2016高等數(shù)學(xué)下冊-第12章

第十二章無窮級數(shù)常數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)~般項級數(shù)*項級數(shù)冪級數(shù)三角級數(shù)收斂半徑R數(shù)或函數(shù)函數(shù)任意項級數(shù)泰勒展開式R(

x)

0泰勒級數(shù)nu

為常數(shù)un為函數(shù)un

(x)傅氏展開式滿足狄

氏條件傅氏級數(shù)在收斂

級數(shù)與數(shù)條件下

相互轉(zhuǎn)化數(shù)

unn1取x

x0一、主要內(nèi)容1、常數(shù)項級數(shù)nn1ni1sn

u1

u2

un

ui級數(shù)的部分和定義

un

u1

u2

u3

un

級數(shù)的收斂與發(fā)散常數(shù)項級數(shù)收斂(發(fā)散)

lim

sn

存在(不存在).nlimun

0.級數(shù)收斂的必要條件:收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1:級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.性質(zhì)2:收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.性質(zhì)3:在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)4:收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和.常數(shù)項級數(shù)審斂法正項級數(shù)任意項級數(shù)充要條件比較法比值法根值法絕對收斂交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)若Sn

S

,則級數(shù)收斂;當n

,un

0,

則級數(shù)發(fā)散;按基本性質(zhì);一般項級數(shù)4.絕對收斂un

0定義

un

,2、正項級數(shù)及其審斂法n1審斂法正項級數(shù)收斂

部分和所成的數(shù)列sn有界.n1(1)

比較審斂法若un

收斂(發(fā)散)且vn

un

(un

vn

),則vn

收斂(發(fā)散).n1(2)

比較審斂法的極限形式

n1

n1unn

vn設(shè)

un

與vn

都是正項級數(shù),如果lim

l

,

則(1)

當0

l

時,二級數(shù)有相同的斂散性;(2)

當l

0

時，若vn

收斂,則

un

收斂;n1

n1

(3)

當l

時,

若vn

發(fā)散,則

un

發(fā)散;n1

n1設(shè)

un

為正項級數(shù),n1如果lim

nun

l

0

(或lim

nun

),n

n則級數(shù)

un

發(fā)散;n1nn如果有p

1,

使得lim

npu

存在,則級數(shù)

un

收斂.n1(3)

極限審斂法設(shè)(4)比值審斂法(達朗貝爾D’Alembert判別法)n1n

(數(shù)或

)u

是正項級數(shù),如果limnun1un則

1時級數(shù)收斂;

1時級數(shù)發(fā)散;

1時失效.(5)根值審斂法(柯西判別法)設(shè)

un

是正項級數(shù),n1n如果lim

n

un

(

為數(shù)或

),則

1時級數(shù)收斂;

1時級數(shù)發(fā)散;

1時失效.nnn

n1

n1n1(1)

u(1)

u

或萊布尼茨定理如果交錯級數(shù)滿足條件:(ⅰ)un

un1

(n

1,2,3,);(ⅱ)lim

un

0,則n級數(shù)收斂,且其和s

u1,其余項rn

的絕對值rn

un1.n(其中u

0)3、交錯級數(shù)及其審斂法定義

正

、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).n1

n0定義:若

un

收斂,則稱

un

為絕對收斂;n1n1

n1若

un

發(fā)散,而

un

收斂,則稱

un

為條件收斂.4、任意項級數(shù)及其審斂法定義

正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).

定理

若

un

收斂,則

un

收斂.n1

n15、函數(shù)項級數(shù)(1)

定義設(shè)u1

(x),u2

(x),,un

(x),

是定義在I

R

上的函數(shù),則u1

(x)

u2

(x)

un

(x)

n1稱為定義在區(qū)間I

上的(函數(shù)項)無窮級數(shù).(2)

收斂點與收斂域如果x0

I

,數(shù)項級數(shù)

un

(x0

)收斂,n1則稱x0

為級數(shù)

un

(x)的收斂點,否則稱為發(fā)散點.n1函數(shù)項級數(shù)

un

(x)的所有收斂點的全體稱為收斂域,n1所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域.(3)

