現(xiàn)代信號(hào)處理第5章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法課件

現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)及應(yīng)用

ModernSignalProcessingTechnologyandItsApplication

何正嘉訾艷陽(yáng)張西寧

西

安

交

通

大

學(xué)

西安交通大學(xué)研究生創(chuàng)新教育系列教材

11/25/20221機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)及應(yīng)用

ModernSignalProc第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法經(jīng)典的傅里葉分析能夠完美地描繪平穩(wěn)的正弦信號(hào)及其組合，但不能恰當(dāng)?shù)胤从撤瞧椒€(wěn)信號(hào)的特征。

許多隨機(jī)過(guò)程從本質(zhì)上來(lái)講是非平穩(wěn)的，例如語(yǔ)音信號(hào)、沖擊響應(yīng)信號(hào)、機(jī)組啟、停機(jī)信號(hào)等。必須尋找既能夠反映時(shí)域特征又能夠反映頻域特征的新方法。本章介紹短時(shí)傅里葉變換、小波變換和小波包分析等非平穩(wěn)信號(hào)分析方法的原理、特點(diǎn)及其在工程中的應(yīng)用。11/25/20222機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法經(jīng)典的傅里葉分析能夠完美地描繪第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)

5.4工程應(yīng)用

11/25/20223機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換11第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)

5.4工程應(yīng)用

11/25/20224機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換115.1短時(shí)傅里葉變換傅里葉變換用平穩(wěn)的正弦波作為基函數(shù)，通過(guò)內(nèi)積運(yùn)算去變換信號(hào)，得到其頻譜。(5.1.1)這一變換建立了一個(gè)從時(shí)域到頻域的譜分析通道。頻譜X(f)顯示了用正弦基函數(shù)分解出x(t)中任一正弦頻率f的總強(qiáng)度。傅里葉譜分析提供了平均的頻譜系數(shù)，只與頻率f有關(guān)，而與時(shí)間t無(wú)關(guān)。傅里葉分析還要求所分析的隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)的.

1946年Gabor提出了窗口傅里葉變換，稱(chēng)為短時(shí)傅里葉變換（ShortTimeFourierTransform,STFT）。

11/25/20225機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1短時(shí)傅里葉變換傅里葉變換用平穩(wěn)的正弦波作為基函數(shù)5.1短時(shí)傅里葉變換由加窗信號(hào)的傅里葉變換產(chǎn)生短時(shí)傅里葉變換。(5.1.2)是中心位于，高度為

1、寬度有限的時(shí)窗函數(shù)，通過(guò)所觀察到的信號(hào)的部分是。是

STFT的基函數(shù)。

tx(t)h(t)h(t-τ)x(t)h(t)τ0111/25/20226機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1短時(shí)傅里葉變換由加窗信號(hào)的傅里葉5.1短時(shí)傅里葉變換

窗函數(shù)的選取是關(guān)鍵。最優(yōu)窗函數(shù)是高斯函數(shù)。

(5.1.3)高斯窗函數(shù)的形狀是：

1，1/4，1/16

11/25/20227機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1短時(shí)傅里葉變換窗函數(shù)的選取是關(guān)鍵。最優(yōu)窗5.1短時(shí)傅里葉變換給定窗函數(shù)和它的傅里葉變換，則帶寬為(5.1.4)STFT的頻率分辨率是。兩個(gè)正弦波之間的頻率間隔大于，則可區(qū)分這兩個(gè)正弦波。STFT的時(shí)間分辨率是，有(5.1.5)兩個(gè)脈沖的時(shí)間間隔大于，則可區(qū)分這兩個(gè)脈沖。

11/25/20228機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1短時(shí)傅里葉變換給定窗函數(shù)和它的傅里葉變換5.1短時(shí)傅里葉變換時(shí)間分辨率和頻率分辨率不可能同時(shí)任意小，根據(jù)Heisenberg不確定性原理，有以下限制(5.1.6)上式中，當(dāng)且僅當(dāng)采用了高斯窗函數(shù)，等式成立。時(shí)間分辨率和頻率分辨率一旦確定，則STFT在整個(gè)時(shí)頻平面上的時(shí)頻分辨率保持不變。短時(shí)傅里葉變換能夠分析非平穩(wěn)動(dòng)態(tài)信號(hào)，其基礎(chǔ)是傅里葉變換，更適合分析準(zhǔn)平穩(wěn)(quasi-stationary)信號(hào)。反映信號(hào)高頻成份需要用窄時(shí)窗，而反映信號(hào)低頻成份需要用寬時(shí)窗。短時(shí)傅里葉變換不能同時(shí)滿(mǎn)足這些要求。11/25/20229機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1短時(shí)傅里葉變換時(shí)間分辨率和頻率分辨率第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換

5.2小波變換

5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)

5.4工程應(yīng)用

11/25/202210機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換115.2小波變換近年來(lái)在工具和方法上有重大突破的小波變換，為非平穩(wěn)信號(hào)分析展示了美好的前景?！靶〔ā本褪切〉牟ㄐ?。所謂“小”是指局部非零，波形具有衰減性；“波”則是指它具有波動(dòng)性，包含有頻率的特性。小波分析的思想來(lái)源于伸縮和平移方法。1910年A.Haar提出的規(guī)范正交系1984年，J.Morlet在分析地震數(shù)據(jù)的局部性時(shí)引進(jìn)了小波概念。1986年，Y.Meyer構(gòu)造出二進(jìn)伸縮、平移小波基函數(shù)，掀起小波研究熱潮。1987年，S.G.Mallat將多分辨思想引入小波分析，提出快速塔形算法。1988年，I.Daubechies構(gòu)造了緊支集正交小波基，完善小波理論體系。1989到1991年，R.R.Coifman、M.V.Wickerhauser等提出小波包及算法。1997年，W.Sweldens提出第二代小波變換的概念和算法。近一個(gè)世紀(jì)，特別是近二十年來(lái)，小波理論和算法發(fā)展突飛猛進(jìn)。為信號(hào)處理領(lǐng)域里各自獨(dú)立開(kāi)發(fā)的方法建立了一個(gè)統(tǒng)一的框架11/25/202211機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換近年來(lái)在工具和方法上有重大突破的小波變換，5.2小波變換由基本小波或母小波通過(guò)伸縮a和平移b產(chǎn)生一個(gè)函數(shù)族稱(chēng)為小波。有(5.2.1)

