計算方法第四章數(shù)值積分和數(shù)值微分課件

第4章數(shù)值積分和數(shù)值微分§4.1數(shù)值積分概論§4.2牛頓-柯特斯公式§4.3復(fù)合求積公式§4.4龍貝格求積公式§4.5自適應(yīng)積分方法§4.6高斯求積公式§4.7多重積分§4.8數(shù)值微分第4章數(shù)值積分和數(shù)值微分§4.1數(shù)值積分概論§4.1數(shù)值積分概論

我們知道,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x),則可用Newton-Leibnitz公式求得定積分求定積分的值,Newton-Leibnitz公式無論在理論上還是在解決實際問題上都起了很大作用，但它并不能完全解決定積分的計算問題，因為積分學(xué)涉及的實際問題極為廣泛，而且極其復(fù)雜，在實際計算中經(jīng)常遇到以下三種情況：§4.1數(shù)值積分概論求得定積分求定積分的值,Newto

(1)被積函數(shù)f(x)并不一定能夠找到用初等函數(shù)的有限形式表示的原函數(shù)F(x)，例如：

Newton-Leibnitz公式就無能為力了。無法用初等函數(shù)表示3

(1)被積函數(shù)f(x)并不一定能夠找到用初等函數(shù)的無法用(2)還有被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，但表達式太復(fù)雜，例如函數(shù)并不復(fù)雜，但積分后其表達式卻很復(fù)雜，積分后其原函數(shù)F(x)為：表達式太復(fù)雜(2)還有被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，但表達(3)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達式,其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表示。

無解析表達式(3)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達式,其函數(shù)關(guān)系由對于這些情況,要計算積分的準確值都是十分困難的。由此可見,通過原函數(shù)來計算積分有它的局限性,因而研究一種新的積分方法來解決Newton-Leibniz公式所不能或很難解決的積分問題,這時需要用數(shù)值解法來建立積分的近似計算方法。

數(shù)值積分將積分區(qū)間細分,在每一個小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)進行積分，這就是數(shù)值積分的思想，用代數(shù)插值多項式去代替被積函數(shù)f(x)進行積分是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。

6數(shù)值積分將積分區(qū)間細分,在每一個小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代

數(shù)值微分同樣對于函數(shù)f(x)的求導(dǎo)問題，因為在微分學(xué)中，函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)是通過極限定義的。若函數(shù)是以表格形式給出，或函數(shù)的表達式過于復(fù)雜時，也需要研究其數(shù)值計算方法。這是本章介紹的另一個內(nèi)容—數(shù)值微分。數(shù)值微分同樣對于函數(shù)f(x)的求導(dǎo)問題，因為在微分學(xué)中，函

數(shù)值積分的基本思想

積分值在幾何上可以解釋為由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)這四條邊所圍成的曲邊梯形面積。如圖1所示，而這個面積之所以難于計算是因為它有一條曲邊y=f(x)。建立數(shù)值積分公式的途徑比較多,其中最常用的有兩種：圖1數(shù)值積分的幾何意義

8數(shù)值積分的基本思想積分值

（1）由積分中值定理可知，對于連續(xù)函數(shù)f(x)，在積分區(qū)間[a,b]內(nèi)存在一點，使得即所求的曲邊梯形的面積恰好等于底為(b-a)，高為的矩形面積。但是點的具體位置一般是未知的,因而的值也是未知的,稱為f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均高度。那么只要對平均高度提供一種算法，相應(yīng)地就獲得一種數(shù)值求積方法?；诜e分中值定理基于積分中值定理中矩形公式按照這種思想，可構(gòu)造出一些求積分值的近似公式。取,得到中矩形公式①中矩形公式y(tǒng)=f(x)ab中矩形公式把[a,b]

的中點處函數(shù)值作為平均高度f()的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。圖2中矩形公式10中矩形公式按照這種思想，可構(gòu)造出一些求積分值的近似公梯形公式取,則得到梯形公式②梯形公式xaby=f(x)ab梯形公式是把f(a),f(b)的加權(quán)平均值作為平均高度f()的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。圖3梯形公式11梯形公式取,則得到梯形公式②梯形公式y(tǒng)③Simpson公式by=f(x)a(a+b)/2a(a+b)/2Simpson公式Simpson公式是以函數(shù)f(x)在a,b,(a+b)/2這三點的函數(shù)值f(a),f(b),的加權(quán)平均值作為平均高度f()的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。圖4Simpson公式y(tǒng)③Simpson公式by=f(x)a(a+b)/2a(（2）先用某個簡單函數(shù)近似逼近f(x),用代替原被積函數(shù)f(x)，即

基于逼近思想以此構(gòu)造數(shù)值算法。13（2）先用某個簡單函數(shù)近似逼近f(x),用多項式逼近從數(shù)值計算的角度考慮,函數(shù)應(yīng)對f(x)有充分的逼近程度,并且容易計算其積分。由于多項式能很好地逼近連續(xù)函數(shù),且又容易計算積分,因此將選取為插值多項式,這樣f(x)的積分就可以用其插值多項式的積分來近似代替。多項式逼近從數(shù)值計算的角度考慮,函數(shù)應(yīng)對f(x)有充分的逼近設(shè)已知f(x)在節(jié)點有函數(shù)值,作n次拉格朗日插值多項式式中這里插值求積公式設(shè)已知f(x)在節(jié)點有函數(shù)值其中

稱為求積系數(shù)。插值求積公式多項式P(x)易于求積,所以可取作為的近似值，即其中稱為求積系數(shù)。插值求積公式多項式P(x)易于求積,所以定義1求積公式其系數(shù)時，則稱求積公式為插值求積公式。插值求積公式17定義1求積公式其系數(shù)時設(shè)插值求積公式的余項為,由插值余項定理得其中

當f(x)是次數(shù)不高于n的多項式時，有,求積公式才能成為準確的等式。插值求積公式設(shè)插值求積公式的余項為,由插值余項定理§4.2牛頓-柯特斯公式

在插值求積公式中,當所取節(jié)點是等距時稱為牛頓-柯特斯公式其中插值多項式求積系數(shù)這里是插值基函數(shù)。即有§4.2牛頓-柯特斯公式中,當所取節(jié)點是等距時稱為牛頓將積分區(qū)間[a,b]

劃分為n等分,步長求積節(jié)點為為了計算系數(shù)Ak,由于,所以區(qū)間n等分20將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分,步長區(qū)間n等分20求積系數(shù)作變量代換當時,有,于是可得

求積系數(shù)作變量代換當

(k=0,1…,n)

代入插值求積公式,有

稱為牛頓-柯特斯求積公式,Ck

稱為柯特斯系數(shù)。引進記號

(k=0,1…,n)

則柯特斯系數(shù)(k=0,1…,n)代入插值求積公式,有稱為牛頓-容易驗證

∵

∴

柯特斯系數(shù)性質(zhì)容易驗證∵∴柯特斯系數(shù)性質(zhì)顯然,Ck是不依賴于積分區(qū)間[a,b]以及被積函數(shù)f(x)的常數(shù),只要給出n,就可以算出柯特斯系數(shù)。當n=1時低階柯特斯系數(shù)當n=2時

