等比數(shù)列的前n項和常見的數(shù)列求和NO課下檢測

一、選擇題1．1＋eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,99×100)等于()\f(99,100) \f(199,100)\f(98,99) \f(197,99)解析：∵eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴所求和＝1＋[(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,99)－eq\f(1,100))]＝1＋(1－eq\f(1,100))＝eq\f(199,100).答案：B2．數(shù)列{an}中，an＝eq\f(1,nn＋1)，其前n項和為eq\f(9,10)，則在平面直角坐標系中，直線(n＋1)x＋y＋n＝0在y軸上的截距為()A．－10 B．－9C．10 D．9解析：數(shù)列{an}的前n項和為eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,nn＋1)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)＝eq\f(9,10)，所以n＝9，于是直線(n＋1)x＋y＋n＝0即為10x＋y＋9＝0.所以其在y軸上的截距為－9.答案：B3．數(shù)列{n·2n}的前n項和()A．n·2n－2n＋2 B．n·2n＋1－2n＋1＋2C．n·2n＋1－2n D．n·2n＋1－2n＋1解析：∴Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①∴2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②由②－①得Sn＝n×2n＋1－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n×2n＋1－eq\f(2－2n×2,1－2)＝n·2n＋1－2n＋1＋2.答案：B4．已知an＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，若稱使乘積a1·a2·a3·…·an為整數(shù)的數(shù)n為劣數(shù)，則在區(qū)間(1，2012)內(nèi)所有的劣數(shù)的和為()A．2026 B．2046C．1024 D．1022解析：∵a1·a2·a3·…·an＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg4,lg3)·…·eq\f(lgn＋2,lgn＋1)＝eq\f(lgn＋2,lg2)＝log2(n＋2)，令log2(n＋2)＝k，則n＝2k－2(k∈Z)．令1＜2k－2＜2012，得k＝2,3,4，…，10.∴所有劣數(shù)的和為eq\f(41－29,1－2)－18＝211－22＝2026.答案：A二、填空題5．數(shù)列1,1＋eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)…，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n－1)…的前n項和為________．解析：據(jù)等比數(shù)列的求和公式得an＝2(1－eq\f(1,2n))，則Sn＝2[n－(eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n))]＝eq\f(1,2n－1)＋2n－2.答案：eq\f(1,2n－1)＋2n－26．1＋11＋111＋…＋＝________.解析：因為＝1＋10＋102＋…＋10n－1＝eq\f(1,9)(10n－1)，所以Sn＝eq\f(1,9)(101－1＋102－1＋103－1＋…＋10n－1)＝eq\f(1,9)[(101＋102＋…＋10n)－n]＝eq\f(1,9)[eq\f(101－10n,－9)－n]＝eq\f(10n＋1－9n－10,81).答案：eq\f(10n＋1－9n－10,81)7．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝3，a4＝81，若數(shù)列{bn}滿足bn＝log3an，則數(shù)列{eq\f(1,bnbn＋1)}的前n項和Sn＝________.解析：易求得等比數(shù)列{an}的公比為3，通項an＝3×3n－1＝3n，故bn＝log33n＝n.∴eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).∴Sn＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).答案：eq\f(n,n＋1)8．已知函數(shù)f(x)＝log2x，若數(shù)列{an}的各項使得2，f(a1)，f(a2)，…，f(an)，2n＋4成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝________.解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題意，得2n＋4＝2＋(n＋1)d，解得d＝2，于是log2a1＝4，log2a2＝6，log2a3＝8，…，從而a1＝24，a2＝26，a3＝28，….易知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其公比q＝eq\f(a2,a1)＝4，所以Sn＝eq\f(244n－1,4－1)＝eq\f(16,3)(4n－1)．答案：eq\f(16,3)(4n－1)三、解答題9．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝9，a2＋a4＋a6＝21.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝2n·an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解：(1)在等差數(shù)列{an}中，由a1＋a2＋a3＝3a2＝9，得，a2＝a1＋d＝3.又由a2＋a4＋a6＝3a4＝21，得a4＝a1＋3d＝7，聯(lián)立解得a1＝1，d＝2，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1.(2)∵bn＝2n·an＝(2n－1)·2n，∴Sn＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n①2Sn＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1②①—②得－Sn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1，得Sn＝－2－eq\f(81－2n－1,1－2)＋(2n－1)·2n＋1＝6＋(2n－3)·2n＋1.10．(2022·大綱全國卷)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝0且eq\f(1,1－an＋1)－eq\f(1,1－an)＝1.(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1－\r(an＋1),\r(n))，記Sn＝eq\i\su(k＝1,n,b)k，證明：Sn<1.解：(1)由題設(shè)eq\f(1,1－an＋1)－eq\f(1,1－an)＝1，得{eq\f(1,1－an)}是公差為1的等差數(shù)列．又eq\f(1,1－a1)＝1，故eq\f(1,1－an)＝n.所以an＝1－eq\f(1,n).(2)證明：由(1)得bn＝eq\f(1－\r(an＋1),\r(n))＝eq\f(\r(n＋