發(fā)生變化，只是產(chǎn)生一個(gè)大小正比于透鏡各點(diǎn)厚度的位相變化，于是透鏡的位相調(diào)制可以表示為：L(x,y)L(x,y)是Q到Q’之間的光程：則上式具有普遍意義，對(duì)于任意面形的薄位相物體，一旦知道其厚度函數(shù)(x,y)，就可以根據(jù)該式得到其位相調(diào)制。3.1透鏡的位相調(diào)制作用2透鏡的厚度函數(shù)主要考慮653.1透鏡的位相調(diào)制作用下面具體分析一下厚度函數(shù)(x,y)和透鏡主要結(jié)構(gòu)參數(shù)(構(gòu)成透鏡的兩個(gè)球面的曲率半徑R1和R2)之間的關(guān)系。僅考慮傍軸光將透鏡一剖為二3.1透鏡的位相調(diào)制作用下面具體分析一下厚度函數(shù)(663.1透鏡的位相調(diào)制作用3透鏡的復(fù)振幅透過率根據(jù)厚度函數(shù)的表達(dá)式，可得到在傍軸近似下，光波通過透鏡時(shí)在(x,y)點(diǎn)發(fā)生的位相延遲常數(shù)項(xiàng)透鏡位相因子(n為透鏡材料的折射率)3.1透鏡的位相調(diào)制作用3透鏡的復(fù)振幅透過率根據(jù)673.1透鏡的位相調(diào)制作用以上推導(dǎo)的關(guān)系適用于各種形式的薄透鏡，而且是在傍軸近似條件下推導(dǎo)出來的。透鏡的作用：將入射平面波變換為會(huì)聚（發(fā)散）球面波，如下圖所示。入射平面波變換為球面波，這正是由于透鏡具有的位相因子，能夠?qū)θ肷洳ㄇ笆┘游幌嗾{(diào)制的結(jié)果。3.1透鏡的位相調(diào)制作用以上推導(dǎo)的關(guān)系適用于各種形式的683.1透鏡的位相調(diào)制作用1）若在非傍軸近似條件下，即使透鏡表面是理想球面，透射光波也將偏離理想球面波，即透鏡產(chǎn)生波像差。2）實(shí)際透鏡總是有大小的，即存在一個(gè)有限大小的孔徑。引入光瞳函數(shù)P(x,y)來表示透鏡的有限孔徑，即于是透鏡的復(fù)振幅透過率可以完整的表示為：其中，表示透鏡對(duì)入射波前的位相調(diào)制；表示透鏡對(duì)于入射波前大小范圍的限制。3.1透鏡的位相調(diào)制作用1）若在非傍軸近似條件下，即使693.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)回顧一下：利用透鏡實(shí)現(xiàn)夫瑯和費(fèi)衍射，可以在透鏡的焦平面上得到入射場(chǎng)的空間頻譜，即實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的運(yùn)算。透鏡為什么具有這種功能呢？***根本原因在于它具有能對(duì)入射波前施加位相調(diào)制的功能，或者說是透鏡的二次位相因子在起作用。下面將具體分析一下這種作用發(fā)生的具體過程，并深入討論透鏡實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的一些性質(zhì)。光波傳播分析方法3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)回顧一下：利用透鏡實(shí)現(xiàn)夫瑯703.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡后焦面上的場(chǎng)是透鏡前端場(chǎng)U1(x,y)的傅立葉變換(空間頻譜)根據(jù)透鏡的位相調(diào)制功能，透鏡后端場(chǎng)U2(x,y)為:從透鏡后端到后焦面光的傳播屬于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的場(chǎng)U(x,y)為：?物體放置在透鏡前d處3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡后焦面上的場(chǎng)713.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)后焦面上的場(chǎng)分布為焦面場(chǎng)是透鏡前端場(chǎng)的傅里葉變換(空間頻譜)。如上圖所示，距離透鏡前端有一物體，其透過率為t(x0,y0)。若用振幅為A的平面波垂直照明物體，則物體的透射光場(chǎng)為：根據(jù)角譜理論，透鏡前端場(chǎng)的角譜為：則有：3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)后焦面上的場(chǎng)分布為焦面場(chǎng)是透鏡723.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)上式具有普遍意義，它證明在物體透射場(chǎng)的菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)放置一透鏡，在透鏡的后焦面上就可以得到該透射場(chǎng)的傅里葉變換(空間頻譜)。如果d>0，物體在透鏡前方，由于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜產(chǎn)生一個(gè)位相彎曲。其中，T()為透過率函數(shù)t()的頻譜。對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度分布為（二次位相彎曲因子）3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)上式具有普遍意義，它證明在物733.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)如果d=f，物體在透鏡前焦面，二次位相彎曲消失，后焦面的光場(chǎng)分布是物體準(zhǔn)確的傅里葉變換。如果d=0，物體在透鏡前端面，由于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜也產(chǎn)生一個(gè)位相彎曲。3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)如果d=f，物體在透鏡前焦743.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)總結(jié)一下：在單色平面波照明下，無論物體位于透鏡前方、后方還是緊靠透鏡，在透鏡的后焦面上都可以得到物體的功率譜；對(duì)于這樣的照明方式，透鏡后焦面常稱為傅里葉變換平面或（空間）頻譜面。如果采用球面波照明時(shí)，透鏡還能進(jìn)行傅里葉變化嗎？那頻譜面還是焦平面嗎?透鏡連續(xù)兩次變換？Answer:

透鏡還能起傅里葉變換作用，但是頻譜面不再是焦平面，而是點(diǎn)光源的像面位置。具體推導(dǎo)過程可參考有關(guān)參考書，這里不再贅述。3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)總結(jié)一下：Answer:753.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)3.2.3透鏡孔徑的影響（1）有限大小的透鏡孔徑可能會(huì)造成物體頻譜的失真，原因就在于透鏡實(shí)際上是一個(gè)低通濾波器：低頻成分可以通過，稍高頻率成分可以部分通過，高頻部分則完全被濾除。（2）因此由于透鏡有限孔徑的影響，后焦面上不能得到準(zhǔn)確的物體頻譜，給傅里葉變換結(jié)果帶來誤差，頻率越高，誤差越大。我們把這種現(xiàn)象稱為漸暈效應(yīng)。（3）采用盡可能大的透鏡孔徑，或物體盡可能靠近透鏡，可以減小漸暈的影響。3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)3.2.3透鏡孔徑的影響（176

3.2.4透鏡傅里葉變換的應(yīng)用

光學(xué)頻譜分析的基本原理就是利用透鏡的傅里葉變換性質(zhì)來產(chǎn)生物體的空間頻譜，然后對(duì)它進(jìn)行測(cè)量、分析來研究物體的空間結(jié)構(gòu)。上圖所示為二維光學(xué)頻譜分析系統(tǒng)的光路。S為相干點(diǎn)光源，L1為準(zhǔn)直透鏡，L2為傅里葉變換透鏡。P1平面（L2前焦面）放置輸入物體，其復(fù)振幅透過率為t(x1,y1)。在P2平面（L2后焦面）上，輸出光場(chǎng)分布正比于物體的空間頻譜，即