式中是尺度因子，，是時(shí)移因子。，波形收縮；，波形伸展。保證在不同的值下，即在小波函數(shù)的伸縮過(guò)程中能量保持相等。信號(hào)的小波變換為(5.2.2)小波變換是用小波基函數(shù)代替傅里葉變換中的基函數(shù)以及短時(shí)傅里葉變換中的基函數(shù)而進(jìn)行的內(nèi)積運(yùn)算。小波變換的實(shí)質(zhì)就是以基函數(shù)的形式將信號(hào)分解為不同頻帶的子信號(hào)。11/25/202212機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換由基本小波或母小波通過(guò)伸縮5.2小波變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換相當(dāng)于通過(guò)小波的尺度因子和時(shí)移因子變化去觀察信號(hào)。小波變換的局部化是變化的，在高頻處時(shí)間分辨率高，頻率分辨率低；在低頻處時(shí)間分辨率低，頻率分辨率高，即具有“變焦”的性質(zhì)，也就是具有自適應(yīng)窗的性質(zhì)。

尺度時(shí)寬減?。l寬增大）時(shí)寬增大（頻寬減?。﹖平移bcc′d′da11/25/202213機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換相當(dāng)于通過(guò)小5.2小波變換式(5.2.2)通過(guò)變量置換可改寫(xiě)為(5.2.3)隨著尺度因子的改變，通過(guò)一個(gè)恒定的濾波器觀察到被伸展或壓縮了的信號(hào)波形。尺度因子解釋了信號(hào)在變換過(guò)程中尺度的變化，用大尺度可觀察信號(hào)的總體，用小尺度可觀察信號(hào)的細(xì)節(jié)。式(5.2.3)解釋了為什么在S.G.Mallat的小波信號(hào)分解塔形快速算法中，始終使用同樣的低通與高通濾波器的道理。11/25/202214機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換式(5.2.2)通過(guò)變量置換可改寫(xiě)為115.2小波變換小波函數(shù)族還可采用如下定義：(5.2.4)優(yōu)點(diǎn)是在不同尺度下可以保持各的頻譜中幅頻特性大小一致。因?yàn)?/p>

設(shè)的傅里葉變換是，則的傅里葉變換是與相比，只有頻率坐標(biāo)比例變化，幅度沒(méi)有變化。

參見(jiàn)p48性質(zhì)(4)

11/25/202215機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換小波函數(shù)族還可采用如下定義：11/22/5.2小波變換式(5.2.2)的內(nèi)積運(yùn)算可以用卷積運(yùn)算來(lái)表示。這是因?yàn)閮?nèi)積：5.2.4)卷積：

或記作

兩式相比較，只是將改成，即首尾對(duì)調(diào)。如果是關(guān)于的對(duì)稱(chēng)函數(shù)，則計(jì)算結(jié)果無(wú)區(qū)別；如果是非對(duì)稱(chēng)，在計(jì)算方法上也無(wú)本質(zhì)區(qū)別。11/25/202216機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換式(5.2.2)的內(nèi)積運(yùn)算可以用卷積運(yùn)算來(lái)5.2小波變換當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)，信號(hào)所包含機(jī)器不同零部件的故障特征頻率分布在不同的頻帶里。如何提取這些被淹沒(méi)的微弱信息而實(shí)現(xiàn)故障的早期診斷問(wèn)題，往往使傳統(tǒng)的信號(hào)分析技術(shù)無(wú)能為力。小波變換能夠?qū)崿F(xiàn)信號(hào)在不同頻帶、不同時(shí)刻的合理分離。這種分離相當(dāng)于同時(shí)使用一個(gè)低通濾波器和若干個(gè)帶通濾波器而不丟失任何原始信息。為機(jī)器零部件故障特征頻率的分離、微弱信息的提取以實(shí)現(xiàn)早期故障診斷提供了高效、有力的工具。特別要強(qiáng)調(diào)，這些優(yōu)點(diǎn)來(lái)自小波變換的多分辨分析和小波基函數(shù)的正交性。11/25/202217機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)，信號(hào)所包含機(jī)器不同零部件5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義在平方可積實(shí)數(shù)空間的多分辨分析是指存在一系列的閉子空間，（代表分辨率為的多分辨分析子空間）是在中的正交補(bǔ)空間。這些子空間具有以下性質(zhì)：1)一致單調(diào)性：

(5.2.7)性質(zhì)1)表明分辨率為的子空間中的逼近信號(hào)包含了分辨率為的子空間的信息以及分辨率低于的所有信息。這也稱(chēng)為因果性質(zhì)。2)漸近完全性：(5.2.8)性質(zhì)2)表明所有子空間組成函數(shù)空間。隨著分辨率的提高，逼近信號(hào)就更接近原始信號(hào)；反之，隨著分辨率的降低，逼近信號(hào)所包含的信息就越來(lái)越少。因此，在以分辨率為時(shí)得到的逼近信號(hào)與原始信號(hào)相比較，將會(huì)丟失部分信息。11/25/202218機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義11/25.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義3)伸縮規(guī)則性：

(5.2.9)性質(zhì)3)表明所有的子空間可以由一個(gè)基本空間通過(guò)尺度的伸縮變化得到，在不同的分辨率時(shí)，逼近運(yùn)算相同。4)平移不變性：(5.2.10)性質(zhì)4)表明子空間信號(hào)在時(shí)間上平移，信號(hào)仍在該子空間，分辨率不變。5)正交補(bǔ)全性：(5.2.11)

