【走向高考】高三數(shù)學一輪復習 133不等式選講（北師大）

整理課件整理課件知識梳理1．不等式的性質：性質1如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.性質2如果a＞b，b＞c，那么

.性質3如果a＞b，那么

.推論如果a＞b，c＞d，那么

.a＞ca＋c＞b＋ca＋c＞b＋d整理課件性質4如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0那么

.推論1如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么

.推論2如果a＞b＞0，那么

.推論3如果a＞b＞0，那么

．ac＜bcac＞bda2＞b2an＞bn(n為正整數(shù))整理課件2．絕對值不等式：設a是任意一個實數(shù)，在數(shù)軸上|a|表示

，|x－a|的幾何意義是

的距離．定理：對任意實數(shù)a和b，有

3．平均值不等式：定理1對任意實數(shù)a，b有a2＋b2≥

(上式當且僅當

時，取“＝”號)．實數(shù)a對應的點與原點O的距離實數(shù)x對應的點與實數(shù)a對應的點之間|a＋b|≤|a|＋|b|2aba＝b整理課件整理課件整理課件(2)分析法從所要證明的結論入手向已知條件反推直至達到已知條件為止，這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法．(3)綜合法從已知條件出發(fā)，利用不等式的性質(或已知證明過的不等式)，推出了所要證明的結論，即“由因尋果”的方法，這種證明不等式的方法稱為綜合法．整理課件(4)放縮法通過縮小(或放大)分式的分母(或分子)，或通過放大(或縮小)被減式(或減式)來證明不等式，這種證明不等式的方法稱為放縮法．(5)反證法：通過證明命題結論的否定不能成立，來肯定命題結論一定成立，其證明的步驟是：①作出否定結論的假設；②進行推理導出矛盾；③否定假設肯定結論整理課件5．柯西不等式定理1對任意實數(shù)a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥

，當向量(a，b)與向量(c，d)共線時，等號成立．定理2設a1，a2，…，an與b1，b2，…，bn是兩組實數(shù)，則有(a12＋a22＋…an2)(b12＋b22＋…＋bn2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當向量(a1，a2，…an)與向量(b1，b2，…，bn)共線時“＝”成立．推論：設a1，a2，a3，b1，b2，b3是兩組實數(shù)，則有(a12＋a22＋a32)(b12＋b22＋b32)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2當向量(a1，a2，a3)與向量(b1，b2，b3)共線時“＝”成立。(ac＋bd)2整理課件6．排序不等式定理1設a，b和c，d都是實數(shù)，如果a≥b，c≥d，那么ac＋bd≥

，當且僅當a＝b(或c＝d)，時取“＝”號．定理2(排序不等式)設有兩個有序實數(shù)組a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn，則(順序和)a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥(亂序和)a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn≥(逆序和)a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1.ad＋bc整理課件其中j1，j2，…jn是1,2，…，n的任一排列方式．上式當且僅當a1＝a2＝…＝an(或b1＝b2＝…＝bn)時取“＝”號．7．貝努利不等式：對任何實數(shù)x≥－1和任何正整數(shù)n，有(1＋x)n≥

