考研數(shù)學(xué)歷年真題(1987-2004)年數(shù)學(xué)一-可直接打印(純?cè)囶})

1987年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)當(dāng)=_____________時(shí),函數(shù)取得極小值.(2)由曲線與兩直線及所圍成的平面圖形的面積是_____________.(3)與兩直線及都平行且過原點(diǎn)的平面方程為_____________.(4)設(shè)為取正向的圓周則曲線積分=_____________.(5)已知三維向量空間的基底為則向量在此基底下的坐標(biāo)是_____________.二、(本題滿分8分)求正的常數(shù)與使等式成立.三、(本題滿分7分)(1)設(shè)、為連續(xù)可微函數(shù)求(2)設(shè)矩陣和滿足關(guān)系式其中求矩陣四、(本題滿分8分)求微分方程的通解,其中常數(shù)五、選擇題(本題共4小題,每小題3分,滿分12分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)則在處(A)的導(dǎo)數(shù)存在,且 (B)取得極大值(C)取得極小值 (D)的導(dǎo)數(shù)不存在(2)設(shè)為已知連續(xù)函數(shù)其中則的值(A)依賴于和 (B)依賴于、和(C)依賴于、,不依賴于 (D)依賴于,不依賴于(3)設(shè)常數(shù)則級(jí)數(shù)(A)發(fā)散 (B)絕對(duì)收斂(C)條件收斂 (D)散斂性與的取值有關(guān)(4)設(shè)為階方陣，且的行列式而是的伴隨矩陣，則等于(A) (B)(C) (D)六、（本題滿分10分）求冪級(jí)數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù).七、（本題滿分10分）求曲面積分其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面,其法向量與軸正向的夾角恒大于八、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可微,對(duì)于上的每一個(gè)函數(shù)的值都在開區(qū)間內(nèi),且1,證明在內(nèi)有且僅有一個(gè)使得九、（本題滿分8分）問為何值時(shí),現(xiàn)線性方程組有唯一解,無解,有無窮多解?并求出有無窮多解時(shí)的通解.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè)在一次實(shí)驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為現(xiàn)進(jìn)行次獨(dú)立試驗(yàn),則至少發(fā)生一次的概率為____________;而事件至多發(fā)生一次的概率為____________.(2)有兩個(gè)箱子,第1個(gè)箱子有3個(gè)白球,2個(gè)紅球,第2個(gè)箱子有4個(gè)白球,4個(gè)紅球.現(xiàn)從第1個(gè)箱子中隨機(jī)地取1個(gè)球放到第2個(gè)箱子里,再?gòu)牡?個(gè)箱子中取出1個(gè)球,此球是白球的概率為____________.已知上述從第2個(gè)箱子中取出的球是白球,則從第一個(gè)箱子中取出的球是白球的概率為____________.(3)已知連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為則的數(shù)學(xué)期望為____________,的方差為____________.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,其概率密度函數(shù)分別為,,求的概率密度函數(shù).1988年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求冪級(jí)數(shù)的收斂域.(2)設(shè)且,求及其定義域.(3)設(shè)為曲面的外側(cè),計(jì)算曲面積分二、填空題(本題共4小題,每小題3分,滿分12分.把答案填在題中橫線上)(1)若則=_____________.(2)設(shè)連續(xù)且則=_____________.(3)設(shè)周期為2的周期函數(shù),它在區(qū)間上定義為,則的傅里葉級(jí)數(shù)在處收斂于_____________.(4)設(shè)4階矩陣其中均為4維列向量,且已知行列式則行列式=_____________三、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)可導(dǎo)且則時(shí)在處的微分是(A)與等價(jià)的無窮小 (B)與同階的無窮小(C)比低階的無窮小 (D)比高階的無窮小(2)設(shè)是方程的一個(gè)解且則函數(shù)在點(diǎn)處(A)取得極大值 (B)取得極小值(C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 (D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減少(3)設(shè)空間區(qū)域則(A) (B)(C) (D)(4)設(shè)冪級(jí)數(shù)在處收斂,則此級(jí)數(shù)在處(A)條件收斂 (B)絕對(duì)收斂(C)發(fā)散 (D)收斂性不能確定(5)維向量組線性無關(guān)的充要條件是(A)存在一組不全為零的數(shù)使(B)中任意兩個(gè)向量均線性無關(guān)(C)中存在一個(gè)向量不能用其余向量線性表示(D)中存在一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示四、(本題滿分6分)設(shè)其中函數(shù)、具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),求五、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)滿足微分方程其圖形在點(diǎn)處的切線與曲線在該點(diǎn)處的切線重合,求函數(shù)六、（本題滿分9分）設(shè)位于點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為為常數(shù)為質(zhì)點(diǎn)與之間的距離),質(zhì)點(diǎn)沿直線自運(yùn)動(dòng)到求在此運(yùn)動(dòng)過程中質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力所作的功.七、（本題滿分6分）已知其中求八、（本題滿分8分）已知矩陣與相似.(1)求與(2)求一個(gè)滿足的可逆陣九、（本題滿分9分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),且在內(nèi)有證明:在內(nèi)存在唯一的使曲線與兩直線所圍平面圖形面積是曲線與兩直線所圍平面圖形面積的3倍.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè)在三次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件出現(xiàn)的概率相等,若已知至少出現(xiàn)一次的概率等于則事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是____________.(2)若在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)數(shù),則事件”兩數(shù)之和小于”的概率為____________.(3)設(shè)隨機(jī)變量服從均值為10,均方差為0.02的正態(tài)分布,已知?jiǎng)t落在區(qū)間內(nèi)的概率為____________.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)1989年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)已知?jiǎng)t=_____________.(2)設(shè)是連續(xù)函數(shù),且則=_____________.(3)設(shè)平面曲線為下半圓周則曲線積分=_____________.(4)向量場(chǎng)在點(diǎn)處的散度=_____________.