24顯然,Ck是不依賴于積分區(qū)間[a,b]以及被積函數(shù)f(x表1給出了n從1～8的柯特斯系數(shù)。

當n=8時，從表中可以看出出現(xiàn)了負系數(shù)，從而影響穩(wěn)定性和收斂性，因此實用的只是低階公式?？绿厮瓜禂?shù)表1給出了n從1～8的柯特斯系數(shù)。柯特斯系數(shù)

表1柯特斯系數(shù)表表1柯特斯系數(shù)表梯形公式

在牛頓-柯特斯求積公式中n=1,2,4時，就分別得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。(1)

梯形公式當n=1時，牛頓-柯特斯公式就是梯形公式定理

（梯形公式的誤差）設(shè)f(x)在[a,b]上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則梯形公式的誤差（余項）為27梯形公式在牛頓-柯特斯求積公式中n=1,2,4時，就證:由插值型求積公式的余項其中可知梯形公式的誤差為

由于(x-a)(x-b)在[a,b]中不變號,在[a,b]上連續(xù),根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的積分中值定理,在[a,b]上存在一點η，使因此

梯形公式23證:由插值型求積公式的余項由于(x-a)(x-b)在[a,b（2）辛卜生公式當n=2時，牛頓-柯特斯公式就是辛卜生公式（或稱拋物線公式）定理（辛卜生公式的誤差）設(shè)在[a,b]上具有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，則辛卜生求積公式的誤差為定理證明從略。

辛卜生公式（2）辛卜生公式定理（辛卜生公式的誤差）設(shè)在[a,b]上具（3）柯特斯公式當n=4時，牛頓-柯特斯公式為

定理（柯特斯公式的誤差）設(shè)在[a,b]上具有連續(xù)的6階導(dǎo)數(shù)，則柯特斯求積公式的誤差為

定理的證明從略。

柯特斯公式（3）柯特斯公式定理（柯特斯公式的誤差）設(shè)在[a,b]上具有例1分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式計算定積分的近似值(計算結(jié)果取5位有效數(shù)字)(1)用梯形公式計算(2)用辛卜生公式例題例1分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式計算定積分(3)用柯特斯公式計算，系數(shù)為

積分的準確值為

可見，三個求積公式的精度逐漸提高。

例題(3)用柯特斯公式計算，系數(shù)為積分的準確值為可見，三例2用辛卜生公式和柯特斯公式計算定積分的近似值,并估計其誤差(計算結(jié)果取5位小數(shù))解:辛卜生公式由于由辛卜生公式余項例題例2用辛卜生公式和柯特斯公式計算定積分的近似值,并估計其柯特斯公式

知其誤差為例題知其誤差為

柯特斯公式知其誤差為例題知其誤差為

該定積分的準確值,這個例子告訴我們，對于同一個積分，當n≥2時，公式卻是精確的，這是由于辛卜生公式具有三次代數(shù)精度，柯特斯公式具有五次代數(shù)精度，它們對被積函數(shù)為三次多項式當然是精確成立的。例題該定積分的準確值§4.3復(fù)合求積公式由梯形、辛卜生和柯特斯求積公式余項可知，隨著求積節(jié)點數(shù)的增多，對應(yīng)公式的精度也會相應(yīng)提高。但由于n≥8時的牛頓-柯特斯求積公式開始出現(xiàn)負值的柯特斯系數(shù)。根據(jù)誤差理論的分析研究，當積分公式出現(xiàn)負系數(shù)時，可能導(dǎo)致舍入誤差增大，并且往往難以估計。因此不能用增加求積節(jié)點數(shù)的方法來提高計算精度。§4.3復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式在實際應(yīng)用中，通常將積分區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上采用低階求積公式，然后把所有小區(qū)間上的計算結(jié)果加起來得到整個區(qū)間上的求積公式，這就是復(fù)合求積公式的基本思想。常用的復(fù)合求積公式有復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛卜生公式。

復(fù)合求積公式在實際應(yīng)用中，通常將積分區(qū)間分成若干個小區(qū)間，1復(fù)合梯形公式及其誤差將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分,步長求積節(jié)點為在每個小區(qū)間上應(yīng)用梯形公式

求出積分值Ik,然后將它們累加求和,用作為所求積分I的近似值。復(fù)合梯形公式及其誤差1復(fù)合梯形公式及其誤差求出積分值Ik,然后將它們累加求和記

上式稱為復(fù)合梯形公式。復(fù)合梯形公式及其誤差記上式稱為復(fù)合梯形公式。復(fù)合梯形公式及其誤差當f(x)在[a,b]上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),在子區(qū)間上梯形公式的余項已知為復(fù)合梯形公式及其誤差在[a,b]上的余項40當f(x)在[a,b]上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),在子區(qū)間復(fù)合梯形設(shè)在[a,b]上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的中值定理知，存在，使

因此,余項

復(fù)合梯形公式及其誤差設(shè)在[a,b]上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的中值定理知，存2

復(fù)合辛卜生公式及其誤差將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分,記子區(qū)間

的中點為在每個小區(qū)間上應(yīng)用辛卜生公式，則有復(fù)合辛卜生公式及其誤差2

復(fù)合辛卜生公式及其誤差復(fù)合辛卜生公式及其誤差記

稱為復(fù)合辛卜生公式復(fù)合辛卜生公式及其誤差

類似于復(fù)合梯形公式余項的討論，復(fù)合辛卜生公式

的求積余項為

43記稱為復(fù)合辛卜生公式復(fù)合辛卜生公式及其誤差類似于如果把每個子區(qū)間四等分,內(nèi)分點依次記同理可得復(fù)合柯特斯公式求積余項為

復(fù)合柯特斯公式及其誤差如果把每個子區(qū)間四等分,內(nèi)分點依次記同理可得復(fù)合求積公式的余項表明，只要被積函數(shù)發(fā)f(x)所涉及的各階導(dǎo)數(shù)在[a,b]上連續(xù)，那么復(fù)合梯形公式、復(fù)合辛卜生公式與復(fù)合柯特斯公式所得近似值的余項和步長的關(guān)系依次為。因此當h→0(即n→∞)時,都收斂于積分真值，且收斂速度一個比一個快。復(fù)合辛卜生公式及其誤差復(fù)合求積公式的余項表明，只要被積函數(shù)發(fā)f(x)所涉及的各階導(dǎo)例3依次用n=8的復(fù)合梯形公式、n=4的復(fù)合辛卜生公式計算定積分解:首先計算出所需各節(jié)點的函數(shù)值,n=8時，

由復(fù)合梯形公式可得如下計算公式：例題例3依次用n=8的復(fù)合梯形公式、n=4的復(fù)合解:首先計算出由復(fù)合辛卜生公式可得如下計算公式（積分準確值I=0.9460831）