符號(hào)表示“正交和”。是尺度函數(shù)空間，是小波函數(shù)空間，它們相互正交，即⊥。，尺度函數(shù)與小波函數(shù)正交,內(nèi)積(5.2.13)反復(fù)使用式(5.2.11)和關(guān)系⊥，得到小波逼近空間表達(dá)式(5.2.13)11/25/202219機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義11/25.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義6)Riesz基存在性:存在,使是的Riesz基。

同樣使構(gòu)成的Riesz基(5.2.12)性質(zhì)6)指存在正常數(shù),有,對(duì)于任意序列（表示所有雙無(wú)限平方可求和序列空間）滿(mǎn)足(5.2.15)上式是的有界性條件，

A和B分別稱(chēng)為Riesz基下界和上界。根據(jù)式(5.2.9)的伸縮規(guī)則性，如果是空間的Riesz基，則是空間的Riesz基。Riesz基的特點(diǎn)是它的元素線性獨(dú)立，沒(méi)有冗余的元素。就能保證小波的冗余度盡可能小，這對(duì)信號(hào)的特征提取十分有利。

11/25/202220機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義11/25.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義基于多分辨分析逼近空間和細(xì)節(jié)空間的頻帶范圍。設(shè)空間中信號(hào)屬于子空間，的頻譜區(qū)間為,則…

…

…

…

…

…

小波變換的多分辨分析將信號(hào)分解到互相銜接的頻帶和中。選定或子空間中的分解信號(hào)，相當(dāng)于獲得了濃縮的故障診斷信息，具有理想的工程實(shí)用價(jià)值。

11/25/202221機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義11/25.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取在機(jī)械動(dòng)態(tài)分析與監(jiān)測(cè)診斷過(guò)程中，希望盡可能減少小波基的冗余性，期望小波函數(shù)線性獨(dú)立，即希望小波函數(shù)是一個(gè)Riesz基。由于正交性能夠保證獨(dú)立性，正交基是完備的內(nèi)積空間(Hilbert空間)最理想的基函數(shù)，所以我們最感興趣于尋找小波函數(shù)是正交基。定義5.2.1（正交小波）定理5.2.1（標(biāo)準(zhǔn)正交基和尺度函數(shù)）定理5.2.2

（由正交尺度基函數(shù)構(gòu)造出正交小波基函數(shù)）

11/25/202222機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取從包容關(guān)系，有，所以可以利用子空間的尺度基函數(shù)展開(kāi)，展開(kāi)系數(shù)為。由于，小波基函數(shù)，這一包容關(guān)系表明可以用中的尺度基函數(shù)展開(kāi)，展開(kāi)系數(shù)為，有雙尺度關(guān)系(5.2.19)11/25/202223機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取根據(jù)式(5.2.19)表示的雙尺度關(guān)系，中的尺度函數(shù)和中的小波函數(shù)均可由中的尺度函數(shù)給出。設(shè)，尺度函數(shù)和小波函數(shù)分別為(5.2.20)(5.2.21)(5.2.20)(d)t10φ(2t)1/21t10φ(2t-1)1/21t10ψ(t)1/21-1t10φ(t)1(a)(b)(c)11/25/202224機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取序列,稱(chēng)為正交鏡像濾波器(Quadrature

Mirror

Filters，QMF)，有,。和是QMF的頻域形式。由尺度函數(shù)和小波函數(shù)的正交性及雙尺度方程得(5.2.27)(5.2.28)(5.2.29)構(gòu)造正交小波時(shí)濾波器和必須滿(mǎn)足以上三個(gè)條件，它們分別來(lái)自尺度函數(shù)的正交性、小波函數(shù)的正交性以及尺度函數(shù)與小波函數(shù)之間的正交性。11/25/202225機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取小波系數(shù)與尺度系數(shù)之間的關(guān)系由式(5.2.28)和(5.2.29)，可得到

(5.2.30)由上式及(5.2.26)可得到兩個(gè)濾波器系數(shù)之間的關(guān)系

(5.2.31)比較最后兩個(gè)等式兩邊的系數(shù)，可以得到(5.2.32)若是實(shí)序列，共軛符號(hào)省略。

11/25/202226機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取構(gòu)造滿(mǎn)足正交三條件的濾波器和方法1、設(shè)計(jì)滿(mǎn)足式(5.2.27)的濾波器,再根據(jù)式(5.2.30)設(shè)計(jì)濾波器。2、由得到，再由式(5.2.32)直接得到。S.G.Mallat基于2p+1階多項(xiàng)式樣條函數(shù)構(gòu)造出(5.2.33)由式(5.2.23)，有關(guān)系，可得到根據(jù)式(5.2.24)和(5.2.30)，得到。(5.2.34)11/25/202227機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取當(dāng)，則，尺度函數(shù)及其傅里葉變換、小波函數(shù)及其傅里葉變換如圖所示。允許正頻率通過(guò)的區(qū)間是，而允許正頻率通過(guò)的區(qū)間是，二者在0到區(qū)間恰好正交互補(bǔ)。獨(dú)立化提取信息。系數(shù)見(jiàn)表5.2.1。11/25/202228機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取有了低通、帶通濾波序列和，就能方便地通過(guò)小波變換進(jìn)行信息獨(dú)立化提取。設(shè)是多分辨向量空間中的線性投影算子，以分辨率逼近能量有限可測(cè)信號(hào)。與最相似。由于，得到唯一的表達(dá)式(5.2.36)稱(chēng)為逼近信號(hào)，是分辨率為的細(xì)節(jié)信號(hào)，它包含和之間的信息差。重復(fù)式(5.2.36)過(guò)程，可得(5.2.37)11/25/202229機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取設(shè)離散采樣信號(hào)為，，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為，其分辨率是，將信號(hào)表示為。得到相應(yīng)的分解表達(dá)式(5.2.43)Mallat在文獻(xiàn)[13]里給出的實(shí)系數(shù)值，式(5.2.43)可寫(xiě)成

