信號與系統(tǒng)教案第4章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1

信號分解為正交函數(shù)4.2傅里葉級數(shù)4.3周期信號的頻譜4.4非周期信號的頻譜——傅里葉變換4.5傅里葉變換的性質4.6周期信號的傅里葉變換4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析4.8取樣定理點擊目錄，進入相關章節(jié)第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1

信號分解為正交函數(shù)一、矢量正交與正交分解

時域分析，以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf(t)=h(t)*f(t)。

本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號ejωt為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率。故稱為頻域分析。

矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)與Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定義：其內積為0。即4.1

信號分解為正交函數(shù)由兩兩正交的矢量組成的矢量集合---稱為正交矢量集如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個正交矢量集。例如對于一個三維空間的矢量A=(2，5，8)，可以用一個三維正交矢量集{

vx，vy，vz}分量的線性組合表示。即

A=

vx+2.5

vy+4

vz

矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間，在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。4.1

信號分解為正交函數(shù)二、信號正交與正交函數(shù)集1.定義：

定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個函數(shù)

1(t)和

2(t),若滿足(兩函數(shù)的內積為0)則稱

1(t)和

2(t)在區(qū)間(t1，t2)內正交。2.正交函數(shù)集：

若n個函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)構成一個函數(shù)集，當這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內滿足則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集。4.1

信號分解為正交函數(shù)3.完備正交函數(shù)集：

如果在正交函數(shù)集{1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在函數(shù)φ(t)(≠0）滿足則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}和虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集。(i=1，2，…，n)4.1

信號分解為正交函數(shù)三、信號的正交分解設有n個函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在區(qū)間(t1，t2)構成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為

f(t)≈C11+C22+…+Cnn

如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內為最小。通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為

4.1

信號分解為正交函數(shù)為使上式最小展開上式中的被積函數(shù)，并求導。上式中只有兩項不為0，寫為即所以系數(shù)4.1

信號分解為正交函數(shù)代入，得最小均方誤差（推導過程見教材）在用正交函數(shù)去近似f(t)時，所取得項數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當n→∞時（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時有上式稱為(Parseval)帕斯瓦爾公式，表明：在區(qū)間(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。函數(shù)f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和4.2

傅里葉級數(shù)4.2

傅里葉級數(shù)一、傅里葉級數(shù)的三角形式設周期信號f(t)，其周期為T，角頻率=2/T，當滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數(shù)——稱為f(t)的傅里葉級數(shù)

系數(shù)an,bn稱為傅里葉系數(shù)

可見，an

是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)。4.2

傅里葉級數(shù)式中，A0=a0上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。其中，A0/2為直流分量；

A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同；

A2cos(2t+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)稱為n次諧波?？梢夾n是n的偶函數(shù)，n是n的奇函數(shù)。an=Ancosn，bn=–Ansin

n，n=1,2,…將上式同頻率項合并，可寫為4.2

傅里葉級數(shù)Gibbs現(xiàn)象滿足Dirichlet條件的信號，其傅里葉級數(shù)是如何收斂于的。特別當具有間斷點時，在間斷點附近，如何收斂于4.2

傅里葉級數(shù)4.2

傅里葉級數(shù)4.2

傅里葉級數(shù)

Gibbs現(xiàn)象表明：用有限項傅氏級數(shù)表示有間斷點的信號時，在間斷點附近會不可避免的出現(xiàn)振蕩和超量。超量的幅度不會隨項數(shù)的增加而減少。只是隨著項數(shù)的增多，振蕩頻率變高，向間斷點處壓縮，而使它所占有的能量減少。4.2

傅里葉級數(shù)二、波形的對稱性與諧波特性1.f(t)為偶函數(shù)——對稱縱坐標bn

=0，展開為余弦級數(shù)。2.f(t)為奇函數(shù)——對稱于原點an=0，展開為正弦級數(shù)。實際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即f(t)=fod(t)+fev(t)

由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以4.2

傅里葉級數(shù)3.f(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=–f(t±T/2)此時其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=0三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。可從三角形式推出：利用cosx=(ejx

+e–jx)/24.2

傅里葉級數(shù)上式中第三項的n用–n代換，A–n=An，–n=–n，則上式寫為令A0=A0ej0ej0t，0=0所以4.2

傅里葉級數(shù)令復數(shù)稱其為復傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。n=0,±1,±2，…表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。F0=A0/2為直流分量。4.2

