【走向高考】高三數(shù)學一輪復習 133不等式選講（北師大）

整理課件整理課件知識梳理1．不等式的性質(zhì)：性質(zhì)1如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.性質(zhì)2如果a＞b，b＞c，那么

.性質(zhì)3如果a＞b，那么

.推論如果a＞b，c＞d，那么

.a＞ca＋c＞b＋ca＋c＞b＋d整理課件性質(zhì)4如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0那么

.推論1如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么

.推論2如果a＞b＞0，那么

.推論3如果a＞b＞0，那么

．a(chǎn)c＜bcac＞bda2＞b2an＞bn(n為正整數(shù))整理課件2．絕對值不等式：設a是任意一個實數(shù)，在數(shù)軸上|a|表示

，|x－a|的幾何意義是

的距離．定理：對任意實數(shù)a和b，有

3．平均值不等式：定理1對任意實數(shù)a，b有a2＋b2≥

(上式當且僅當

時，取“＝”號)．實數(shù)a對應的點與原點O的距離實數(shù)x對應的點與實數(shù)a對應的點之間|a＋b|≤|a|＋|b|2aba＝b整理課件整理課件整理課件(2)分析法從所要證明的結(jié)論入手向已知條件反推直至達到已知條件為止，這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法．(3)綜合法從已知條件出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)(或已知證明過的不等式)，推出了所要證明的結(jié)論，即“由因?qū)す钡姆椒?，這種證明不等式的方法稱為綜合法．整理課件(4)放縮法通過縮小(或放大)分式的分母(或分子)，或通過放大(或縮小)被減式(或減式)來證明不等式，這種證明不等式的方法稱為放縮法．(5)反證法：通過證明命題結(jié)論的否定不能成立，來肯定命題結(jié)論一定成立，其證明的步驟是：①作出否定結(jié)論的假設；②進行推理導出矛盾；③否定假設肯定結(jié)論整理課件5．柯西不等式定理1對任意實數(shù)a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥

，當向量(a，b)與向量(c，d)共線時，等號成立．定理2設a1，a2，…，an與b1，b2，…，bn是兩組實數(shù)，則有(a12＋a22＋…an2)(b12＋b22＋…＋bn2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當向量(a1，a2，…an)與向量(b1，b2，…，bn)共線時“＝”成立．推論：設a1，a2，a3，b1，b2，b3是兩組實數(shù)，則有(a12＋a22＋a32)(b12＋b22＋b32)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2當向量(a1，a2，a3)與向量(b1，b2，b3)共線時“＝”成立。(ac＋bd)2整理課件6．排序不等式定理1設a，b和c，d都是實數(shù)，如果a≥b，c≥d，那么ac＋bd≥

，當且僅當a＝b(或c＝d)，時取“＝”號．定理2(排序不等式)設有兩個有序?qū)崝?shù)組a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn，則(順序和)a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥(亂序和)a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn≥(逆序和)a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1.ad＋bc整理課件其中j1，j2，…jn是1,2，…，n的任一排列方式．上式當且僅當a1＝a2＝…＝an(或b1＝b2＝…＝bn)時取“＝”號．7．貝努利不等式：對任何實數(shù)x≥－1和任何正整數(shù)n，有(1＋x)n≥