1＋nx整理課件整理課件[例1]解不等式|x＋2|＋|x－1|<4.[分析](1)根據絕對值的意義，分區(qū)間分別去掉絕對值符號，解不等式．(2)根據絕對值的幾何意義．[解析]|x＋2|＝0和|x－1|＝0的根分別是－2和1，把實數(shù)軸分為三個區(qū)間：(－∞，－2]，(－2,1)，[1，＋∞)．在這三個區(qū)間上|x＋2|＋|x－1|有不同的解析表達式，它們構成了三個不等式組．整理課件整理課件整理課件整理課件[點評](1)解這類絕對值符號內是一次式的不等式，其一般步驟是：①令每個絕對值符號里的一次式為零，并求出相應的根；②把這些根由小到大排序，并把實數(shù)集分為若干個區(qū)間；③由所分區(qū)間去掉絕對值符號組成若干個不等式，解這些不等式，求出它們的解集；整理課件④取這些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．對于形如|x－a|＋|x－b|>c或|x－a|＋|x－b|<c的不等式，利用不等式的幾何意義或者畫出左、右兩邊函數(shù)的圖像去解不等式，更為直觀、簡捷，這又一次體現(xiàn)了數(shù)形結合思想方法的優(yōu)越性！整理課件解不等式|x＋3|＋|x－3|>8.[解析]解法1：由代數(shù)式|x＋3|、|x－3|知，－3和3把實數(shù)集分為三個區(qū)間：x<－3，－3≤x<3，x≥3.當x<－3時，－x－3－x＋3>8，即x<－4，此時不等式的解集為x<－4.①當－3≤x<3時，x＋3－x＋3>8，此時不等式無解．②當x≥3時，x＋3＋x－3>8，即x>4，此時不等式的解集為x>4.③取①②③式的并集得原不等式的解集為整理課件{x|x<－4或x>4}．解法2：不等式|x＋3|＋|x－3|>8表示數(shù)軸上與A(－3)，B(3)兩點距離之和大于8的點，而A、B兩點距離為6.因此線段AB上每一點到A、B的距離之和都等于6.如圖所示，要找到與A，B距離之和為8的點，只需由點B向右移1個單位(這時距離之和增加2個單位)，即移到點B1(4)，或由點A向左移1個單位，即移到點A1(－4)．可以看出，數(shù)軸上點B1(4)向右的點或者點A1(－4)向左的點到A、B兩點的距離之和均大于8.∴原不等式的解集為{x|x<－4或x>4}.整理課件整理課件[分析]開口向上的二次函數(shù)在閉區(qū)間[－1,1]上的最大值，只能在端點－1,1處取到．故M≥|f(1)|或M≥|f(－1)|.[解析](1)∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，∴M≥|1＋b|.(2)依題意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|.又|f(－1)|＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|.∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2.整理課件整理課件[點評]對于含有絕對值的不等式的證明常用途徑有二：一是去掉絕對值符號，即利用絕對值的定義和|x|<a?－a<x<a(a>0)，|x|>a?x>a或x<－a(a>0)去掉絕對值符號；二是利用含絕對值的不等式性質(||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|)來證明．整理課件整理課件[例3]若0<x<1，試比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大小(a>0且a≠1)．[分析]利用作差比較法或作商比較法均可證明本例．[解析]證法一：(作差比較法)因為0<x<1，所以0<1－x<1,1＋x>1,0<1－x2<1.當a>1時，因為|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)>0，整理課件所以|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.當0<a<1時，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)>0，所以|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.綜上所述，|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.整理課件整理課件[點評]本題考查了絕對值的概念，分類整合的思想方法，對數(shù)的運算，式子的變形，靈巧而精致，深化了作差比較和作商比較這兩種基本方法．(1)作差法的一般步驟是“作差—變形—判斷符號”．其中變形是作差法的關鍵，配方和因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號，常將“差式”變形為一個常數(shù)、一個常數(shù)與幾個平方和或幾個因式的積的形式，當所得的“差式”是某個字母的二次三項式時，則常用判別式法判斷符號．整理課件(2)作商法的一般步驟為“作商—變形—判斷商與數(shù)1的大小關系”．(3)一般地，證冪、指數(shù)不等式，常用作商法，證對數(shù)不等式，常用作差法．當“差”或“商”式中含有字母時，一般需對字母的取值進行分類討論．整理課件整理課件整理課件[例4]已知a、b、c>0，求證：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．[分析]不等式中的a、b、c有對稱轉換關系，所以從基本的不等式定理入手，先考慮兩個正數(shù)的平均數(shù)定理，再據不等式性質推導出證明的結論．整理課件[解析]

∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)．∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2a2b＋2ab2.∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2.將三式相加得2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．整理課件[點評]本題是利用綜合法證明不等式．用綜合法證明不等式時，應注意觀察不等式的結構特點，選擇恰當?shù)囊阎牟坏仁阶鳛橐罁?，其中基本不等式是最常用的．整理課件整理課件整理課件整理課件已知x，y，z∈R，若x4＋y4＋z4＝1，求證：x2＋y2＋z2≤整理課件整理課件整理課件1．放縮法多借助于一個或多個中間量進行放大或縮?。缬CA≥B，需通過B≤B1，B1≤B2，…，Bn≤A(或A≥A1，A1≥A2，…≥An≥B)，再利用傳遞性達到證明的目的．2．含絕對值的不等式(1)含絕對值不等式的證明，除了綜合運用前面所講的不等式的證明方法之外，還要注意“絕對值”這一特殊屬性的處理方法，常用思路有二：①去掉絕對值符號，轉化為一般不等式的證明，常用的去掉絕對值的方法有定義法、平方法、等價轉化法等．整理課件②利用性質“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”來證明，這時常要對絕對值內的式子進行分析、組合、添項、減項，使要證明的式子與已知聯(lián)系起來，從而完成證明．整理課件(2)含有多個絕對值(兩個或兩個以上)的不等式的解法：①基本思想