(5.2.44)和是隔二抽取結(jié)果，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度分別是信號(hào)的數(shù)據(jù)之半。信號(hào)重構(gòu)表達(dá)式為(5.2.45)11/25/202230機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化1.1內(nèi)積變換原理

函數(shù)，的內(nèi)積定義

信號(hào)的傅里葉變換信號(hào)的小波變換1信號(hào)處理的內(nèi)積與基函數(shù)

11/25/202231機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室1.1內(nèi)積變換原理函數(shù)，的內(nèi)積定義1信小波變換的逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)為

為尺度函數(shù)；為小波函數(shù)。雙尺度關(guān)系:

和分別是低通和高通濾波器系數(shù)。1.2小波變換的內(nèi)積運(yùn)算

11/25/202232機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室小波變換的逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)為1.2小波變小波變換的分解表達(dá)式

基函數(shù)分解關(guān)系小波變換的重構(gòu)表達(dá)式11/25/202233機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室小波變換的分解表達(dá)式11/22/202233機(jī)械工程學(xué)院5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取Mallat塔形算法,不涉及尺度函數(shù)和小波函數(shù),直接運(yùn)用和參與運(yùn)算，運(yùn)算量正比于。每次分解所得到的逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度是上一次逼近信號(hào)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的一半。當(dāng)次分解后，逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度縮減為原始信號(hào)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的。在重構(gòu)計(jì)算的每一步中，先在數(shù)據(jù)之間插補(bǔ)零后再參與同低通、帶通濾波器系數(shù)的運(yùn)算，結(jié)果重構(gòu)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度加倍。Mallat的塔形算法在小波分析中的地位就相當(dāng)于快速傅里葉算法在傅里葉變換中的地位。正交小波變換將原始信號(hào)分解到各自獨(dú)立的頻帶中，正交性保證了這些狀態(tài)信息無(wú)冗余、無(wú)疏漏，排除了干擾，濃縮了監(jiān)測(cè)診斷信息。11/25/202234機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)

5.4工程應(yīng)用

11/25/202235機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換115.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波變換對(duì)信號(hào)的分解都是對(duì)低頻逼近信號(hào)進(jìn)行再分解，不再對(duì)高頻細(xì)節(jié)信號(hào)進(jìn)行分解。小波變換分解方式，高頻頻帶信號(hào)的時(shí)間分辨率高而頻率分辨率低，低頻頻帶信號(hào)的時(shí)間分辨率低而頻率分辨率高。小波包(waveletpacket)提高高頻頻帶信號(hào)的頻率分辨率。信號(hào)的小波分解信號(hào)的小波包分解

11/25/202236機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波變換對(duì)信號(hào)的分解都5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)設(shè)序列滿(mǎn)足(5.3.1)

現(xiàn)定義一組遞歸函數(shù),n=1,，它們由尺度函數(shù)和小波函數(shù)產(chǎn)生，有關(guān)系

和(5.3.2)式中，兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。當(dāng)時(shí)，上式的和分別對(duì)應(yīng)于和。定義5.3.1

由式(5.3.2)產(chǎn)生的序列稱(chēng)為由基函數(shù)確定的小波包。11/25/202237機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)設(shè)序列5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)根據(jù)多分辨分析關(guān)系，用代替，得到小波包子空間中的分解關(guān)系(5.3.13)小波包對(duì)小波子空間進(jìn)行逐步分解，令n=1,2,…；j=1,2,…，得到如下的分解表示

………(5.3.14)………的分解可用來(lái)表示，分解信號(hào)為

，

m=0,1,2,11/25/202238機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)根據(jù)多分辨分析關(guān)系5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波包信號(hào)分解是正交分解，能量守衡，有如下關(guān)系(5.3.18)這里表示信號(hào)的能量。數(shù)據(jù)為，能量為(5.3.19)歸一化相對(duì)能量表示。第

m頻帶分解信號(hào)相對(duì)能量為(5.3.20)根據(jù)能量守衡原理，顯然有(5.3.21)11/25/202239機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波包信號(hào)分解是正交分第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)

5.4工程應(yīng)用

11/25/202240機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換115.4工程應(yīng)用5.4.1軋鋼機(jī)振動(dòng)分析

鋼廠熱軋機(jī)電機(jī)功率1MW，轉(zhuǎn)速591r/min。用加速度傳感器測(cè)試電機(jī)滑動(dòng)軸承座的垂直振動(dòng)。

圖5.4.1軋制過(guò)程電機(jī)測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)波形

圖5.4.2軋制過(guò)程振動(dòng)信號(hào)的小波分解

鋼坯進(jìn)入軋機(jī)的沖擊引起的寬帶響應(yīng)。具有明顯的幅值調(diào)制現(xiàn)象。高頻細(xì)節(jié)信號(hào)波形雜亂、密集隨機(jī)脈沖。電機(jī)軸瓦中因潤(rùn)滑不良造成的干摩擦及碰摩現(xiàn)象。11/25/202241機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.4工程應(yīng)用5.4.1軋鋼機(jī)振動(dòng)分析鋼坯進(jìn)入軋機(jī)的5.4工程應(yīng)用5.4.2大型礦山電鏟提升系統(tǒng)振動(dòng)分析

WK3B-4電鏟提升系統(tǒng)工況分析。

圖5.4.3電鏟提升系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和測(cè)點(diǎn)

圖5.4.4測(cè)點(diǎn)5在下降-停止-再啟動(dòng)過(guò)程的振動(dòng)波形

圖5.4.5測(cè)點(diǎn)5在下降-停止-再啟動(dòng)過(guò)程的STFT圖5.4.7提升增速過(guò)程測(cè)點(diǎn)4振動(dòng)波形和STFT11/25/202242機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.4工程應(yīng)用5.4.2大型礦山電鏟提升系統(tǒng)振動(dòng)分析115.4.3壓縮機(jī)齒輪箱軸瓦監(jiān)測(cè)診斷3#軸瓦修前振動(dòng)波形和小波包分解3#軸瓦修后振動(dòng)波形和小波包分解11/25/202243機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.4.3壓縮機(jī)齒輪箱軸瓦監(jiān)測(cè)診斷3#軸瓦修前振動(dòng)波形和小5.4.4汽輪發(fā)電機(jī)組軸瓦松動(dòng)故障診斷