(5)設(shè)矩陣則矩陣=_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)當(dāng)時(shí),曲線(A)有且僅有水平漸近線 (B)有且僅有鉛直漸近線(C)既有水平漸近線,又有鉛直漸近線 (D)既無水平漸近線,又無鉛直漸近線(2)已知曲面上點(diǎn)處的切平面平行于平面則點(diǎn)的坐標(biāo)是(A) (B)(C) (D)(3)設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解是任意常數(shù),則該非齊次方程的通解是(A) (B)(C) (D)(4)設(shè)函數(shù)而其中則等于(A) (B)(C) (D)(5)設(shè)是階矩陣,且的行列式則中(A)必有一列元素全為0 (B)必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例(C)必有一列向量是其余列向量的線性組合 (D)任一列向量是其余列向量的線性組合三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分) (1)設(shè)其中函數(shù)二階可導(dǎo)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求 (2)設(shè)曲線積分與路徑無關(guān),其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且計(jì)算的值.(3)計(jì)算三重積分其中是由曲面與所圍成的區(qū)域.四、(本題滿分6分)將函數(shù)展為的冪級(jí)數(shù).五、(本題滿分7分)設(shè)其中為連續(xù)函數(shù),求六、（本題滿分7分）證明方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同實(shí)根.七、（本題滿分6分）問為何值時(shí),線性方程組有解,并求出解的一般形式.八、（本題滿分8分）假設(shè)為階可逆矩陣的一個(gè)特征值,證明(1)為的特征值.(2)為的伴隨矩陣的特征值.九、（本題滿分9分）設(shè)半徑為的球面的球心在定球面上,問當(dāng)為何值時(shí),球面在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大?十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)已知隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率及條件概率則和事件的概率=____________.(2)甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次,其命中率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已知目標(biāo)被命中,則它是甲射中的概率為____________.(3)若隨機(jī)變量在上服從均勻分布,則方程有實(shí)根的概率是____________.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立,且服從均值為1、標(biāo)準(zhǔn)差(均方差)為的正態(tài)分布,而服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.試求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).1990年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)過點(diǎn)且與直線垂直的平面方程是_____________.(2)設(shè)為非零常數(shù),則=_____________. (3)設(shè)函數(shù),則=_____________.(4)積分的值等于_____________.(5)已知向量組則該向量組的秩是_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)是連續(xù)函數(shù),且則等于(A) (B)(C) (D)(2)已知函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù),且則當(dāng)為大于2的正整數(shù)時(shí)的階導(dǎo)數(shù)是(A) (B)(C) (D)(3)設(shè)為常數(shù),則級(jí)數(shù)(A)絕對(duì)收斂 (B)條件收斂(C)發(fā)散 (D)收斂性與的取值有關(guān)(4)已知在的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點(diǎn)處(A)不可導(dǎo) (B)可導(dǎo),且(C)取得極大值 (D)取得極小值(5)已知、是非齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解、是對(duì)應(yīng)其次線性方程組的基礎(chǔ)解析、為任意常數(shù),則方程組的通解(一般解)必是(A) (B)(C) (D)三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分) (1)求 (2)設(shè)其中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),求(3)求微分方程的通解(一般解).四、(本題滿分6分)求冪級(jí)數(shù)的收斂域,并求其和函數(shù).五、(本題滿分8分)求曲面積分其中是球面外側(cè)在的部分.六、（本題滿分7分）設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得七、（本題滿分6分）設(shè)四階矩陣且矩陣滿足關(guān)系式其中為四階單位矩陣表示的逆矩陣表示的轉(zhuǎn)置矩陣.將上述關(guān)系式化簡(jiǎn)并求矩陣八、（本題滿分8分）求一個(gè)正交變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型.九、（本題滿分8分） 質(zhì)點(diǎn)沿著以為直徑的半圓周,從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中受變力作用(見圖).的大小等于點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離,其方向垂直于線段且與軸正向的夾角小于求變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)已知隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)則的概率分布函數(shù)=____________.(2)設(shè)隨機(jī)事件、及其和事件的概率分別是0.4、0.3和0.6,若表示的對(duì)立事件,那么積事件的概率=____________.(3)已知離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的泊松分布,即則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望=____________.十一、（本題滿分6分）設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布,求關(guān)于的邊緣概率密度函數(shù)及隨機(jī)變量的方差1991年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè),則=_____________. (2)由方程所確定的函數(shù)在點(diǎn)處的全微分=_____________. (3)已知兩條直線的方程是則過且平行于的平面方程是_____________.(4)已知當(dāng)時(shí)與是等價(jià)無窮小,則常數(shù)=_____________.