傅里葉級數(shù)四、周期信號的功率——Parseval等式直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和。

n≥0時，|Fn|=An/2。周期信號一般是功率信號，其平均功率為4.3

周期信號的頻譜4.3

周期信號的頻譜及特點一、信號頻譜的概念從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關系，即將An~ω和n~ω的關系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為n≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Fn|~ω和n~ω的關系，稱為雙邊譜。若Fn為實數(shù)，也可直接畫Fn

。4.3

周期信號的頻譜例：周期信號f(t)=試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率Ω，畫出它的單邊頻譜圖，并求f(t)的平均功率。解首先應用三角公式改寫f(t)的表達式，即顯然1是該信號的直流分量。的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24，基波角頻率Ω=2π/T=π/12根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為P=4.3

周期信號的頻譜是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次諧波分量；是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次諧波分量；畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖4.3

周期信號的頻譜二、周期信號頻譜的特點舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數(shù)）4.3

周期信號的頻譜,n=0,±1，±2，…Fn為實數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。設T=4τ畫圖。零點為所以，m為整數(shù)。特點：(1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻Ω的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。不變時4.3

周期信號的頻譜不變時4.3

周期信號的頻譜4.3

周期信號的頻譜譜線的結構與波形參數(shù)的關系：(a)T一定，變小，此時（譜線間隔）不變。兩零點之間的譜線數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/

增多。(b)一定，T增大，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。4.4傅里葉變換4.4

非周期信號的頻譜—傅里葉變換一、傅里葉變換非周期信號f(t)可看成是周期T→∞時的周期信號。前已指出當周期T趨近于無窮大時，譜線間隔趨近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令(單位頻率上的頻譜）稱F(jω)為頻譜密度函數(shù)。4.4傅里葉變換考慮到：T→∞，Ω→無窮小，記為dω；

nΩ→ω（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而同時，∑→∫于是，傅里葉變換式“-”傅里葉反變換式F(jω)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。f(t)稱為F(jω)的傅里葉反變換或原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級數(shù)4.4傅里葉變換也可簡記為

F(jω)=F[f(t)]f(t)=F

–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)F(jω)一般是復函數(shù)，寫為

F(jω)=|F(jω)|ej(ω)=R(ω)+jX(ω)說明

(1)前面推導并未遵循嚴格的數(shù)學步驟?？勺C明，函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的充分條件:(2)用下列關系還可方便計算一些積分4.4傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換單邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–tε(t)，

>0實數(shù)2.雙邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–t,

>04.4傅里葉變換3.門函數(shù)(矩形脈沖)4.沖激函數(shù)(t)、′(t)4.4傅里葉變換5.常數(shù)1有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，(t)等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。

可構造一函數(shù)序列{fn(t)}逼近f

(t)

，即而fn(t)滿足絕對可積條件，并且{fn(t)}的傅里葉變換所形成的序列{Fn(j)}是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F

(j)為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。4.4傅里葉變換構造f(t)=e-t

，>0←→所以又因此，1←→2()

另一種求法：(t)←→1代入反變換定義式，有將→t，t→-再根據(jù)傅里葉變換定義式，得6.符號函數(shù)4.4傅里葉變換7.階躍函數(shù)(t)4.4傅里葉變換歸納記憶：1.F變換對2.常用函數(shù)F變換對：δ(t)ε(t)e-t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)e–|t|112πδ(ω)4.5傅里葉變換的性質4.5

傅里葉變換的性質一、線性(LinearProperty)Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)thenProof:

F[af1(t)+bf2(t)]=[aF1(jω)+bF2(jω)][af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]4.5傅里葉變換的性質Forexample

F(jω)=?Ans:f

(t)=f1(t)–g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)∴F(jω)=2πδ(ω)-2Sa(ω)‖-實例信號疊加一個噪聲的情況。（1）、工頻噪聲（如腦電圖、心電圖）（2）、高斯白噪聲（數(shù)字信號平均器）（3）、數(shù)字圖象加密和隱藏

原圖加密圖4.5傅里葉變換的性質4.5傅里葉變換的性質二、對稱性質(SymmetricalProperty)Iff(t)←→F(jω)thenProof:（1）in(1)t→ω，ω→tthen（2）in(2)ω→-ωthen∴F(jt)←→2πf(–ω)endF(jt