3.2.4773.2.4透鏡傅里葉變換的應(yīng)用強(qiáng)度記錄得到物體的功率譜為光學(xué)頻譜分析可用于微小物體的形狀尺寸檢測(cè)、質(zhì)量檢測(cè)、圖像分析等領(lǐng)域。3.2.4透鏡傅里葉變換的應(yīng)用強(qiáng)度記錄得到物體的功率譜為78小結(jié)1）透鏡具有成像和傅里葉變換的功能，其根本原因在于透鏡具有對(duì)入射波前進(jìn)行位相調(diào)制的功能；而透鏡之所以具有這種位相調(diào)制的功能就在于透鏡本身存在的厚度變化。2）透鏡具有傅里葉變換的功能當(dāng)采用平面波垂直照明時(shí)，總可以在透鏡后焦面上得到物體的功率譜，無論物體放置在透鏡前方、后方還是緊靠透鏡；但當(dāng)用球面波照明時(shí)，頻譜面不在透鏡焦平面上，而是點(diǎn)光源的成像位置。3）透鏡有限大小的孔徑對(duì)傅里葉變換有很大的影響，給傅里葉變換結(jié)果帶來誤差，頻率越高，誤差越大。透鏡相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器。小結(jié)1）透鏡具有成像和傅里葉變換的功能，其根本原因在于透鏡具793.3透鏡的成像性質(zhì)光學(xué)成像系統(tǒng)是信息傳遞的系統(tǒng):光波攜帶輸入圖像信息（圖像的細(xì)節(jié)、對(duì)比、色彩等）從物平面?zhèn)鞑サ较衿矫妫敵鱿竦馁|(zhì)量完全取決于光學(xué)系統(tǒng)的傳遞特性。輸入圖像信息（圖像的細(xì)節(jié)、對(duì)比、色彩等）物平面像平面光學(xué)系統(tǒng)輸出圖像信息（傳遞特性）在一定條件下，成像系統(tǒng)可看作空間不變的線性系統(tǒng)，因而可以用線性系統(tǒng)理論來研究它的性能。將線性系統(tǒng)理論與傅里葉分析方法相結(jié)合，可以全面研究系統(tǒng)的空間頻率特性或傳遞函數(shù)。光學(xué)系統(tǒng)像質(zhì)評(píng)價(jià)方法20世紀(jì)50年代，霍普金斯完整提出了光學(xué)傳遞函數(shù)的概念和處理方法。它是一種全面評(píng)價(jià)光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的科學(xué)方法，并成為成像理論的重要基礎(chǔ)。3.3透鏡的成像性質(zhì)光學(xué)成像系統(tǒng)是信息傳遞的系統(tǒng):光803.3透鏡的成像性質(zhì)本節(jié)只討論最簡(jiǎn)單的情況：?jiǎn)紊庹彰飨拢粋€(gè)薄的無像差的正透鏡對(duì)透射物體成實(shí)像。分析思路：按照光波的傳播方向，逐面確定光場(chǎng)分布，從而確定出系統(tǒng)的輸入—輸出關(guān)系，即3.3透鏡的成像性質(zhì)本節(jié)只討論最簡(jiǎn)單的情況：?jiǎn)紊庹彰?13.3透鏡的成像性質(zhì)利用菲涅耳衍射公式，可得又知，透鏡的復(fù)振幅透過率為則透鏡后的透射場(chǎng)分布為Step1：3.3透鏡的成像性質(zhì)利用菲涅耳衍射公式，可得又知，透鏡的823.3透鏡的成像性質(zhì)光波傳播距離di，再次利用菲涅耳衍射公式，可確定Ui，Step2：3.3透鏡的成像性質(zhì)光波傳播距離di，再次利用菲涅耳衍射833.3透鏡的成像性質(zhì)將代入上式，并進(jìn)行整理，舍棄常數(shù)位相因子，可得到若滿足成像關(guān)系，則為1

