中考總復習：整式與因式分解-知識講解(提高)

中考總復習整式與因式解—知識講（提高）責編：常春芳【綱求1.整式部分主要考查冪的性質、式的有關計算、乘法公式的運用，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；2.因式分解是中考必考內容，題多以選擇題和填空題為主，也常常滲透在一元二次方程和分式的化簡中進行考查【識絡【點理考一整單項式數(shù)與字母的積的形式的代數(shù)式叫做單項式．單項式是代數(shù)式的一種特殊形式，它的特點是對字來說只含有乘法的運算，不含有加減運算．在含有除法運算時，除(分母)只能是一個具體的數(shù)，以看成分數(shù)因數(shù)．單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式．要詮：單項式的系數(shù)是指單項式中的數(shù)字因數(shù)．單項式的次數(shù)是指單項式中所有字母的指數(shù)和．多項式幾個單項式的代數(shù)和叫做多項式．也就是說，多項式是由單項式相加或相減組成的．要詮：在多項式中，不含字母的項叫做常數(shù)項．多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)．多項式的次數(shù)是n次，m個項式，我們就把這個多項式稱為n次m項．把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母降冪排列．另外，把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把這個多項按這個字母升冪排列．整式單項式和多項式統(tǒng)稱整式．同類項所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，叫做同類項．整式的減整式的加減其實是去括號法則與合并同類項法則的綜合運用．把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母部分不.如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因是負數(shù)，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相.整式加減的運算法則：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類.整式的除①冪的運算性質：單項式相乘兩單項式相乘系數(shù)相同字母分別相乘對于只在一個單項式里含有的字母則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．單項式與多項式相乘：單項式與多項式相乘，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．用式子表達：多項式與多項式相乘：一般地，多項式乘以多項式，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個項式的每一項，再把所得的積相加．用式子表達：平方差公式：完全平方公式：2222在運用乘法公式計算時，有時要在式子中添括號，添括號時，如果括號前面是正號，括到括號的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符.單項式相除：兩個單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得商相加．要詮：同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的有理數(shù)，也可以是單項式、多項三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質，即a

a

（m

都是正整數(shù)）.（3）用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即a

（mn

都是正整數(shù).（）式

m)na

的推廣：

am

(，n,p

均為正整數(shù)（）用公式：

mn

，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.（）式

ab)n的廣abc)n

(

為正整數(shù)).（）用公式：an

逆用算式適當?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便如

10（）項式與多項式相乘，仍得多項.在合并同類項之前，積的項數(shù)應該等于兩個多項式的項之積.多項式與多項式相乘的最結果化簡有同類項的要合并特殊的二項式相乘，

.考二因分因式分把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解．因式分常的法提取公因式法：mambm(a)運用公式法：平方差公式：

a)完全平方公式：aaba)2233223332（）字相乘法：

x

2

a)aba)(x)分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分.添、拆項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、公式法或分組分解法進行分.要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變.（）用求根公式法：若

ax0(0)

的兩個根是x、，則有：122bxxx)12因式分的般驟

.如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；（）二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（）后考慮用分組分解法及添、拆項.要詮：因式分解的對象是多項式；最終把多項式化成乘積形式；結果要徹底，即分解到每個因式都不能再分解為止．（）字相乘法分解思路為“看兩端，湊中間”，二次項系數(shù)

一般都化為正數(shù)，如果是負數(shù)，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結果不要忘記把提出的負號添.（）組分解法分解因式常用的思路有：方法分組分解法

分類項項項

分組方法項、二項項、一項三項、二項三項、三項二項、二項、二項三項、二項、一項

特點①按字母分組②按系數(shù)分組③符合公式的兩項分組先完全平方公式后平方差公式各組之間有公因式各組之間有公因式可化為二次三項式【型題類一整的關念運1春余市校級期末）若多項式x和項式x﹣乘的積中不含x、x項求（a）﹣（﹣b）值．【思路點撥】多項式與多項式相乘結果中不含二次項和三次項，則說明這兩項的系數(shù)為，建立關于a，等式，求出后再求代數(shù)式值．【答案與解析】解：∵x+ax+8﹣3x+b4223342233=x+（﹣3+a）x+（﹣3a+8x﹣）x+8b，又∵不含x、x項，∴﹣3+a=0，﹣3a+8=0，解得a=3b=1，∴（a）﹣（﹣b）（3﹣）﹣（3﹣1）=8﹣﹣18．【總結升華解類問題的常規(guī)思路是：將兩個多項式依據(jù)乘法法則展開，合并同類項，根據(jù)不某一項就是這一項的系數(shù)等于0再通過解方程（組）求解．2春達校級期中）已知﹣b=5ab=3，求代數(shù)式b﹣2ab+ab值．【思路點撥】首先把代數(shù)式ab2ab+ab入已知數(shù)值即可求出結果．【答案與解析】解：∵b﹣2ab+ab=ab（﹣2ab+b）

分解因式，然后盡可能變?yōu)楹蚢、ab相關的形式，然后代=ab（﹣）

而a﹣，ab=3，∴b﹣b=3×25=75．【總結升華本主要運用完全平方公式對所給代數(shù)式進行因式分解，然后利用所給條件代入即求出結果．3．已知

x

2m

，求

15

6m

的值．【答案與解析】∵

x

2m

，∴

1m(x2m)35

．【點評）逆用冪的乘方法則

amnam)nn

．（）題培養(yǎng)了學生的整體思想和逆向思維能力．舉反：【變】已a，xb．xab

的值．【答案】

x

3a

3a

x2ba)3

b

．類二因分4．多項式【答案4；

xy

的最小值是___________.【解析】

，所以最小值為4.【點評通過因式分解化為完全平方式，分析得出多項式的最小.22225．把

bybx

分解因式．【答案與解析】解法一：

bybxaxay)bxby))(3xy)x)()

．解法二：

bybxaxbxayby)x(ay()a)(3)

．【點評此題多項式的四項中沒有公因式，所以不能直接用提公因式法，但如果把其中兩項合為組，如把第一、三兩項和第二、四兩項分為兩組，可以分別提取公因和b，且另一個因式都是(

)，因此可繼續(xù)分解．把一個多式的項分組后能運用提取公因式法進行分解，并且各組在分解后它們的另一個因式正好相同，還能用提取公因式法繼續(xù)分解，那么這個多項式就可以用分組法來分解因式．舉反：【變1】解因式：

2ab2【答案原式

a

2ab)

【高清課程名稱整與因式分解高清ID399488關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱（）-4【變2】(1)16x－＋；【答案】(1)原式＝x)－＋4)＝[4x＋x＋4)][4－x＋4)]＝－(＋x＋4)(－4＋＝－(＋(－．(2)原式(x(x4).類三因分與他識綜運

x6．若

a

、

、

為三角形的三邊邊長，試判斷

222)22b

的正負狀況．【思路點撥】將原式用公式法分解因式，再由三角形三邊的關系確定每個因式的符號，最后就能得出結果的號【答案與解析】a

2

2

2

2

a

2

b

2

2

2

2

2

2

2

ab)a)22][(a)]a)(a)(a)(a)

．依三角形兩邊之和大于第三邊，知

，aa

，故

222a2

．【點評】將原式分解因式，再根三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊來判斷每個因式的正負.舉反：【變1】△的三邊長分別為

a

、

、

,且足

b22ab

，求證：

.【答案】

2