這兩種方法都需要提供9個點上的函數(shù)值，計算量基本相同，然而精度卻差別較大，同積分的準確值（是指每一位數(shù)字都是有效數(shù)字的積分值）比較，復(fù)合梯形法只有兩位有效數(shù)字(T8=0.9456909),而復(fù)合辛卜生法卻有六位有效數(shù)字。例題由復(fù)合辛卜生公式可得如下計算公式（積分準確值I=0.9460例4用復(fù)合梯形公式計算定積分,問區(qū)間才能使誤差不超過解:取,則,又區(qū)間長度b-a=1，對復(fù)合梯形公式有余項即,n≥212.85，取n=213，即將區(qū)間[0,1]分為213等份時，用復(fù)合梯形公式計算誤差不超過。[0,1]應(yīng)分多少等份例題例4用復(fù)合梯形公式計算定積分,問區(qū)§4.4龍貝格求積公式

復(fù)合求積方法對于提高計算精度是行之有效的方法，但復(fù)合公式的一個主要缺點在于要先估計出步長。若步長太大，則難以保證計算精度，若步長太小，則計算量太大，并且積累誤差也會增大。在實際計算中通常采用變步長的方法，即把步長逐次分半，直至達到某種精度為止?！?.4龍貝格求積公式變步長的梯形公式1變步長的梯形公式變步長復(fù)合求積法的基本思想是在求積過程中，通過對計算結(jié)果精度的不斷估計，逐步改變步長（逐次分半），直至滿足精度要求為止。即按照給定的精度實現(xiàn)步長的自動選取。

變步長的梯形公式1變步長的梯形公式變步長的梯形公式設(shè)將積分區(qū)間[a,b]n等分，即分成n個子區(qū)間，一共有n+1個節(jié)點，即x=a+kh,k=0,1,…，n，步長。對于某個子區(qū)間,利用梯形公式計算積分近似值有

對整個區(qū)間[a,b]有51變步長的梯形公式設(shè)將積分區(qū)間[a,b]n等分，即分成n個子區(qū)變步長的梯形公式將子區(qū)間再二等份,取其中點作新節(jié)點,此時區(qū)間數(shù)增加了一倍為2n,對某個子區(qū)間,利用復(fù)合梯形公式計算其積分近似值。對整個區(qū)間[a,b]有變步長的梯形公式將子區(qū)間再二等份,取其中點對比較和有變步長的梯形公式當把積分區(qū)間分成n等份，用復(fù)合梯形公式計算積分I的近似值時，截斷誤差為

若把區(qū)間再分半為2n等份，計算出定積分的近似值

，則截斷誤差為比較和有變步長的梯形公式當把積分區(qū)間分成n等份，

當在區(qū)間[a,b]上變化不大時,有所以變步長的梯形公式

可見,當步長二分后誤差將減至,將上式移項整理，可得事后誤差估計式上式說明，只要二等份前后兩個積分值和相當接近，就可以保證計算結(jié)果的誤差很小，使接近于積分值I。當在區(qū)間[a,b]上變化不大時,有所以例5用變步長梯形求積法計算定積分解:先對整個區(qū)間0,1用梯形公式,對于

所以有然后將區(qū)間二等份,由于,故有

進一步二分求積區(qū)間,并計算新分點上的函數(shù)值

例題例5用變步長梯形求積法計算定積分所以有然后將區(qū)間二等份,有

這樣不斷二分下去。積分的準確值為0.9460831。xif(xi)011/80.99739782/80.98961583/80.97672674/80.95885105/80.93615566/80.90885167/80.877192510.8414709例題有這樣不斷二分下去。積分的xif(xi)011/80.992龍貝格求積公式

變步長梯形求積法算法簡單，但精度較差，收斂速度較慢，但可以利用梯形法算法簡單的優(yōu)點，形成一個新算法，這就是龍貝格求積公式。龍貝格公式又稱逐次分半加速法。根據(jù)積分區(qū)間分成n等份和2n等份時的誤差估計式，可得龍貝格求積公式2龍貝格求積公式龍貝格求積公式龍貝格求積公式由于積分值的誤差大致等于,如果用對進行修正時，與之和比更接近積分真值,所以可以將看成是對誤差的一種補償,因此可得到具有更好效果的式子。龍貝格求積公式由于積分值的誤差大致等于考察與n等份辛卜生公式之間的關(guān)系。將復(fù)合梯形公式

梯形變步長公式龍貝格求積公式代入59考察與n等份辛卜生公式之間的關(guān)系。將復(fù)合梯形公式故龍貝格求積公式這就是說，用梯形法二分前后兩個積分值和作線性組合，結(jié)果卻得到復(fù)合辛卜生公式計算得到的積分值。故龍貝格求積公式這就是說，用梯形法二分前后兩個積分值再考察辛卜生法。其截斷誤差與成正比，因此，如果將步長折半，則誤差減至，即有

由此可得

可以驗證,上式右端的值其實等于Cn，就是說，用辛卜生公式二等份前后的兩個積分值Sn和S2n

作線性組合后，可得到柯特斯公式求得的積分值Cn，即有龍貝格求積公式再考察辛卜生法。其截斷誤差與成正比，因此，如果將步長折用同樣的方法，根據(jù)柯特斯公式的誤差公式，可進一步導(dǎo)出龍貝格公式

龍貝格求積公式用同樣的方法，根據(jù)柯特斯公式的誤差公式，可進一步導(dǎo)出龍貝格公在變步長的過程中運用龍貝格求積公式就能將粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度較高的辛卜生值Sn、柯特斯值Cn和龍貝格值Rn。63在變步長的過程中運用龍貝格求積公式就能將粗糙的梯形值Tn逐步龍貝格求積公式或者說，將收斂緩慢的梯形值序列Tn加工成收斂迅速的龍貝格值序列Rn，這種加速方法稱為龍貝格算法（龍貝格公式）。64龍貝格求積公式或者說，將收斂緩慢的梯形值序列Tn加工成收斂迅例6用龍貝格算法計算定積分要求相鄰兩次龍貝格值的偏差不超過例題解:由題意

例6用龍貝格算法計算定積分例題解:由題意例題66例題66例題例題例題68例題68由于，于是有

例題由于，于是有例題（1）龍貝格求積法計算步驟用梯形公式計算積分近似值按變步長梯形公式計算積分近似值將區(qū)間逐次分半,令區(qū)間長度

計算龍貝格求積算法實現(xiàn)3龍貝格求積算法實現(xiàn)70（1）龍貝格求積法計算步驟龍貝格求積算法實現(xiàn)3龍貝格求積③按加速公式求加速值梯形加速公式：龍貝格求積算法實現(xiàn)龍貝格求積公式：辛卜生加速公式：

71③按加速公式求加速值梯形加速公式：龍貝格求積算法實現(xiàn)龍龍貝格求積算法實現(xiàn)④精度控制；直到相鄰兩次積分值

（其中ε為允許的誤差限）則終止計算并取Rn作為積分的近似值，否則將區(qū)間再對分，重復(fù)②，③，④的計算，直到滿足精度要求為止。72龍貝格求積算法實現(xiàn)④精度控制；直到相鄰兩次積分值（其中§4.5自適應(yīng)積分方法