該位相因子不再依賴于(x0,y0)，可以舍去！[若點(diǎn)物產(chǎn)生的響應(yīng)是一個(gè)很小的像斑。]3.3透鏡的成像性質(zhì)將代入上式843.3透鏡的成像性質(zhì)于是，上式得到簡(jiǎn)化其中，G0是U0的傅里葉變換。上式表明成像過程經(jīng)歷了兩次傅里葉變換，物的頻率成分在傳遞過程中將受到有限大小光瞳的截取。由于并且令光瞳函數(shù)的傅里葉變換為3.3透鏡的成像性質(zhì)于是，上式得到簡(jiǎn)化其中，G0是U0的853.3透鏡的成像性質(zhì)則利用卷積定理有根據(jù)光波傳播的線性性質(zhì)，Ui可由下述疊加積分表示將兩式進(jìn)行對(duì)比，有1）幾何光學(xué)理想像點(diǎn)的坐標(biāo)滿足2）可看做系統(tǒng)脈沖響應(yīng)，而且3.3透鏡的成像性質(zhì)則利用卷積定理有根據(jù)光波傳播的線性性863.3透鏡的成像性質(zhì)定義一個(gè)新函數(shù)表示幾何光學(xué)的理想像，即假如不考慮衍射效應(yīng)，即認(rèn)為透鏡孔徑無限大，此時(shí)P(,)=1，則此時(shí)，（1）系統(tǒng)脈沖響應(yīng)是函數(shù)，即點(diǎn)物可成點(diǎn)像；（2）幾何光學(xué)的理想像是物體的準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)，它的像平面是倒立的，而且尺寸經(jīng)過縮放。3.3透鏡的成像性質(zhì)定義一個(gè)新函數(shù)表示幾何光學(xué)的理想像，873.3透鏡的成像性質(zhì)實(shí)際上，必須考慮透鏡有限孔徑產(chǎn)生的衍射效應(yīng)，此時(shí)顯然，脈沖響應(yīng)就等于透鏡孔徑的夫瑯和菲衍射圖樣，其中心位于理想像點(diǎn)輸出光場(chǎng)為像的光場(chǎng)分布是幾何光學(xué)理想像和系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的卷積。3.3透鏡的成像性質(zhì)實(shí)際上，必須考慮透鏡有限孔徑產(chǎn)生的衍883.3透鏡的成像性質(zhì)（1）上述卷積關(guān)系表明，由透鏡構(gòu)成的成像系統(tǒng)可看作是線性空間不變系統(tǒng)，其輸入物和輸出像之間的關(guān)系由卷積積分確定。（2）可以從疊加性質(zhì)和不變性兩方面理解卷積成像的物理意義，右圖是卷積成像的示意圖。作業(yè)：P74習(xí)題3.2、3.43.3透鏡的成像性質(zhì)（1）上述卷積關(guān)系表明，由透鏡構(gòu)成的893.4成像系統(tǒng)的一般分析任意的成像系統(tǒng)都可以分成三個(gè)部分，即從物面到入瞳的第一部分，從入瞳到出瞳的第二部分和從出瞳到像面的第三部分；光波在一、三部分的傳播可按菲涅耳衍射討論；對(duì)于第二部分即透鏡系統(tǒng)，在等暈條件下，可把它看作“黑箱”，只要能夠確定它兩端的邊端性質(zhì)，整個(gè)透鏡組的性質(zhì)就可以確定下來。對(duì)于實(shí)際的透鏡組，邊端性質(zhì)差別很大，但總可以分為兩類：衍射受限系統(tǒng)和有像差系統(tǒng)。3.4.1成像系統(tǒng)的一般模型3.4成像系統(tǒng)的一般分析任意的成像系統(tǒng)都可以分成三個(gè)部分903.4成像系統(tǒng)的一般分析

衍射受限系統(tǒng)是指系統(tǒng)可以不考慮像差的影響，僅僅考慮光瞳產(chǎn)生的衍射限制。它的邊端性質(zhì)是：物面上任一點(diǎn)光源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，被透鏡組變換為出瞳上的會(huì)聚球面波。

有像差系統(tǒng)的邊端性質(zhì)是：物面上任一點(diǎn)光源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，通過透鏡組后，出瞳處的波前明顯偏離理想球面波。3.4成像系統(tǒng)的一般分析衍射受限系統(tǒng)是指系統(tǒng)可以不考913.4成像系統(tǒng)的一般分析3.4.2阿貝成像理論1873年，阿貝基于對(duì)顯微鏡成像的研究，提出了其衍射成像理論。它認(rèn)為成像過程包括兩次衍射過程：從物體到透鏡焦平面的一次衍射——夫朗和費(fèi)衍射：受物體調(diào)制的光場(chǎng)復(fù)振幅分布被分解為各頻譜分量；從透鏡焦平面到像面的二次衍射：各頻譜分量又復(fù)合為像。

