七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《二元一次方程組》知識(shí)點(diǎn)歸納湘教版

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一、二元一次方程組1、概念：

①二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)（即次數(shù)）都是1的方程，叫二元一次方程。②二元一次方程組：兩個(gè)二元一次方程（或一個(gè)是一元一次方程，另一個(gè)是二元一次方程；或兩個(gè)都是一元一次方程；但未知數(shù)個(gè)數(shù)仍為兩個(gè)）合在一起，就組成了二元一次方程組。2、二元一次方程的解和二元一次方程組的解：

使二元一次方程左右兩邊的值相等（即等式成立）的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫二元一次方程的解。使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫二元一次方程組的解。注：①、因?yàn)槎淮畏匠毯袃蓚€(gè)未知數(shù)，所以，二元一次方程的解是一組（對(duì)）數(shù)，用大括號(hào)聯(lián)立；②、一個(gè)二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有許多組；③、而二元一次方程組的解是其中兩個(gè)二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一組，但也可能有無(wú)數(shù)組或無(wú)解（即無(wú)公共解）。二元一次方程組的解的討論：

a1x+b1y=c1已知二元一次方程組

a2x+b2y=c2

①、②、③、

當(dāng)a1/a2≠b1/b2時(shí)，有唯一解；當(dāng)a1/a2=b1/b2≠c1/c2時(shí)，無(wú)解；當(dāng)a1/a2=b1/b2=c1/c2時(shí)，有無(wú)數(shù)解。

x+y=42x+2y=8

x+y=4x+y=3例如：對(duì)應(yīng)方程組：①、②、③、3x-5y=92x+2y=5

例：判斷下列方程組是否為二元一次方程組：

a+b=2②、x=4③、3t+2s=5④、x=11①、

b+c=3y=5ts+6=02x+3y=0

3、用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)：

用含X的代數(shù)式表示y，就是先把X看成已知數(shù)，把y看成未知數(shù)；用含y的代數(shù)式表示X，則相當(dāng)于把y看成已知數(shù)，把X看成未知數(shù)。

例：在方程2x+3y=18中，用含x的代數(shù)式表示y為：___________,用含y的代數(shù)式表示x為:____________。4、根據(jù)二元一次方程的定義求字母系數(shù)的值：

要抓住兩個(gè)方面：①、未知數(shù)的指數(shù)為1，②、未知數(shù)前的系數(shù)不能為0

例：已知方程x^–y^=3是關(guān)于x、y的二元一次方程，求a、b的值。5、求二元一次方程的整數(shù)解

例：求二元一次方程3x+4y=18的正整數(shù)解。

思路：利用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)的方法，可以求出方程有正整數(shù)解時(shí)x、y的取值范圍，然后再進(jìn)一步確定解。

解：用含x的代數(shù)式表示y:y=9/2–x用含y的代數(shù)式表示x:x=6–y因?yàn)槭乔笳麛?shù)解，則：9/2–x>0,6–y>0所以，0<x<6,0<y<9/2

所以，當(dāng)y=1時(shí)，x=6–4/3=14/3,舍去；當(dāng)y=2時(shí)，x=6–8/3=10/3，舍去；當(dāng)y=3時(shí)，x=6–12/3=2,符合；當(dāng)y=4時(shí)，x=6–16/3=2/3，舍去。所以，3x+4y=18的正整數(shù)解為：x=2

y=3

x=3是方程組ax-2y=5的解，求a-b的值。再例：①、如果y=-12x+by=3

ax+5y=15,①由于甲看錯(cuò)了方程①中的a，得到的方程組的解②、甲、乙兩人共解方程組4x-by=-2,②

x=-3,乙看錯(cuò)了方程②中的b，得到的方程組的解為x=5,試計(jì)算為a^XX+y=-1,y=4,

^XX的值。二、二元一次方程組的解法——消元（整體思想就是：消去未知數(shù)，化“二元”為“一元”）

1、代入消元法：由二元一次方程組中的一個(gè)方程，將一個(gè)未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱(chēng)代入法。注：代入法解二元一次方程組的一般步驟為：

①、從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)；

②、將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程（不能代入原來(lái)的方程哦?。ヒ粋€(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；

③、解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；

④、將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式（或原來(lái)的方程組中任一個(gè)方程）中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；

