2023屆江蘇省啟東市啟東中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩條漸近線與圓都相切，則雙曲線的離心率是（）A．2或 B．2或 C．或 D．或2．過雙曲線的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，若與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）A． B． C． D．3．函數(shù)的部分圖像大致為（）A． B．C． D．4．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，若是奇函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，且關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）．A． B． C． D．6．洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù)．如圖，若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù)，則其和等于11的概率是（）．A． B． C． D．7．若，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C．13 D．8．函數(shù)（且）的圖象可能為（）A． B． C． D．9．若x,y滿足約束條件的取值范圍是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,10．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在過且垂直于軸的直線上，當(dāng)?shù)耐饨訄A面積達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)恰好在雙曲線上，則該雙曲線的方程為（）A． B．C． D．11．設(shè)直線過點(diǎn)，且與圓：相切于點(diǎn)，那么（）A． B．3 C． D．112．若實(shí)數(shù)x，y滿足條件，目標(biāo)函數(shù)，則z的最大值為()A． B．1 C．2 D．0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的系數(shù)為____.14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是______.15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓．直線與圓相切，且與圓相交于，兩點(diǎn)，則弦的長為_________16．已知不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，則區(qū)域的外接圓的面積為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值；（Ⅲ）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最大值為，求證：.18．（12分）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率是，動點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，當(dāng)軸時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）延長分別交橢圓于點(diǎn)（不重合）.設(shè)，求的最小值.19．（12分）2019年春節(jié)期間，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎促銷活動，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元則可參加一次抽獎活動，超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎方案.方案一：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.方案二：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎，且顧客有放回地抽取3次.（1）現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機(jī)會，且都按方案一抽獎，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；（2）若某顧客獲得抽獎機(jī)會.①試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望；②為了吸引顧客消費(fèi)，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎方案進(jìn)行促銷活動？20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，為推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，有必要調(diào)查研究新能源汽車市場的生產(chǎn)與銷售.下圖是我國某地區(qū)年至年新能源汽車的銷量（單位：萬臺）按季度（一年四個(gè)季度）統(tǒng)計(jì)制成的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值，并估計(jì)銷量的中位數(shù)；（2）請根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)新能源汽車平均每個(gè)季度的銷售量（同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表），并以此預(yù)計(jì)年的銷售量.22．（10分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【答案解析】

根據(jù)題意，由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程，再分焦點(diǎn)在x、y軸上兩種情況討論，進(jìn)而求得雙曲線的離心率．【題目詳解】設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，是圓的切線得：，得雙曲線的一條漸近線的方程為∴焦點(diǎn)在x、y軸上兩種情況討論：

①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)有：②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)有：∴求得雙曲線的離心率2或．

故選：A．【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．解題的關(guān)鍵是：由圓的切線求得直線的方程，再由雙曲線中漸近線的方程的關(guān)系建立等式，從而解出雙曲線的離心率的值．此題易忽視兩解得出錯誤答案．2．A【答案解析】

直線的方程為，令，得，得到a,b的關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)求解即可【題目詳解】直線的方程為，令，得.因?yàn)?，所以，只有選項(xiàng)滿足條件.故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算求解能力.3．A【答案解析】

根據(jù)函數(shù)解析式，可知的定義域?yàn)椋ㄟ^定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出，則為偶函數(shù)，可排除選項(xiàng)，觀察選項(xiàng)的圖象，可知代入，解得，排除選項(xiàng)，即可得出答案.【題目詳解】解：因?yàn)椋缘亩x域?yàn)?，則，∴為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，排除選項(xiàng)，且當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)，所以正確.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式識別函數(shù)圖象，利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.4．A【答案解析】

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù)，求得的值，由此化簡不等式求得不等式的解集.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意可知，所以在上遞增.由于是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集為.故選：A【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.5．B【答案解析】

根據(jù)條件可知方程有且只有一個(gè)實(shí)根等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可．【題目詳解】解：因?yàn)闂l件等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，作出圖象如圖，由圖可知，，故選：B．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點(diǎn)之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．6．A【答案解析】

基本事件總數(shù)，利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個(gè)，由此能求出其和等于11的概率．【題目詳解】解：從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù)，基本事件總數(shù)，其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4個(gè)，其和等于的概率．故選：．【答案點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7．C【答案解析】

由已知畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值．【題目詳解】解：表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由解得即點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最大，即．故選：．【答案點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8．D【答案解析】因?yàn)椋屎瘮?shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點(diǎn)：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.9．D【答案解析】解：x、y滿足約束條件，表示的可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由解得C（2，1），目標(biāo)函數(shù)的最小值為：4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4，+∞）．故選D．10．A【答案解析】

點(diǎn)的坐標(biāo)為，，展開利用均值不等式得到最值，將點(diǎn)代入雙曲線計(jì)算得到答案.【題目詳解】不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于為定值，由正弦定理可知當(dāng)取得最大值時(shí)，的外接圓面積取得最小值，也等價(jià)于取得最大值，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)最大，此時(shí)的外接圓面積取最小值，點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入可得，．所以雙曲線的方程為．故選：【答案點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.11．B【答案解析】