略§4.5自適應(yīng)積分方法§4.6高斯求積公式1求積公式代數(shù)精度

定義（代數(shù)精度）設(shè)求積公式對于一切次數(shù)小于等于m的多項式或是準確的，而對于次數(shù)為m+1的多項式是不準確的，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度?！?.6高斯求積公式定義（代數(shù)精度）設(shè)求積公代數(shù)精度由定義可知，若求積公式的代數(shù)精度為n，則求積系數(shù)應(yīng)滿足線性方程組：75代數(shù)精度由定義可知，若求積公式75這是關(guān)于的線性方程組，其系數(shù)矩陣是梵得蒙矩陣,當互異時非奇異,故有唯一解。代數(shù)精度這是關(guān)于的線性方程組，其系數(shù)矩陣是梵得蒙矩陣,定理n+1個節(jié)點的求積公式為插值型求積公式的充要條件是公式至少具有n次代數(shù)精度。插值型求積公式77定理n+1個節(jié)點的求積公式插值型求積公式77證:充分性設(shè)n+1個節(jié)點的求積公式為插值型求積公式,求積系數(shù)為又

當f(x)為不高于n次的多項式時,f(x)=P(x),其余項R(f)=0。因而這時求積公式至少具有n次代數(shù)精度。插值型求積公式證:充分性插值型求積公式必要性若求積公式至少具有n次代數(shù)精度,則對n次多項式精確成立,即而取時所以有,即求積公式為插值型求積公式插值型求積公式必要性精確成立,即而取時所以有例7

設(shè)積分區(qū)間[a,b]為[0,2]，取時,

分別用梯形和辛卜生公式

計算其積分結(jié)果并與準確值進行比較例題例7設(shè)積分區(qū)間[a,b]為[0,2]，取計算其積分解:梯形公式和辛卜生的計算結(jié)果與準確值比較如下表所示例題

f(x)1xx2x3x4ex

準確值222.6746.406.389

梯形公式計算值2248168.389

辛卜生公式計算值222.6746.676.42181解:梯形公式和辛卜生的計算結(jié)果與準確值比較如下表所示例題從表中可以看出,當f(x)是時,辛卜生公式比梯形公式更精確。

一般說來，代數(shù)精度越高，求積公式越精確。梯形公式和中矩形公式具有1次代數(shù)精度，辛卜生公式有3次代數(shù)精度。下面以梯形公式為例進行驗證例題從表中可以看出,當f(x)是時,辛取f(x)=1時，

兩端相等取f(x)=x時,取f(x)=x2時,兩端不相等所以梯形公式只有1次代數(shù)精度。兩端相等例題取f(x)=1時，兩端相等取f(x)=x時,取f(x)例8試確定一個至少具有2次代數(shù)精度的公式

例題例8試確定一個至少具有2次代數(shù)精度的公式例題解:要使公式具有2次代數(shù)精度,則對f(x)=1,x,x2

求積公式準確成立，即得如下方程組。

解之得，所求公式為：例題85解:要使公式具有2次代數(shù)精度,則對f(x)=1,x,x2解例9試確定求積系數(shù)A,B,C使具有最高的代數(shù)精度。例題例9試確定求積系數(shù)A,B,C使例題解:分別取f(x)=1,x,x2

使求積公式準確成立,即得如下方程組所得求積公式為：對于f(x)=1,x,x2,x3都準確成立,對于f(x)=x4

就不準確了，所以此求積公式3次代數(shù)精度。例題87解:分別取f(x)=1,x,x2使求積公式準確成立,即所得由于n+1節(jié)點的插值求積公式至少有n次代數(shù)精度，所以構(gòu)造求積公式后應(yīng)該驗算所構(gòu)造求積公式的代數(shù)精度。例如插值求積公式

有三個節(jié)點至少有2次代數(shù)精度，是否有3次代數(shù)精度呢？將f(x)=x3代入公式兩端，左端和右端都等于(b4-a4)/4,公式兩端嚴格相等，再將f(x)=x4代入公式兩端，兩端不相等，所以該求積公式具有3次代數(shù)精度。驗算求積公式的代數(shù)精度由于n+1節(jié)點的插值求積公式至少有n次代數(shù)精

的代數(shù)精度。例10考察求積公式例題 的代數(shù)精度。例10考察求積公式例題解：可以驗證,對于f(x)=1,x時公式兩端相等,再將f(x)=x2代入公式左端兩端不相等,所以該求積公式具有1次代數(shù)精度.三個節(jié)點卻不具有2次代數(shù)精度，因為不是插值型的。右端例題90解：可以驗證,對于f(x)=1,x時公式兩端相等,再將例11給定求積公式如下：

試證此求積公式是插值型的求積公式。例題例11給定求積公式如下：試證此求積公式是插值型的求積公證:設(shè),則以這三點為插值節(jié)點的

Lagrange插值基函數(shù)為例題92證:設(shè),則以這三點為插值節(jié)點例題例題由插值型求積公式的定義知，所給的求積公式是插值型求積公式。插值型求積公式為例題由插值型求積公式的定義知，所給的求積公式是插值型求積公式。

例12求證不是插值型的。例題95例12求證不是插值型的。例題95例題證：設(shè)

x0=-1,x1=0,x2=1,

A0=1/2,A1=1,A2=1/2

則以這三點為插值節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)為96例題證：設(shè)96例題積分，得例題積分，得例題∴插值型求積系數(shù)為與原求積公式系數(shù)不一致（原求積公式系數(shù)若與原求積系數(shù)一致，則是插值型的）∴原公式不是插值型的。證畢。例題∴插值型求積系數(shù)為與原求積公式系數(shù)不一致例13給定求積公式試確定求積系數(shù)A-1,A0,A1,使其有盡可能高的代數(shù)精度，并指出其代數(shù)精度。例題例13給定求積公式試確定求積系數(shù)A-1,A0,A解：令求積公式對f(x)=1,x,x2準確成立，則有例題解之得100解：令求積公式對f(x)=1,x,x2準確成立，則有例題其代數(shù)精度至少為2,將f(x)=x3代入求積公式兩端相等,而將將f(x)=x4代入求積公式兩端不相等,所以其代數(shù)精度為3次。例題其代數(shù)精度至少為2,將f(x)=x3代入求積公式兩端相等,而例14確定求積公式使其具有盡可能高的代數(shù)精度。例題例14確定求積公式使其具有盡可能高的代數(shù)精度。例解：不妨設(shè)a=0,b=h,b-a=h,設(shè)所求公式的代數(shù)精度為2,則當f(x)=1,x,x2時公式變成等式,即例題解之得：其中h=b-a,令f(x)=x3代入上式,兩端不等,說明求積公式只有2次代數(shù)精度。103解：不妨設(shè)a=0,b=h,b-a=h,設(shè)所求公式的代數(shù)構(gòu)造插值求積公式有如下特點：復(fù)雜函數(shù)f(x)的積分轉(zhuǎn)化為計算多項式的積分求積系數(shù)Ak只與積分區(qū)間及節(jié)點xk有關(guān)，而與被積函數(shù)f(x)無關(guān)，可以不管f(x)如何，預(yù)先算出Ak的值

n+1個節(jié)點的插值求積公式至少具有n次代數(shù)精度求積系數(shù)之和可用此檢驗計算求積系數(shù)的正確性

插值求積公式的特點構(gòu)造插值求積公式有如下特點：插值求積公式的特點例15求證當節(jié)點為n+1個時,插值求積系數(shù)之和為例題例15求證當節(jié)點為n+1個時,插值求積系數(shù)之和為例