3.4成像系統(tǒng)的一般分析3.4.2阿貝成像理論18923.4成像系統(tǒng)的一般分析實(shí)際上，兩次衍射過程也是兩次傅里葉變換過程，即從物面到焦平面的傅立葉變換，焦平面就是頻譜面；從焦平面到像面的傅里葉逆變換。物面透鏡焦平面像面傅里葉變換傅里葉逆變換根據(jù)之前的分析，因?yàn)橥哥R有限孔徑大小的緣故，光學(xué)系統(tǒng)類似于一個(gè)低通濾波器，濾掉物體的高頻成分，而只讓一定范圍內(nèi)的低頻成分通過系統(tǒng)，所以光學(xué)系統(tǒng)不能傳遞物面的全部信息，像并不是物體的準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)。3.4成像系統(tǒng)的一般分析實(shí)際上，兩次衍射過程也是兩次傅933.4成像系統(tǒng)的一般分析3.4.3單色光照明的衍射受限系統(tǒng)當(dāng)單色光照明時(shí)，由于光波傳播的線性性質(zhì)，像面復(fù)振幅分布可以用疊加積分表示：其中，U0是物面復(fù)振幅分布，h是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，它表示(x0,y0)處的點(diǎn)源在像平面(xi,yi)處產(chǎn)生的復(fù)振幅。3.4成像系統(tǒng)的一般分析3.4.3單色光照明的943.4成像系統(tǒng)的一般分析對(duì)于衍射受限系統(tǒng)，h是由從出瞳向理想像點(diǎn)(Mx0,My0)會(huì)聚的球面波產(chǎn)生的。由系統(tǒng)的邊緣性質(zhì)，出瞳面上受到出瞳大小限制的會(huì)聚球面波的旁軸近似是：在像面上產(chǎn)生的光場(chǎng)分布可由菲涅耳公式寫出3.4成像系統(tǒng)的一般分析對(duì)于衍射受限系統(tǒng)，h是由從出瞳953.4成像系統(tǒng)的一般分析結(jié)果表明，單色光照明時(shí)，衍射受限系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是光學(xué)系統(tǒng)出瞳的夫朗和費(fèi)衍射圖樣，其中心在幾何光學(xué)的理想像點(diǎn)(Mx0,My0)處。而且該表達(dá)式表明該脈沖響應(yīng)具有空間不變性！根據(jù)前面的分析，不難確定像的復(fù)振幅分布Ui是幾何光學(xué)預(yù)言的理想像Ug與系統(tǒng)出瞳所確定的復(fù)振幅脈沖響應(yīng)h的卷積：

將U(,)代入上式并進(jìn)行整理，最終得到其中，是理想像的坐標(biāo)，M為系統(tǒng)放大率，3.4成像系統(tǒng)的一般分析結(jié)果表明，單色光照明時(shí)，衍射受限963.4成像系統(tǒng)的一般分析3.4.4非單色光照明實(shí)際的照明光源絕不是理想單色的。事實(shí)上，照明光束的振幅和位相隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，將會(huì)對(duì)成像系統(tǒng)的性能產(chǎn)生重要影響。非單色光照明時(shí)，xy平面光擾動(dòng)隨時(shí)間變化，可以用復(fù)值函數(shù)u(x,y;t)表示其中，是光波的平均頻率，U(x,y;t)稱為相幅矢量，是空間和時(shí)間坐標(biāo)的函數(shù)。當(dāng)采用非單色光照明物體時(shí)，每一物點(diǎn)的振幅和位相隨時(shí)間作無規(guī)則變化；在像平面，與每一物點(diǎn)對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)也將隨時(shí)間作無規(guī)則變化。最終像的強(qiáng)度分布將取決于這些脈沖響應(yīng)之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，也正是取決于物面上被照明各點(diǎn)振幅和位相的統(tǒng)計(jì)關(guān)系。3.4成像系統(tǒng)的一般分析3.4.4非單色光照明實(shí)際973.4成像系統(tǒng)的一般分析考慮兩種典型的物體照明方式：空間相干和非相干照明。

相干成像系統(tǒng)對(duì)復(fù)振幅是線性的，可直接利用單色光照明的分析結(jié)果；非相干成像系統(tǒng)對(duì)強(qiáng)度這一物理量是線性的，強(qiáng)度變換的脈沖響應(yīng)正比于相干系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的平方。3.4成像系統(tǒng)的一般分析考慮兩種典型的物體照明方式：空間983.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.5.1相干傳遞函數(shù)相干成像系統(tǒng)的物像關(guān)系由卷積積分描述，即其中，M為系統(tǒng)放大倍數(shù)，Ug是幾何光學(xué)理想成像的復(fù)振幅分布，是復(fù)振幅脈沖響應(yīng)(或相干脈沖響應(yīng)）。衍射受限的相干傳遞系統(tǒng)對(duì)于復(fù)振幅的傳遞是線性空間不變系統(tǒng)。3.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.5.1相干993.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)下面從頻域的角度來分析成像過程：選擇復(fù)指數(shù)函數(shù)作為基元物分布，考察系統(tǒng)對(duì)各種頻率成份的傳遞特性。定義系統(tǒng)的輸入頻譜Gg(fx,fy)和輸出頻譜Gi(fx,fy)分別為把相干脈沖響應(yīng)的傅里葉變換定義為相干傳遞函數(shù)(CTF)，即則三者具有如下關(guān)系：Hc表征了衍射受限的相干成像系統(tǒng)在頻域中的作用，它使輸入頻譜轉(zhuǎn)換為輸出頻譜。Hc決定于系統(tǒng)本身的物理結(jié)構(gòu)，其與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系為