(5)設(shè)4階方陣則的逆陣=_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)曲線(A)沒有漸近線 (B)僅有水平漸近線(C)僅有鉛直漸近線 (D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線(2)若連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式則等于(A) (B)(C) (D)(3)已知級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)等于(A)3 (B)7 (C)8 (D)9(4)設(shè)是平面上以、和為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域是在第一象限的部分,則等于(A) (B)(C) (D)0(5)設(shè)階方陣、、滿足關(guān)系式其中是階單位陣,則必有(A) (B)(C) (D)三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分) (1)求 (2)設(shè)是曲面在點(diǎn)處的指向外側(cè)的法向量,求函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù).(3)其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面所圍城的立體.四、(本題滿分6分)過點(diǎn)和的曲線族中,求一條曲線使沿該曲線從到的積分的值最小.五、(本題滿分8分)將函數(shù)展開成以2為周期的傅里葉級(jí)數(shù),并由此求級(jí)數(shù)的和.六、（本題滿分7分）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)內(nèi)可導(dǎo),且證明在內(nèi)存在一點(diǎn)使七、（本題滿分8分）已知及 (1)、為何值時(shí)不能表示成的線性組合? (2)、為何值時(shí)有的唯一的線性表示式?寫出該表示式.八、（本題滿分6分）設(shè)是階正定陣是階單位陣,證明的行列式大于1.九、（本題滿分8分）在上半平面求一條向上凹的曲線,其上任一點(diǎn)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線段長(zhǎng)度的倒數(shù)(是法線與軸的交點(diǎn)),且曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)若隨機(jī)變量服從均值為2、方差為的正態(tài)分布,且則=____________.(2)隨機(jī)地向半圓為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn),點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率為____________.十一、（本題滿分6分）設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求隨機(jī)變量的分布函數(shù).1992年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè)函數(shù)由方程確定,則=_____________. (2)函數(shù)在點(diǎn)處的梯度=_____________. (3)設(shè),則其以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)處收斂于_____________.(4)微分方程的通解為=_____________.(5)設(shè)其中則矩陣的秩=_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)的極限(A)等于2 (B)等于0(C)為 (D)不存在但不為(2)級(jí)數(shù)常數(shù)(A)發(fā)散 (B)條件收斂(C)絕對(duì)收斂(D)收斂性與有關(guān)(3)在曲線的所有切線中,與平面平行的切線(A)只有1條 (B)只有2條(C)至少有3條 (D)不存在(4)設(shè)則使存在的最高階數(shù)為(A)0 (B)1(C)2 (D)3(5)要使都是線性方程組的解,只要系數(shù)矩陣為(A) (B)(C) (D)三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分) (1)求 (2)設(shè)其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求(3)設(shè),求四、(本題滿分6分)求微分方程的通解.五、(本題滿分8分)計(jì)算曲面積分其中為上半球面的上側(cè).六、（本題滿分7分）設(shè)證明對(duì)任何有七、（本題滿分8分）在變力的作用下,質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面上第一卦限的點(diǎn)問當(dāng)、、取何值時(shí),力所做的功最大?并求出的最大值.八、（本題滿分7分）設(shè)向量組線性相關(guān),向量組線性無關(guān),問:(1)能否由線性表出?證明你的結(jié)論.(2)能否由線性表出?證明你的結(jié)論.九、（本題滿分7分）設(shè)3階矩陣的特征值為對(duì)應(yīng)的特征向量依次為又向量(1)將用線性表出.(2)求為自然數(shù)).十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)已知?jiǎng)t事件、、全不發(fā)生的概率為____________.(2)設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,則數(shù)學(xué)期望=____________.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立服從正態(tài)分布服從上的均勻分布,試求的概率分布密度(計(jì)算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表示,其中.1993年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為_____________. (2)由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)處的指向外側(cè)的單位法向量為_____________. (3)設(shè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為則其中系數(shù)的值為_____________.(4)設(shè)數(shù)量場(chǎng)則=_____________.(5)設(shè)階矩陣的各行元素之和均為零,且的秩為則線性方程組的通解為_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)則當(dāng)時(shí)是的(A)等價(jià)無窮小 (B)同價(jià)但非等價(jià)的無窮小(C)高階無窮小 (D)低價(jià)無窮小(2)雙紐線所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為(A) (B)(C) (D)(3)設(shè)有直線與則與的夾角為(A) (B)(C) (D)(4)設(shè)曲線積分與路徑無關(guān),其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且則等于(A) (B)(C) (D)(5)已知為三階非零矩陣,且滿足則(A)時(shí)的秩必為1 (B)時(shí)的秩必為2 (C)時(shí)的秩必為1 (D)時(shí)的秩必為2 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分) (1)求 (2)求(3)求微分方程滿足初始條件的特解.四、(本題滿分6分)計(jì)算其中是由曲面與所圍立體的表面外側(cè).五、(本題滿分7分)求級(jí)數(shù)的和.六、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分) (1)設(shè)在上函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且證明在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn). (2)設(shè)證明七、（本題滿分8分）已知二次型通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形求參數(shù)及所用的正交變換矩陣.八、（本題滿分6分）設(shè)是矩陣是矩陣,其中是階單位矩陣,若證明的列向量組線性無關(guān).九、（本題滿分6分）設(shè)物體從點(diǎn)出發(fā),以速度大小為常數(shù)沿軸正向運(yùn)動(dòng).物體從點(diǎn)與同時(shí)出發(fā),其速度大小為方向始終指向試建立物體的運(yùn)動(dòng)軌跡所滿足的微分方程,并寫出初始條件.