有限元三維層狀橫觀各向同性地基解析層元解

胡亞 ：從彈性力學(xué)的基本方程出發(fā)，采用解耦變換并利重Fourier變換以及Cayley-Hamilton定理，推：橫觀各向同性Fourier變換傳遞矩陣解析層元yticallayer-elementsolutionforthree-dimensionalproblemoftransverselyisotropicmultilayeredfoundation(DepartmentofGeotechnicalEngineering,KeyLaboratoryofGeotechnicalandUndergroundEngineeringofMinistryofEducation,TongjiUniversrty,Shanghai200092,China):Startingfromthebasicequationsofelasticity,usingadecoupledtransformtechniqueandadoubleFouriertransform,aswellasCayley-Hamiltontheorem,thetransfermatrixsolutionofthree-dimensionaltransverselyisotropicsingle-layerfoundationisdeducedinCartesiancoordinatesystem.Then,throughrestructuringtheelementsofthematrix,theyticallayer-elementofsingle-layerfoundationisobtained.Followingtheprincipleofthefiniayermethod，andintroducingthecorrespondingboundaryconditions,thetotalstiffnessmatrixisassembledandsolved.Inordertoverifytheproposedmethod,numericalresultsareobtainedbythecompiledprocedure,andcomparedwiththosebyABAQUS,whichshowsagoodagreement.Otherresultsdemonstratedthatthetransverselyisotropicandmultilayeredpropertiesofthefoundationhaveagreatimpactonitsverticaldisplacements.Keywords:transverselyisotropy,doubleFouriertransform,transfermatrix,yticallayerelement,multilayered引（水平面內(nèi)通常呈現(xiàn)各向同性，將土體簡化成橫觀定的實用價值。國內(nèi)外已有許多學(xué)者對橫觀各向同性介質(zhì)進(jìn)行了研究。Lekhntski1]首先求[2]ekhnitskii[3]過引入應(yīng)（位移函數(shù)得到了此問題的解答；和[4]通過Hankle變換方法得到了橫觀各向同性彈性半空間非軸對稱問題的解析解。解析層元的ij,j

x

ij(ui,juj,i)/

0000cc000000x

y

yz

z

yz yz

(c11c12)

xy 表示應(yīng)力分量對坐標(biāo)的偏導(dǎo),

n(n2)ij,

c

(1)，c(12)，

G，

/((1)(12n2))，n

/E

EhEvGvh為水平vh為豎直向應(yīng)力引起的水平向應(yīng)變的泊松比。Fourierf() g(x,y)ei(xxyy)

42g(x,y) f()ei(xxyy)d

g(xy)f(x,yFourierFourierU1(uv

X1(xzyz

V1(uv

Y1(xzyz W

Z z22z yUdX1

Xd2U1d

Vd

Yd

WdUd

Z 2 c2

34 34

c

11

13，

11 13，

，

，

12，2

Laplace對式（7）FourierdG(,z)A()G(,

dx dG(,z)A()G(,

dx 式中：，式中：，

d4d0

0

d4A()

A2()d 0

d20d 0 （8（9

式中：exp[zA1(和exp[zA2(z=0z（10aIaA()aA2()aA3 1 2 3

1(,z)exp[zA()]bI'bA 1II4×42×2A1(A24(2ddd)22(d2dd)4

2 2 42dd2 4

解方程（15）2（14

d4d5d2d 22((dd2d2d 22 d2d 22((dd2d2d 21則22221

2 4222（1）當(dāng)2=01（2）當(dāng)2>0時，令，則或 1（3）當(dāng)2=0時，令w22，則(wi)1（10V(,z) g12V(, g

U(,z)

W(,z)W(, Z(,z) Z(,0)

（16Y(,0) T X U(,0) Z(,0) K12W X(,

U(,z) 22 Z(,z)

1

K

12，

，

23

22

23

33 23

1 K 12 32 33 23

22X(,

k14U(,0) Z(, , 24W

X(,z)

k12U(,z) Z(,z)

k22W(, （18三維成層地基的解析層元nX(,0)U(,0) Z(,0)W(,0) ..