例題證：當節(jié)點為n+1個時，插值求積公式有n次代數(shù)精度，對于

，上式嚴格相等，所以取f(x)=1時，上式也嚴格相等，因此有即106例題證：當節(jié)點為n+1個時，插值求積公式有n次代數(shù)精度，對

(1)在積分區(qū)間[a,b]上選取節(jié)點xk(2)求出f(xk)及利用或解關(guān)于Ak的線性方程組求出Ak，這樣就得到了(3)利用f(x)=xn,…驗算代數(shù)精度

構(gòu)造插值求積公式的步驟構(gòu)造插值求積公式的步驟(1)在積分區(qū)間[a,b]上選取節(jié)點xk(3)利用f2高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用在構(gòu)造形如

的兩點公式時,如果限定求積節(jié)點,那么所得插值求積公式高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用的代數(shù)精度僅為1。2高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用在構(gòu)造形如高斯求積公式的構(gòu)造與高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用但是,如果對式中的系數(shù)和節(jié)點都不加限制，那么就可適當選取和,使所得公式的代數(shù)精度。事實上，若要使求積公式對函數(shù)都準確成立，只要和滿足方程組高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用但是,如果對式中的系數(shù)和高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用這個例子告訴我們，只要適當選擇求積節(jié)點，可使插值型求積公式的代數(shù)精度達到最高。這就是本節(jié)要介紹的高斯求積公式?？梢则炞C，所得公式是具有3次代數(shù)精度的插值型求積公式。代入即得

解之得

高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用這個例子告訴我們，只要適當選擇求積節(jié)定義：若一組節(jié)點x0…xn

∈[a,b],是使插值型求積公式具有2n+1次代數(shù)精度。這樣的節(jié)點稱為Gauss點，Ak稱為Gauss系數(shù)，求積公式稱為Gauss型求積公式。高斯求積公式的定義定義：若一組節(jié)點x0…xn∈[a,b],是使插值型求節(jié)點x0…xn

以及系數(shù)A0…An

都作為待定系數(shù)。是上的權(quán)函數(shù)。當有限，時即為普通積分。高斯求積公式的定義112節(jié)點x0…xn以及系數(shù)A0…An都作為待定系

可以證明，n+1個節(jié)點的高斯求積公式具有最高不超過2n+1次的代數(shù)精度，這就是我們所要討論的具有最高代數(shù)精度的插值型求積公式。高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用要使求積公式具有2n+1

次代數(shù)精度，令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1

代入求積公式精確成立，解出xk和

Ak.113可以證明，n+1個節(jié)點的高斯求積公式具有最高不超過2高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用像構(gòu)造兩點高斯求積公式一樣,對于插值型求積公式分別取用待定系數(shù)法來確定參數(shù)xk和從而構(gòu)造n+1個點高斯求積公式。但是，這種做法要解一個包含2n+2個未知數(shù)的非線性方程組，其計算工作量是相當大的。一個較簡單的方法是：高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用像構(gòu)造兩點高斯求積公式一樣,對于插值先利用區(qū)間a,b上的n+1次正交多項式確定高斯點

(2)然后利用高斯點確定求積系數(shù)正交多項式與高斯點求積系數(shù)可由Gauss點為節(jié)點的n次插值基函數(shù)確定顯然，Gauss點的設(shè)置成為構(gòu)造Gauss求積公式的關(guān)鍵。先利用區(qū)間a,b上的n+1次正交多項式確定高斯點正交多項待定系數(shù)法（1）待定系數(shù)法設(shè)被積函數(shù)f（x）是任一2n＋1次代數(shù)多項式則Gauss型求積公式精確成立，即于是待定系數(shù)法（1）待定系數(shù)法設(shè)被積函數(shù)f（x）是任一2n＋1次待定系數(shù)法注意到的任意性，則得方程組即待定系數(shù)法注意到的任意性，則得方程組即例題例16求Gauss型求積公式的節(jié)點及系數(shù)。例題例16求Gauss型求積公式的節(jié)點及系數(shù)。例題解這里二個節(jié)點和二個系數(shù)待定，故以上求積公式具有最高3次代數(shù)精度。因此對于上式精確成立，從而得到關(guān)于和的方程組119例題解這里二個節(jié)點和二個系數(shù)待定，故以上求積例題解出節(jié)點及系數(shù)所以求積公式為例題解出節(jié)點及系數(shù)所以求積公式為最高代數(shù)精度有而對任意的求積系數(shù)證明：對任意選擇的n＋1個節(jié)點可構(gòu)造2n+2次代數(shù)多項式定理Gauss型求積公式是具有最高代數(shù)精度的求積公式最高代數(shù)精度有而對任意的求積系數(shù)證明：對任意選擇的n＋1個節(jié)最高代數(shù)精度可見插值求積公式不精確成立。最高代數(shù)精度可見插值求積公式不精確成立。正交多項式（2）利用正交多項式確定求積節(jié)點及系數(shù)

則稱多項式序列{Sn(x)}為在[a,b]上帶權(quán)w(x)的正交，稱Sn(x)為[a,b]上帶權(quán)w(x)的n次正交多項式.

定義

設(shè)Sn(x)是[a,b]上首項系數(shù)an≠0的n次多項式，w(x)為[a,b]上權(quán)函數(shù)，如果多項式序列{Sn(x)}滿足關(guān)系式正交多項式（2）利用正交多項式確定求積節(jié)點及系數(shù)則稱多項式序正交多項式

正交多項式可由下面的遞推公式生成，即式中124正交多項式正交多項式可由下面的遞推公式生成，即式中12勒讓德(Legendre)多項式

當區(qū)間[-1,1],權(quán)函數(shù)w(x)≡1時,由{1,x,…,xn,…}正交化得到的多項式就稱為勒讓德(Legendre)多項式,并用P0(x),P1(x),…,Pn(x),…表示.這是勒讓德于1785年引進的.1814年羅德利克(Rodrigul)給出了簡單的表達式為遞推關(guān)系125勒讓德(Legendre)多項式當區(qū)間[-1勒讓德(Legendre)多項式由P0(x)=1,P1(x)=x，利用遞推關(guān)系就可推出126勒讓德(Legendre)多項式由P0(x)=1,P1(x第一類切比雪夫多項式區(qū)間為[-1,1]時,取權(quán)函數(shù)由序列{1,x,…,xn,…}正交化得到的多項式就是切比雪夫多項式，它可表示為若令x=cos，則Tn(x)=cosn，0≤≤π.

Tn(x)=cos(narccosx),

|x|

≤1.