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)一批產(chǎn)品共有10個(gè)正品和2個(gè)次品,任意抽取兩次,每次抽一個(gè),抽出后不再放回,則第二次抽出的是次品的概率為____________.(2)設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布,則隨機(jī)變量在內(nèi)的概率分布密度=____________.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機(jī)變量的概率分布密度為 (1)求的數(shù)學(xué)期望和方差 (2)求與的協(xié)方差,并問與是否不相關(guān)?(3)問與是否相互獨(dú)立?為什么?1994年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_____________. (2)曲面在點(diǎn)處的切平面方程為_____________. (3)設(shè)則在點(diǎn)處的值為_____________.(4)設(shè)區(qū)域?yàn)閯t=_____________.(5)已知設(shè)其中是的轉(zhuǎn)置,則=_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)則有(A) (B)(C) (D)(2)二元函數(shù)在點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)、存在是在該點(diǎn)連續(xù)的(A)充分條件而非必要條件 (B)必要條件而非充分條件(C)充分必要條件 (D)既非充分條件又非必要條件(3)設(shè)常數(shù)且級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)(A)發(fā)散 (B)條件收斂(C)絕對(duì)收斂 (D)收斂性與有關(guān)(4)其中則必有(A) (B)(C) (D)(5)已知向量組線性無關(guān),則向量組(A)線性無關(guān) (B)線性無關(guān)(C)線性無關(guān) (D)線性無關(guān)三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分) (1)設(shè),求、在的值. (2)將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù).(3)求四、(本題滿分6分)計(jì)算曲面積分其中是由曲面及兩平面所圍成立體表面的外側(cè).五、(本題滿分9分)設(shè)具有二階連續(xù)函數(shù)且為一全微分方程,求及此全微分方程的通解.六、(本題滿分8分)設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.七、（本題滿分6分）已知點(diǎn)與的直角坐標(biāo)分別為與線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為求由及兩平面所圍成的立體體積.八、（本題滿分8分）設(shè)四元線性齊次方程組(Ⅰ)為,又已知某線性齊次方程組(Ⅱ)的通解為 (1)求線性方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解析. (2)問線性方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,則求出所有的非零公共解.若沒有,則說明理由.九、（本題滿分6分）設(shè)為階非零方陣是的伴隨矩陣是的轉(zhuǎn)置矩陣,當(dāng)時(shí),證明十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)已知、兩個(gè)事件滿足條件且則=____________.(2)設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量具有同一分布率,且的分布率為01則隨機(jī)變量的分布率為____________.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機(jī)變量和分別服從正態(tài)分布和且與的相關(guān)系數(shù)設(shè) (1)求的數(shù)學(xué)期望和方差. (2)求與的相關(guān)系數(shù)(3)問與是否相互獨(dú)立?為什么?1995年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_____________. (2)=_____________. (3)設(shè)則=_____________.(4)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑=_____________.(5)設(shè)三階方陣滿足關(guān)系式且則=_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)有直線,及平面則直線(A)平行于 (B)在上(C)垂直于 (D)與斜交(2)設(shè)在上則或的大小順序是(A) (B)(C) (D)(3)設(shè)可導(dǎo)則是在處可導(dǎo)的(A)充分必要條件 (B)充分條件但非必要條件(C)必要條件但非充分條件 (D)既非充分條件又非必要條件(4)設(shè)則級(jí)數(shù)(A)與都收斂 (B)與都發(fā)散(C)收斂,而發(fā)散 (D)收斂,而發(fā)散(5)設(shè)則必有(A) (B)(C) (D)三、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分) (1)設(shè)其中都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且求 (2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),并設(shè)求四、(本題共2小題,每小題6分,滿分12分) (1)計(jì)算曲面積分其中為錐面在柱體內(nèi)的部分. (2)將函數(shù)展開成周期為4的余弦函數(shù).五、(本題滿分7分)設(shè)曲線位于平面的第一象限內(nèi)上任一點(diǎn)處的切線與軸總相交,交點(diǎn)記為已知且過點(diǎn)求的方程.六、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)在平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),曲線積分與路徑無關(guān),并且對(duì)任意恒有求七、（本題滿分8分）假設(shè)函數(shù)和在上存在二階導(dǎo)數(shù),并且試證: (1)在開區(qū)間內(nèi) (2)在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使八、（本題滿分7分）設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為對(duì)應(yīng)于的特征向量為求九、（本題滿分6分）設(shè)為階矩陣,滿足是階單位矩陣是的轉(zhuǎn)置矩陣求十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè)表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù),每次射中目標(biāo)的概率為0.4,則的數(shù)學(xué)期望=____________.(2)設(shè)和為兩個(gè)隨機(jī)變量,且則____________.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為,求隨機(jī)變量的概率密度1996年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè)則=_____________. (2)設(shè)一平面經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)且與平面垂直,則此平面方程為_____________.(3)微分方程的通解為_____________.(4)函數(shù)在點(diǎn)處沿點(diǎn)指向點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)為_____________.