和函數(shù)在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是x

的函數(shù)s(

x),稱s(x)為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).形如nn0n0a

(x

x

)

的級數(shù)稱為冪級數(shù).0當x

0時,其中an

為冪級數(shù)系數(shù).6、冪級數(shù)(1)

定義nna

xn0如果級數(shù)n0na

xn

0在x

x

處發(fā)散,則它在滿足不等式

x

x0

的一切x

處發(fā)散.如果級數(shù)定理1

(Abel定理)n0nna

x在x

x0

(

x0

0)處收斂,則它在滿足不等式

x

x0

的一切x

處絕對收斂;(2)

收斂性n0nna

xx

0不是僅在

一點收斂,也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確定的正數(shù)R

存在,它具有下列性質(zhì):當

x

R時,冪級數(shù)絕對收斂;當

x

R時,冪級數(shù)發(fā)散;當x

R與x

R時,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.推論如果冪級數(shù)定理

2

如果冪級數(shù)定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.n0n

na

x

的所有系數(shù)na

0,nanan1設(shè)

limn

(或

lim

n

an

)(3)

當

時,R

0.(1)

則當

0時,

R

1

;

(2)當

0時,R

;

n0nnn0nb

xa

xn

n0nnc

x

.R

minR1

,

R2

加減法(其中cn

an

bn

)x

R,

Rnn

1

2nnb x

的收斂半徑各為R

和R

,a

x

和設(shè)

n0

n0(3)冪級數(shù)的運算a.代數(shù)運算性質(zhì):(

乘法nn0

n0nn

na

x

)

(b

x

)n0nnc

x

.x

R,

R(其中cn

a0

bn

a1

bn1

an

b0

)除法nnn0n0nnb

xa

xn0nnc

x

.0)n0nnb

x

(收斂域內(nèi)b.和函數(shù)的分析運算性質(zhì):冪級數(shù)n0nna

x

的和函數(shù)s(

x)在收斂區(qū)間冪級數(shù)(

R,R)內(nèi)連續(xù),在端點收斂,則在端點單側(cè)連續(xù).n0nna

x

的和函數(shù)s(

x)在收斂區(qū)間冪級數(shù)(

R,R)內(nèi)可積,且對x

(

R,R)可逐項積分.n0nna

x

的和函數(shù)s(

x)在收斂區(qū)間(

R,

R)內(nèi)可導(dǎo),

并可逐項求導(dǎo)任意次.n00f

(

n)

(

x

)(

x

x

)n0稱為0f

(

x)

x在點

的泰勒級數(shù).nn0n!f

(

n)

(0)n!x

稱為f

(x)在點x0

的麥克勞林級數(shù).7、冪級數(shù)展開式(1)

定義如果f

(x)在點x0

處任意階可導(dǎo),則冪級數(shù)n(2)

充要條件定理

f

(

x)

在點x0

的泰勒級數(shù),在U

(

x0

)

內(nèi)收斂于

f

(

x)

在U

(

x0

)

內(nèi)lim

Rn

(

x)

0.(3)

唯一性定理 如果函數(shù)

f

(

x)在U

(

x0

)內(nèi)能展開成(

x

x0

)n0的冪級數(shù),

即

f

(

x)

nn0a

(

x

x

)

,0f

(

x

)

(n

0,1,2,)1n!則其系數(shù)

a

(

n)n且展開式是唯一的.(3)

展開方法a.直接法(泰勒級數(shù)法);0n!f(

n)

(

x

)步驟:

(1)

求an

n)(n

Mx,n(2)

lim

或則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于f

(x).b.間接法根據(jù)唯一性,

利用常見展開式,

通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導(dǎo),逐項積分等方法,求展開式.x

(,)2!

n!e

x

1

x

1

x

2

1

xn

1

13!

5!x3sin

x

x

x2

n1(2n

1)!x5

(1)nx

(,)

14!12!x4x2cos

x

1

x2

n(2n)!

(1)nx

(,)(4)

常見函數(shù)展開式x

(1,1)

n!2!