1＋nx整理課件整理課件[例1]解不等式|x＋2|＋|x－1|<4.[分析](1)根據(jù)絕對值的意義，分區(qū)間分別去掉絕對值符號，解不等式．(2)根據(jù)絕對值的幾何意義．[解析]|x＋2|＝0和|x－1|＝0的根分別是－2和1，把實數(shù)軸分為三個區(qū)間：(－∞，－2]，(－2,1)，[1，＋∞)．在這三個區(qū)間上|x＋2|＋|x－1|有不同的解析表達式，它們構(gòu)成了三個不等式組．整理課件整理課件整理課件整理課件[點評](1)解這類絕對值符號內(nèi)是一次式的不等式，其一般步驟是：①令每個絕對值符號里的一次式為零，并求出相應的根；②把這些根由小到大排序，并把實數(shù)集分為若干個區(qū)間；③由所分區(qū)間去掉絕對值符號組成若干個不等式，解這些不等式，求出它們的解集；整理課件④取這些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．對于形如|x－a|＋|x－b|>c或|x－a|＋|x－b|<c的不等式，利用不等式的幾何意義或者畫出左、右兩邊函數(shù)的圖像去解不等式，更為直觀、簡捷，這又一次體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法的優(yōu)越性！整理課件解不等式|x＋3|＋|x－3|>8.[解析]解法1：由代數(shù)式|x＋3|、|x－3|知，－3和3把實數(shù)集分為三個區(qū)間：x<－3，－3≤x<3，x≥3.當x<－3時，－x－3－x＋3>8，即x<－4，此時不等式的解集為x<－4.①當－3≤x<3時，x＋3－x＋3>8，此時不等式無解．②當x≥3時，x＋3＋x－3>8，即x>4，此時不等式的解集為x>4.③?、佗冖凼降牟⒓迷坏仁降慕饧癁檎碚n件{x|x<－4或x>4}．解法2：不等式|x＋3|＋|x－3|>8表示數(shù)軸上與A(－3)，B(3)兩點距離之和大于8的點，而A、B兩點距離為6.因此線段AB上每一點到A、B的距離之和都等于6.如圖所示，要找到與A，B距離之和為8的點，只需由點B向右移1個單位(這時距離之和增加2個單位)，即移到點B1(4)，或由點A向左移1個單位，即移到點A1(－4)．可以看出，數(shù)軸上點B1(4)向右的點或者點A1(－4)向左的點到A、B兩點的距離之和均大于8.∴原不等式的解集為{x|x<－4或x>4}.整理課件整理課件[分析]開口向上的二次函數(shù)在閉區(qū)間[－1,1]上的最大值，只能在端點－1,1處取到．故M≥|f(1)|或M≥|f(－1)|.[解析](1)∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，∴M≥|1＋b|.(2)依題意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|.又|f(－1)|＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|.∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2.整理課件整理課件[點評]對于含有絕對值的不等式的證明常用途徑有二：一是去掉絕對值符號，即利用絕對值的定義和|x|<a?－a<x<a(a>0)，|x|>a?x>a或x<－a(a>0)去掉絕對值符號；二是利用含絕對值的不等式性質(zhì)(||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|)來證明．整理課件整理課件[例3]若0<x<1，試比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大小(a>0且a≠1)．[分析]利用作差比較法或作商比較法均可證明本例．[解析]證法一：(作差比較法)因為0<x<1，所以0<1－x<1,1＋x>1,0<1－x2<1.當a>1時，因為|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)>0，整理課件所以|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.當0<a<1時，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)>0，所以|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.綜上所述，|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.整理課件整理課件[點評]本題考查了絕對值的概念，分類整合的思想方法，對數(shù)的運算，式子的變形，靈巧而精致，深化了作差比較和作商比較這兩種基本方法．(1)作差法的一般步驟是“作差—變形—判斷符號”．其中變形是作差法的關鍵，配方和因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號，常將“差式”變形為一個常數(shù)、一個常數(shù)與幾個平方和或幾個因式的積的形式，當所得的“差式”是某個字母的二次三項式時，則常用判別式法判斷符號．整理課件(2)作商法的一般步驟為“作商—變形—判斷商與數(shù)1的大小關系”．(3)一般地，證冪、指數(shù)不等式，常用作商法，證對數(shù)不等式，常用作差法．當“差”或“商”式中含有字母時，一般需對字母的取值進行分類討論．整理課件整理課件整理課件[例4]已知a、b、c>0，求證：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．[分析]不等式中的a、b、c有對稱轉(zhuǎn)換關系，所以從基本的不等式定理入手，先考慮兩個正數(shù)的平均數(shù)定理，再據(jù)不等式性質(zhì)推導出證明的結(jié)論．整理課件[解析]

∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)．∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2a2b＋2ab2.∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2.將三式相加得2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．整理課件[點評]本題是利用綜合法證明不等式．用綜合法證明不等式時，應注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當?shù)囊阎牟坏仁阶鳛橐罁?jù)，其中基本不等式是最常用的．整理課件整理課件整理課件整理課件已知x，y，z∈R，若x4＋y4＋z4＝1，求證：x2＋y2＋z2≤整理課件整理課件整理課件1．放縮法多借助于一個或多個中間量進行放大或縮?。缬CA≥B，需通過B≤B1，B1≤B2，…，Bn≤A(或A≥A1，A1≥A2，…≥An≥B)，再利用傳遞性達到證明的目的．2．含絕對值的不等式(1)含絕對值不等式的證明，除了綜合運用前面所講的不等式的證明方法之外，還要注意“絕對值”這一特殊屬性的處理方法，常用思路有二：①去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一般不等式的證明，常用的去掉絕對值的方法有定義法、平方法、等價轉(zhuǎn)化法等．整理課件②利用性質(zhì)“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”來證明，這時常要對絕對值內(nèi)的式子進行分析、組合、添項、減項，使要證明的式子與已知聯(lián)系起來，從而完成證明．整理課件(2)含有多個絕對值(兩個或兩個以上)的不等式的解法：①基本思想