(5)設(shè)是矩陣,且的秩而則=_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)已知為某函數(shù)的全微分,則等于(A)-1 (B)0(C)1 (D)2(2)設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且則(A)是的極大值(B)是的極小值(C)是曲線的拐點(diǎn)(D)不是的極值也不是曲線的拐點(diǎn)(3)設(shè)且收斂,常數(shù)則級(jí)數(shù)(A)絕對(duì)收斂 (B)條件收斂(C)發(fā)散 (D)散斂性與有關(guān)(4)設(shè)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且當(dāng)時(shí)與是同階無窮小,則等于(A)1 (B)2(C)3 (D)4(5)四階行列式的值等于(A) (B)(C) (D)三、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分) (1)求心形線的全長(zhǎng),其中是常數(shù). (2)設(shè)試證數(shù)列極限存在,并求此極限.四、(本題共2小題,每小題6分,滿分12分) (1)計(jì)算曲面積分其中為有向曲面其法向量與軸正向的夾角為銳角. (2)設(shè)變換可把方程簡(jiǎn)化為求常數(shù)五、(本題滿分7分)求級(jí)數(shù)的和.六、(本題滿分7分)設(shè)對(duì)任意曲線上點(diǎn)處的切線在軸上的截距等于求的一般表達(dá)式.七、（本題滿分8分）設(shè)在上具有二階導(dǎo)數(shù),且滿足條件其中都是非負(fù)常數(shù)是內(nèi)任意一點(diǎn).證明八、（本題滿分6分）設(shè)其中是階單位矩陣是維非零列向量是的轉(zhuǎn)置.證明(1)的充分條件是(2)當(dāng)時(shí)是不可逆矩陣.九、（本題滿分8分）已知二次型的秩為2,(1)求參數(shù)及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值.(2)指出方程表示何種二次曲面.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè)工廠和工廠的產(chǎn)品的次品率分別為1%和2%,現(xiàn)從由和的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件,發(fā)現(xiàn)是次品,則該次品屬生產(chǎn)的概率是____________.(2)設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望=____________.十一、（本題滿分6分）設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量,已知的分布率為又設(shè)(1)寫出二維隨機(jī)變量的分布率:123123(2)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1997年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_____________. (2)設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為3,則冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_____________.(3)對(duì)數(shù)螺線在點(diǎn)處切線的直角坐標(biāo)方程為_____________.(4)設(shè)為三階非零矩陣,且則=_____________.(5)袋中有50個(gè)乒乓球,其中20個(gè)是黃球,30個(gè)是白球,今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球,取后不放回,則第二個(gè)人取得黃球的概率是_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)二元函數(shù),在點(diǎn)處(A)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在 (B)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在(C)不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在 (D)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在(2)設(shè)在區(qū)間上令則(A) (B)(C) (D)(3)設(shè)則(A)為正常數(shù) (B)為負(fù)常數(shù)(C)恒為零 (D)不為常數(shù)(4)設(shè)則三條直線(其中)交于一點(diǎn)的充要條件是(A)線性相關(guān) (B)線性無關(guān)(C)秩秩 (D)線性相關(guān)線性無關(guān)(5)設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和的方差分別為4和2,則隨機(jī)變量的方差是(A)8 (B)16(C)28 (D)44三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分) (1)計(jì)算其中為平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面與平面所圍成的區(qū)域. (2)計(jì)算曲線積分其中是曲線從軸正向往軸負(fù)向看的方向是順時(shí)針的.(3)在某一人群中推廣新技術(shù)是通過其中掌握新技術(shù)的人進(jìn)行的,設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為在時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為在任意時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為將視為連續(xù)可微變量),其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比,比例常數(shù)求四、(本題共2小題,第(1)小題6分,第(2)小題7分,滿分13分) (1)設(shè)直線在平面上,而平面與曲面相切于點(diǎn)求之值. (2)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),而滿足方程求五、(本題滿分6分)設(shè)連續(xù)且為常數(shù)),求并討論在處的連續(xù)性.六、(本題滿分8分)設(shè)證明 (1)存在. (2)級(jí)數(shù)收斂.七、(本題共2小題,第(1)小題5分,第(2)小題6分,滿分11分) (1)設(shè)是秩為2的矩陣是齊次線性方程組的解向量,求的解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基. (2)已知是矩陣的一個(gè)特征向量. 1)試確定參數(shù)及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值. 2)問能否相似于對(duì)角陣?說明理由.八、（本題滿分5分）設(shè)是階可逆方陣,將的第行和第行對(duì)換后得到的矩陣記為(1)證明可逆.(2)求九、（本題滿分7分）從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗,假設(shè)再各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率都是設(shè)為途中遇到紅燈的次數(shù),求隨機(jī)變量的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望.十、（本題滿分5分）設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)是來自總體的一個(gè)容量為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,分別用矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法求的估計(jì)量.1998年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_____________. (2)設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則=_____________.