檢修前4#軸瓦垂直振動(dòng)時(shí)域波形檢修前4#軸瓦垂直振動(dòng)的FFT頻譜

檢修前4#軸瓦垂直振動(dòng)的小波包能量監(jiān)測(cè)

11/25/202244機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.4.4汽輪發(fā)電機(jī)組軸瓦松動(dòng)故障診斷檢修前4#軸瓦垂直5.4.4汽輪發(fā)電機(jī)組軸瓦松動(dòng)故障診斷檢修后4#軸瓦垂直振動(dòng)時(shí)域波形檢修后4#軸瓦垂直振動(dòng)的FFT頻譜

檢修后4#軸瓦垂直振動(dòng)的小波包能量監(jiān)測(cè)

11/25/202245機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.4.4汽輪發(fā)電機(jī)組軸瓦松動(dòng)故障診斷檢修后4#軸瓦垂直振5.4.5高壓透平蒸汽激振分析高壓缸1#軸瓦振動(dòng)波形高壓缸2#軸瓦振動(dòng)波形

1#軸瓦振動(dòng)小波包分解頻帶能量監(jiān)測(cè)2#軸瓦振動(dòng)的小波包分解頻帶能量監(jiān)測(cè)

11/25/202246機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.4.5高壓透平蒸汽激振分析高壓缸1#軸瓦振動(dòng)波形5.4.5高壓透平蒸汽激振分析1#軸瓦振動(dòng)的倒頻譜2#軸瓦振動(dòng)的倒頻譜

1#軸瓦振動(dòng)的倒頻譜2#軸瓦振動(dòng)的倒頻譜

11/25/202247機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.4.5高壓透平蒸汽激振分析1#軸瓦振動(dòng)的倒頻譜5.4.5高壓透平蒸汽激振分析蒸汽激振的特點(diǎn)是：

1）振動(dòng)對(duì)氣流壓力、流量很敏感；2）振動(dòng)隨負(fù)荷的改變發(fā)生明顯變化；3）振蕩頻率等于或高于轉(zhuǎn)子的一階臨界頻率；4）一般情況下都發(fā)生在高、中壓轉(zhuǎn)子上。蒸汽激振的診斷和故障排除：高壓缸四根主進(jìn)汽管的大修方式不合理，造成高壓缸熱態(tài)膨脹不暢和缸體扭曲。

重新調(diào)整高壓缸各主進(jìn)汽管道在常溫下的長(zhǎng)度，檢修損壞的噴嘴，調(diào)整噴嘴與葉片的間隙。圖5.4.28蒸汽激振力分析

11/25/202248機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.4.5高壓透平蒸汽激振分析蒸汽激振的特點(diǎn)是：11/2現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)及應(yīng)用

ModernSignalProcessingTechnologyandItsApplication

何正嘉訾艷陽(yáng)張西寧

西

安

交

通

大

學(xué)

西安交通大學(xué)研究生創(chuàng)新教育系列教材

11/25/202249機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)及應(yīng)用

ModernSignalProc第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法經(jīng)典的傅里葉分析能夠完美地描繪平穩(wěn)的正弦信號(hào)及其組合，但不能恰當(dāng)?shù)胤从撤瞧椒€(wěn)信號(hào)的特征。

許多隨機(jī)過(guò)程從本質(zhì)上來(lái)講是非平穩(wěn)的，例如語(yǔ)音信號(hào)、沖擊響應(yīng)信號(hào)、機(jī)組啟、停機(jī)信號(hào)等。必須尋找既能夠反映時(shí)域特征又能夠反映頻域特征的新方法。本章介紹短時(shí)傅里葉變換、小波變換和小波包分析等非平穩(wěn)信號(hào)分析方法的原理、特點(diǎn)及其在工程中的應(yīng)用。11/25/202250機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法經(jīng)典的傅里葉分析能夠完美地描繪第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)

5.4工程應(yīng)用

11/25/202251機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換11第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)

5.4工程應(yīng)用

11/25/202252機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換115.1短時(shí)傅里葉變換傅里葉變換用平穩(wěn)的正弦波作為基函數(shù)，通過(guò)內(nèi)積運(yùn)算去變換信號(hào)，得到其頻譜。(5.1.1)這一變換建立了一個(gè)從時(shí)域到頻域的譜分析通道。頻譜X(f)顯示了用正弦基函數(shù)分解出x(t)中任一正弦頻率f的總強(qiáng)度。傅里葉譜分析提供了平均的頻譜系數(shù)，只與頻率f有關(guān)，而與時(shí)間t無(wú)關(guān)。傅里葉分析還要求所分析的隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)的.