)←→2πf(–ω)4.5傅里葉變換的性質Forexample←→F(jω)=?Ans:ifα=1,∴*ifF(jω)=?4.5傅里葉變換的性質三、尺度變換性質(ScalingTransformProperty)Iff(t)←→F(jω)thenwhere“a”isanonzerorealconstant.Proof:F[f(at)]=Fora>0,F[f(at)]fora<0,F[f(at)]Thatis,f(a

t)←→Also,lettinga=-1,f(-t)←→F(-jω)4.5傅里葉變換的性質Forexamplef(t)=←→F(jω)=?Ans:Usingsymmetry,usingscalingpropertywitha=-1,sothat,4.5傅里葉變換的性質四、時移性質(TimeshiftingProperty)Iff(t)←→F(jω)thenwhere“t0”isrealconstant.Proof:F[f(t–t0)]4.5傅里葉變換的性質ForexampleF(jω)=?Ans:

f1(t)=g6(t-5),

f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴F(jω)=‖+4.5傅里葉變換的性質ForexampleGiventhatf(t)←→F(jω),findf(at–b)←→?Ans:

f(t–b)←→e-jωb

F(jω)f(at–b)←→orf(at)←→f(at–b)=4.5傅里葉變換的性質五、頻移性質(FrequencyShiftingProperty)Iff(t)←→F(jω)thenProof:where“ω0”isrealconstant.F[ejω0t

f(t)]=F[j(ω-ω0)]endForexample1f(t)=ej3t←→F(jω)=?Ans:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)4.5傅里葉變換的性質Forexample2f(t)=cosω0t

←→F(jω)=?Ans:F(jω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]Forexample3Giventhatf(t)←→F(jω)Themodulatedsignalf(t)cosω0t←→?

4.5傅里葉變換的性質六、卷積性質(ConvolutionProperty)Convolutionintimedomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)Convolutioninfrequencydomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)4.5傅里葉變換的性質Proof:

F[f1(t)*f2(t)]=UsingtimeshiftingSothat,

F[f1(t)*f2(t)]==F1(jω)F2(jω)4.5傅里葉變換的性質ForexampleAns:Usingsymmetry,4.5傅里葉變換的性質七、時域的微分和積分(DifferentiationandIntegrationintimedomain)Iff(t)←→F(jω)thenProof:f(n)(t)=(n)(t)*f(t)←→(jω)nF(jω)f(-1)(t)=(t)*f(t)←→4.5傅里葉變換的性質f(t)=1/t2←→?Forexample1Ans:4.5傅里葉變換的性質Forexample2Giventhatf(t)←→F1(jω)Prooff(t)←→[f(-∞)+f(∞)]()

+

F1(jω)ProofSoSummary:if

f(n)(t)←→Fn(jω)，andf(-∞)+f(∞)=0Thenf(t)←→F

(jω)=Fn(jω)/(jω)n4.5傅里葉變換的性質Forexample3Determinef(t)←→F

(jω)Ans:f”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)F2(jω)=F[f”(t)]=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2F

(jω)=Notice:dε(t)/dt=(t)←→1ε(t)←×→1/(jω)4.5傅里葉變換的性質八、頻域的微分和積分(DifferentiationandIntegrationinfrequencydomain)Iff(t)←→F(jω)then(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)whereForexample1Determinef(t)=tε(t)←→F

(jω)=?Ans:4.5傅里葉變換的性質Notice:tε(t)=ε(t)*ε(t)←→It’swrong.Because()()and(1/j)()isnotdefined.Forexample2DetermineAns:九、帕斯瓦爾關系(Parseval’sRelationforAperiodicSignals)Proof|F(jω)|2isreferredtoastheenergy-densityspectrumoff(t).單位頻率上的頻譜

(能量密度譜）J·s4.5傅里葉變換的性質能量譜——帕斯瓦爾定理兩塊陰影的面積相等能量密度譜能量有限信號信號的功率定義為這表明：信號的功率既可以在時域求得，也可以在頻域求得。由于表示了信號功率在頻域的分布，因而稱其為“功率譜密度”函數(shù)。ForexampleDeterminetheenergyofAns:4.5傅里葉變換的性質4.5傅里葉變換的性質十、奇偶性(Parity)Iff(t)isreal,then=R(ω)+jX(ω)SothatR(ω)=R(–ω),X(ω)=–X(–ω)|F(jω)|=|F(–jω)|,(ω)=–(–ω)(2)Iff(t)=f(-t),thenX(ω)=0,F(jω)=R(ω)Iff(t)=-f(-t),thenR(ω)=0,F(jω)=jX(ω)4.6

周期信號的傅里葉變換4.6

周期信號傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換

1←→2πδ(ω)由頻移特性得

ejω0t←→2πδ(ω–ω0)e–jω0t←→2πδ(ω+ω0)cos(ω0t)=?(ejω0t+e–jω0t)←→π[δ(ω–ω0)+δ(ω+ω0)]sin(ω0t)=