⑤、把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，就是方程組的解。

2、加減消元法：兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等（或利用等式的性質(zhì)可變?yōu)橄喾椿蛳嗟龋r(shí)，將兩個(gè)方程的左右兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫加減消元法，簡(jiǎn)稱(chēng)加減法。注：加減法解二元一次方程組的一般步驟為：

①、方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)前的系數(shù)既不相反又不相等時(shí)，就根據(jù)等式的性質(zhì)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)乘以方程的兩邊（注意，左右兩邊每一項(xiàng)都要乘以這個(gè)數(shù)），使同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等；

②、把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；③、解這個(gè)一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；

④、將這個(gè)求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，并把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，就是方程組的解。

例：解方程組：

4y–/2=-6x①、②、x/2+y/3=13/2

2y+3x=7–2x-yx/3–y/4=3/2

3、用換元法解方程組：

根據(jù)題目的特點(diǎn)，利用換元法簡(jiǎn)化求解，同時(shí)應(yīng)注意換元法求出的解要代回關(guān)系式中，求出方程組中未知數(shù)的解。

例：ⅰ、解方程組：5/+4/=2

7/–3/=13/20

2a-3b=13a=8.3

2-3=13ⅱ、已知方程組的解是，則方程組

3a+5b=30.9b=1.2

3+5=30.9

的解是：（）

x=8.3x=10.3x=6.3x=10.3

y=1.2y=2.2y=2.2A、B、c、D、y=0.24、用整體代入法解方程組：

例：解方程組：2x-y=6①

=192②

解：將②變形為：×2=192③，把①代入③得：×2×6=192,即x+2y=16④

2x-y=6解得：x=5.6再把①和④組成新的方程組：x+2y=16y=5.2

5、另外幾種類(lèi)型的例題：

（1）、若︱m+n–5︱+²=0,求²的值。

（2）、已知代數(shù)式x²+ax+b，當(dāng)x=-1時(shí)，它的值是5，當(dāng)x=1時(shí)，它的值是-1，求當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式的值。

5x+y=3x-2y=5有相同的解，求m，n的值。（3）、已知方程組與

mx+5y=45x+ny=1

3x-5y=2m（4）、已知方程組的解x、y互為相反數(shù)，求m、x以及y的值。2x+7y=m-18

2x-y=k（5）、關(guān)于x、y的方程組的解，也是方程2x+y=3的解，求k的值。3x+y=k+1

（6）、某蔬菜公司收購(gòu)到某種蔬菜140噸，準(zhǔn)備加工后上市銷(xiāo)售。該公司的加工能力是：每天可以精加工6噸或者粗加工16噸?，F(xiàn)計(jì)劃用15天完成加工任務(wù)，該公司應(yīng)安排幾天粗加工，幾天精加工，才能按期完成任務(wù)？如果每噸蔬菜粗加工后的利潤(rùn)為1000元，精加工后的利潤(rùn)為XX元，那么照此安排，該公司出售這些加工后的蔬菜共獲利多少元？三、實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組

1、利用二元一次方程組解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般過(guò)程為：審題并找出數(shù)量關(guān)系式—>設(shè)元（設(shè)未知數(shù)）—>根據(jù)數(shù)量關(guān)系式列出方程組—>解方程組—>檢驗(yàn)并作答（注意：此步驟不要忘記）2、列方程組解應(yīng)用題的常見(jiàn)題型：

（1）、和差倍分問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題的基本等量關(guān)系式是：較大量-較小量=相差量，總量=倍數(shù)×倍量；

（2）、產(chǎn)品配套問(wèn)題：解這類(lèi)題的基本等量關(guān)系式是：加工總量成比例；

（3）、速度問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題的基本關(guān)系式是：路程=速度×?xí)r間，包括相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題等；（4）、航速問(wèn)題：①、順流（風(fēng)）：航速=靜水（無(wú)風(fēng)）時(shí)的速度+水（風(fēng)）速；②、逆流（風(fēng)）：航速=靜水（無(wú)風(fēng)）時(shí)的速度–水（風(fēng)）速；

（5）、工程問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題的基本關(guān)系式是：工作總量=工作效率×工作時(shí)間，（有時(shí)需把工作總量看作1）；

（6）、增長(zhǎng)率問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題的基本關(guān)系式是：原量×（1+增長(zhǎng)率）=增長(zhǎng)后的量，原量×（1-減少率）=減少后的量；