1946年Gabor提出了窗口傅里葉變換，稱(chēng)為短時(shí)傅里葉變換（ShortTimeFourierTransform,STFT）。

11/25/202253機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1短時(shí)傅里葉變換傅里葉變換用平穩(wěn)的正弦波作為基函數(shù)5.1短時(shí)傅里葉變換由加窗信號(hào)的傅里葉變換產(chǎn)生短時(shí)傅里葉變換。(5.1.2)是中心位于，高度為

1、寬度有限的時(shí)窗函數(shù)，通過(guò)所觀察到的信號(hào)的部分是。是

STFT的基函數(shù)。

tx(t)h(t)h(t-τ)x(t)h(t)τ0111/25/202254機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1短時(shí)傅里葉變換由加窗信號(hào)的傅里葉5.1短時(shí)傅里葉變換

窗函數(shù)的選取是關(guān)鍵。最優(yōu)窗函數(shù)是高斯函數(shù)。

(5.1.3)高斯窗函數(shù)的形狀是：

1，1/4，1/16

11/25/202255機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1短時(shí)傅里葉變換窗函數(shù)的選取是關(guān)鍵。最優(yōu)窗5.1短時(shí)傅里葉變換給定窗函數(shù)和它的傅里葉變換，則帶寬為(5.1.4)STFT的頻率分辨率是。兩個(gè)正弦波之間的頻率間隔大于，則可區(qū)分這兩個(gè)正弦波。STFT的時(shí)間分辨率是，有(5.1.5)兩個(gè)脈沖的時(shí)間間隔大于，則可區(qū)分這兩個(gè)脈沖。

11/25/202256機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1短時(shí)傅里葉變換給定窗函數(shù)和它的傅里葉變換5.1短時(shí)傅里葉變換時(shí)間分辨率和頻率分辨率不可能同時(shí)任意小，根據(jù)Heisenberg不確定性原理，有以下限制(5.1.6)上式中，當(dāng)且僅當(dāng)采用了高斯窗函數(shù)，等式成立。時(shí)間分辨率和頻率分辨率一旦確定，則STFT在整個(gè)時(shí)頻平面上的時(shí)頻分辨率保持不變。短時(shí)傅里葉變換能夠分析非平穩(wěn)動(dòng)態(tài)信號(hào)，其基礎(chǔ)是傅里葉變換，更適合分析準(zhǔn)平穩(wěn)(quasi-stationary)信號(hào)。反映信號(hào)高頻成份需要用窄時(shí)窗，而反映信號(hào)低頻成份需要用寬時(shí)窗。短時(shí)傅里葉變換不能同時(shí)滿(mǎn)足這些要求。11/25/202257機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1短時(shí)傅里葉變換時(shí)間分辨率和頻率分辨率第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換

5.2小波變換

5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)

5.4工程應(yīng)用

11/25/202258機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換115.2小波變換近年來(lái)在工具和方法上有重大突破的小波變換，為非平穩(wěn)信號(hào)分析展示了美好的前景?！靶〔ā本褪切〉牟ㄐ?。所謂“小”是指局部非零，波形具有衰減性；“波”則是指它具有波動(dòng)性，包含有頻率的特性。小波分析的思想來(lái)源于伸縮和平移方法。1910年A.Haar提出的規(guī)范正交系1984年，J.Morlet在分析地震數(shù)據(jù)的局部性時(shí)引進(jìn)了小波概念。1986年，Y.Meyer構(gòu)造出二進(jìn)伸縮、平移小波基函數(shù)，掀起小波研究熱潮。1987年，S.G.Mallat將多分辨思想引入小波分析，提出快速塔形算法。1988年，I.Daubechies構(gòu)造了緊支集正交小波基，完善小波理論體系。1989到1991年，R.R.Coifman、M.V.Wickerhauser等提出小波包及算法。1997年，W.Sweldens提出第二代小波變換的概念和算法。近一個(gè)世紀(jì)，特別是近二十年來(lái)，小波理論和算法發(fā)展突飛猛進(jìn)。為信號(hào)處理領(lǐng)域里各自獨(dú)立開(kāi)發(fā)的方法建立了一個(gè)統(tǒng)一的框架11/25/202259機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換近年來(lái)在工具和方法上有重大突破的小波變換，5.2小波變換由基本小波或母小波通過(guò)伸縮a和平移b產(chǎn)生一個(gè)函數(shù)族稱(chēng)為小波。有(5.2.1)

式中是尺度因子，，是時(shí)移因子。，波形收縮；，波形伸展。保證在不同的值下，即在小波函數(shù)的伸縮過(guò)程中能量保持相等。信號(hào)的小波變換為(5.2.2)小波變換是用小波基函數(shù)代替傅里葉變換中的基函數(shù)以及短時(shí)傅里葉變換中的基函數(shù)而進(jìn)行的內(nèi)積運(yùn)算。小波變換的實(shí)質(zhì)就是以基函數(shù)的形式將信號(hào)分解為不同頻帶的子信號(hào)。11/25/202260機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換由基本小波或母小波通過(guò)伸縮5.2小波變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換相當(dāng)于通過(guò)小波的尺度因子和時(shí)移因子變化去觀察信號(hào)。小波變換的局部化是變化的，在高頻處時(shí)間分辨率高，頻率分辨率低；在低頻處時(shí)間分辨率低，頻率分辨率高，即具有“變焦”的性質(zhì)，也就是具有自適應(yīng)窗的性質(zhì)。

尺度時(shí)寬減?。l寬增大）時(shí)寬增大（頻寬減?。﹖平移bcc′d′da11/25/202261機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換相當(dāng)于通過(guò)小5.2小波變換式(5.2.2)通過(guò)變量置換可改寫(xiě)為(5.2.3)隨著尺度因子的改變，通過(guò)一個(gè)恒定的濾波器觀察到被伸展或壓縮了的信號(hào)波形。尺度因子解釋了信號(hào)在變換過(guò)程中尺度的變化，用大尺度可觀察信號(hào)的總體，用小尺度可觀察信號(hào)的細(xì)節(jié)。式(5.2.3)解釋了為什么在S.G.Mallat的小波信號(hào)分解塔形快速算法中，始終使用同樣的低通與高通濾波器的道理。11/25/202262機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換式(5.2.2)通過(guò)變量置換可改寫(xiě)為115.2小波變換小波函數(shù)族還可采用如下定義：(5.2.4)優(yōu)點(diǎn)是在不同尺度下可以保持各的頻譜中幅頻特性大小一致。因?yàn)?/p>

設(shè)的傅里葉變換是，則的傅里葉變換是與相比，只有頻率坐標(biāo)比例變化，幅度沒(méi)有變化。

參見(jiàn)p48性質(zhì)(4)

