《線性代數(shù)》考試試卷B及答案

---------------------線-號(hào)學(xué)-----------------名姓-訂----------------級(jí)班業(yè)專----裝-------------系院-------------適用專業(yè)： 考試日期：

A.,1 2

,,3

必線性相, B.1 2

必線性相關(guān),考試時(shí)間：120分鐘；考試方式：閉卷； 總分100分一.填空題2分1020分).

C.,2 3

必線性無, D.,,1 2 3

中必有零向量.1. sin cos1. cos sin

1 1 0 6.矩陣A1 0 1 0 1 12.設(shè)A

,則A的逆矩陣A1 . 3 3 2 1 1

A.1,1,0 B.1,1,2 C.1,1,2 D.1,1,21a1a23412a34123a41234a3.設(shè)D1 1 1, Aij

Daij

的代數(shù)余子,則A A A .31 32 334 0 11 1 1

1.(8分)計(jì)算行列式矩陣

,則A .A0 2 2 0 0 31 2 矩陣

,則A的秩r(A) .A3 1 0 23 4 4 1 設(shè)3A1

T, 是 (1,0,2)1

(2,3,a)T2對(duì)應(yīng)于1 2

的特征向,則a .二.選擇題2分1020分).3 4 9行列式5 7 1的元素a 的代數(shù)余子式A 是（ ）.23 232 1 4A.3 B.3 C.5 D.5

2.(6分)求解下面矩陣方程中的矩陣X0 1 0 1 0 0 1 2 1 1 0 0X0 1 11 0 2設(shè)A為3階方陣且A1,則3A( ).A.3 B.27 C.3 D.27

0 0 1 0 0 1 1 3 4.

n(n2) ,

( ).若 為 階方陣則下列各式正確的是ABAB B.(AB)TATBT C.AB BA D.AB BAAmn

的秩rA)mn，下述結(jié)論中正確的是（）.A的任意m個(gè)列向量必線性無關(guān)A的任意一個(gè)m階子式不等于零；C.齊次方程組Ax0只有零解； D.非齊次方程組Axb必有無窮多.設(shè)

,1

,,3

是一組n

維向量,其中

,,1 2

線性相,則( )1 0 0 1 a 1 3 0 0 3.(7分)設(shè)A的逆矩陣A12 2 0,求A的伴隨矩陣A*.

5.(12分)已知矩陣Aa b 0與B0 3 0相似，求a,b的值.3 3 3

4 1 1 0 0 1 6.(12分)證明題：xxx 2

（1）設(shè)向量組,

,,

線性無關(guān)，向量組,

,,

,線性相關(guān)，證明向量可1 3x xx

42xx 1

1 2 s

1 2 s4.(15分)求線性方程組1 2 3 4

的通解，并用對(duì)應(yīng)齊次線性方程組基礎(chǔ)解

由向量組

,,

線性表示且表示式唯一。2xx1 2

x2x 33 4

1 2 s

3xx1 2

3x 54

A(aij

是33a11

1b,,0)TAxb有唯一解xb。---------------------線-號(hào)學(xué)-----------------名姓-訂----------------級(jí)班業(yè)專----裝-------------系院-------------適用專業(yè)： 考試日期：

A.,1 2

,,3

必線性相, B.1 2

必線性相關(guān),考試時(shí)間：120分鐘；考試方式：閉卷； 總分100分一.填空題2分1020分).

C.,2 3

必線性無, D.,,1 2 3

中必有零向量. sin cos cos sin

1 1 0 6.矩陣A1 0 1 2.設(shè)A

,則A的逆矩陣A1 .

0

1 13 3 2 1 1

A.1,1,0 B.1,1,2 C.1,1,2 D.1,1,2三.計(jì)算與證明題3.設(shè)D1 1 1, Aij4 0 11 1 1

Daij

的代數(shù)余子,則A A A31 32

0 .

1a 2 3 412a312a34計(jì)算行列式123a41234aa 2 3410a2341 2a 3410a2a34123a4 10a23a41234a10a234a矩陣

,則A .A0 2 2 0 0 311 2 矩陣

,則A的秩r(A) 2 .A3 1 0 2 解：3 4 4 1 設(shè)3A1

T, 是 (1,0,2)1

(2,3,a)T1234101234100012a341a00123a410a01234a100a對(duì)應(yīng)于1 2

的特征向,則a －1 .二.選擇題2分1020分).3 4 9

(10a)

(10a)

a)a3行列式5 7 1的元素a 的代數(shù)余子式

是（C ）.23 232 1 4A.3 B.3 C.5 D.5設(shè)A為3階方陣且A1,則3A(B ).A.3 B.27 C.3 D.27若

為n(n2)

階方陣則下列各式正確的( C ).

2.(6分)求解下面矩陣方程中的矩陣X0 1 0 1 0 0 1 2 1ABAB B.(AB)TATBT C.AB BA D.AB BA

1 0 0

0 1 1

1 0 2 Amn

的秩r(A)mn，下述結(jié)論中正確的是（A ）.

0 0 1.

0 0 1

1 3 40 1 01 1 2 11 0

01A的任意m個(gè)列向量必線性無關(guān)A的任意一個(gè)m階子式不等于零；

解：X1 0 0 1 0 2

0 1 1C.齊次方程組Ax0只有零解； D.非齊次方程組Axb必有無窮多.

0 0 1 1 3

0 0 10 1 01 2 11 0 0 1 0 21 0 0 1 0 2,

,,

,,

設(shè)1 2 3

是一組4

維向量,其中1 2

線性相,則( A )3

1 0 01 0 20 1 1

2 10 1 11 2 30 0 11 3 40 0 1

1 3 40 0 1 1 3 1

（1）設(shè)向量組,1 2

,,s

線性無關(guān)，向量組,1 2

,,s

,線性相關(guān)，證明向量可1 0 0

由向量組,

,,

線性表示且表示式唯一。 1 2 s3.(7分)設(shè)A的逆矩陣A12 2 0,求A的伴隨矩陣A*.3 3 3

A(a是33

1b,,0)TAxb 1 0 01 1 1

ij 11有唯一解xb。A*A|A1

|A1|

A1

A16

2 2 063 3 36

（1）由于,1 2

,,s

線性相關(guān)，所以存在不全為零的數(shù)kk1 2

,,ks

k 使s1 xxx 2

得：k

k

k

0。若k

0,

,,

線性無關(guān)矛盾，所以1 3x xx

42xx 1

1 1 2 2

s s s

s1

1 2 s4.(15分)求線性方程組1 2 3 4

k k k2xx1 2

x2x 33 4

ks1

0

k

21 k

sk

可由向量組,1 2

,,s

3xx1 2

3x 54

s1

s1

s101121011210112121101301 1

k2

ks s

c1

c2

cs s解：由于12 1 1 2 3

0 0 0 0 0

，所以，通解為：

則有(kc1

c

c

0,

,,

1 1 2 2

s s

1 2 s3 1 0 3 5

0 0 0 0 0

k c,k1 1 2

c,,2

c，即表示式唯一。sx2cc

x 2 1 1111 2

1

21 3 02

（2）由于A是正交矩陣，所以A可逆，|A|0,故方程組有唯一解。x

即：x

c

c 2 1

2 x c3 131

x 0 11 0

1 0 0 ,

3

0

0

1, , x c c c 4 2 1 2

x c c R4 1 2

又由于a 1，且A是實(shí)正交矩陣，所以有：A0 a

，于是有：11 0

22 231 0 0

a a32 3