(

1)(

n

1)

xn

1

x

(

1)

x2(1

x)

x

ln(1

x)

x

n1

xnn32x

(1)1312x

(1,1](5)

應(yīng)用a.近似計算b.歐拉公式eix

cos

x

i

sin

x,,cos

t

,eit

eit2ieit

eit2sin

t

cos

nxdx

0,

sin

nxdx

0,8、傅里葉級數(shù)(1)

三角函數(shù)系三角函數(shù)系1,cos

x,sin

x,cos

2x,sin

2x,cos

nx,sin

nx,正交性任意兩個不同函數(shù)在[,]上的積分等于零.

0,

m

nsin

mx

sin

nxdx

,

m

n

0,

m

ncos

mx

cos

nxdx

,

m

n

sin

mx

cos

nxdx

0(其中m,n

1,2,)(2)

傅里葉級數(shù)nn

b

sin

nx)(a

cos

nxa02

n1定義三角級數(shù)其中11

f

(

x)sin

nxdx,

(n

1,2,)(n

0,1,2,)f

(

x)cos

nxdx,abn

n稱為傅里葉級數(shù).n

n(a

cos

nx

b

sin

nx)a02

n1(3)

狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理)設(shè)f

(x)是以2

為周期的周期函數(shù).如果它滿足條件:在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點,并且至多只有有限個極值點,則f

(x)的傅里葉級數(shù)收斂,并且(1)

當x

是f

(x)的連續(xù)點時,級數(shù)收斂于f

(x);2(2)

當x

是

f

(

x)

的間斷點時,

收斂于

f

(

x

0)

f

(

x

0)

;(3)

當x

為端點x

時,收斂于

f

(

0)

f

(

0)

.2如果

f

(

x)

為奇函數(shù),

傅氏級數(shù)

bn

sin

nxn1(4)

正弦級數(shù)與余弦級數(shù)稱為正弦級數(shù).當周期為2

的奇函數(shù)f

(x)展開成傅里葉級數(shù)時,它的傅里葉系數(shù)為0b

2

f

(

x)

sin

nxdx(n

0,1,2,)(n

1,2,)nan

00(n

1,2,)(n

0,1,2,)a

2

f

(

x)

cos

nxdxbn

0nna

cos

nx如果

f

(

x)

為偶函數(shù),

傅氏級數(shù)a0

2

n1稱為余弦級數(shù).當周期為2

的偶函數(shù)f

(x)展開成傅里葉級數(shù)時,它的傅里葉系數(shù)為奇延拓:

f

(

x)0

x

x

0

x

0

f

(

x)令

F

(

x)

0f

(x)的傅氏正弦級數(shù)n1f

(

x)

bn

sin

nx.(0

x

)(5)

周期的延拓偶延拓:

f

(

x)0

x

x

0令

F

(

x)

f

(

x)f

(x)的傅氏余弦級數(shù)02

an

cos

nxn1af

(

x)

(0

x

)),0anxlbn

sinnxlf

(

x)

(an

cos的條件,則它的傅里葉級數(shù)展開式為n1(6)

周期為2l

的周期函數(shù)的傅氏展開式設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f

(x)滿足收斂定理(n

0,1,2,)lf

(

x)

cos

nxdx,la

12lln(n

1,2,)lf

(

x)

sin

nxdx,lb

1lln例1

判斷級數(shù)斂散性:n

1

n(1)

n

;n1

(n

1

)nn1

1nn

nn

nn解

u

,n

(n

1

)n

(1

1

)nn

n2二、典型例題)n1n2)n1n22

lim[(1

nnlim(1

1]n

e0

1;1

1n

xlim

nn

lim

x

x1x

x

exp{lim ln

x}1x

x

exp{lim0}

e

1;nlim

un

1

0,根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)收斂．23

;(2)n1nncos2

n解2n2nn3

n

,ncos2

nu

,nn2n令

v

nvvnn

1

2n

lim2n1nn1n

limn

12n

limn12

1,2n1nn收斂,

根據(jù)比較判別法，

原級數(shù)收斂．1(3)n1)n(a

0).n(a

ln(n

2)解na

1ln(n

2)lim

n

un

limn

n1lim

n

ln(n

2),a

n

n

2

時,n

2

en

,n從而有1

n

ln(n

2)

n

n,由于

lim

n

n

1, lim

n

ln(n

2)