127第一類切比雪夫多項式區(qū)間為[-1,1]時,取權(quán)函數(shù)由序列{1第一類切比雪夫多項式遞推關(guān)系可以推出于是得Tn(x)的首項系數(shù)為

an=2n-1(n1).128第一類切比雪夫多項式遞推關(guān)系可以推出于是得Tn(x)的首項系第一類切比雪夫多項式切比雪夫多項式的零點和極值點

切比雪夫多項式Tn(x)在區(qū)間[-1,1]上有n個零點.和n+1個極值點(包括端點).這兩組點稱為切比雪夫點。129第一類切比雪夫多項式切比雪夫多項式的零點和極值點切比雪夫第二類切比雪夫多項式區(qū)間為[-1,1]時,取權(quán)函數(shù)由序列{1,x,…,xn,…}正交化得到的多項式就稱為第二類切比雪夫多項式，其表達式為遞推關(guān)系130第二類切比雪夫多項式區(qū)間為[-1,1]時,取權(quán)函數(shù)由序列{拉蓋爾多項式區(qū)間為[0,+∞)時,取權(quán)函數(shù)由序列{1,x,…,xn,…}正交化得到的多項式就稱為拉蓋爾(Laguerre)多項式，其表達式為遞推關(guān)系131拉蓋爾多項式區(qū)間為[0,+∞)時,取權(quán)函數(shù)由序列{1,x,埃爾米特多項式區(qū)間為(-∞,+∞)時,取權(quán)函數(shù)由序列{1,x,…,xn,…}正交化得到的多項式就稱為埃爾米特(Hermite)多項式，其表達式為遞推關(guān)系132埃爾米特多項式區(qū)間為(-∞,+∞)時,取權(quán)函數(shù)由序列{1,x定理求積公式的節(jié)點為Gauss點的充要條件是這些節(jié)點為上帶權(quán)w(x)的n＋1次正交多項式的零點。Gauss點的充要條件定理求積公式Gauss點的充要條件證明必要性。設(shè)是Gauss點，于是求積公式具有2n＋1次代數(shù)精度。若記則對任何不高于n次的有于是是上帶權(quán)正交多項式，Gauss點是正交多項式的零點。Gauss點的充要條件多項式證明必要性。設(shè)是Gauss點，于是求積公式具有2n＋1次代又設(shè)f(x)是任意的不高于2n＋1次的多項式，用充分性設(shè)是上帶權(quán)的n＋1次正交多項式的零點，則去除f(x)，其商式記為余式記為于是Gauss點的充要條件又設(shè)f(x)是任意的不高于2n＋1次的多項式，用充分性Gauss點的充要條件顯然均為不高于n次的多項式。對上式的兩邊作上帶權(quán)的積分，即由的正交性得知等式右端第一項積分為零，故有Gauss點的充要條件顯然均為不高于n次的多項式。對上式的兩Gauss點的充要條件

若令其中是關(guān)于零點為節(jié)點的n＋1次插值基函數(shù)。由于是不高于n次的多項式，根據(jù)Lagrange插值公式，有等式于是求積公式Gauss點的充要條件若令其中是關(guān)于零點為節(jié)點的n＋1Gauss點的充要條件精確成立。又因所以Gauss點的充要條件精確成立。又因所以為節(jié)點作被積函數(shù)的Hermite插值多項式以n＋1個Gauss點Gauss型求積公式的截斷誤差截斷誤差為節(jié)點作被積函數(shù)的Hermite插值多項式以n＋1個Gaus截斷誤差截斷誤差截斷誤差于是，Gauss型求積公式的截斷誤差為可以證明，當時，即Gauss型求積公式收斂于連續(xù)函數(shù)的積分。截斷誤差于是，Gauss型求積公式的截斷誤差為可以證明，當時常用的Gauss型求積公式（1）高斯-勒讓德（Gauss-Legendre）公式積分區(qū)間權(quán)函數(shù)

相應(yīng)的正交多項式為Legendre多項式。求積系數(shù)142常用的Gauss型求積公式（1）高斯-勒讓德（Gauss-高斯-勒讓德求積公式截斷誤差

高斯-勒讓德求積公式截斷誤差中矩形公式n＝0時，節(jié)點x0是一次正交多項式的零點，即求積系數(shù)求積公式這就是中矩形公式，其截斷誤差為可知該求積公式具有1次代數(shù)精度。144中矩形公式n＝0時，節(jié)點x0是一次正交多項式的零點，即求積系兩點高斯-勒讓德公式n＝1時，節(jié)點是二次正交多項式的零點，求積系數(shù)即兩點高斯-勒讓德公式n＝1時，節(jié)點是二次正交多項式的零點，求兩點高斯-勒讓德公式113求積公式稱為兩點Gauss－Legendre公式，其截斷誤差為因此該求積公式具有3次代數(shù)精度。兩點高斯-勒讓德公式113求積公式稱為兩點Gauss－Leg三點高斯-勒讓德公式n＝2時，得到三點Gauss－Legendre公式它具有2n＋1＝5次代數(shù)精度。三點高斯-勒讓德公式n＝2時，得到三點Gauss－Legen一般區(qū)間的高斯-勒讓德公式對于一般區(qū)間[a,b]上的積分，總能通過積分變量的代換化為[-1,1]上的積分，即從而能夠應(yīng)用Gauss－Legendre公式。148一般區(qū)間的高斯-勒讓德公式對于一般區(qū)間[a,b]上的積分，總nxkAk00.00000002.00000001±0.57735031.00000002±0.77459670.00000000.55555560.88888893±0.8611363±0.33998100.34785480.65214524±0.9061798±0.53846930.00000000.23692690.47862870.5688889高斯-勒讓德求積公式的節(jié)點和系數(shù)nxkAk00.00000002.00000001±0.例題例17應(yīng)用Gauss-Legendre公式計算積分解先作變量代換化積分區(qū)間[0,]為[-1,1]，令則精確值為-12.0703463例題例17應(yīng)用Gauss-Legendre公式計算積分解例題應(yīng)用兩點Gauss－Legendre公式，得應(yīng)用五點Gauss－Legendre公式的計算結(jié)果為151例題應(yīng)用兩點Gauss－Legendre公式，得應(yīng)用五點Ga例18利用三點高斯-勒讓德求積公式計算的近似值。精確值為2.399529

解:由表可知，得到三點高斯型求積公式為由所求公式得例題例18利用三點高斯-勒讓德求積公式計算常用的Gauss型求積公式（2）高斯-切比雪夫公式積分區(qū)間權(quán)函數(shù)

相應(yīng)的正交多項式為第一類切比雪夫多項式。求積系數(shù)Tn(x)在區(qū)間[-1,1]上有n個零點153常用的Gauss型求積公式（2）高斯-切比雪夫公式積分區(qū)間例19利用兩點高斯-切比雪夫求積公式計算的近似值。精確值為解:兩點高斯-切比雪夫求積公式的零點為例題求積系數(shù)為154例19利用兩點高斯-切比雪夫求積公式計算常用的Gauss型求積公式（3）高斯-拉蓋爾公式積分區(qū)間權(quán)函數(shù)