3.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)下面從頻域的角度來1003.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)相干傳遞函數(shù)(CTF)Hc為相干傳遞函數(shù)正比于經(jīng)過坐標(biāo)反射的光瞳函數(shù)；考慮實(shí)際光瞳的有限大小，光瞳函數(shù)總是取0和1兩個(gè)值，所以相干傳遞函數(shù)也是如此。也就是說系統(tǒng)是一個(gè)低通濾波器，系統(tǒng)在頻域中有一個(gè)有限的通頻帶，此通帶內(nèi)全部頻譜分量通過系統(tǒng)時(shí)不產(chǎn)生振幅和位相畸變，通帶以外的頻譜分量不能通過系統(tǒng)。也可以借用單色光場(chǎng)傳播的角譜方法來解釋相干傳遞系統(tǒng)在頻域的響應(yīng)。相干傳遞函數(shù)為：光瞳本身的透過率函數(shù)就是頻域的傳遞函數(shù)：傾角(x,y)超過某一范圍的平面波分量將被系統(tǒng)濾除，即超過某一頻率范圍的平面波將被系統(tǒng)濾除，如右圖所示。3.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)相干傳遞函數(shù)(CT1013.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.5.2相干傳遞函數(shù)的計(jì)算和運(yùn)用實(shí)例例1衍射受限的相干成像系統(tǒng)，其出瞳是邊長(zhǎng)為l的正方形，光瞳函數(shù)是則相干傳遞函數(shù)為其中，為截止頻率。3.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.5.2相1023.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)例2衍射受限的相干成像系統(tǒng)，其出瞳是直徑為l的圓形孔徑，光瞳函數(shù)是其中，為截止頻率。則相干傳遞函數(shù)為3.5衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)例2衍射受限的1033.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.1非相干照明時(shí)的物像關(guān)系式非相干成像系統(tǒng)是強(qiáng)度變換的線性系統(tǒng)，物像關(guān)系滿足如下卷積積分其中，k是實(shí)常數(shù)；Ig是幾何光學(xué)理想像的強(qiáng)度分布；Ii為像的強(qiáng)度分布；hi是光強(qiáng)度脈沖響應(yīng)(或非相干脈沖響應(yīng)、點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù))，它是點(diǎn)物產(chǎn)生的衍射光斑的強(qiáng)度分布，而且有上式卷積積分關(guān)系表明，把點(diǎn)源作為輸入的基元物，它將在像面上產(chǎn)生以幾何光學(xué)理想像點(diǎn)為中心的像斑，物體上所有點(diǎn)源產(chǎn)生的像斑按強(qiáng)度疊加的結(jié)果就給出像面的強(qiáng)度分布。3.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.1非1043.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.2光強(qiáng)的空間頻譜由于光強(qiáng)脈沖響應(yīng)hI是實(shí)函數(shù)，余弦函數(shù)是非相干成像系統(tǒng)的本征函數(shù)；因而可以選擇余弦的光強(qiáng)分量作為基元物。定義Ag(x,y)和Ai(x,y)分別為輸入光強(qiáng)頻譜和輸出光強(qiáng)頻譜，即對(duì)應(yīng)的歸一化光強(qiáng)頻譜為3.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.21053.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.3光學(xué)傳遞函數(shù)的定義及物理意義(卷積定理)其中，HI是光強(qiáng)脈沖響應(yīng)的傅里葉變換，對(duì)于零頻成分則有：定義非相干成像系統(tǒng)的歸一化傳遞函數(shù)為通常把它稱為非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)(OTF)，它描述了非相干成像系統(tǒng)在頻域的效應(yīng)。3.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.3光1063.6衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)因?yàn)镺TF通常是復(fù)函數(shù)，所以可表示為其中，調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF)相位傳遞函數(shù)(PTF)MTF描述系統(tǒng)對(duì)各頻率分量對(duì)比度的傳遞特性，而PTF