1,n

nanlim

n

u

1

.na當a

0

即0

1

1時,原級數(shù)收斂；a當0

a

1即1

1時,原級數(shù)發(fā)散；當a

1

時,,(1

n1)nnln(n

2)1原級數(shù)為n

1(1

)nnlim

ln(n

2)

,原級數(shù)也發(fā)散．是條件收斂還是絕對收斂？是否收斂？如果收斂判斷級數(shù)n1(1)nn

ln

n例２1

1

,n

ln

n

n解

而

1

發(fā)散,n1

n1發(fā)散,

n1(1)nn

ln

n

n1

n

ln

n即原級數(shù)非絕對收斂．是交錯級數(shù),n1(1)nn

ln

n由萊布尼茨定理：n

xxn

lim

ln

n

lim

ln

x

lim

1

0,x

x11

0,

lim

limnn

ln

n1

n

n

ln

nn

f

(

x)

x

ln

x

(

x

0),(

x

1),xf

(

x)

1

1

0單減,

在(1,)

上單增,

即1x

ln

x故當n

1時單減,1n

ln

n

u

(n

1),1

1n

ln

n

(n

1)

ln(n

1)

u

n1n所以此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂．n0求級數(shù)(n

1)(x

1)n

收斂域及和函數(shù).例３解

(n

1)(

x

1)n

的收斂半徑為

R

1,n0收斂域為

1

x

1

1,即0

x

2,設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為s(x),則有n0s(

x)

(n

1)(

x

1)n

.兩邊逐項積分n0x1

(

x

1)n111n0xnx(n

1)(

x

1)

dxs(

x)dx

n0

(

x

1)n1x

11

(

x

1)2

x

x

1

,兩邊再對x

求導(dǎo)，得.12

x

(2

x)2s(

x)

(

x

1)

克勞林級數(shù).1

x2

展開成麥將f

(x)

x

arctan

x

ln例4

,x2

x32

3解

ln(1

x)

x

,x4

x62

3

ln(1

x2

)

x2

x2

nn

(1)n1(1

x

1)xdx0211

x又

arctan

x

x02[1

x

x4

x6

(1)n

x2n

]dx

(1)x3

x5

x73

5

7

x

x2

n12n

1n(1

x

1)12

n1

(1)n1n0

(1)n1

x2故

x

arctan

x

ln

1

2

n0(1)nn0

(1)n2n

2x2

nnx2

n2x2

n22n

1x2

n22n

1.n0

(1)nx2

n2(2n

1)(2n

2)(1

x

1)將級數(shù)

的和函數(shù)展開(2n

1)!x2

n1n1(1)n12n1例5設(shè)法用已知展開式來解．是sin

x

的展開式成(x

1)的冪級數(shù)．n1x2

n1(2n

1)!解

分析

(1)n1(

2n1)2

n1n1(1)n12n1(1)n1

x(2n

1)!

2x2

n1(2n

1)!22

2

sin

x

2

sin

x

1

12

cos

1

sin

x

12

2

2

sin

1

cos

x

1

2

2(

2

cos(

2

sin)2n1)2n1

(1)n

x

122

n0

(2n

1)!1

(1)n

x

122

n0

(2n)!

cos1

2

sin

n0n0(

x

1)2

n11

(1)n2 2n

(2n

1)!(

x

1)2

n(1)n2 2n

(2n)!(,)的正弦級數(shù)并在

2

x

2

寫出該級數(shù)的和函數(shù)，同時畫出它的圖形．將cos

x

在0

x

內(nèi)展開成以2

為周期例6解要將f

(x)

cos

x

在(0,)內(nèi)展開成以2

為周期的正弦級數(shù)cos

x

bn

sin

nx

,必須在(,)n1內(nèi)對cos

x

進行奇開拓,

cos

xx

(0,

),x

0,x

(,0),

cos

x令

F

(

x)