11/25/202263機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換小波函數(shù)族還可采用如下定義：11/22/5.2小波變換式(5.2.2)的內(nèi)積運(yùn)算可以用卷積運(yùn)算來(lái)表示。這是因?yàn)閮?nèi)積：5.2.4)卷積：

或記作

兩式相比較，只是將改成，即首尾對(duì)調(diào)。如果是關(guān)于的對(duì)稱(chēng)函數(shù)，則計(jì)算結(jié)果無(wú)區(qū)別；如果是非對(duì)稱(chēng)，在計(jì)算方法上也無(wú)本質(zhì)區(qū)別。11/25/202264機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換式(5.2.2)的內(nèi)積運(yùn)算可以用卷積運(yùn)算來(lái)5.2小波變換當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)，信號(hào)所包含機(jī)器不同零部件的故障特征頻率分布在不同的頻帶里。如何提取這些被淹沒(méi)的微弱信息而實(shí)現(xiàn)故障的早期診斷問(wèn)題，往往使傳統(tǒng)的信號(hào)分析技術(shù)無(wú)能為力。小波變換能夠?qū)崿F(xiàn)信號(hào)在不同頻帶、不同時(shí)刻的合理分離。這種分離相當(dāng)于同時(shí)使用一個(gè)低通濾波器和若干個(gè)帶通濾波器而不丟失任何原始信息。為機(jī)器零部件故障特征頻率的分離、微弱信息的提取以實(shí)現(xiàn)早期故障診斷提供了高效、有力的工具。特別要強(qiáng)調(diào)，這些優(yōu)點(diǎn)來(lái)自小波變換的多分辨分析和小波基函數(shù)的正交性。11/25/202265機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)，信號(hào)所包含機(jī)器不同零部件5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義在平方可積實(shí)數(shù)空間的多分辨分析是指存在一系列的閉子空間，（代表分辨率為的多分辨分析子空間）是在中的正交補(bǔ)空間。這些子空間具有以下性質(zhì)：1)一致單調(diào)性：

(5.2.7)性質(zhì)1)表明分辨率為的子空間中的逼近信號(hào)包含了分辨率為的子空間的信息以及分辨率低于的所有信息。這也稱(chēng)為因果性質(zhì)。2)漸近完全性：(5.2.8)性質(zhì)2)表明所有子空間組成函數(shù)空間。隨著分辨率的提高，逼近信號(hào)就更接近原始信號(hào)；反之，隨著分辨率的降低，逼近信號(hào)所包含的信息就越來(lái)越少。因此，在以分辨率為時(shí)得到的逼近信號(hào)與原始信號(hào)相比較，將會(huì)丟失部分信息。11/25/202266機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義11/25.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義3)伸縮規(guī)則性：

(5.2.9)性質(zhì)3)表明所有的子空間可以由一個(gè)基本空間通過(guò)尺度的伸縮變化得到，在不同的分辨率時(shí)，逼近運(yùn)算相同。4)平移不變性：(5.2.10)性質(zhì)4)表明子空間信號(hào)在時(shí)間上平移，信號(hào)仍在該子空間，分辨率不變。5)正交補(bǔ)全性：(5.2.11)

符號(hào)表示“正交和”。是尺度函數(shù)空間，是小波函數(shù)空間，它們相互正交，即⊥。，尺度函數(shù)與小波函數(shù)正交,內(nèi)積(5.2.13)反復(fù)使用式(5.2.11)和關(guān)系⊥，得到小波逼近空間表達(dá)式(5.2.13)11/25/202267機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義11/25.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義6)Riesz基存在性:存在,使是的Riesz基。

同樣使構(gòu)成的Riesz基(5.2.12)性質(zhì)6)指存在正常數(shù),有,對(duì)于任意序列（表示所有雙無(wú)限平方可求和序列空間）滿(mǎn)足(5.2.15)上式是的有界性條件，

A和B分別稱(chēng)為Riesz基下界和上界。根據(jù)式(5.2.9)的伸縮規(guī)則性，如果是空間的Riesz基，則是空間的Riesz基。Riesz基的特點(diǎn)是它的元素線性獨(dú)立，沒(méi)有冗余的元素。就能保證小波的冗余度盡可能小，這對(duì)信號(hào)的特征提取十分有利。

11/25/202268機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義11/25.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義基于多分辨分析逼近空間和細(xì)節(jié)空間的頻帶范圍。設(shè)空間中信號(hào)屬于子空間，的頻譜區(qū)間為,則…

…

…

…

…

…

小波變換的多分辨分析將信號(hào)分解到互相銜接的頻帶和中。選定或子空間中的分解信號(hào)，相當(dāng)于獲得了濃縮的故障診斷信息，具有理想的工程實(shí)用價(jià)值。

11/25/202269機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義11/25.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取在機(jī)械動(dòng)態(tài)分析與監(jiān)測(cè)診斷過(guò)程中，希望盡可能減少小波基的冗余性，期望小波函數(shù)線性獨(dú)立，即希望小波函數(shù)是一個(gè)Riesz基。由于正交性能夠保證獨(dú)立性，正交基是完備的內(nèi)積空間(Hilbert空間)最理想的基函數(shù)，所以我們最感興趣于尋找小波函數(shù)是正交基。定義5.2.1（正交小波）定理5.2.1（標(biāo)準(zhǔn)正交基和尺度函數(shù)）定理5.2.2

（由正交尺度基函數(shù)構(gòu)造出正交小波基函數(shù)）

11/25/202270機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取從包容關(guān)系，有，所以可以利用子空間的尺度基函數(shù)展開(kāi)，展開(kāi)系數(shù)為。由于，小波基函數(shù)，這一包容關(guān)系表明可以用中的尺度基函數(shù)展開(kāi)，展開(kāi)系數(shù)為，有雙尺度關(guān)系(5.2.19)11/25/202271機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取根據(jù)式(5.2.19)表示的雙尺度關(guān)系，中的尺度函數(shù)和中的小波函數(shù)均可由中的尺度函數(shù)給出。設(shè)，尺度函數(shù)和小波函數(shù)分別為(5.2.20)(5.2.21)(5.2.20)(d)t10φ(2t)1/21t10φ(2t-1)1/21t10ψ(t)1/21-1t10φ(t)1(a)(b)(c)11/25/202272機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取序列,稱(chēng)為正交鏡像濾波器(Quadrature

