概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第一章3條件概率

第一章 概率論的基本概念第一章概率論的基本概念一.

基本概念二.

等可能概型（古典概型）三.

條件概率（一）條件概率（二）乘法定理（三）全概率公式和四. 獨(dú)立性公式第一章 概率論的基本概念一、條件概率(Conditional

Probability)條件概率考慮的是事件B已發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率。簡(jiǎn)單地說，條件概率就是在一定附加條件之下的事件概率.“附加條件”通常指“已知某事件發(fā)生了”。第一章 概率論的基本概念一.條件概率考慮一個(gè)試驗(yàn)E.

設(shè)A,B是E的兩個(gè)事件，它們的概率分別為P(A),P(B)。現(xiàn)在提出一個(gè)問題：如何求“在已知A出現(xiàn)的條件下，事件B出現(xiàn)的概率？n

n

nnA

nA

n P(

A)n

P(

AB).則P(B

|

A)

nAB

nAB第一章 概率論的基本概念古典概型：假設(shè)樣本空間E包含n個(gè)基本事件e1,…,en,事件A

和B

分別包含nA

和nB

個(gè)基本事件，事件AB

包含nAB

個(gè)基本事件。于是P(

A)

nA

;P(B)

nB

;P(

AB)

nAB

.P(

A)1P(B

|

A)

1

6

P(

AB)336第一章 概率論的基本概念例如：擲一顆

，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)情況。A

=

“擲出偶數(shù)點(diǎn)”，

B

=“擲出2點(diǎn)”。求已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。A

有3個(gè)元素，其中只有一個(gè)在集合B中，于是

P(B|A)=1/3.于是第一章 概率論的基本概念條件概率定義：設(shè)A，B是兩個(gè)事件，若P(A)>0，則稱P(B

|

A)

P(

AB)P(

A)為在“事件A已發(fā)生”的條件下，B發(fā)生的條件概率。注：在事件A發(fā)生的條件下，樣本空間已經(jīng)不再是S，而是縮減為子集A。這

件B的發(fā)生顯然就是A、B

同時(shí)發(fā)生，即AB。i=1

i1因此，概率的所有性質(zhì)對(duì)條件概率依然成立，如P(B

B

|

A)

P(B

|

A)

P(B

|

A)

P(B

B

|

A),1

2

1

2

1

2P(B

|

A)

1

P(B

|

A)P(

Bi

|

A)

P(Bi

|

A)第一章 概率論的基本概念條件概率的性質(zhì)條件概率P(·|A)也是概率，故具有概率的性質(zhì)：非負(fù)性：對(duì)任一事件B，有

0<=P(B|A)<=

1

；規(guī)范性：P(S|A)=1；可列可加性：對(duì)任意一列兩兩互不相容的事件B1,

B2,…，有第一章 概率論的基本概念例1

在10個(gè)

型號(hào)的元件中有7個(gè)一等品，從這些元件中不放回地連續(xù)抽取兩次，每次取一個(gè)元件。求在第一次取得一等品的條件下，第二次取得一

等品的概率。P(

A1)

710P210P2,

P(

A1A2

)

7

715,2

11P(

A

|

A

)

P(

A1A2

)

6P(

A

)

9解：Ai=“第i

次取得一等品”，i=1,2.另解：按事件A1發(fā)生后縮減的樣本空間來計(jì)算。第一章 概率論的基本概念例從混有5張的20張百元鈔票中任意抽出2張，將其中1張放到驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是。求2張都是

的概率。B

AC2C2C2

C1C12020C2P(AB)

P(B)

5

,

P(A)

5

5 15

,P(B

|

A)

P(AB)

P(A)C25

5

15(C2

C1C1

)

5

1085

0.118解：令

A

=

“2

至少有1張是

”B

=

“抽到2張都是

”則所求概率是P(B|A)（而不是P(B)!)第一章 概率論的基本概念二.乘法定理對(duì)任意兩個(gè)事件A,B，(1)

若

P(A)

0,有

P(AB)=P(B|A)P(A);