00cos

x

sin

nxdxb

2n01[sin(n

1)

x

sin(n

1)

x]dx][

1 1

(1)n1

1

(1)n1n

1n

2m

1,

n

2mn

1o,4n(n2

1)(

n

1

)an

0,01b

1

sin

2xdx

0,2m1sin

2mx. (0

x

)(4m

1)8m

cos

x

數(shù)的和函數(shù)為在

x

22

0

cos

xxcxoxs(,0,)(2,)

x

0,,2

(,0)(,2

),sx()x和函數(shù)的圖形為yo2

2的和21以2

為周期的付氏級數(shù)，并由此求級數(shù)n1n(1

x

1)內(nèi)展開成將函數(shù)

f

(

x)

2

x例7解

f

(x)

2

x

(1

x

1)是偶函數(shù),10021

a

(2

x)dx

5,1021nx1(2

x)

cosa

n10dx

2xdxx

cos

n

2n1xd

sin

nx0[(1)n

1]2n220,

4n22n

2k,

n

2k

1(k

1,2,)22452

k

1cos(

2k

1)x

(2k

1)bn

0,故

2

x

2.2

5

4k

1cos(

2k

1)x(2k

1)2(1

x

1)取x

0,由上式得22,5

42

2

k

11(2k

1)

22k

11

,(2k

1)

82221k

1k

1n11(2k

)n而1(2k

1)1

1

1,

k

1k

1k

2(2k

1)2

42n1n

8

3.61

2

4

2n2cos

n

x2

x

2證明：當０

x

時，n1例8解,4

2

6x2

x4

2設(shè)f

(x)將f

(x)在［0,]上展開成余弦級數(shù)2a0

0

(

4x2

3x

2

332

)dx

(

)

,2

12

4

3

)

cos

ndx2xx2an

0

(

4x20x

2

2

)

sin

nxdx]

0

(

)

sin

nxxn[(

4

2

2n2

0

2

22

(

x

)d

cos

nx

n2

2n22

1

.n2cos

nx2

x

2

4

2

6n1．

(0

x

)故

4

2

6xx2

2cos

n

n2n1).(A)一、選擇題:1、下列級數(shù)中,收斂的是(n11n；

(B)1n1；n

n1n1n(C)

；3

2(D)(1)n1n.(A)4(

)2、下列級數(shù)中,收斂的是(

).n1n1；(B)55

4(

)n1；5n1(C)

(1)

(4)n1n1；

(D)n14

55

4(

)n1n1.自測題)(A)3、下列級數(shù)中,收斂的是(2n12n(n!)2；(B)nn3n

n!；(C)2sinn

21

n；(D)n1n1n(n

2)n

1.4、部分和數(shù)列

sn有界是正項級數(shù)

un

收斂的n1(

)(A)充分條件；(C)充要條件；(B)必要條件；(D)既非充分又非必要條件.)時,級數(shù)n1nra收斂.5、設(shè)a

為非零常數(shù),則當((A)r

1；(C)

r

a

；(B)

r

1

；(D)

r

1

.6、冪級數(shù)

(1)n1n1(

x

1)nn的收斂區(qū)間是().(A)

(0,2)；(C)

(0,2]；(B)

[0,2)

；(D)

[0,2].7、若冪級n0nna

x的收斂半徑為R1

:0

R1

;n0n

nb

x的收斂半徑為R2

:0

R2

,則冪級數(shù)n0n

n(a

b

)

xn

的收斂半徑至少為(

)(A)

R1

R2

；(C)maxR1

,

R2

；(B)R1

R2

；(D)minR1

,

R2

.n

k

nn28、當R

0

時,級數(shù)(1)n1是(

)(A)條件收斂；

(C)發(fā)散；(B)絕對收斂；(D)斂散性與k

值無關(guān).n19、lim

un

0是級數(shù)

un

收斂的()n(A)充分條件；

(C)充要條件；(B)必要條件；(D)既非充分又非必要條件.10、冪級數(shù)

n(n

1)xn

的收斂區(qū)