小學趣味數(shù)學之盈虧問題

小學趣味數(shù)學之盈虧問題《九章算術(shù)》第七章介紹了盈虧問題，這一類問題是把一定數(shù)量的物品平均分給若干對象，每個對象少分，則物品有余；如果每個對象多分，則物品不足。所以分物時經(jīng)常出現(xiàn)盈（有余）、虧（不足）、盡（恰好分完）的情況，所以古人把這類問題稱為盈不足問題。盈虧問題情況多樣，解法巧妙，倍受古人重視，在許多古代算書上留下了不少好題。題目今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)，物價各幾何？題意：有一群人湊錢買一件物品。如果每人出8枚錢幣，就比物價多出3個錢幣。如果每人出7枚錢幣，就比物價少4個錢幣。求人數(shù)和錢數(shù)各是多少？分析：這是屬于“一盈一虧”類的問題。當?shù)谝淮蚊咳顺?枚錢幣時多3枚，當?shù)诙蚊咳顺?枚錢幣時不但不多，還要少4枚，即第二次比第一次共少了4+3=7枚。這是由于第二次比第一次每人少出了8—7=1枚錢幣。相差7枚,就說明有7*1=7人。這樣物價也就可以算出來了。解答：4+3=7（枚）8-7=1（枚）7*1=7（人）7X8-3=53（枚）答：一共有7人，物價為53枚。事實上，古代數(shù)學家發(fā)現(xiàn)，在計算人數(shù)（即分物對象的個數(shù)）時，還有一個簡單易記、瑯瑯上口的口訣：“有余加不足，大減小來除”。這種算法的絕妙之處在于它幾乎可以不動腦筋，只要把幾個數(shù)按口訣對號入座，馬上可以得出答案。范例

錢幾何

今有散錢不知其數(shù)，

作七十七陌穿之，欠五十湊穿；

作七十八陌穿之，不多不少。問錢數(shù)幾何？題意：有一些零散的錢幣，如果每77枚穿成一串，那么還會剩50枚沒穿；如果78枚穿成一串，正好穿完。這些錢幣共有多少枚？分析與解答：這道題屬于“一盈一虧”類的問題。當77枚錢幣為一串時，還余50枚沒穿，當78枚錢幣為一串時，正好穿完。表明原先的每一串77枚，都加上1枚（78-77=1枚）時，余下的50枚剛好被穿完，說明有50串。解：串數(shù)：50*（78—77）=50（串）錢數(shù)：78X50=3900（枚）？或?錢數(shù)：77X50+50=3900（枚）小練盈虧問題的基本數(shù)量關(guān)系是：（盈+虧）*兩次所分之差=人數(shù)；還有一些非標準的盈虧問題，它們被分為四類：兩盈：兩次分配都有多余；2.兩不足：兩次分配都不夠；3.盈適足：一次分配有余，一次分配夠分；4，不足適足：一次分配不夠，一次分配正好。一些非標準的盈虧問題都是由標準的盈虧問題演變過來的。解題時我們可以記住：“兩虧”問題的數(shù)量關(guān)系是：兩次虧數(shù)的差*兩次分得的差=參與分配對象總數(shù)；“兩盈”問題的數(shù)量關(guān)系是：兩次盈數(shù)的差*兩次分得的差=參與分配對象總數(shù)；“一盈一虧”問題的數(shù)量關(guān)系是：盈與虧的和*兩次分得的差=參與分配對象總數(shù)?！纠}1】某校乒乓球隊有若干名學生，如果少一名女生，增加一名男生，則男生為總數(shù)的一半；如果少一名男生，增加一名女生，則男生為女生人數(shù)的一半。乒乓球隊共有多少名學生？【思路導(dǎo)航】（1）由“少一個女生，增加一個男生，則男生為總?cè)藬?shù)的一半”可知：女生比男生多2人；（2）“少一個男生，增加一個女生”后，女生就比男生多2+2=4人，這時男生為女生人數(shù)的一半，即現(xiàn)在女生有4X2=8人。原來女生有8－1=7人，男生有7－2=5人，共有7+5=12人。【例題2】幼兒園老師拿出蘋果發(fā)給小朋友。如果平均分給小朋友，則少4個；如果每個小朋友只發(fā)給4個，則老師自己也能留下4個。有多少個小朋友？共有多少個蘋果？【思路導(dǎo)航】如果平均分給小朋友，則少4個，說明小朋友人數(shù)大于4；如果每個小朋友只發(fā)給4個，則教師也能留下4個，說明每人少拿若干個，就少拿4+4=8個蘋果。因為小朋友人數(shù)大于4,所以，一定是每人少拿1個，有8-1=8個小朋友，有8X4+4=36個蘋果。【例題3】幼兒園老師將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的學生每人5個余10個；如果分給小班的學生每人8個缺2個。已知大班比小班多3人，這筐蘋果有多少個？【思路導(dǎo)航】如果大班減少3人，則大班和小班的人數(shù)同樣多。這樣，大班每人5個就多余3X5+10=25個。由于兩班人數(shù)相等，小班每人多分3個就要多分(25＋2)個蘋果，用(25+2)=(8—5)就能得到小班同學的人數(shù)是9人，再用9X8—2就求出了這筐蘋果有多少個?！纠}4】幼兒園教師把一箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊；如果只分給中班的小朋友，平均每人可以多分得4塊。如果只分給小班的小朋友，平均每人分得多少塊？【思路導(dǎo)航】這箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊，如果只分給中班的小朋友，平均每人可多分4塊。說明中班的人數(shù)是小班人數(shù)的6*4=1.5倍。因此，這箱餅干分給小班的小朋友，每位小朋友可多分到6X1.5=9塊，一共可分到6＋9=15塊餅干?！纠}5】全班同學去劃船，如果減少一條船，每條船正好坐9個同學；如果增加一條船，每條船正好坐6個同學。這個班有多少個同學？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意可知：每船坐9人，就能減少一條船，也就是