(3)設(shè)為橢圓其周長(zhǎng)記為則=_____________.(4)設(shè)為階矩陣為的伴隨矩陣為階單位矩陣.若有特征值則必有特征值_____________.(5)設(shè)平面區(qū)域由曲線及直線所圍成,二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布,則關(guān)于的邊緣概率密度在處的值為_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)連續(xù),則=(A) (B)(C) (D)(2)函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(A)3 (B)2(C)1 (D)0(3)已知函數(shù)在任意點(diǎn)處的增量且當(dāng)時(shí)是的高階無窮小,,則等于(A) (B)(C) (D)(4)設(shè)矩陣是滿秩的,則直線與直線(A)相交于一點(diǎn) (B)重合(C)平行但不重合 (D)異面(5)設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)事件,且則必有(A) (B)(C) (D)三、(本題滿分5分)求直線在平面上的投影直線的方程,并求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程. 四、(本題滿分6分)確定常數(shù)使在右半平面上的向量為某二元函數(shù)的梯度,并求五、(本題滿分6分)從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器,按探測(cè)要求,需確定儀器的下沉深度從海平面算起)與下沉速度之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下,從海平面由靜止開始鉛直下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用.設(shè)儀器的質(zhì)量為體積為海水密度為儀器所受的阻力與下沉速度成正比,比例系數(shù)為試建立與所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式六、(本題滿分7分)計(jì)算其中為下半平面的上側(cè)為大于零的常數(shù).七、(本題滿分6分)求八、（本題滿分5分）設(shè)正向數(shù)列單調(diào)減少,且發(fā)散,試問級(jí)數(shù)是否收斂?并說明理由.九、（本題滿分6分）設(shè)是區(qū)間上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù).(1)試證存在使得在區(qū)間上以為高的矩形面積,等于在區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積.(2)又設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且證明(1)中的是唯一的.十、（本題滿分6分）已知二次曲面方程可以經(jīng)過正交變換化為橢圓柱面方程求的值和正交矩陣十一、（本題滿分4分）設(shè)是階矩陣,若存在正整數(shù)使線性方程組有解向量且證明:向量組是線性無關(guān)的.十二、（本題滿分5分）已知方程組(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解析為試寫出線性方程組(Ⅱ)的通解,并說明理由.十三、（本題滿分6分）設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且都服從均值為0、方差為的正態(tài)分布,求隨機(jī)變量的方差.十四、（本題滿分4分）從正態(tài)總體中抽取容量為的樣本,如果要求其樣本均值位于區(qū)間內(nèi)的概率不小于0.95,問樣本容量至少應(yīng)取多大?附:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表1.281.6451.962.330.9000.9500.9750.990十五、（本題滿分4分）設(shè)某次考試的學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)地抽取36位考生地成績(jī),算得平均成績(jī)?yōu)?6.5分,標(biāo)準(zhǔn)差為15分.問在顯著性水平0.05下,是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?0分?并給出檢驗(yàn)過程.附:分布表0.950.975351.68962.0301361.68832.02811999年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_____________.(2)=_____________.(3)的通解為=_____________.(4)設(shè)階矩陣的元素全為1,則的個(gè)特征值是_____________.(5)設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件和滿足條件:且已知?jiǎng)t=_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)是連續(xù)函數(shù)是的原函數(shù),則(A)當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)必是偶函數(shù) (B)當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)必是奇函數(shù)(C)當(dāng)是周期函數(shù)時(shí)必是周期函數(shù) (D)當(dāng)是單調(diào)增函數(shù)時(shí)必是單調(diào)增函數(shù)(2)設(shè),其中是有界函數(shù),則在處(A)極限不存在 (B)極限存在,但不連續(xù)(C)連續(xù),但不可導(dǎo) (D)可導(dǎo)(3)設(shè),其中,則等于(A) (B)(C) (D)(4)設(shè)是矩陣,是矩陣,則(A)當(dāng)時(shí),必有行列式 (B)當(dāng)時(shí),必有行列式(C)當(dāng)時(shí),必有行列式 (D)當(dāng)時(shí),必有行列式(5)設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和分別服從正態(tài)分布和,則(A) (B) (C) (D)三、(本題滿分6分)設(shè)是由方程和所確定的函數(shù),其中和分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求四、(本題滿分5分)求其中為正的常數(shù),為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧.五、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)且過曲線上任意一點(diǎn)作該曲線的切線及軸的垂線,上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積記為,區(qū)間上以為曲線的曲邊梯形面積記為,并設(shè)恒為1,求曲線的方程.六、(本題滿分7分)論證:當(dāng)時(shí),七、(本題滿分6分) 為清除井底的淤泥,用纜繩將抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(見圖).已知井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,在提升過程中,污泥以20N/s的速率從抓斗縫隙中漏掉.現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口,問克服重力需作多少焦耳的功? (說明:①1N1m=1Jm,N,s,J分別表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長(zhǎng)度忽略不計(jì).)八、(本題滿分7分)設(shè)為橢球面的上半部分,點(diǎn)為在點(diǎn)處的切平面,為點(diǎn)到平面的距離,求九、(本題滿分7分)設(shè)(1)求的值.(2)試證:對(duì)任意的常數(shù)級(jí)數(shù)收斂.十、(本題滿分8分)設(shè)矩陣其行列式又的伴隨矩陣有一個(gè)特征值,屬于的一個(gè)特征向量為求和的值.