過點(diǎn)的直線與圓：相切于點(diǎn)，可得.因此，即可得出.【題目詳解】由圓：配方為，，半徑.∵過點(diǎn)的直線與圓：相切于點(diǎn)，∴；∴；故選：B.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計(jì)算，考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.12．C【答案解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最大值.【題目詳解】若實(shí)數(shù)x，y滿足條件，目標(biāo)函數(shù)如圖：當(dāng)時(shí)函數(shù)取最大值為故答案選C【答案點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)的最值:當(dāng)時(shí)，直線過可行域且在軸上截距最大時(shí)，值最大，在軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)時(shí)，直線過可行域且在軸上截距最大時(shí)，值最小，在軸上截距最小時(shí)，值最大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．28【答案解析】

將已知式轉(zhuǎn)化為，則的展開式中的系數(shù)中的系數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式展開式可求得其值.【題目詳解】，所以的展開式中的系數(shù)就是中的系數(shù)，而中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為故答案為：28.【答案點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開式中的某特定項(xiàng)的系數(shù)，關(guān)鍵在于將原表達(dá)式化簡將三項(xiàng)的冪的形式轉(zhuǎn)化為可求的二項(xiàng)式的形式，屬于基礎(chǔ)題.14．1【答案解析】

該程序的功能為利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【題目詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得：，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，此時(shí)滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為1．故答案為：1．【答案點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題.15．【答案解析】

利用直線與圓相切求出斜率，得到直線的方程，幾何法求出【題目詳解】解：直線與圓相切，圓心為由，得或，當(dāng)時(shí)，到直線的距離，不成立，當(dāng)時(shí)，與圓相交于，兩點(diǎn)，到直線的距離，故答案為．【答案點(diǎn)睛】考查直線與圓的位置關(guān)系，相切和相交問題，屬于中檔題．16．【答案解析】

先作可行域，根據(jù)解三角形得外接圓半徑，最后根據(jù)圓面積公式得結(jié)果.【題目詳解】由題意作出區(qū)域，如圖中陰影部分所示，易知，故，又，設(shè)的外接圓的半徑為，則由正弦定理得，即，故所求外接圓的面積為.【答案點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.【答案解析】試題分析：（Ⅰ）由題，所以故，，代入點(diǎn)斜式可得曲線在處的切線方程；（Ⅱ）由題（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.則函數(shù)在上的最小值是（2）當(dāng)時(shí)，令，即，令，即（i）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是（ii）當(dāng)，即時(shí)，由的單調(diào)性可得在上的最小值是（iii）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上的最小值是（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，令，則是單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)?，，所以在上存在，使得，即討論可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值是因?yàn)椋杂纱丝勺C試題解析：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)，且，所以，所以所以，所以曲線在處的切線方程是，即（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)，所以（1）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)在上的最小值是（2）當(dāng)時(shí)，令，即，所以令，即，所以（i）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是（ii）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是（iii）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上的最小值是綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上的最小值是當(dāng)時(shí)，在上的最小值是當(dāng)時(shí)，在上的最小值是（Ⅲ）因?yàn)楹瘮?shù)，所以所以當(dāng)時(shí)，令，所以是單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)椋?，所以在上存在，使得，即所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值是因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以所?8．（1）；（2）【答案解析】

（1）根據(jù)題意直接計(jì)算得到，，得到橢圓方程.（2）不妨設(shè)，且，設(shè)，代入數(shù)據(jù)化簡得到，故，得到答案.【題目詳解】（1），所以，，化簡得，所以，，所以方程為；（2）由題意得，不在軸上，不妨設(shè)，且，設(shè)，所以由，得，所以，由，得，代入，化簡得：，由于，所以，同理可得，所以，所以當(dāng)時(shí)，最小為【答案點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的向量運(yùn)算和最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19．(1)(2)①②第一種抽獎方案.【答案解析】

(1)方案一中每一次摸到紅球的概率為，每名顧客有放回的抽3次獲180元返金劵的概率為，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金劵的概率(2)①分別計(jì)算方案一，方案二顧客獲返金卷的期望，方案一列出分布列計(jì)算即可，方案二根據(jù)二項(xiàng)分布計(jì)算期望即可②根據(jù)①得出結(jié)論.【題目詳解】（1）選擇方案一，則每一次摸到紅球的概率為設(shè)“每位顧客獲得180元返金劵”為事件A，則所以兩位顧客均獲得180元返金劵的概率（2）①若選擇抽獎方案一，則每一次摸到紅球的概率為，每一次摸到白球的概率為.設(shè)獲得返金劵金額為元，則可能的取值為60，100，140，180.則；；；.所以選擇抽獎方案一，該顧客獲得返金劵金額的數(shù)學(xué)期望為（元）若選擇抽獎方案二，設(shè)三次摸球的過程中，摸到紅球的次數(shù)為，最終獲得返金劵的金額為元，則，故所以選擇抽獎方案二，該顧客獲得返金劵金額的數(shù)學(xué)期望為（元）.②即，所以該超市應(yīng)選擇第一種抽獎方案【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型，相互獨(dú)立事件的概率，二項(xiàng)分布，期望，及概率知識在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題.20．（1）.（2）【答案解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性以及極值，從而得出的圖象，將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，由圖，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴切線斜率，又切點(diǎn)∴切線方程為，即.（2），記，令得；∴的情況如下表：2+0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，取極大值又時(shí)，；時(shí)，若沒有零點(diǎn)，即的圖像與直線無公共點(diǎn)，由圖像知的取值范圍是.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于中檔題.21．（1），中位數(shù)為；（2）新能源汽車平均每個(gè)季