X(,z)U(,z) n nZ(,z)W(,zn n式中：(i)i

Fourier數(shù)值計算與本文根據(jù)10點復(fù)合二維積分的方法，在被積函數(shù)兩個零點之間進(jìn)行分段積分，實Fourier數(shù)值逆變換，具體的處理細(xì)節(jié)和精度評價可參考文獻(xiàn)[6]。Fortran程序計算獲得的豎向荷載作用下任意深度的沉降量，與ABAQUS模擬的結(jié)果進(jìn)行比較。由圖1可知，本文的計算結(jié)果與ABAQUS圖1豎向位移對比結(jié) 圖2兩層地基中的豎向位Fig.1Comparisonofvertical Fig.2Verticaldisplacementintwo-layered1Table1Thelistofsoil土層 土層EEEEE123 下面以兩層土為例土的橫觀各向同性特性與成層特性對地基沉降的影響土層參數(shù)11123況1和工況2各參數(shù)的平均值，是一各向同性的均勻土層。計算結(jié)果見圖2，由圖2可對于工況1還是工況2，采用傳統(tǒng)各向同性來簡化計算是不安全的，這一點在實際工程中應(yīng)4.結(jié)從彈性力學(xué)的基本方程出發(fā)，采用解耦變換并利重Fourier變換以及Cayley-Hamilton定理，推導(dǎo)出三維直角坐標(biāo)系下橫觀各向同性單層地基的傳遞矩陣，通過Fourier逆變換技術(shù)獲得物理域內(nèi)的真實解答。將所ABAQUS參考文LekhniskiiSG.TheoryofElasticityofanAnisotropicbody[M].MirPublishers,胡海昌.橫觀各向同性體的彈性力學(xué)的空間問題[J].物理學(xué)報,1953,9(2):130-144.(HUHai-chang.Theproblemoftransverselyisotropicelasticmechanicsofthespace[J].JournalofPhysical,1953,9(2):130-144.(inChinese)).橫觀各向同性彈性力學(xué)空間問題[M].杭州:浙江大學(xué),1997.(DINGHao-jiang.Mechanicsoftansverselyisotropicelasticity[M].Hangzhou:UniversityPress,1997.(inChinese)),.橫觀各向同性彈性半空間非軸對稱問題解析解[J].巖土工程學(xué)報,2004,26(3)：331-334.(LIPei-hao,ZHUXiang-rong.yticalsolutionofnon-axisymmetricproblemsintransverselyistropicelastichalfspace[J].ChineseJournalofGeotechnicalEngineering,2004,26(3)：331-334.(inChinese))艾智勇,沖.三維橫觀各向同性成層地基的傳遞矩陣解[J].巖土力學(xué).2010,31(2):25-30.(AIZhiyong,CHENGYi-chong.Transfermatrixsolutionsofthree-dementionaltransverselyisotropicmultilayeredsoils[J].RockandSoilMechanics,2010,31(2):25－30.(inChinese))艾智勇,.三維直角坐標(biāo)系下分層地基的傳遞矩陣解[J].重慶建筑大學(xué)學(xué)報,2008,30(2)：43-46.Zhi-yong,WUChao.Transfermatrixsolutionsformultilayeredsoilsinretangularcoordinatesystem[J].JournalofChongqingJianzhuUniversity,2008,30(2)：43-46.(inChinese))附錄一：三種情況下的解析層元元素（該矩陣為對稱矩陣k2(2AA2(8d3d k8z2Adez(2ddd)/ 2 2k16ez(8Ad 2A(1e4z);

(1e2z);AA2(8d3dd)2;

z22d2d2e2z(2d其中：

2

2

31A 31k2ezAA/;k2ezAAA 5 19 k AAAAA k2ezAA/ 1 2 6 AAezez;Aezez;Aez其中： Aezez

(

);

(

A2d;A2d;A22;

ddd

AAA2A2

1

5 1 13k2 13 (A(dAd 3k4ezAS/A 137 (A2(d3A3d4)S1k4ezA(dAd)S 34(1e2z

；

5；T22422d4

(1e2z)z(1e2z)d。44Ssin[z];Scos[z];A(1e2z);A(1e2z);A