（7）、盈虧問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是從盈（過(guò)剩）、虧（不足）兩個(gè)角度來(lái)把握事物的總量；（8）、數(shù)字問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示；（9）、幾何問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題的基本關(guān)系是有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算公式；（10）、年齡問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長(zhǎng)數(shù)相等。

例1：一批水果運(yùn)往某地，第一批360噸，需用6節(jié)火車(chē)車(chē)廂加上15輛汽車(chē)，第二批440噸，需用8節(jié)火車(chē)車(chē)廂加上10輛汽車(chē)，求每節(jié)火車(chē)車(chē)廂與每輛汽車(chē)平均各裝多少?lài)崳?/p>

例2：甲、乙兩物體分別在周長(zhǎng)為400米的環(huán)形軌道上運(yùn)動(dòng)，已知它們同時(shí)從一處背向出發(fā)，25秒后相遇，若甲物體先從該處出發(fā)，半分鐘后乙物體再?gòu)脑撎幫虺霭l(fā)追趕甲物體，則再過(guò)3分鐘后才趕上甲，假設(shè)甲、乙兩物體的速度均不變，求甲、乙兩物體的速度。

例3：甲、乙二人分別以均勻速度在周長(zhǎng)為600米的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)，甲的速度比乙大，當(dāng)二人反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每150秒相遇一次，當(dāng)二人同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每10分鐘相遇一次，求二人的速度。

例4：有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3：7，乙種酒精溶液的酒精與水的比是4：1，今要得到酒精與水的比是3：2的酒精溶液50kg，求甲、乙兩種溶液各取多少kg？

例5：一張方桌由一個(gè)桌面和四條桌腿組成，如果1立方米木料可制成方桌桌面50個(gè)，或制作桌腿300條，現(xiàn)有5立方米木料，請(qǐng)問(wèn)，要用多少木料做桌面，多少木料做桌腿，能使桌面恰好配套？此時(shí)，可以制成多少?gòu)埛阶溃?/p>

例6：某人要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)由甲地趕往乙地，如果他以每小時(shí)50千米的速度行駛，就會(huì)遲到24分鐘，如果他以每小時(shí)75千米的速度行駛，則可提前24分鐘到達(dá)乙地，求甲、乙兩地間的距離。

例7：某農(nóng)場(chǎng)有300名職工耕種51公頃土地，計(jì)劃種植水稻、棉花、蔬菜三種農(nóng)作物，已知種植各種農(nóng)作物每公頃所需勞動(dòng)力人數(shù)

及投入資金如右表：

已知該農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃投入資金

67萬(wàn)元，應(yīng)該怎樣安排這三

種農(nóng)作物的種植面積才能使

所有職工都有工作而且投入資金正好夠用？

例8：某酒店的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天25元，兩人間每人每天35元，一個(gè)50人的旅游團(tuán)到該酒店租了若干間客房，且每間客房恰好住滿(mǎn)，一天共花去1510元，求兩種客房各租了多少間？

例9：某山區(qū)有23名中、

資助一名中學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要a元，資助一名小學(xué)生

的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要b元。某校學(xué)生積極捐款，初中各年級(jí)學(xué)生捐款數(shù)額與使用這些捐款恰好資助受捐助中學(xué)生和小學(xué)生人數(shù)的部分情況如右表：（1）、求a、b的值；

（2）初三年級(jí)的捐款解決了其余貧困中小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用，請(qǐng)分別計(jì)算出初三年級(jí)的捐款所資助的中學(xué)生和小學(xué)生人數(shù)。

四、三元一次方程組的解法

1、概念：由三個(gè)方程組成方程組，且方程組中共含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含有的未知數(shù)的次數(shù)都是1次，這樣的方程組叫三元一次方程組。

注：三元一次方程組中的三個(gè)方程并不一定都是三元一次方程，只需滿(mǎn)足“方程組中共含有三個(gè)未知數(shù)”的條件即可。

2、解三元一次方程組的基本思想：

三元一次方程組

消元

————————>

二元一次方程組

消元

————————>

一元一次方程

3x+4y+z=143x+4z=7

例1：解方程組x+5y+2z=172x+3y+z=9

2x+2y-z=35x–9y+7z=8

例2：在y