十一、(本題滿分6分)設(shè)為階實(shí)對(duì)稱矩陣且正定,為實(shí)矩陣,為的轉(zhuǎn)置矩陣,試證為正定矩陣的充分必要條件是的秩十二、(本題滿分8分)設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,下表列出了二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布率及關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布率中的部分?jǐn)?shù)值,試將其余數(shù)值填入表中的空白處.XY1十三、(本題滿分6分)設(shè)的概率密度為,是取自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(1)求的矩估計(jì)量.(2)求的方差2000年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_____________.(2)曲面在點(diǎn)的法線方程為_____________.(3)微分方程的通解為_____________.(4)已知方程組無解,則=_____________.(5)設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件和都不發(fā)生的概率為,發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等,則=_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)、是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù),且,則當(dāng)時(shí),有(A) (B)(C) (D)(2)設(shè)為在第一卦限中的部分,則有(A) (B)(C) (D)(3)設(shè)級(jí)數(shù)收斂,則必收斂的級(jí)數(shù)為(A) (B)(C) (D)(4)設(shè)維列向量組線性無關(guān),則維列向量組線性無關(guān)的充分必要條件為(A)向量組可由向量組線性表示(B)向量組可由向量組線性表示(C)向量組與向量組等價(jià)(D)矩陣與矩陣等價(jià)(5)設(shè)二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布,則隨機(jī)變量與不相關(guān)的充分必要條件為(A) (B)(C) (D)三、(本題滿分6分)求四、(本題滿分5分)設(shè),其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),求五、(本題滿分6分)計(jì)算曲線積分,其中是以點(diǎn)為中心為半徑的圓周取逆時(shí)針方向.六、(本題滿分7分)設(shè)對(duì)于半空間內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面都有其中函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),且求.七、(本題滿分6分)求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間,并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性.八、(本題滿分7分)設(shè)有一半徑為的球體是此球的表面上的一個(gè)定點(diǎn),球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到距離的平方成正比(比例常數(shù)),求球體的重心位置.九、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且試證:在內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)使十、(本題滿分6分)設(shè)矩陣的伴隨矩陣且,其中為4階單位矩陣,求矩陣.十一、(本題滿分8分)某適應(yīng)性生產(chǎn)線每年1月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì),然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門,其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊.新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工.設(shè)第年1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工所占百分比分別為和記成向量(1)求與的關(guān)系式并寫成矩陣形式:(2)驗(yàn)證是的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量,并求出相應(yīng)的特征值.(3)當(dāng)時(shí),求十二、(本題滿分8分)某流水線上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為,各產(chǎn)品合格與否相對(duì)獨(dú)立,當(dāng)出現(xiàn)1個(gè)不合格產(chǎn)品時(shí)即停機(jī)檢修.設(shè)開機(jī)后第1次停機(jī)時(shí)已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望和方差.十三、(本題滿分6分)設(shè)某種元件的使用壽命的概率密度為,其中為未知參數(shù).又設(shè)是的一組樣本觀測(cè)值,求參數(shù)的最大似然估計(jì)值.2001年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè)為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解,則該方程為_____________.(2),則=_____________.(3)交換二次積分的積分次序:＝_____________.(4)設(shè),則=_____________.(5),則根據(jù)車貝曉夫不等式有估計(jì)_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo),的圖形如右圖所示,則的圖形為(A) (B)(C) (D)(2)設(shè)在點(diǎn)的附近有定義,且則(A)(B)曲面在處的法向量為(C)曲線在處的切向量為(D)曲線在處的切向量為(3)設(shè)則在=0處可導(dǎo)(A)存在 (B)存在(C)存在 (D)存在(4)設(shè),則與(A)合同且相似 (B)合同但不相似(C)不合同但相似 (D)不合同且不相似(5)將一枚硬幣重復(fù)擲次,以和分別表示正面向上和反面向上的次數(shù),則和相關(guān)系數(shù)為(A)-1 (B)0 (C) (D)1三、(本題滿分6分)求.四、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微,且,,求.五、(本題滿分8分)設(shè),將展開成的冪級(jí)數(shù),并求的和.六、(本題滿分7分)計(jì)算,其中是平面與柱面的交線,從軸正向看去為逆時(shí)針方向.七、(本題滿分7分)設(shè)在內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且.證明:(1)對(duì)于,存在惟一的,使=+成立.(2).八、(本題滿分8分)設(shè)有一高度為為時(shí)間)的雪堆在融化過程,其側(cè)面滿足方程(設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米,時(shí)間單位為小時(shí)),已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(系數(shù)為0.9),問高度為130厘米的雪堆全部融化需多少時(shí)間?九、(本題滿分6分)設(shè)為線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,,其中為實(shí)常數(shù),試問滿足什么條件時(shí)也為的一個(gè)基礎(chǔ)解系?十、(本題滿分8分)已知三階矩陣和三維向量,使得線性無關(guān),且滿足.(1)記求使.(2)計(jì)算行列式.十一、(本題滿分7分)設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布,每位乘客在中途下車的概率為且中途下車與否相互獨(dú)立.為中途下車的人數(shù),求:(1)在發(fā)車時(shí)有個(gè)乘客的條件下,中途有人下車的概率.