相應(yīng)的正交多項式為拉蓋爾多項式。求積系數(shù)155常用的Gauss型求積公式（3）高斯-拉蓋爾公式積分區(qū)間權(quán)nxkAk01.00000000001.000000000010.58578643763.41421356240.85355339060.146446609420.41577455682.29428036036.28994508290.71109300990.27851773360.010389256530.32254768961.74576110124.53662029699.39507091230.60315410430.35741869240.03888790850.0005392947高斯-拉蓋爾求積公式的節(jié)點和系數(shù)156nxkAk01.00000000001.000000000例20利用三點高斯-拉蓋爾求積公式計算的近似值。準確值為0.00980757解:由表可知，得到三點高斯-拉蓋爾求積公式為例題157例20利用三點高斯-拉蓋爾求積公式計算例題由所求公式得158例題由所求公式得158常用的Gauss型求積公式（4）高斯-埃爾米特公式積分區(qū)間權(quán)函數(shù)

相應(yīng)的正交多項式為埃爾米特多項式。求積系數(shù)159常用的Gauss型求積公式（4）高斯-埃爾米特公式積分區(qū)間nxkAk00.0000000001.77245385091±0.70710678120.88622692552±1.22474487140.00000000.29540897521.1816359006

3±1.6506801239±0.52464762330.081312835450.80491409004±2.0201828705±0.95857246460.0000000000.019953242060.39361932320.9453087205高斯-埃爾米特求積公式的節(jié)點和系數(shù)160nxkAk00.0000000001.7724538509例21計算積分。準確值為解:運用高斯-埃爾米特求積公式例題Ak及xk見表?，F(xiàn)在f(x)=cosx,表中取節(jié)點數(shù)目n=4,則有161例21計算積分。例題Ak及xk見高斯求積公式是高精度求積公式，其求積系數(shù)

,求積公式也是數(shù)值穩(wěn)定的。但它明顯的缺點是當n改變時，系數(shù)和節(jié)點幾乎都在改變，因而應(yīng)用起來十分不便。同時其余項涉及高階導(dǎo)數(shù)，要利用它們來控制精度也十分困難，因此在實際計算中較多采用復(fù)合求積的方法。高斯求積的優(yōu)缺點162高斯求積公式是高精度求積公式，其求積系數(shù)高斯求積的優(yōu)缺點16譬如，先把積分區(qū)間a,b分成m個等長的小區(qū)間

然后在每個小區(qū)間上使用同一低階（如兩點的、三點的…）高斯型求積公式算出積分的近似值，將它們相加即得積分的近似值。復(fù)合高斯求積譬如，先把積分區(qū)間a,b分成m個等長的小區(qū)間§4.7多重積分略§4.7多重積分§4.8

數(shù)值微分

在微分學(xué)中，求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)通常是可以求得的，但有的比f(x)復(fù)雜的多。另外，有時f(x)僅由表格形式給出，則求也不容易。根據(jù)函數(shù)在若干個點處的函數(shù)值去求該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的近似值稱為數(shù)值微分。求數(shù)值導(dǎo)數(shù)也是實際問題經(jīng)常遇到的，特別當該函數(shù)本身未知，但又需要對其求導(dǎo)數(shù)時，數(shù)值微分方法顯得更為重要。

§4.8數(shù)值微分最簡單的數(shù)值微分是用差商近似代替導(dǎo)數(shù)，即同樣，也可用向后差商近似代替導(dǎo)數(shù)，即或中心差商的方法，即差商可以看出中心差商是向前差商和向后差商的算術(shù)平均值。最簡單的數(shù)值微分是用差商近似代替導(dǎo)數(shù)，即同樣，也可用向后差可見弦BC的斜率更接近于切線AT的斜率，因此從精度方面看，用中心差商近似代替導(dǎo)數(shù)值更可取，則稱如右圖所示，前述三種導(dǎo)數(shù)的近似值分別表示弦線AB，AC和BC的斜率，將這三條通過A點的弦的斜率與切線AT的斜率進行比較后,差商上述三種方法的截斷誤差分別為、和

可見弦BC的斜率更接近于切線AT的斜率，因此

利用中點公式計算導(dǎo)數(shù),首先必須選取合適的步長，為此需要進行誤差分析。分別將在x=a處泰勒展開，有

代入(1),得

差商為求的中點方法。(1)(2)利用中點公式計算導(dǎo)數(shù),首先必須選取合由式（2）知，當h適當小時：

差商由此可知,從截斷誤差的角度來看,步長越小,計算結(jié)果越準確。但從舍入誤差角度,h越小,f(a+h)與f(a-h)越接近,直接相減會造成有效數(shù)字的嚴重損失。就舍入誤差而言,步長是不宜太小的。怎樣選擇最佳步長,使截斷誤差與舍入誤差之和最小呢？

由式（2）知，當h適當小時：差商由此可知,從截斷誤差的因而

差商由此可以看出,只要當二分前后的2個近似值G(h)和很接近,就可以保證的截斷誤差很小，大致等于。對上式兩邊同乘以，并移項后得170因而差商由此可以看出,只要當二分前后的2個近似值G(h)和所以比較二分前后所得的G(h)和,若,則為所取的合適的步長,且

;否則將步長再二等分,繼續(xù)進行計算。差商所以比較二分前后所得的G(h)和,若2插值型求導(dǎo)公式函數(shù)f(x)的定積分可以用插值多項式P(x)的定積分來近似計算，同樣，函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)也可以用插值多項式P(x)的導(dǎo)數(shù)來近似代替，即

這樣建立的數(shù)值微分公式統(tǒng)稱為插值型求導(dǎo)公式。應(yīng)當指出的是即使P(x)與f(x)處處相差不多，但與在某些點仍然可能出入很大，因而在使用插值求導(dǎo)公式時要注意誤差的分析。插值型求導(dǎo)公式(3)2插值型求導(dǎo)公式這樣建立的數(shù)值微分公式統(tǒng)稱為插值型求導(dǎo)公由插值余項公式

得求導(dǎo)公式（3）的余項為式中。在這一余項公式中，由于ξ和x是未知函數(shù)，因此無法對它的第二項作出估計，但在插值節(jié)點xk處,由于上式右端的第二項因式等于零，因而在插值節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)余項為插值型求導(dǎo)公式由插值余項公式得求導(dǎo)公式（3）的余項為式中下面給出實用的兩點公式和三點公式。

(1)兩點公式設(shè)已給出兩個節(jié)點上的函數(shù)值，作線性插值對上式兩端求導(dǎo)，記，則有

插值型求導(dǎo)公式(4)下面給出實用的兩點公式和三點公式。對上式兩端求導(dǎo)，記注意到,于是有下列求導(dǎo)的兩點公式而利用余項公式(4)知,帶余項的兩點公式是(2)三點公式設(shè)已給出三個節(jié)點上插值型求導(dǎo)公式注意到,于是有下列求導(dǎo)的兩點公式而令，上式可表示為

兩端對t求導(dǎo)，有

插值型求導(dǎo)公式的函數(shù)值，作二次插值，得

上式分別取t=0,1,2,得到三種三點公式令，上式可表示為兩端對t求導(dǎo)，有而帶余項的三點公式如下：

插值型求導(dǎo)公式而帶余項的三點公式如下：插值型求導(dǎo)公式插值型求導(dǎo)公式k=0,1,…,n用插值多項式P(x)作為f(x)的近似函數(shù)，還可以建立高階數(shù)值求導(dǎo)公式式中,截斷誤差是