(ejω0t-e–jω0t)/(2j)←→jπ[δ(ω+ω0)–δ(ω–ω0)]4.6

周期信號傅里葉變換二、一般周期信號的傅里葉變換例1：周期為T的單位沖激周期函數(shù)T(t)=解：(1)4.6

周期信號傅里葉變換例2：周期信號如圖，求其傅里葉變換。解：周期信號f(t)也可看作一時限非周期信號f0(t)的周期拓展。即f(t)=T(t)*f0(t)F(jω)=ΩΩ(ω)F0(jω)F(jω)=本題f0(t)=g2(t)←→(2)(2)式與上頁(1)式比較，得這也給出求周期信號傅里葉級數(shù)的另一種方法。4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。對周期信號：對非周期信號：其基本信號為ej

t一、基本信號ej

t作用于LTI系統(tǒng)的響應說明：頻域分析中，信號的定義域為(–∞，∞)，而t=–∞總可認為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應指零狀態(tài)響應，常寫為y(t)。4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析設LTI系統(tǒng)的沖激響應為h(t)，當激勵是角頻率ω的基本信號ej

t時，其響應而上式積分正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j)，常稱為系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)。y(t)=H(j)ej

tH(j)反映了響應y(t)的幅度和相位。y(t)=h(t)*ej

t4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析二、一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應ej

tH(j)ej

tF(j)ej

tdF(j)H(j)ej

td齊次性可加性‖f(t)‖y(t)=F

–1[F(j)H(j)]Y(j)=F(j)H(j)4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應H(j)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應的傅里葉變換Y(j)與激勵f(t)的傅里葉變換F(j)之比，即

H(j)稱為幅頻特性（或幅頻響應）；θ()稱為相頻特性（或相頻響應）。H(j)是的偶函數(shù)，θ()是的奇函數(shù)。頻域分析法步驟：傅里葉變換法4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法。周期信號若則可推導出4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析例：某LTI系統(tǒng)的H(j)和θ()如圖，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應。解法一：用傅里葉變換F(j)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)]Y(j)=F(j)H(j)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(j5)+δ(ω+5)H(-j5)]+4π[δ(ω–10)H(j10)+δ(ω+10)H(-j10)]H(j)=H(j)ejθ()=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)]y(t)=F-1[Y(j)]=2+2sin(5t)4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析解法二：用三角傅里葉級數(shù)f(t)的基波角頻率Ω=5rad/sf(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=0y(t)=2+4×0.5cos(Ωt–0.5π)=2+2sin(5t)4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析三、頻率響應H(j)的求法1.H(j)=F[h(t)]

2.H(j)=Y(j)/F(j)由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。由電路直接求出。例1：某系統(tǒng)的微分方程為

y′(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tε(t)時的響應y(t)。解：微分方程兩邊取傅里葉變換jY(j)+2Y(j)=F(j)4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析f(t)=e-tε(t)←→Y(j)=H(j)F(j)y(t)=(e-t–e-2t)ε(t)例2：如圖電路，R=1Ω，C=1F，以uC(t)為輸出，求其h(t)。解：畫電路頻域模型h(t)=e-tε(t)

4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：一類是信號的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。1、無失真?zhèn)鬏?/p>

（1）定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化。即輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信號應?/p>

y(t)=Kf(t–td)

其頻譜關系為Y(j)=Ke

–jtdF(j)4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)h(t)，H(j)的要求是：

(a)對h(t)的要求：

h(t)=K(t–td)(b)對H(j)的要求：

H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即

H(j)=K,θ()=–td

上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當傳輸有限帶寬的信號是，只要在信號占有頻帶范圍內，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。(2)無失真?zhèn)鬏敆l件：4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號通過該系統(tǒng)時，不產(chǎn)生失真的是(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析2、理想低通濾波器

具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。c稱為截止角頻率。理想低通濾波器的頻率響應可寫為：(1)沖激響應

h(t)=

?-1[g2c()e-jtd]=可見，它實際上是不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析(2)階躍響應

g(t)=h(t)*(t)=

經(jīng)推導，可得稱為正弦積分特點：有明顯失真，只要c<∞，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截斷效應引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。gmax=0.5+Si(π)/π=1.08954.7LTI系統(tǒng)的頻域分析3、物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件

就時域特性而言，一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應在t<0時必須為0，即h(t)=0,t<0

即響應不應在激勵作用之前出現(xiàn)。

就頻域特性來說，佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實現(xiàn)的幅頻特性必須滿足

并且稱為佩利-維納準則。（必要條件）從該準則可看出，對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點上為0，但不能在某個有限頻帶內為0。4.8

取樣定理4.8