(2)二維隨機(jī)變量的概率分布.十二、(本題滿分7分)設(shè)抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本樣本均值,,求2002年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_____________.(2)已知,則=_____________.(3)滿足初始條件的特解是_____________.(4)已知實(shí)二次型經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)型,則=_____________.(5)設(shè)隨機(jī)變量,且二次方程無實(shí)根的概率為0.5,則=_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)考慮二元函數(shù)的四條性質(zhì):①在點(diǎn)處連續(xù),②在點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),③在點(diǎn)處可微,④在點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在.則有:(A)②③① (B)③②①(C)③④① (D)③①④(2)設(shè),且,則級(jí)數(shù)為(A)發(fā)散 (B)絕對(duì)收斂(C)條件收斂 (D)收斂性不能判定.(3)設(shè)函數(shù)在上有界且可導(dǎo),則(A)當(dāng)時(shí),必有 (B)當(dāng)存在時(shí),必有(C)當(dāng)時(shí),必有 (D)當(dāng)存在時(shí),必有.(4)設(shè)有三張不同平面,其方程為()它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為2,則這三張平面可能的位置關(guān)系為(5)設(shè)和是相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量,它們的密度函數(shù)分別為和,分布函數(shù)分別為和,則(A)＋必為密度函數(shù)(B)必為密度函數(shù)(C)＋必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)(D)必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).三、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在的某鄰域具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,當(dāng)時(shí),若,試求的值.四、(本題滿分7分)已知兩曲線與在點(diǎn)處的切線相同.求此切線的方程,并求極限.五、(本題滿分7分)計(jì)算二重積分,其中.六、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),是上半平面(>0)內(nèi)的有向分段光滑曲線,起點(diǎn)為(),終點(diǎn)為().記,(1)證明曲線積分與路徑無關(guān).(2)當(dāng)時(shí),求的值.七、(本題滿分7分)(1)驗(yàn)證函數(shù)()滿足微分方程.(2)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).八、(本題滿分7分)設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為面,其底部所占的區(qū)域?yàn)?小山的高度函數(shù)為.(1)設(shè)為區(qū)域上一點(diǎn),問在該點(diǎn)沿平面上何方向的方向?qū)?shù)最大?若此方向的方向?qū)?shù)為,寫出的表達(dá)式.(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動(dòng),為此需要在山腳下尋找一山坡最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).也就是說要在的邊界線上找出使(1)中達(dá)到最大值的點(diǎn).試確定攀登起點(diǎn)的位置.九、(本題滿分6分)已知四階方陣,均為四維列向量,其中線性無關(guān),.若,求線性方程組的通解.十、(本題滿分8分)設(shè)為同階方陣,(1)若相似,證明的特征多項(xiàng)式相等. (2)舉一個(gè)二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立. (3)當(dāng)為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí),證明(1)的逆命題成立.十一、(本題滿分7分)設(shè)維隨機(jī)變量的概率密度為對(duì)獨(dú)立地重復(fù)觀察4次,用表示觀察值大于的次數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.十二、(本題滿分7分)設(shè)總體的概率分布為0123其中()是未知參數(shù),利用總體的如下樣本值3,1,3,0,3,1,2,3.求的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)值.2003年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)=.(2)曲面與平面平行的切平面的方程是.(3)設(shè),則=.(4)從的基到基的過渡矩陣為.(5)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為,則.(6)已知一批零件的長(zhǎng)度(單位:cm)服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)地抽取16個(gè)零件,得到長(zhǎng)度的平均值為40(cm),則的置信度為0.95的置信區(qū)間是.(注:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值二、選擇題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù),其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示,則有(A)一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)(B)兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)(C)兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)(D)三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)(2)設(shè)均為非負(fù)數(shù)列,且,,,則必有(A)對(duì)任意成立 (B)對(duì)任意成立(C)極限不存在 (D)極限不存在(3)已知函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),且,則(A)點(diǎn)不是的極值點(diǎn)(B)點(diǎn)是的極大值點(diǎn)(C)點(diǎn)是的極小值點(diǎn)(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)是否為的極值點(diǎn)(4)設(shè)向量組=1\*ROMANI:可由向量組=2\*ROMANII:線性表示,則(A)當(dāng)時(shí),向量組=2\*ROMANII必線性相關(guān) (B)當(dāng)時(shí),向量組=2\*ROMANII必線性相關(guān)(C)當(dāng)時(shí),向量組=1\*ROMANI必線性相關(guān) (D)當(dāng)時(shí),向量組=1\*ROMANI必線性相關(guān)(5)設(shè)有齊次線性方程組和,其中均為矩陣,現(xiàn)有4個(gè)命題:=1\*GB3①若的解均是的解,則秩秩=2\*GB3②若秩秩,則的解均是的解=3\*GB3③若與同解,則秩秩=4\*GB3④若秩秩,則與同解以上命題中正確的是(A)=1\*GB3①=2\*GB3② (B)=1\*GB3①=3\*GB3③(C)=2\*GB3②=4\*GB3④ (D)=3\*GB3③=4\*GB3④(6)設(shè)隨機(jī)變量,則(A) (B)(C) (D)三、(本題滿分10分)過坐