Mirror

Filters，QMF)，有,。和是QMF的頻域形式。由尺度函數(shù)和小波函數(shù)的正交性及雙尺度方程得(5.2.27)(5.2.28)(5.2.29)構(gòu)造正交小波時(shí)濾波器和必須滿(mǎn)足以上三個(gè)條件，它們分別來(lái)自尺度函數(shù)的正交性、小波函數(shù)的正交性以及尺度函數(shù)與小波函數(shù)之間的正交性。11/25/202273機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取小波系數(shù)與尺度系數(shù)之間的關(guān)系由式(5.2.28)和(5.2.29)，可得到

(5.2.30)由上式及(5.2.26)可得到兩個(gè)濾波器系數(shù)之間的關(guān)系

(5.2.31)比較最后兩個(gè)等式兩邊的系數(shù)，可以得到(5.2.32)若是實(shí)序列，共軛符號(hào)省略。

11/25/202274機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取構(gòu)造滿(mǎn)足正交三條件的濾波器和方法1、設(shè)計(jì)滿(mǎn)足式(5.2.27)的濾波器,再根據(jù)式(5.2.30)設(shè)計(jì)濾波器。2、由得到，再由式(5.2.32)直接得到。S.G.Mallat基于2p+1階多項(xiàng)式樣條函數(shù)構(gòu)造出(5.2.33)由式(5.2.23)，有關(guān)系，可得到根據(jù)式(5.2.24)和(5.2.30)，得到。(5.2.34)11/25/202275機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取當(dāng)，則，尺度函數(shù)及其傅里葉變換、小波函數(shù)及其傅里葉變換如圖所示。允許正頻率通過(guò)的區(qū)間是，而允許正頻率通過(guò)的區(qū)間是，二者在0到區(qū)間恰好正交互補(bǔ)。獨(dú)立化提取信息。系數(shù)見(jiàn)表5.2.1。11/25/202276機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取有了低通、帶通濾波序列和，就能方便地通過(guò)小波變換進(jìn)行信息獨(dú)立化提取。設(shè)是多分辨向量空間中的線性投影算子，以分辨率逼近能量有限可測(cè)信號(hào)。與最相似。由于，得到唯一的表達(dá)式(5.2.36)稱(chēng)為逼近信號(hào)，是分辨率為的細(xì)節(jié)信號(hào)，它包含和之間的信息差。重復(fù)式(5.2.36)過(guò)程，可得(5.2.37)11/25/202277機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取設(shè)離散采樣信號(hào)為，，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為，其分辨率是，將信號(hào)表示為。得到相應(yīng)的分解表達(dá)式(5.2.43)Mallat在文獻(xiàn)[13]里給出的實(shí)系數(shù)值，式(5.2.43)可寫(xiě)成

(5.2.44)和是隔二抽取結(jié)果，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度分別是信號(hào)的數(shù)據(jù)之半。信號(hào)重構(gòu)表達(dá)式為(5.2.45)11/25/202278機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化1.1內(nèi)積變換原理

函數(shù)，的內(nèi)積定義

信號(hào)的傅里葉變換信號(hào)的小波變換1信號(hào)處理的內(nèi)積與基函數(shù)

11/25/202279機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室1.1內(nèi)積變換原理函數(shù)，的內(nèi)積定義1信小波變換的逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)為

為尺度函數(shù)；為小波函數(shù)。雙尺度關(guān)系:

和分別是低通和高通濾波器系數(shù)。1.2小波變換的內(nèi)積運(yùn)算

11/25/202280機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室小波變換的逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)為1.2小波變小波變換的分解表達(dá)式

基函數(shù)分解關(guān)系小波變換的重構(gòu)表達(dá)式11/25/202281機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室小波變換的分解表達(dá)式11/22/202233機(jī)械工程學(xué)院5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取Mallat塔形算法,不涉及尺度函數(shù)和小波函數(shù),直接運(yùn)用和參與運(yùn)算，運(yùn)算量正比于。每次分解所得到的逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度是上一次逼近信號(hào)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的一半。當(dāng)次分解后，逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度縮減為原始信號(hào)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的。在重構(gòu)計(jì)算的每一步中，先在數(shù)據(jù)之間插補(bǔ)零后再參與同低通、帶通濾波器系數(shù)的運(yùn)算，結(jié)果重構(gòu)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度加倍。Mallat的塔形算法在小波分析中的地位就相當(dāng)于快速傅里葉算法在傅里葉變換中的地位。正交小波變換將原始信號(hào)分解到各自獨(dú)立的頻帶中，正交性保證了這些狀態(tài)信息無(wú)冗余、無(wú)疏漏，排除了干擾，濃縮了監(jiān)測(cè)診斷信息。11/25/202282機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)

5.4工程應(yīng)用

11/25/202283機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換115.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波變換對(duì)信號(hào)的分解都是對(duì)低頻逼近信號(hào)進(jìn)行再分解，不再對(duì)高頻細(xì)節(jié)信號(hào)進(jìn)行分解。小波變換分解方式，高頻頻帶信號(hào)的時(shí)間分辨率高而頻率分辨率低，低頻頻帶信號(hào)的時(shí)間分辨率低而頻率分辨率高。小波包(waveletpacket)提高高頻頻帶信號(hào)的頻率分辨率。信號(hào)的小波分解信號(hào)的小波包分解

11/25/202284機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波變換對(duì)信號(hào)的分解都5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)設(shè)序列滿(mǎn)足(5.3.1)

現(xiàn)定義一組遞