插值型求導(dǎo)公式k=0,1,…,n用插值多項式P(x)作為f例題例22已知函數(shù)表如下：1.31.51.71.92.12.32.53.6694.4825.4746.6868.1669.97412.182試求在x＝1.7處的導(dǎo)數(shù)值。解應(yīng)用兩點公式,取h＝0.2,得真值5.473例題例22已知函數(shù)表如下：1.31.5本章介紹了積分和微分的數(shù)值計算方法，其基本原理主要是逼近論，即設(shè)法構(gòu)造某個簡單函數(shù)P(x)近似表示f(x)，然后對P(x)求積或求導(dǎo)得到f(x)的積分或?qū)?shù)的近似值?；诓逯翟?，推導(dǎo)了數(shù)值積分和數(shù)值微分的基本公式。

插值型求積公式介紹了牛頓-柯特斯公式和高斯公式兩類。前者取等距節(jié)點，算法簡單而容易編制程序。但是，由于在n≥8時出現(xiàn)了負系數(shù)，從而影響穩(wěn)定性和收斂性。因此實用的只是低階公式。本章小結(jié)本章介紹了積分和微分的數(shù)值計算方法，其基本原理主要是解決長區(qū)間與低階公式的矛盾是使用復(fù)合求積公式，因此，常用的數(shù)值積分法都是復(fù)合求積公式。高斯公式不但具有最高代數(shù)精度，而且收斂性和穩(wěn)定性都有保證，因此是高精度的求積公式。高斯公式還可以通過選擇恰當?shù)臋?quán)函數(shù)，用于計算奇異積分和廣義積分，也可使一些復(fù)雜的積分計算簡化。高斯公式的主要缺點是節(jié)點與系數(shù)無規(guī)律。所以高階高斯公式不便于上機使用。實際應(yīng)用中可以把低階高斯公式進行復(fù)合。本章小結(jié)解決長區(qū)間與低階公式的矛盾是使用復(fù)合求積公式，因此，常用的數(shù)本章小結(jié)龍貝格算法是在區(qū)間逐次分半過程中，對用梯形法所獲得的近似值進行多級“加工”，從而獲得高精度的積分近似值的一種方法。它具有自動選取步長且精度高，計算量小的特點，便于在計算機上使用。

建立在代數(shù)精度概念上的待定系數(shù)法也是數(shù)值積分中的一般方法，按待定系數(shù)法確定的數(shù)值積分公式?jīng)]有誤差估計式，只能從代數(shù)精度出發(fā)，估計其精確程度。本章小結(jié)龍貝格算法是在區(qū)間逐次分半過程中，對用梯形法所獲得的如果要求函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)，而該函數(shù)僅僅是列表函數(shù)時，可使用插值求導(dǎo)公式去近似計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。本章小結(jié)如果要求函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)，而該函數(shù)僅僅是列表函數(shù)時，可使用插本章習(xí)題作業(yè)P1351(1)(4),2(3),5,7,11184本章習(xí)題作業(yè)184本章結(jié)束185本章結(jié)束185第4章數(shù)值積分和數(shù)值微分§4.1數(shù)值積分概論§4.2牛頓-柯特斯公式§4.3復(fù)合求積公式§4.4龍貝格求積公式§4.5自適應(yīng)積分方法§4.6高斯求積公式§4.7多重積分§4.8數(shù)值微分第4章數(shù)值積分和數(shù)值微分§4.1數(shù)值積分概論§4.1數(shù)值積分概論

我們知道,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x),則可用Newton-Leibnitz公式求得定積分求定積分的值,Newton-Leibnitz公式無論在理論上還是在解決實際問題上都起了很大作用，但它并不能完全解決定積分的計算問題，因為積分學(xué)涉及的實際問題極為廣泛，而且極其復(fù)雜，在實際計算中經(jīng)常遇到以下三種情況：§4.1數(shù)值積分概論求得定積分求定積分的值,Newto

(1)被積函數(shù)f(x)并不一定能夠找到用初等函數(shù)的有限形式表示的原函數(shù)F(x)，例如：

Newton-Leibnitz公式就無能為力了。無法用初等函數(shù)表示188

(1)被積函數(shù)f(x)并不一定能夠找到用初等函數(shù)的無法用(2)還有被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，但表達式太復(fù)雜，例如函數(shù)并不復(fù)雜，但積分后其表達式卻很復(fù)雜，積分后其原函數(shù)F(x)為：表達式太復(fù)雜(2)還有被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，但表達(3)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達式,其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表示。

無解析表達式(3)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達式,其函數(shù)關(guān)系由對于這些情況,要計算積分的準確值都是十分困難的。由此可見,通過原函數(shù)來計算積分有它的局限性,因而研究一種新的積分方法來解決Newton-Leibniz公式所不能或很難解決的積分問題,這時需要用數(shù)值解法來建立積分的近似計算方法。

數(shù)值積分將積分區(qū)間細分,在每一個小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)進行積分，這就是數(shù)值積分的思想，用代數(shù)插值多項式去代替被積函數(shù)f(x)進行積分是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。

191數(shù)值積分將積分區(qū)間細分,在每一個小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代

數(shù)值微分同樣對于函數(shù)f(x)的求導(dǎo)問題，因為在微分學(xué)中，函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)是通過極限定義的。若函數(shù)是以表格形式給出，或函數(shù)的表達式過于復(fù)雜時，也需要研究其數(shù)值計算方法。這是本章介紹的另一個內(nèi)容—數(shù)值微分。數(shù)值微分同樣對于函數(shù)f(x)的求導(dǎo)問題，因為在微分學(xué)中，函

數(shù)值積分的基本思想

積分值在幾何上可以解釋為由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)這四條邊所圍成的曲邊梯形面積。如圖1所示，而這個面積之所以難于計算是因為它有一條曲邊y=f(x)。建立數(shù)值積分公式的途徑比較多,其中最常用的有兩種：圖1數(shù)值積分的幾何意義

193數(shù)值積分的基本思想積分值

（1）由積分中值定理可知，對于連續(xù)函數(shù)f(x)，在積分區(qū)間[a,b]內(nèi)存在一點，使得即所求的曲邊梯形的面積恰好等于底為(b-a)，高為的矩形面積。但是點的具體位置一般是未知的,因而的值也是未知的,稱為f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均高度。那么只要對平均高度提供一種算法，相應(yīng)地就獲得一種數(shù)值求積方法?；诜e分中值定理基于積分中值定理中矩形公式按照這種思想，可構(gòu)造出一些求積分值的近似公式。取,得到中矩形公式①中矩形公式y(tǒng)=f(x)ab中矩形公式把[a,b]

的中點處函數(shù)值作為平均高度f()的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。圖2中矩形公式195中矩形公式按照這種思想，可構(gòu)造出一些求積分值的近似公梯形公式取,則得到梯形公式②梯形公式xaby=f(x)ab梯形公式是把f(a),f(b)的加權(quán)平均值作為平均高度f()的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。圖3梯形公式196梯形公式取,則得到梯形公式②梯形公式y(tǒng)③Simpson公式by=f(x)a(a+b)/2a(a+b)/2Simpson公式Simpson公式是以函數(shù)f(x)在a,b,(