或（2）若P(B)>0,有P(AB)=P(A|B)P(B).以上均稱為概率乘法公式。可用概率乘法公式求積事件（兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生）的概率。第一章 概率論的基本概念推廣：若則第一章 概率論的基本概念例

外出旅游兩天，須知道兩天的天氣情況。

據(jù)預(yù)報(bào)，第一天下雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下雨的概率為0.1。求第一天下雨時(shí)，第二天不下雨的概率。解設(shè)Ai=“第i天下雨”，i=1,2.2

1P(

A

A

)P(

A

)P(

A

|A)

1

2

1

1

2

P(

A

)

P(

A

A

)1

1P(

A

)0.6

62

0.6

0.1

5

P(

A

)

0.7第一章 概率論的基本概念B

A

P(B

|

A)=

P(AB)

P(B)

P(B).P(A)

P(A)一般地，條件概率與無條件概率之間無確定關(guān)系。第一章 概率論的基本概念三.全概率公式與(Bayes)公式全概率公式實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用。它主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率?；コ馐录募臃ü絇(A

B)

=

P(A)+

P(B),A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A|B)P(B)(

P(B)>0

)第一章 概率論的基本概念定義設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2,…,Bn為E的一組互不相容的事件。若則稱B1，B2，…,Bn為樣本空間S的一個(gè)劃分。若B1，B2，…,Bn是樣本空間的一個(gè)劃分，那么，每次試驗(yàn)中，事件B1，B2，…,Bn中必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生。第一章 概率論的基本概念1.

全概率公式設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，B1,B2,…,Bn

為S的一個(gè)劃分，且P(Bi)>0,i=1,2,…,n；則對(duì)任一事件A，有nP(A)

P(

A

|

Bi

)P(Bi

)i1這個(gè)式子稱為全概率公式（total

probability)。注：運(yùn)用加法及條件概率公式證明。P

A

即求第一章 概率論的基本概念全概率公式的理論和實(shí)用意義：把事件A

看作某一過程的結(jié)果，把B1,…,Bn看作該過程的若干個(gè)原因。根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，即P

Bk

已知而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，即

P

A

Bk

已知

則

可用全概率公式計(jì)算結(jié)果發(fā)生的概率．第一章 概率論的基本概念例

有三個(gè)箱子，分別

為1,2,3,1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅3白球，3號(hào)箱裝有3紅球。

從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率。解

記

Bi

=

“球取自i

號(hào)箱”，

i=1,2,3;A =

“取到的是紅球”，

則第一章 概率論的基本概念2.

公式(Bayes

Formula)設(shè)隨機(jī)事件B1,…,Bn為樣本空間S的一個(gè)劃分,A為任一事件，且P(A)>0,P(Bi)>0，i=1,2,…,n,則iP(B

|

A)

P(

A

|

Bi

)P(Bi

)n,

i

1,2,...,n.這個(gè)式子稱為

P(

A

|

Bj

)P(Bj

)j1公式/定理。注：運(yùn)用條件概率及全概率公式證明。第一章

概率論的基本概念公式的使用把事件A

看作某一過程的結(jié)果，把B1,…,Bn看作該過程的若干個(gè)原因。根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，即P

Bk

已知而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，即

P

A

Bk

已知

如果已知事件A已經(jīng)發(fā)生，要求此時(shí)是由第i個(gè)原因P

Bi引起的概率，則用

公式即求A

第一章 概率論的基本概念例2

某種

的試驗(yàn)具有如下效果：A=

“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”，B=

“被檢查者確實(shí)患有

”，則知PA

B

0.95,PA

B

0.90現(xiàn)設(shè)被試驗(yàn)的人患有的概率為P

B

0.0004現(xiàn)有一人對(duì)此試驗(yàn)反應(yīng)為陽性，求此人真正患有的概率。第一章 概率論的基本概念解由已知，得P(B)

0.0004所以，由Bayes公式，得0.0004

0.950.0004

0.95

0.9996

0.10

0.0038P